【浙教版】2024-2025学年第一学期八年级数学期中模拟试卷（2）（含解析）

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2024-2025学年第一学期八年级数学期中模拟试卷（2）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．杭州第19届亚运会，中国代表团以201枚金牌、111枚银牌、71枚铜牌，总计383枚奖牌的成绩锁定奖牌榜第一的位置．用数学的眼光观察下列关于体育的图标，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列式子中，是不等式的有（　　）
①x＝1；②3x+4y＞0；③﹣2＜0；④2x﹣3≥0；⑤y＞1；⑥m+n．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．如果x＜y，那么下列不等式正确的是（　　）
A．x﹣1＞y﹣1 B．x+1＞y+1 C．2x＞2y D．﹣2x＞﹣2y
4．如图，AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，添加以下的哪个条件仍无法判定△ABE≌△ACD的是（　　）
A．AD＝AE B．∠B＝∠C C．CD＝BE D．∠ADC＝∠AEB
5．对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”能说明它是假命题的反例是（　　）
A．∠1＝∠2＝45° B．∠1＝40°，∠2＝50°
C．∠1＝50°，∠2＝50° D．∠1＝40°，∠2＝40°
6．在△ABC中，已知D为直线BC上一点，若∠ABC＝α，∠BAD＝β，且AB＝AC＝CD，则β与α之间不可能存在的关系式是（　　）
A．β＝90°﹣α B．β＝180°﹣α C．β＝ D．β＝120°﹣α
7．若直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，则斜边上的中线长是（　　）
A．6 B．6.5 C．13 D．不能确定
8．小明准备用零花钱购买一个学生VR眼镜，他已经存有60元，从现在起计划每月平均存25元．他想购买的这款眼镜至少需要480元，如果存钱x个月，下列符合题意的不等式为（　　）
A．25x+60≥480 B．25x﹣60≥480 C．25x+60≤480 D．25x﹣60≤480
9．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，下列说法中错误的是（　　）
A．如果∠C﹣∠B＝∠A，那么△ABC是直角三角形，且∠C＝90°
B．如果c2＝b2﹣a2，那么△ABC是直角三角形，且∠C＝90°
C．如果（c+a）（c﹣a）＝b2，那么△ABC是直角三角形，且∠C＝90°
D．如果∠A：∠B：∠C＝3：2：5，那么△ABC是直角三角形，且∠C＝90°
10．如图，在等边△ABC的AC，BC边上各取一点P，Q，使AP＝CQ，AQ，BP相交于O，若OB＝1，则B点到AQ的距离等于（　　）
A．0.5 B．1 C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．用不等式表示“m的3倍与7的差小于11”为 　 　．
12．命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是 　 　，它是 　 　（填真/假）命题．
13．如图，在△ABC中，BC＝8，AB垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为17，则AC为 　 　．
14．若一个直角三角形两边的长分别为6和8，则第三边的长为　 　．
15．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：△ABD、△ACE、△BCF，若图中阴影部分的面积S1＝6.5，S2＝3.5，S3＝5.5，则S4＝　 　．
16．已知：如图，△ABC是等边三角形，延长AC到E，C为线段AE上的一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下四个结论：①AD＝BE；②AP＝BO；③PQ∥AE；④∠AOB＝60°；结论正确的有 　 　．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．解不等式（组）：
（1）5x﹣3＜1﹣3x； （2）．
18．作图并计算：如图，点O在直线AC上．
（1）画出∠COB的平分线OD（不必写作法）；
（2）在（1）的前提下，若∠AOB＝120°，求∠AOD的度数．
19．已知：A，E，F，B在同一条直线上，CE⊥AB，DF⊥AB，∠A＝∠B，CE＝DF．
（1）求证：AE＝BF．
（2）若CO＝1，求DO的长．
20．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，BC⊥AC于C，DE⊥AB于E，F在AC，BD＝DF．求证：
（1）CF＝EB；
（2）如果AB＝8，AC＝6，DE＝2，求△ABC的面积．
21．如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“梦想三角形”．
（1）如图，在△ABC中，AB＝AC＝，BC＝2．求证：△ABC是“梦想三角形”．
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6．若△ABC是“梦想三角形”，求BC的长．
22．学校近期举办了一年一度的经典诵读比赛，某班级因节目需要，须购买A，B两种道具．已知购买1件B道具比购买1件A道具多10元，购买2件A道具和3件B道具共需要45元．
（1）购买一件A道具和一件B道具各需要多少元？
（2）根据班级情况，需要这两种道具共60件，且购买两种道具的总费用不超过620元，问最多购买B道具多少件？
23．已知AB＝AC，D、A、E三点均在直线MN上，且∠BDA＝∠BAC＝∠AEC．
