【培优版】北师大版数学九年级上册6.2反比例函数的图象与性质 同步练习
一、选择题
1．（2023九上·温岭期末）已知、、为双曲线上的三个点，且，则以下判断正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．（2023九上·运城期中）如图，点、在反比例函数的图象上，过点、作轴的垂线，垂足分别为，，延长线段交轴于点，当时，阴影部分的面积；如图，点、在反比例函数的图象上，过点、作轴的垂线，垂足分别为，，连接，交于于点，当时，阴影部分的面积，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·襄都期中）如图，在反比例函数的图像上，有点，，，，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作垂直于x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，若，则的值为（ ）
A．2.5 B．3 C．4 D．无法确定
4．（2023九上·叙州开学考） 如图，已知点A（3，0），B（0，4），C是y轴上位于点B上方的一点，AD平分∠OAB，BE平分∠ABC，直线BE交AD于点D．若反比例函数y=（x＜0）的图象经过点D，则k的值是（ ）
A．-8 B．-9 C．-10 D．-12
5．（2022九上·灌阳期中）如图，平行四边形的顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，中点恰好落在轴上，已知，则的值为（ ）
A．-8 B．-6 C．-4 D．-2
6．（2021九上·平昌期中）如图， 中， ， ，点 在反比例函数 的图象上， 交反比例函数 的图象于点 ，且 ，则 的值为（ ）
A．-2 B．-4 C．-6 D．-8
7．（2021九上·沙坪坝月考）如图， 的边 在x轴上，边 交y轴于点E， ，反比例函数 过C点，且交线段 于D， ，连接 ，若 ，则k的值为（ ）
A． B． C．4 D．6
8．（2020九上·长沙月考）如图，点A、M是第一象限内双曲线 （k为常数， ， ）上的点（点M在点A的左侧），若M点的纵坐标为1，且△OAM为等边三角形，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2024九上·新会开学考）如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点，分别交，于点、．若四边形的面积为12，则的值为 ．
10．（2024九上·阿克苏期末）如图，点在反比例函数（）的图象上，且点是线段的中点，点为轴上一点，连接交反比例函数图象于点，连接，若，，则的值为 ．
11．（2024九上·渠县期末）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA的中点C．交AB于点D，连结CD．若△ACD的面积是2，则k的值是 ．
12．（2021九上·泰山期末）如图，已知等边，顶点在双曲线上，点的坐标为．过作交双曲线于点，过作交轴于点，得到第二个等边；过作交双曲线于点，过作交轴于点，得到第三个等边；以此类推，…，则点的坐标为 ．
13．（2021九上·通川期中）如图，在矩形AOBC中，OB＝8，OA＝6，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反比例函数 （k＞0）的图象与AC边交于点E，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的点D处，则k的值为 .
三、解答题
14．（2022九上·安徽开学考）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作为的整数）．反比例函数的图象为曲线．
（1）若过点，求反比例函数的解析式；
（2）若过点，则它必定还过另一点，求的坐标；
（3）若曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，求出所有满足条件的整数．
15．（2022九上·岳阳楼月考）综合与探究
如图1，反比例函数的图象经过点A，点A的横坐标是－2，点A关于坐标原点O的对称点为点B，作直线．
（1）判断点B是否在反比例函数的图象上，并说明理由；
（2）如图1，过坐标原点O作直线交反比例函数的图象于点C和点D，点C的横坐标是4，顺次连接，，和．求证：四边形是矩形；
（3）已知点P在x轴的正半轴上运动，点Q在平面内运动，当以点O，B，P和Q为顶点的四边形为菱形时，请直接写出此时点P的坐标．
16．（2022九上·济南期中）如图，在平面直角坐标系中，、是矩形的两个顶点，点D是线段上的一个动点(不与重合)，双曲线()经过点D，与矩形的边相交于点E．
（1）如图①，当点D为中点时，k的值为 ，点E的坐标为 ；
（2）如图②，当点D在线段上的任意位置时(不与重合)，连接，求证：；
（3）是否存在反比例函数上不同于点D的一点F，满足：为直角三角形，，且，若存在，请直接写出满足以上条件时点D的横坐标，若不存在，请说明理由．
17．（2020九上·襄城月考）阅读理解：
材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”.
材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx +c= 0（a≠0）的两根分别为 ， ，则有 ， .
问题解决：
（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 ；
（2）若 ， 是关于x的方程ax2+bx +c= 0 （a，b，c均不为0）的两根， 是关于x的方程bx+c=0（b，c均不为0）的解.求证：x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
（3）若A（m，y1） ，B（m +
1，y2） ，C（m+3，y3）三个点均在反比例函数 的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值.
