【浙教版】2024-2025学年第一学期八年级数学期中模拟试卷（1）（含解析）

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2024-2025学年第一学期八年级数学期中模拟试卷（1）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列学校的校徽图案是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．已知三角形的三边长分别为3，5，x，则x不可能是（　　）
A．3 B．5 C．7 D．8
3．若m＞n，则下列结论错误的是（　　）
A．m+3＞n+3 B．﹣3m＞﹣3n C．5m＞5n D．
4．对于命题“如果a＜1，那么a2＜1”，能说明它是假命题的反例是（　　）
A．a＝﹣2 B．a＝2 C．a＝﹣ D．a＝0
5．在数轴上表示不等式﹣1≤x＜3，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．满足下列条件的△ABC中，不可以构成直角三角形的是（　　）
A．，， B．a2﹣b2＝c2 C． D．0.9，1.2，1.5
7．如图，将一张三角形纸片ABC的三角折叠，使点A落在△ABC的A′处折痕为DE，若∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA′＝γ，那么下列式子中正确的是（　　）
A．γ＝180°﹣α﹣β B．γ＝α+2β C．γ＝2α+β D．γ＝α+β
8．如图，AE是∠BAC的平分线，BD是中线，AE、BD相交于点E，EF⊥AB于F，若AB＝14，AC＝12，S△BDC＝20，则EF的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，四边形ABCD是正方形，直线a，b，c分别通过A、D、C三点，且a∥b∥c．若a与b之间的距离是5，b与c之间的距离是7，则正方形ABCD的面积是（　　）
A．70 B．74 C．144 D．148
10．如图，在等腰直角三角形ABC中，，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，以AB为一条直角边作△BAE≌△CBD，其中BE交CD于点F，交AC于点G，线段CF上有一动点P，PQ⊥AC于点Q，连接PG，则下列结论中：①CD⊥BE；②△AGE为等腰三角形；③BC+BD＝AC；④CG2+AG2＝CD2；⑤PG+PQ的最小值是；正确的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．“y的2倍与8的和不小于﹣3”用不等式表示为 　 　．
12．命题“两个锐角互余的三角形是直角三角形”中，题设：　 　，结论 　 　．
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，D是边AB的中点，连接CD，若△BCD的周长是18，则AB的长为 　 　．
14．若关于x的不等式组无解，则实数m的取值范围是 　 　．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D，E分别在AB，BC上，连结CD，DE，若BC＝BD，AC＝2，∠CDE＝45°，则BE的长为 　 　．
16．如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，△CDE沿CE折叠得到△CFE，且点B，F，E三点共线，连接DF，若，DE＝3，则AE＝　 　，DF＝　 　．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
（1）2x﹣11≥4（x﹣3）+3
（2）
18．解一元一次不等式组：，并写出它的所有正整数解．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，BC＝5．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出BC的垂直平分线，分别交AB，BC于点D，E．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）
（2）在（1）的条件下，连接CD，求△BCD的周长．
20．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC与DE相交于点O，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF．
（1）求证：AC∥DF；
（2）若∠B＝65°，∠F＝35°，求∠EOC的度数．
21．已知关于y的方程4y+2m+1＝2y+5的解是负数．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取最小整数时，解关于x的不等式：x﹣1
22．如图，△BCE，△ACD分别是以BE，AD为斜边的直角三角形，BE＝AD，△CDE是等边三角形．
（1）求证：BE⊥AC；
（2）若AD＝6，求BF的长．
23．某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球，已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元．
（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5460元，那么有哪几种购买方案？
24．已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点D是直线BC上的一动点（点D不与B，C重合），连接CE．
（1）在图1中，当点D在边BC上时，求证：BC＝CE+CD；
（2）在图2中，当点D在边BC的延长线上时，结论BC＝CE+CD是否还成立？若不成立，请猜想BC，CE，CD之间存在的数量关系，并说明理由；