18．（2024九上·渠县期末）
（1）【感知】如图1，已知反比例函数上有两点，，轴交轴于点，轴交轴于点，则 ， ，与的位置关系为： ．
（2）【探究】我们对上述问题进行了思考，如图2，当，是双曲线同一支上任意两点，过、分别向轴、轴作垂线，交轴于点，交轴于点，连接、．
①试探究与面积的关系并说明理由；
②试探究与之间的位置关系并说明理由．
（3）【运用】我们对上述问题进行了实践，如图3，已知点，在反比例函数的图像上，且，则是反比例函数第三象限内图像上的一动点，过点作轴，过点作轴，垂足分别分为、，若四边形的面积为45，求点的坐标；
（4）【拓展】我们对上述问题进行了延伸，如图4，函数的图像与过原点的直线相交于，两点，点是此函数第二象限内图像上的动点（点在点的右侧），直线分别交于轴、轴于点、，连接分别交轴、轴于点、．若，求的值？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、∵y=-，若x1x2＞0，
当x1＜x2＜x3＜0时，
∴y3＞y2＞y1＞0，
∴y1y3＞0，
∴A选项错误，不符合题意；
B、∵y=-，若x1x3＜0，
当x1＜0＜x2＜x3时，
∴y1＞0＞y3＞y2，
∴y1y2＜0，
∴B选项错误，不符合题意；
C、∵y=-，若x2x3＞0，
当x1＜0＜x2＜x3时，
∴y1＞0＞y3＞y2，
∴y1y3＜0，
∴C选项错误，不符合题意；
D、∵y=-，若x2x3＜0，
∴x1＜x2＜0＜x3时，
∴y2＞y1＞0＞y3，
∴y1y3＜0，
∴D选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数增减性，结合每个选项条件，求得对应y的正负号，再逐项进行分析判断即可.
2．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：，
∽，
，
，
而，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，，
由图可知：，，，，
，
，
，
即，
解得，
．
故答案为：．
【分析】先证明∽，根据相似三角形的性质得到进而得到，，结合求出，设，，可得，，，，，根据，求出的值，从而得出结论.
3．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵点，，，在反比例函数的图象上，且它们的横坐标依次为1，2，3，4，
∴，，，，
∴，，，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：C．
【分析】先求出，，，，再求出，，，最后结合，列出方程，最后求出k的值即可.
4．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形全等及其性质；角平分线的性质；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示：过点D作DF⊥x轴，DG⊥y轴，延长AB，过点D作DH⊥AB，
∵AD平分∠OAB，BE平分∠ABC，
∴DF=DG，DG=DH，∠CBE=∠ABE，∠HBC= ∠OBA，
∴∠1=∠2，DH=DG，
∵DB=DB，
∴△DBH≌△DBG，
∴BH=BG，
∵∠DGO=∠DFO=∠GOF=90°，DG=DF，
∴四边形DGOF是正方形，
∴OG=FO，
∴OB=BG+GO，
∵ AD=AD，DH=DF，∠AHD=∠AFD =90°，
∴△ADF≌△ADH，
∴AH=AF，
∴AB+OB+AO=AH+AF，
∵A(3，0)， B(0，4)，
∴OA=3，OB=4，
∴，
∴，
∵OA=3，
∴OF=OG=3，
∴D(-3，3)，
∴k=-3x3=-9，
故答案为：B.
【分析】根据角平分线求出DF=DG，DG=DH，∠CBE=∠ABE，∠HBC= ∠OBA，再利用正方形的判定与性质，三角形全等的判定与性质以及勾股定理等计算求解即可。
5．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：连接OB，过点B作BD⊥y轴于点D，过点C作CE⊥y于点E，
∵点P是BC的中点
∴PC=PB
∵
∴
∴
∵
∴
∵点B在双曲线上
∴
∴
∴
∴
∵点C在双曲线上
∴
∴．
故答案为：C．
【分析】连接OB，过点B作BD⊥y轴于点D，过点C作CE⊥y于点E，利用AAS证明△CPE≌△BPD，根据全等三角形的对应边相等得CE=BD，根据平行四边形的性质及同底等高的三角形面积相等得，根据反比例函数k的几何意义得，从而可得，最后再根据反比例函数k的几何意义结合图象所在的象限得出k的值.
6．【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥x轴，过点C作CE⊥x轴，过点B作BF⊥x轴
∴CE∥AD，∠CEO=∠BFO=90°
∵
∴∠COE+∠FOB=90°，∠ECO+∠COE=90°
∴∠ECO=∠FOB
∴△COE∽△OBF∽△AOD
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵点 在反比例函数 的图象上
∴
∴
∴ ，解得k=±8
又∵反比例函数位于第二象限，
∴k=-8
故答案为：D.
【分析】过点A作AD⊥x轴，过点C作CE⊥x轴，过点B作BF⊥x轴，由平行线的性质可得∠CEO=∠BFO=90°，根据同角的余角相等可得∠ECO=∠FOB，证明△COE∽△OBF∽△AOD，根据已知条件结合相似三角形的性质可得，根据反比例函数k的几何意义可得S△BOF=1，进而求出S△COE，再次利用反比例函数k的几何意义就可求出k的值.
7．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过C点作CN⊥y轴于N点，过C点作CE⊥x轴于E点，过D点作DF⊥x轴于F点，
设CN=2a，则OE=2a
∵CN AE
∴△AOE∽△CNE，
∴
∴AO=a
∵C点在函数 上
∴C（2a， ）
∴CE=NO=
∵CE DF
∴△BDF∽△BCE，
∵
∴
∴DF= ，
∵D点在函数 上
∴D点坐标为（8a， ）
∴EF=8a-2a=6a
∵
∴BF=2a
∴B（10a，0）
∴AB=11a
∵
∴
解得k=4
故答案为：C.
【分析】过C点作CN⊥y轴于N点，过C点作CE⊥x轴于E点，过D点作DF⊥x轴于F点，设CN=2a，则OE=2a，易证△AOE∽△CNE，△BDF∽△BCE，由相似三角形的性质可得AO=a，DF=，将点C、D的坐标代入中可得AO=a，BF=2a，则B（10a，0），表示出AB，然后根据三角形的面积公式进行计算.
8．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】 点的纵坐标为1，
把点M的纵坐标代入 中，
点的坐标为 ，
△OAM为等边三角形，
点的坐标为 ，
点M在点A的左侧，
解得
故答案为：C．
【分析】根据题意可得M（k，1），再根据△AOM为等边三角形即可得到A（1，k），根据点M在点A的左侧即可得到k<1，根据点A、O、M的坐标表示出MA、OM的长，根据AM=OM列出方程，求解即可得到k的值.
9．【答案】4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：过点作轴于点，作轴于点
∴四边形ONMG是矩形
∴
∵函数图象在第一象限
∴
∴
同理：，
∵OM=MB=
∴
∴++S四边形ODBE=
解得：．
故答案为4.
【分析】
过点作轴于点，作轴于点，根据反比例函数系数k的几何意义得到，，因此，再割补法++S四边形ODBE，列出方程：，解出k即可.
10．【答案】16
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作AE⊥OD与点E，点C⊥OD与点F，连接OC，
，，
，
设点A坐标为（m，n），
点是线段的中点，
点B坐标为（2m，2n），，
BC=2CD，
点C纵坐标为，
点A点C都在 上，
点C坐标为，
，
.
mn=16，
点A坐标为（m，n），
k=16.
故答案为：16.
【分析】过点A作AE⊥OD与点E，点C⊥OD与点F，连接OC，先根据，， 得出，设点A坐标为（m，n），由中点的性质得出点B的坐标为（2m，2n），，进而求出点C的坐标为，再由，建立方程求出mn的值，即可得到k的值.
11．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图所示：连接OD，过点C作CE∥AB交x轴与点E，
点C是AO的中点，
，
，
CE∥AB，，且相似比为1：2，
，
，
解得：.
故答案为：.
【分析】连接OD，过点C作CE∥AB交x轴与点E，根据中点的性质及反比例函数k的几何意义得出，再利用相似的性质得出，然后建立方程解出k的值即可.
12．【答案】(，0)
【知识点】等边三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，作A2C⊥x轴于点C，设B1C=a，则A2C=，
OC=OB1+B1C=2+a，A2（2+a，）．
∵点A2在双曲线上，
∴（2+a） =，
解得a=-1，或a=--1（舍去），
∴OB2=OB1+2B1C=2+2-2=2，
∴点B2的坐标为（2，0）；
作A3D⊥x轴于点D，设B2D=b，则A3D=b，
OD=OB2+B2D=2+b，A2（2+b，b）．
∵点A3在在双曲线上，
∴（2+b） b=，
解得b=-+，或b=--（舍去），
∴OB3=OB2+2B2D=2-2+2=2，
∴点B3的坐标为（2，0）；
同理可得点B4的坐标为（2，0）即（4，0）；
以此类推…，
∴点Bn的坐标为（2，0），
当n=12时，2
∴点B12的坐标为（4，0），
故答案为（4，0）．
【分析】如图，作A2C⊥x轴于点C，根据等边三角形及反比例函数图象上点的坐标特征分别求出B1、B2、B3、B4的坐标，从而得出规律点Bn的坐标为（2，0），继而求出B12的坐标即可.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解： 矩形AOBC，OB＝8，OA＝6，
由对折可得：
过 作 于
所以
在 的图象上，
解得：
故答案为：
【分析】由矩形的性质可得AC=OB=8，AO=BC=6，∠C=∠OBC=90°，由折叠的性质可得EC=ED，FC=FD，∠C=∠FDE=90°，过E作EQ⊥OB于Q，由同角的余角相等可得∠FDB=∠DEQ，证明△EQD∽△DBF，设E（，6），F（8，），然后表示出CF、EC，根据相似三角形的性质可得BD，接下来在Rt△BFD中，应用勾股定理求解就可得到k的值.
14．【答案】（1）解：每个台阶的高和宽分别是1和2，
，，，，，，，，
过点，
，
反比例函数的解析式为
（2）解：过点，
，
反比例函数解析式为，
当时，，
在反比例函数图象上，
的坐标为
（3）解：若曲线过点，时，，
若曲线过点，时，，
若曲线过点，时，，
若曲线过点，时，，
曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，
，
所有满足条件的整数，，，，，，．
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】 (1)每个台阶的高和宽分别是1和2，根据T8 推出T1坐标，代入解析式即可； (2)反比例函数上的点横纵坐标乘积相同，据此可求；(3)内侧4个，外侧4个， k在曲线过点T2( 14，2)，T7( 4，7)时的k值和曲线过点T3( 12，3)，T6( 6，6)时k值之间。
15．【答案】（1）解：结论：点B在反比例函数的图象上，
理由如下：∵反比例函数的图象经过点A，点A的横坐标是－2，
∴把代入中，得，
∴点A的坐标是，
∵点A关于坐标原点O的对称点为点B，
∴点B的坐标是，
把代入中，得，
∴点B在反比例函数的图象上；
（2）证明：在反比例函数中令x=4则y=-2，
∵过坐标原点O作直线交反比例函数的图象于点C和点D，
∴C，D关于原点对称，
∴C（4，-2），D（-4，2），OC=OD，
∵A，B关于原点对称，
∴OA=OB，
∴四边形ACBD是平行四边形，
∵CD=，AB=，
∴AB=CD，
∴四边形ACBD是矩形；
（3），和
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（3）设点P的坐标为（m，0），如图，
当四边形OBP1Q1是菱形时，可得OB=OP1，
∴，解得，
∴P1（4，0）；
当四边形OBQ2P2是菱形时，可得OB=OP2，
∴，
∴P2；
当四边形OP3BQ3是菱形时，可得BP3=OP3，
∴，
解得，
∴P3（5，0），
综上所述，满足条件的点P的坐标分别为（4，0），和（5，0）．
【分析】（1）利用点A在反比例函数图象上，将点A的横坐标代入函数解析式，可求出对应的y的值，可得到点A的坐标，利用关于原点对称点的坐标特点（横纵坐标都互为相反数），可得到点B的坐标，再将点B的横坐标代入函数解析式，求出对应的y的值，由此作出判断；