（3）在图3中，当点D在边BC的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出BC，CE，CD之间存在的数量关系及直线CE与直线BC的位置关系．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列学校的校徽图案是轴对称图形的是（　　）
A．B． C． D．
【点拨】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解析】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．已知三角形的三边长分别为3，5，x，则x不可能是（　　）
A．3 B．5 C．7 D．8
【点拨】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，先求出x的取值范围，再根据取值范围选择．
【解析】解：∵3+5＝8，5﹣3＝2，
∴2＜x＜8．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟记三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．
3．若m＞n，则下列结论错误的是（　　）
A．m+3＞n+3 B．﹣3m＞﹣3n C．5m＞5n D．
【点拨】利用不等式的基本性质解答即可得出结论．
【解析】解：∵m＞n，
∴m+3＞n+3，
∴A选项的结论正确，不符合题意；
∵m＞n，
∴﹣3m＜﹣3n，
∴B选项的结论不正确，符合题意；
∵m＞n，
∴5m＞5n，
∴C选项的结论正确，不符合题意；
∵m＞n，
∴m﹣＞n﹣，
∴D选项的结论正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
4．对于命题“如果a＜1，那么a2＜1”，能说明它是假命题的反例是（　　）
A．a＝﹣2 B．a＝2 C．a＝﹣ D．a＝0
【点拨】满足条件，但不能得出结论的即为说明命题是假命题的反例．
【解析】解：当a＝﹣2时，满足条件a＜1，但不能得出a2＜1的结论，
∴能说明命题“如果a＜1，那么a2＜1”是假命题的反例是a＝﹣2，
故选：A．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握举反例说明假命题的方法．
5．在数轴上表示不等式﹣1≤x＜3，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【点拨】不等式﹣1≤x＜3在数轴上表示不等式x≥﹣1与x＜3两个不等式的公共部分．
【解析】解：∵﹣1≤x＜3，
∴在数轴上表示为：
故选：D．
【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”的法则是解答此题的关键．
6．满足下列条件的△ABC中，不可以构成直角三角形的是（　　）
A．，， B．a2﹣b2＝c2 C． D．0.9，1.2，1.5
【点拨】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理逐个判断即可．
【解析】解：A、∵（）2+（）2≠（）2，
∴以、、为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
B、∵a2﹣b2＝c2
∴b2+c2＝a2，
∴以a、b、c为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵∠A＝∠B＝C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵0.92+1.22＝1.52，
∴以0.9、1.2、1.3为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
7．如图，将一张三角形纸片ABC的三角折叠，使点A落在△ABC的A′处折痕为DE，若∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA′＝γ，那么下列式子中正确的是（　　）
A．γ＝180°﹣α﹣β B．γ＝α+2β C．γ＝2α+β D．γ＝α+β
【点拨】根据三角形的外角得：∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论．
【解析】解：如图，设AC交DA′于F．
由折叠得：∠A＝∠A'，
∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，
∵∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，
∴∠BDA'＝γ＝α+α+β＝2α+β，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键．
8．如图，AE是∠BAC的平分线，BD是中线，AE、BD相交于点E，EF⊥AB于F，若AB＝14，AC＝12，S△BDC＝20，则EF的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【点拨】根据题意先过点E作EG⊥AC，设EF＝EG＝x，根据S△BDC＝20，得出△ABE的面积+△ADE的面积＝20，即，进而求得x的值即可．
【解析】解：过点E作EG⊥AC，
∵AE是∠BAC的平分线，EF⊥AB于F，
∴EF＝EG，
设EF＝EG＝x，
∵BD是中线，S△BCD＝20，AC＝12，
∴，S△ABD＝S△BCD＝20，
∴S△ABE+S△ADE＝20，
∴，
∴，
解得：x＝2，
∴EF＝2．
故选：B．
【点睛】本题主要考查三角形的角平分线、中线以及三角形的面积的计算，解决问题的关键是根据△ABD的面积＝20，列出方程求解．解题时注意方程思想的运用．
9．如图，四边形ABCD是正方形，直线a，b，c分别通过A、D、C三点，且a∥b∥c．若a与b之间的距离是5，b与c之间的距离是7，则正方形ABCD的面积是（　　）
A．70 B．74 C．144 D．148
【点拨】过A作AM⊥直线b于M，过D作DN⊥直线c于N，求出∠AMD＝∠DNC＝90°，AD＝DC，∠1＝∠3，根据AAS推出△AMD≌△CND，根据全等得出AM＝CN，求出AM＝CN＝5，DN＝7，在Rt△DNC中，由勾股定理求出DC2即可．
【解析】解：如图：
过A作AM⊥直线b于M，过D作DN⊥直线c于N，
则∠AMD＝∠DNC＝90°，
∵直线b∥直线c，DN⊥直线c，
∴∠2+∠3＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠1+∠2＝90°，
∴∠1＝∠3，
在△AMD和△CND中
∴△AMD≌△CND（AAS），
∴AM＝CN，
∵a与b之间的距离是5，b与c之间的距离是7，
∴AM＝CN＝5，DN＝7，
在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC2＝DN2+CN2＝72+52＝74，
即正方形ABCD的面积为74，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，并进一步求出△AMD≌△CND，难度适中．
10．如图，在等腰直角三角形ABC中，，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，以AB为一条直角边作△BAE≌△CBD，其中BE交CD于点F，交AC于点G，线段CF上有一动点P，PQ⊥AC于点Q，连接PG，则下列结论中：①CD⊥BE；②△AGE为等腰三角形；③BC+BD＝AC；④CG2+AG2＝CD2；⑤PG+PQ的最小值是；正确的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【点拨】根据全等三角形的性质得到∠BCD＝∠ABE，∠BDC＝∠E，∠CBD＝∠BAE＝90°，BD＝AE，求得∠BFC＝90°，根据垂直的定义得到CD⊥BE；故①正确；根据角平分线的定义得到∠BCD＝∠ACD，根据全等三角形的性质得到∠CBF＝∠CGF，BC＝CG，根据等腰三角形的判定定理得到△AGE为等腰三角形；故②正确；等量代换得到BC+BD＝CG+AG＝AC，故③正确；CG2+AG2＝BC2+BD2＝CD2；故④正确；过B作BQ⊥AC于Q，交CD于P，则此时，PG+PQ的值最小，且最小值＝BQ，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解析】解：∵△BAE≌△CBD，∠ABC＝90°，
∴∠BCD＝∠ABE，∠BDC＝∠E，∠CBD＝∠BAE＝90°，BD＝AE，
∴∠ABE+∠CBE＝90°，
∴∠BCD+∠CBE＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∴CD⊥BE；故①正确；
∵CD平分∠ACB交AB于点D，
∴∠BCD＝∠ACD，
∵∠BFC＝∠GFC，CF＝CF，
∴△BCF≌△GCF（ASA），
∴∠CBF＝∠CGF，BC＝CG，
∵∠BGC＝∠AGE，
∴∠AGE＝∠AEB，
∴AG＝AE，
∴△AGE为等腰三角形；故②正确；
∴BD＝AG，
∴BC+BD＝CG+AG＝AC，故③正确；CG2+AG2＝BC2+BD2＝CD2；故④正确；
∵BC＝CG，CD垂直平分BG，
∴点B与点G关于CD对称，
过B作BQ⊥AC于Q，交CD于P，
则此时，PG+PQ的值最小，且最小值＝BQ，
∵，∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝45°，
∴BQ＝BC＝1，故⑤错误，
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路径问题，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．“y的2倍与8的和不小于﹣3”用不等式表示为 　2y+8≥﹣3　．
【点拨】根据“y的2倍与8的和不小于﹣3”，即可列出关于y的一元一次不等式，此题得解．
【解析】解：根据题意得：2y+8≥﹣3．
故答案为：2y+8≥﹣3．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
12．命题“两个锐角互余的三角形是直角三角形”中，题设：　一个三角形的两个锐角互余　，结论 　这个三角形是直角三角形　．
【点拨】根据命题的题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项解答即可．
【解析】解：命题“两个锐角互余的三角形是直角三角形”中，题设：一个三角形的两个锐角互余，结论：这个三角形是直角三角形，
故答案为：一个三角形的两个锐角互余，这个三角形是直角三角形．
【点睛】本题考查的是命题与定理，命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，D是边AB的中点，连接CD，若△BCD的周长是18，则AB的长为 　13　．
【点拨】先根据直角三角形斜边中线性质得AD＝CD＝BD，再根据△BCD的周长是18得BD＝6.5，由此可得AB的长．
【解析】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，
∴AD＝CD＝BD，
即AB＝2BD，
∵△BCD的周长是18，BC＝5，
∴CD+BD+BC＝18，
即2BD+5＝18，
∴BD＝6.5，
∴AB＝2BD＝13．
故答案为：13．
【点睛】此题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决问题的关键．
14．若关于x的不等式组无解，则实数m的取值范围是 　m≤﹣4　．
【点拨】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集得出关于m的不等式，解之即可．
【解析】解：由3x﹣1＜m得：x＜，
由x+1≥0得：x≥﹣1，
∵不等式组无解，
∴≤﹣1，
解得m≤﹣4，
故答案为：m≤﹣4．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D，E分别在AB，BC上，连结CD，DE，若BC＝BD，AC＝2，∠CDE＝45°，则BE的长为 　2﹣2　．