（2）将x=4代入反比例函数解析式求出对应的y的值，可得到点C的坐标，再利用点C，D关于原点对称，可得到点D的坐标，同时可证得OC=OD，OA=OB，利用对角线互相平方的四边形是平行四边形，可证得四边形ACBD是平行四边形；再利用勾股定理求出CD，AB的长，可证得CD=AB，利用对角线相等的平行四边形是矩形，可证得四边形ACBD是矩形；
（3）设点P的坐标为（m，0）分情况讨论：当四边形OBP1Q1是菱形时，OB=OP1，利用菱形的对角线互相垂直平分，可知此时对角线的中点坐标为（2，0），利用中点坐标可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到点P的坐标；当四边形OBQ2P2是菱形时，可知OB=OP2，利用勾股定理可求出OP2的长，由此可得点P的坐标；当四边形OP3BQ3是菱形时可知OP3=BP3，利用点的坐标的距离公式求出m的值，可得到点P的坐标.
16．【答案】（1）24；（8，3）
（2）证明：设点D的横坐标为m，
∴点D的坐标为，
∴，
∴反比例函数的解析式为：
点E的坐标为
∴，
∴，
∴，
即，
∴；
（3）存在，点的横坐标为或
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）∵是矩形的两个顶点，
∴，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∴，
∴
当时，，
∴，
故答案为：；
（3）①当点F在直线上方时，如图，过点D作轴于点G，过点F作于点M，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
设点D的横坐标为t，
则
∴，
∴，
∴，
解得：（负值舍去）；
②当点F在直线下方时，如图，过点D作轴于点G，过点F作于点N，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
设点D的横坐标为n，
则，
∴，
∴，
∴，
解得：（负值舍去）即此时点D的横坐标为，
综上所述，点D的横坐标为点D的横坐标为或．
【分析】（1）根据矩形的性质得出点A的坐标，再利用中点坐标公式得出点D的坐标，从而得出k的值，再将y=6代入即可；
（2）根据点D、E的坐标，得出AD、AE的长度，根据 ， 即可得出结论；
（3）根据题意，分两种情况讨论：①当点F在直线上方时，如图，过点D作轴于点G，过点F作于点M，②当点F在直线下方时，如图，过点D作轴于点G，过点F作于点N，分别设出点D的横坐标，表达出点F的坐标，进而得出方程，求解即可。
17．【答案】（1） ，2，3（答案不唯一）
（2）证明：∵ ， 是关于x的方程ax2+bx +c= 0 （a，b，c均不为0）的两根，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 是关于x的方程bx+c=0（b，c均不为0）的解，
∴ ，∴ ，
∴ = ，
∴x1 ，x2，x3可以构成“和谐三数组”
（3）解：∵A（m，y1） ，B（m + 1，y2） ，C（m+3，y3）三个点均在反比例函数 的图象上，
∴ ， ， ，
∵三点的纵坐标y1，y2，y3恰好构成“和谐三数组”，
∴ 或 或 ，
即 或 或 ，
解得：m=﹣4或﹣2或2.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）∵ ，
∴ ，2，3是“和谐三数组”；
故答案为： ，2，3（答案不唯一）；
【分析】（1）根据“和谐三数组”的定义可以先写出后2个数，取倒数求和后即可写出第一个数，进而可得答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系求出 ，然后再求出 ，只要满足 = 即可；
（3）先求出三点的纵坐标y1，y2，y3，然后由“和谐三数组”可得y1，y2，y3之间的关系，进而可得关于m的方程，解方程即得结果.
18．【答案】（1）16；16；平行
（2）解：①如图，连接、，
∵轴，轴，
∴，，
∴．
②过点作于，过点作于，则，
∵，
∴边上的高相等，即，
∴四边形是矩形，
∴．
（3）解：如图，连接，
设，
∵，，
∴，
∵点，在反比例函数的图像上，且，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
解得：，
∴，
∴．
（4）解：如图，作交于，
∵，，
∴，
∵是过原点的直线，点，在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数系数k的几何意义；矩形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：（1） 如图，延长，交延长线于，
∵轴，轴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，和都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴与的位置关系为：平行．
故答案为： 16，16，平行
【分析】（1）延长，交延长线于，进而根据点的坐标结合三角形的面积即可求出三角形的面积，再根据等腰直角三角形的性质结合平行线的判定即可求解；
（2）①连接、，根据反比例函数k的几何意义即可求解；
②过点作于，过点作于，则，根据三角形的面积结合矩形的判定与性质即可求解；
（3）连接，设，根据三角形的面积结合题意即可得到，再求出点A的坐标和AD，从而代入即可求出点B的坐标；
（4）作交于，根据平行线分线段成比例得到，进而根据反比例函数的图象得到，从而得到，再根据平行线分线段成比例即可求解。
1 / 1【培优版】北师大版数学九年级上册6.2反比例函数的图象与性质 同步练习
一、选择题
1．（2023九上·温岭期末）已知、、为双曲线上的三个点，且，则以下判断正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、∵y=-，若x1x2＞0，
当x1＜x2＜x3＜0时，
∴y3＞y2＞y1＞0，
∴y1y3＞0，
∴A选项错误，不符合题意；
B、∵y=-，若x1x3＜0，
当x1＜0＜x2＜x3时，
∴y1＞0＞y3＞y2，
∴y1y2＜0，
∴B选项错误，不符合题意；
C、∵y=-，若x2x3＞0，
当x1＜0＜x2＜x3时，
∴y1＞0＞y3＞y2，
∴y1y3＜0，
∴C选项错误，不符合题意；
D、∵y=-，若x2x3＜0，
∴x1＜x2＜0＜x3时，
∴y2＞y1＞0＞y3，
∴y1y3＜0，
∴D选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数增减性，结合每个选项条件，求得对应y的正负号，再逐项进行分析判断即可.
2．（2023九上·运城期中）如图，点、在反比例函数的图象上，过点、作轴的垂线，垂足分别为，，延长线段交轴于点，当时，阴影部分的面积；如图，点、在反比例函数的图象上，过点、作轴的垂线，垂足分别为，，连接，交于于点，当时，阴影部分的面积，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：，
∽，
，
，
而，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，，
由图可知：，，，，
，
，
，
即，
解得，
．
故答案为：．
【分析】先证明∽，根据相似三角形的性质得到进而得到，，结合求出，设，，可得，，，，，根据，求出的值，从而得出结论.
3．（2023九上·襄都期中）如图，在反比例函数的图像上，有点，，，，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作垂直于x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，若，则的值为（ ）
A．2.5 B．3 C．4 D．无法确定
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵点，，，在反比例函数的图象上，且它们的横坐标依次为1，2，3，4，
∴，，，，
∴，，，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：C．
【分析】先求出，，，，再求出，，，最后结合，列出方程，最后求出k的值即可.
4．（2023九上·叙州开学考） 如图，已知点A（3，0），B（0，4），C是y轴上位于点B上方的一点，AD平分∠OAB，BE平分∠ABC，直线BE交AD于点D．若反比例函数y=（x＜0）的图象经过点D，则k的值是（ ）
A．-8 B．-9 C．-10 D．-12
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形全等及其性质；角平分线的性质；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示：过点D作DF⊥x轴，DG⊥y轴，延长AB，过点D作DH⊥AB，
∵AD平分∠OAB，BE平分∠ABC，
∴DF=DG，DG=DH，∠CBE=∠ABE，∠HBC= ∠OBA，
∴∠1=∠2，DH=DG，
∵DB=DB，
∴△DBH≌△DBG，
∴BH=BG，
∵∠DGO=∠DFO=∠GOF=90°，DG=DF，
∴四边形DGOF是正方形，
∴OG=FO，
∴OB=BG+GO，
∵ AD=AD，DH=DF，∠AHD=∠AFD =90°，
∴△ADF≌△ADH，
∴AH=AF，
∴AB+OB+AO=AH+AF，
∵A(3，0)， B(0，4)，
∴OA=3，OB=4，
∴，
∴，
∵OA=3，
∴OF=OG=3，
∴D(-3，3)，
∴k=-3x3=-9，
故答案为：B.
【分析】根据角平分线求出DF=DG，DG=DH，∠CBE=∠ABE，∠HBC= ∠OBA，再利用正方形的判定与性质，三角形全等的判定与性质以及勾股定理等计算求解即可。
5．（2022九上·灌阳期中）如图，平行四边形的顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，中点恰好落在轴上，已知，则的值为（ ）
A．-8 B．-6 C．-4 D．-2
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：连接OB，过点B作BD⊥y轴于点D，过点C作CE⊥y于点E，
∵点P是BC的中点
∴PC=PB
∵
∴
∴
∵
∴
∵点B在双曲线上
∴
∴
∴
∴
∵点C在双曲线上
∴
∴．
故答案为：C．
【分析】连接OB，过点B作BD⊥y轴于点D，过点C作CE⊥y于点E，利用AAS证明△CPE≌△BPD，根据全等三角形的对应边相等得CE=BD，根据平行四边形的性质及同底等高的三角形面积相等得，根据反比例函数k的几何意义得，从而可得，最后再根据反比例函数k的几何意义结合图象所在的象限得出k的值.
6．（2021九上·平昌期中）如图， 中， ， ，点 在反比例函数 的图象上， 交反比例函数 的图象于点 ，且 ，则 的值为（ ）
A．-2 B．-4 C．-6 D．-8
【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥x轴，过点C作CE⊥x轴，过点B作BF⊥x轴
∴CE∥AD，∠CEO=∠BFO=90°
∵
∴∠COE+∠FOB=90°，∠ECO+∠COE=90°
∴∠ECO=∠FOB
∴△COE∽△OBF∽△AOD
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵点 在反比例函数 的图象上
∴
∴
∴ ，解得k=±8
又∵反比例函数位于第二象限，
∴k=-8
故答案为：D.