【点拨】先证△BDE和△ACD（ASA），得BE＝AD，再由勾股定理得AB＝2，则AD＝AB﹣BD＝2﹣2，即可得出答案．
【解析】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝45°，
∵∠BDC＝∠CDE+∠BDE＝∠A+∠ACD，∠CDE＝45°，
∴∠BDE＝∠ACD，
∵BC＝BD，
∴BD＝AC，
在△BDE和△ACD中，
，
∴△BDE和△ACD（ASA），
∴BE＝AD，
∵BC＝AC＝2，∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝2，
∵BD＝BC＝2，
∴AD＝AB﹣BD＝2﹣2，
∴BE＝2﹣2，
故答案为：2﹣2．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明△BDE和△ACD是解题的关键．
16．如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，△CDE沿CE折叠得到△CFE，且点B，F，E三点共线，连接DF，若，DE＝3，则AE＝　　，DF＝　　．
【点拨】设CE交DF于H，AD＝BC＝x，AB＝CD＝y，在Rt△BFC中，（）2+y2＝x2①，在Rt△ABE中，y2+（x﹣3）2＝（）2②，①﹣②得：﹣（x﹣3）2＝x2﹣，可解得AD＝，CD＝y＝4，故AE＝AD﹣DE＝﹣3＝；CE＝＝5，根据面积法有DH＝＝＝＝FH，故DF＝DH+FH＝．
【解析】解：设CE交DF于H，如图：
设AD＝BC＝x，AB＝CD＝y，
∵△CDE沿CE折叠得到△CFE，
∴CF＝CD＝y，∠EDC＝∠EFC＝90°＝∠BFC，EF＝DE＝3，
∵，
∴BF＝BE﹣EF＝﹣3＝，
在Rt△BFC中，BF2+CF2＝BC2，
∴（）2+y2＝x2①，
在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，
∴y2+（x﹣3）2＝（）2②，
①﹣②得：﹣（x﹣3）2＝x2﹣，
解得x＝或x＝﹣（舍去），
∴AD＝，CD＝y＝＝4，
∴AE＝AD﹣DE＝﹣3＝；CE＝＝＝5，
∵△CDE沿CE折叠得到△CFE，
∴DF⊥CE，DH＝FH，
∴2S△DCE＝DE CD＝CE DH，
∴DH＝＝＝＝FH，
∴DF＝DH+FH＝；
故答案为：，．
【点睛】本题考查矩形中的翻折问题，涉及勾股定理及应用，矩形性质及应用，解题的关键是掌握翻折前后的对应线段相等，对应角相等．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
（1）2x﹣11≥4（x﹣3）+3
（2）
【点拨】根据解一元一次不等式的步骤，分别对所给不等式进行求解即可．
【解析】解：（1）2x﹣11≥4（x﹣3）+3，
2x﹣11≥4x﹣12+3，
2x﹣4x≥﹣12+3+11，
﹣2x≥2，
x≤﹣1．
数轴如下：
（2），
2（2x﹣1）＜3（3x﹣2）﹣6，
4x﹣2＜9x﹣6﹣6，
4x﹣9x＜﹣6﹣6+2，
﹣5x＜﹣10，
x＞2．
数轴如下：
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式的步骤及数轴上的点所表示数的特征是解题的关键．
18．解一元一次不等式组：，并写出它的所有正整数解．
【点拨】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解析】解：解不等式x+3（x﹣2）≤6，得：x≤3，
解不等式x﹣1＜，得：x＜4，
则不等式组的解集为x≤3．
所有正整数解有：1、2、3．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，BC＝5．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出BC的垂直平分线，分别交AB，BC于点D，E．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）
（2）在（1）的条件下，连接CD，求△BCD的周长．
【点拨】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可．
（2）根据已知条件以及线段垂直平分线的性质可得DE为△ABC的中位线，进而可得BD＝CD＝4，则△BCD的周长为BC+BD+CD＝5+4+4＝13．
【解析】解：（1）如图，直线DE即为所求．
（2）∵直线DE为线段BC的垂直平分线，
∴∠DEB＝90°，点E为BC的中点，CD＝BD．
∵∠ACB＝90°，
∴DE∥AC，
∴DE为△ABC的中位线，
∴点D为线段AB的中点，
∴BD＝CD＝4，
∴△BCD的周长为BC+BD+CD＝5+4+4＝13．
【点睛】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、中位线定理，掌握线段垂直平分线的性质、中位线定理是解答本题的关键．
20．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC与DE相交于点O，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF．
（1）求证：AC∥DF；
（2）若∠B＝65°，∠F＝35°，求∠EOC的度数．
【点拨】（1）由AB∥DE得∠B＝∠DEF，根据BE＝CF得BC＝EF，可证明△CAE≌△DAE（SAS），根据全等三角形的性质和平行线的性质即可证得结论；
（2）由全等三角形的性质得到∠DEF＝65°，∠ACB＝35°，根据三角形内角和定理即可求出∠EOC．
【解析】证明：（1）∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠ACB＝∠F，
∴AC∥DF；
（2）解：由（1）得∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F，
∴∠DEF＝∠B＝65°，∠ACB＝∠F＝35°，
在△EOC中，∠DEF+∠ACB+∠EOC＝180°，
∴∠EOC＝180°﹣∠DEF﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣35°＝80°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，根据判定三角形全等的方法证得△ABC≌△DEF是解决问题的关键．
21．已知关于y的方程4y+2m+1＝2y+5的解是负数．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取最小整数时，解关于x的不等式：x﹣1
【点拨】（1）首先要解这个关于x的方程，然后根据解是负数，就可以得到一个关于m的不等式，最后求出m的范围．
（2）根据题意得出m＝3，代入后解不等式即可求得x的解集．
【解析】解：（1）4y+2m+1＝2y+5
解得y＝2﹣m，
根据题意得，2﹣m＜0，
∴m＞2，
（2）∵m是最小整数
∴m＝3，
当m＝3时，则x﹣1
解得：x＜﹣3．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式和一元一次方程的能力，（1）是一个方程与不等式的综合题目．解关于x的不等式是本题的一个难点．（2）需注意，在不等式两边都除以一个负数时，应改变不等号的方向．
22．如图，△BCE，△ACD分别是以BE，AD为斜边的直角三角形，BE＝AD，△CDE是等边三角形．
（1）求证：BE⊥AC；
（2）若AD＝6，求BF的长．
【点拨】（1）证明Rt△BCE≌Rt△ACD．可得出∠FEC＝∠D＝60°，证出∠CFE＝90°，则结论得证；
（2）求出EF长，则BF＝BE﹣EF可求出．
【解析】（1）证明：∵△CDE是等边三角形，
∴EC＝CD，
∵BE、AD都是斜边，
∴∠BCE＝∠ACD＝90°，
在Rt△BCE和Rt△ACD中，
，
∴Rt△BCE≌Rt△ACD（HL）．
∴∠FEC＝∠D＝60°，
∵∠ACD＝90°，且∠ECD＝60°，
∴∠ACE＝30°，
∴∠CFE＝90°，
即BE⊥AC；
（2）解：∵AD＝6，
∴BE＝6，CE＝3，
∵∠ACE＝30°，
∴EF＝，
∴＝．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
23．某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球，已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元．
（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5460元，那么有哪几种购买方案？
【点拨】（1）根据购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据要求篮球不少于30个，且总费用不超过5460元，可以列出相应的不等式组，从而可以求得篮球数量的取值范围，然后即可写出相应的购买方案．
【解析】解：（1）设篮球的单价为a元，足球的单价为b元，
由题意可得：，
解得，
答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元；
（2）设采购篮球x个，则采购足球为（50﹣x）个，
∵要求篮球不少于30个，且总费用不超过5460元，
∴，
解得30≤x≤32，
∵x为整数，
∴x的值可为30，31，32，
∴共有三种购买方案，
方案一：采购篮球30个，采购足球20个；
方案二：采购篮球31个，采购足球19个；
方案三：采购篮球32个，采购足球18个．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组．
24．已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点D是直线BC上的一动点（点D不与B，C重合），连接CE．
（1）在图1中，当点D在边BC上时，求证：BC＝CE+CD；
（2）在图2中，当点D在边BC的延长线上时，结论BC＝CE+CD是否还成立？若不成立，请猜想BC，CE，CD之间存在的数量关系，并说明理由；
（3）在图3中，当点D在边BC的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出BC，CE，CD之间存在的数量关系及直线CE与直线BC的位置关系．
【点拨】（1）证明△ABD≌△ACE（SAS），可得BD＝CE，即可推出BC＝BD+CD＝EC+CD；
（2）证△BAD≌△CAE（SAS），利用全等三角形的性质即可证明；
（3）同（1）得△ABD≌△ACE（SAS），则BD＝CE，∠ABD＝∠ACE＝135°，得BC＝CD﹣BD＝CD﹣CE，再证∠BCE＝90°即可．
【解析】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，
∴BC＝BD+CD＝CE+CD；
（2）解：结论BC＝CE+CD不成立，猜想BC＝CE﹣CD，理由如下：
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，
∴BC＝BD﹣CD＝CE﹣CD；
（3）解：BC＝CD﹣CE，CE⊥BC，理由如下：
如图3所示：
同（1）得：△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∴BC＝CD﹣BD＝CD﹣CE，
∵∠ABD＝135°，
∴∠ACE＝135°，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝45°，
∴∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝135°﹣45°＝90°，
∴CE⊥BC．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
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