【分析】过点A作AD⊥x轴，过点C作CE⊥x轴，过点B作BF⊥x轴，由平行线的性质可得∠CEO=∠BFO=90°，根据同角的余角相等可得∠ECO=∠FOB，证明△COE∽△OBF∽△AOD，根据已知条件结合相似三角形的性质可得，根据反比例函数k的几何意义可得S△BOF=1，进而求出S△COE，再次利用反比例函数k的几何意义就可求出k的值.
7．（2021九上·沙坪坝月考）如图， 的边 在x轴上，边 交y轴于点E， ，反比例函数 过C点，且交线段 于D， ，连接 ，若 ，则k的值为（ ）
A． B． C．4 D．6
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过C点作CN⊥y轴于N点，过C点作CE⊥x轴于E点，过D点作DF⊥x轴于F点，
设CN=2a，则OE=2a
∵CN AE
∴△AOE∽△CNE，
∴
∴AO=a
∵C点在函数 上
∴C（2a， ）
∴CE=NO=
∵CE DF
∴△BDF∽△BCE，
∵
∴
∴DF= ，
∵D点在函数 上
∴D点坐标为（8a， ）
∴EF=8a-2a=6a
∵
∴BF=2a
∴B（10a，0）
∴AB=11a
∵
∴
解得k=4
故答案为：C.
【分析】过C点作CN⊥y轴于N点，过C点作CE⊥x轴于E点，过D点作DF⊥x轴于F点，设CN=2a，则OE=2a，易证△AOE∽△CNE，△BDF∽△BCE，由相似三角形的性质可得AO=a，DF=，将点C、D的坐标代入中可得AO=a，BF=2a，则B（10a，0），表示出AB，然后根据三角形的面积公式进行计算.
8．（2020九上·长沙月考）如图，点A、M是第一象限内双曲线 （k为常数， ， ）上的点（点M在点A的左侧），若M点的纵坐标为1，且△OAM为等边三角形，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】 点的纵坐标为1，
把点M的纵坐标代入 中，
点的坐标为 ，
△OAM为等边三角形，
点的坐标为 ，
点M在点A的左侧，
解得
故答案为：C．
【分析】根据题意可得M（k，1），再根据△AOM为等边三角形即可得到A（1，k），根据点M在点A的左侧即可得到k<1，根据点A、O、M的坐标表示出MA、OM的长，根据AM=OM列出方程，求解即可得到k的值.
二、填空题
9．（2024九上·新会开学考）如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点，分别交，于点、．若四边形的面积为12，则的值为 ．
【答案】4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：过点作轴于点，作轴于点
∴四边形ONMG是矩形
∴
∵函数图象在第一象限
∴
∴
同理：，
∵OM=MB=
∴
∴++S四边形ODBE=
解得：．
故答案为4.
【分析】
过点作轴于点，作轴于点，根据反比例函数系数k的几何意义得到，，因此，再割补法++S四边形ODBE，列出方程：，解出k即可.
10．（2024九上·阿克苏期末）如图，点在反比例函数（）的图象上，且点是线段的中点，点为轴上一点，连接交反比例函数图象于点，连接，若，，则的值为 ．
【答案】16
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作AE⊥OD与点E，点C⊥OD与点F，连接OC，
，，
，
设点A坐标为（m，n），
点是线段的中点，
点B坐标为（2m，2n），，
BC=2CD，
点C纵坐标为，
点A点C都在 上，
点C坐标为，
，
.
mn=16，
点A坐标为（m，n），
k=16.
故答案为：16.
【分析】过点A作AE⊥OD与点E，点C⊥OD与点F，连接OC，先根据，， 得出，设点A坐标为（m，n），由中点的性质得出点B的坐标为（2m，2n），，进而求出点C的坐标为，再由，建立方程求出mn的值，即可得到k的值.
11．（2024九上·渠县期末）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA的中点C．交AB于点D，连结CD．若△ACD的面积是2，则k的值是 ．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图所示：连接OD，过点C作CE∥AB交x轴与点E，
点C是AO的中点，
，
，
CE∥AB，，且相似比为1：2，
，
，
解得：.
故答案为：.
【分析】连接OD，过点C作CE∥AB交x轴与点E，根据中点的性质及反比例函数k的几何意义得出，再利用相似的性质得出，然后建立方程解出k的值即可.
12．（2021九上·泰山期末）如图，已知等边，顶点在双曲线上，点的坐标为．过作交双曲线于点，过作交轴于点，得到第二个等边；过作交双曲线于点，过作交轴于点，得到第三个等边；以此类推，…，则点的坐标为 ．
【答案】(，0)
【知识点】等边三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，作A2C⊥x轴于点C，设B1C=a，则A2C=，
OC=OB1+B1C=2+a，A2（2+a，）．
∵点A2在双曲线上，
∴（2+a） =，
解得a=-1，或a=--1（舍去），
∴OB2=OB1+2B1C=2+2-2=2，
∴点B2的坐标为（2，0）；
作A3D⊥x轴于点D，设B2D=b，则A3D=b，
OD=OB2+B2D=2+b，A2（2+b，b）．
∵点A3在在双曲线上，
∴（2+b） b=，
解得b=-+，或b=--（舍去），
∴OB3=OB2+2B2D=2-2+2=2，
∴点B3的坐标为（2，0）；
同理可得点B4的坐标为（2，0）即（4，0）；
以此类推…，
∴点Bn的坐标为（2，0），
当n=12时，2
∴点B12的坐标为（4，0），
故答案为（4，0）．
【分析】如图，作A2C⊥x轴于点C，根据等边三角形及反比例函数图象上点的坐标特征分别求出B1、B2、B3、B4的坐标，从而得出规律点Bn的坐标为（2，0），继而求出B12的坐标即可.
13．（2021九上·通川期中）如图，在矩形AOBC中，OB＝8，OA＝6，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反比例函数 （k＞0）的图象与AC边交于点E，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的点D处，则k的值为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解： 矩形AOBC，OB＝8，OA＝6，
由对折可得：
过 作 于
所以
在 的图象上，
解得：
故答案为：
【分析】由矩形的性质可得AC=OB=8，AO=BC=6，∠C=∠OBC=90°，由折叠的性质可得EC=ED，FC=FD，∠C=∠FDE=90°，过E作EQ⊥OB于Q，由同角的余角相等可得∠FDB=∠DEQ，证明△EQD∽△DBF，设E（，6），F（8，），然后表示出CF、EC，根据相似三角形的性质可得BD，接下来在Rt△BFD中，应用勾股定理求解就可得到k的值.
三、解答题
14．（2022九上·安徽开学考）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作为的整数）．反比例函数的图象为曲线．
（1）若过点，求反比例函数的解析式；
（2）若过点，则它必定还过另一点，求的坐标；
（3）若曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，求出所有满足条件的整数．
【答案】（1）解：每个台阶的高和宽分别是1和2，
，，，，，，，，
过点，
，
反比例函数的解析式为
（2）解：过点，
，
反比例函数解析式为，
当时，，
在反比例函数图象上，
的坐标为
（3）解：若曲线过点，时，，
若曲线过点，时，，
若曲线过点，时，，
若曲线过点，时，，
曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，
，
所有满足条件的整数，，，，，，．
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】 (1)每个台阶的高和宽分别是1和2，根据T8 推出T1坐标，代入解析式即可； (2)反比例函数上的点横纵坐标乘积相同，据此可求；(3)内侧4个，外侧4个， k在曲线过点T2( 14，2)，T7( 4，7)时的k值和曲线过点T3( 12，3)，T6( 6，6)时k值之间。
15．（2022九上·岳阳楼月考）综合与探究
如图1，反比例函数的图象经过点A，点A的横坐标是－2，点A关于坐标原点O的对称点为点B，作直线．
（1）判断点B是否在反比例函数的图象上，并说明理由；
（2）如图1，过坐标原点O作直线交反比例函数的图象于点C和点D，点C的横坐标是4，顺次连接，，和．求证：四边形是矩形；
（3）已知点P在x轴的正半轴上运动，点Q在平面内运动，当以点O，B，P和Q为顶点的四边形为菱形时，请直接写出此时点P的坐标．
【答案】（1）解：结论：点B在反比例函数的图象上，
理由如下：∵反比例函数的图象经过点A，点A的横坐标是－2，
∴把代入中，得，
∴点A的坐标是，
∵点A关于坐标原点O的对称点为点B，
∴点B的坐标是，
把代入中，得，
∴点B在反比例函数的图象上；
（2）证明：在反比例函数中令x=4则y=-2，
∵过坐标原点O作直线交反比例函数的图象于点C和点D，
∴C，D关于原点对称，
∴C（4，-2），D（-4，2），OC=OD，
∵A，B关于原点对称，
∴OA=OB，
∴四边形ACBD是平行四边形，
∵CD=，AB=，
∴AB=CD，
∴四边形ACBD是矩形；
（3），和
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（3）设点P的坐标为（m，0），如图，
当四边形OBP1Q1是菱形时，可得OB=OP1，
∴，解得，
∴P1（4，0）；
当四边形OBQ2P2是菱形时，可得OB=OP2，
∴，
∴P2；
当四边形OP3BQ3是菱形时，可得BP3=OP3，
∴，
解得，
∴P3（5，0），
综上所述，满足条件的点P的坐标分别为（4，0），和（5，0）．
【分析】（1）利用点A在反比例函数图象上，将点A的横坐标代入函数解析式，可求出对应的y的值，可得到点A的坐标，利用关于原点对称点的坐标特点（横纵坐标都互为相反数），可得到点B的坐标，再将点B的横坐标代入函数解析式，求出对应的y的值，由此作出判断；
（2）将x=4代入反比例函数解析式求出对应的y的值，可得到点C的坐标，再利用点C，D关于原点对称，可得到点D的坐标，同时可证得OC=OD，OA=OB，利用对角线互相平方的四边形是平行四边形，可证得四边形ACBD是平行四边形；再利用勾股定理求出CD，AB的长，可证得CD=AB，利用对角线相等的平行四边形是矩形，可证得四边形ACBD是矩形；
（3）设点P的坐标为（m，0）分情况讨论：当四边形OBP1Q1是菱形时，OB=OP1，利用菱形的对角线互相垂直平分，可知此时对角线的中点坐标为（2，0），利用中点坐标可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到点P的坐标；当四边形OBQ2P2是菱形时，可知OB=OP2，利用勾股定理可求出OP2的长，由此可得点P的坐标；当四边形OP3BQ3是菱形时可知OP3=BP3，利用点的坐标的距离公式求出m的值，可得到点P的坐标.
16．（2022九上·济南期中）如图，在平面直角坐标系中，、是矩形的两个顶点，点D是线段上的一个动点(不与重合)，双曲线()经过点D，与矩形的边相交于点E．
（1）如图①，当点D为中点时，k的值为 ，点E的坐标为 ；
（2）如图②，当点D在线段上的任意位置时(不与重合)，连接，求证：；
（3）是否存在反比例函数上不同于点D的一点F，满足：为直角三角形，，且，若存在，请直接写出满足以上条件时点D的横坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）24；（8，3）
（2）证明：设点D的横坐标为m，
∴点D的坐标为，
∴，
∴反比例函数的解析式为：
点E的坐标为
∴，
∴，
∴，
即，
∴；
（3）存在，点的横坐标为或
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）∵是矩形的两个顶点，
∴，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∴，
∴
当时，，
∴，
故答案为：；
（3）①当点F在直线上方时，如图，过点D作轴于点G，过点F作于点M，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
设点D的横坐标为t，
则
∴，
∴，
∴，
解得：（负值舍去）；
②当点F在直线下方时，如图，过点D作轴于点G，过点F作于点N，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
设点D的横坐标为n，
则，
∴，
∴，
∴，
解得：（负值舍去）即此时点D的横坐标为，
综上所述，点D的横坐标为点D的横坐标为或．
【分析】（1）根据矩形的性质得出点A的坐标，再利用中点坐标公式得出点D的坐标，从而得出k的值，再将y=6代入即可；
（2）根据点D、E的坐标，得出AD、AE的长度，根据 ， 即可得出结论；
（3）根据题意，分两种情况讨论：①当点F在直线上方时，如图，过点D作轴于点G，过点F作于点M，②当点F在直线下方时，如图，过点D作轴于点G，过点F作于点N，分别设出点D的横坐标，表达出点F的坐标，进而得出方程，求解即可。
17．（2020九上·襄城月考）阅读理解：
材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”.
材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx +c= 0（a≠0）的两根分别为 ， ，则有 ， .
问题解决：
（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 ；
（2）若 ， 是关于x的方程ax2+bx +c= 0 （a，b，c均不为0）的两根， 是关于x的方程bx+c=0（b，c均不为0）的解.求证：x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
（3）若A（m，y1） ，B（m +
1，y2） ，C（m+3，y3）三个点均在反比例函数 的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值.
【答案】（1） ，2，3（答案不唯一）
（2）证明：∵ ， 是关于x的方程ax2+bx +c= 0 （a，b，c均不为0）的两根，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 是关于x的方程bx+c=0（b，c均不为0）的解，
∴ ，∴ ，
∴ = ，
∴x1 ，x2，x3可以构成“和谐三数组”
（3）解：∵A（m，y1） ，B（m + 1，y2） ，C（m+3，y3）三个点均在反比例函数 的图象上，
∴ ， ， ，
∵三点的纵坐标y1，y2，y3恰好构成“和谐三数组”，
∴ 或 或 ，
即 或 或 ，
解得：m=﹣4或﹣2或2.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）∵ ，
∴ ，2，3是“和谐三数组”；
故答案为： ，2，3（答案不唯一）；
【分析】（1）根据“和谐三数组”的定义可以先写出后2个数，取倒数求和后即可写出第一个数，进而可得答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系求出 ，然后再求出 ，只要满足 = 即可；
（3）先求出三点的纵坐标y1，y2，y3，然后由“和谐三数组”可得y1，y2，y3之间的关系，进而可得关于m的方程，解方程即得结果.
18．（2024九上·渠县期末）
（1）【感知】如图1，已知反比例函数上有两点，，轴交轴于点，轴交轴于点，则 ， ，与的位置关系为： ．
（2）【探究】我们对上述问题进行了思考，如图2，当，是双曲线同一支上任意两点，过、分别向轴、轴作垂线，交轴于点，交轴于点，连接、．
①试探究与面积的关系并说明理由；
②试探究与之间的位置关系并说明理由．
（3）【运用】我们对上述问题进行了实践，如图3，已知点，在反比例函数的图像上，且，则是反比例函数第三象限内图像上的一动点，过点作轴，过点作轴，垂足分别分为、，若四边形的面积为45，求点的坐标；
（4）【拓展】我们对上述问题进行了延伸，如图4，函数的图像与过原点的直线相交于，两点，点是此函数第二象限内图像上的动点（点在点的右侧），直线分别交于轴、轴于点、，连接分别交轴、轴于点、．若，求的值？
【答案】（1）16；16；平行
（2）解：①如图，连接、，
∵轴，轴，
∴，，
∴．
②过点作于，过点作于，则，
∵，
∴边上的高相等，即，
∴四边形是矩形，
∴．
（3）解：如图，连接，
设，
∵，，
∴，
∵点，在反比例函数的图像上，且，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
解得：，
∴，
∴．
（4）解：如图，作交于，
∵，，
∴，
∵是过原点的直线，点，在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数系数k的几何意义；矩形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：（1） 如图，延长，交延长线于，
∵轴，轴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，和都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴与的位置关系为：平行．
故答案为： 16，16，平行
【分析】（1）延长，交延长线于，进而根据点的坐标结合三角形的面积即可求出三角形的面积，再根据等腰直角三角形的性质结合平行线的判定即可求解；
（2）①连接、，根据反比例函数k的几何意义即可求解；
②过点作于，过点作于，则，根据三角形的面积结合矩形的判定与性质即可求解；
（3）连接，设，根据三角形的面积结合题意即可得到，再求出点A的坐标和AD，从而代入即可求出点B的坐标；
（4）作交于，根据平行线分线段成比例得到，进而根据反比例函数的图象得到，从而得到，再根据平行线分线段成比例即可求解。
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