（1）如图①，若∠BAC＝90°，BD＝3，CE＝2，则线段DE的长为 　 　；
（2）如图②，判断BD、CE、DE之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，若将题中的“∠BDA＝∠BAC＝∠AEC”变为“∠BDM＝∠BAC＝∠MEC”，其他条件不变，且BD＝5，CE＝8，请直接写出DE的长．
24．如果一个不等式（组）的解集中包含一个方程（组）的解，那么就称这个不等式（组）的解集为这个方程（组）的“船山范围”，例如：不等式x﹣1＞0的解集是x＞1，它包含了方程2x﹣1＝3的解，因此x＞1是2x﹣1＝3的“船山范围”．
（1）下列不等式 　 　（填序号）的解集是方程3x﹣2＝4的“船山范围”：
①2x﹣3＞0；②x+1＜﹣3；③．
（2）若不等式组的解集是方程的“船山范围”，且方程的解为整数，求a的值．
（3）已知是方程2x+y＝3的解，不等式组的解集是方程2x+y＝3的“船山范围”，求m﹣n的最小值．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．杭州第19届亚运会，中国代表团以201枚金牌、111枚银牌、71枚铜牌，总计383枚奖牌的成绩锁定奖牌榜第一的位置．用数学的眼光观察下列关于体育的图标，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据轴对称图形的定义，逐个进行判断即可．
【解析】解：B、C、D选项中的图形均不能找到一条直线，使图形沿着该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，故B、C、D选项中的图形不是轴对称图形，不符合题意；
A选项中的图形能找到一条直线，使图形沿着该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，故A是轴对称图形，符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查了轴对称图形的识别，熟知轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是解题的关键．
2．下列式子中，是不等式的有（　　）
①x＝1；②3x+4y＞0；③﹣2＜0；④2x﹣3≥0；⑤y＞1；⑥m+n．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【点拨】根据不等式的定义对各式子进行解答即可．
【解析】解：①x＝1，不含有不等号，不是不等式，不符合题意；
②3x+4y＞0，是不等式，符合题意；
③﹣2＜0，是不等式，符合题意；
④2x﹣3≥0，是不等式，符合题意；
⑤y＞1，是不等式，符合题意；
⑥m+n不含有不等号，不是不等式，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是不等式的定义，熟知凡是用不等号连接的式子都叫做不等式是解题的关键．
3．如果x＜y，那么下列不等式正确的是（　　）
A．x﹣1＞y﹣1 B．x+1＞y+1 C．2x＞2y D．﹣2x＞﹣2y
【点拨】根据不等式的性质进行分析判断．
【解析】解：A、在不等式x＜y的两边同时减去1，不等号的方向不变，即x﹣1＜y﹣1，不符合题意；
B、在不等式x＜y的两边同时加上1，不等号的方向不变，即x+1＜y+1，不符合题意；
C、在不等式x＜y的两边同时乘2，不等号法方向不改变，即2x＜2y，不符合题意；
D、在不等式x＜y的两边同时乘﹣2，不等号的方向改变，即﹣2x＞﹣2y，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质．不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．据此逐一判断即可．
4．如图，AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，添加以下的哪个条件仍无法判定△ABE≌△ACD的是（　　）
A．AD＝AE B．∠B＝∠C C．CD＝BE D．∠ADC＝∠AEB
【点拨】求出∠DAC＝∠EAB，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解析】解：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，
即∠DAC＝∠EAB，
A．AD＝AE，∠DAC＝∠EAB，AB＝AC，符合全等三角形的判定定理SAS，能证明△ABE≌△ACD，故本选项不符合题意；
B．∠DAC＝∠EAB，AB＝AC，∠B＝∠C，符合全等三角形的判定定理ASA，能证明△ABE≌△ACD，故本选项不符合题意；
C．CD＝BE，AB＝AC，∠DAC＝∠EAB，不符合全等三角形的判定定理，不能证明△ABE≌△ACD，故本选项符合题意；
D．∠ADC＝∠AEB，∠DAC＝∠EAB，AB＝AC，符合全等三角形的判定定理AAS，能证明△ABE≌△ACD，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等的还有HL．
5．对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”能说明它是假命题的反例是（　　）
A．∠1＝∠2＝45° B．∠1＝40°，∠2＝50°
C．∠1＝50°，∠2＝50° D．∠1＝40°，∠2＝40°
【点拨】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子，逐项判断即可．
【解析】解：A、∠1＝∠2＝45°满足∠1+∠2＝90°，但不满足∠1≠∠2，满足题意；
B、∠1＝40°，∠2＝50°满足命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”，不符合题意；
C、∠1＝50°，∠2＝50°不满足命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”，不符合题意；
D、∠1＝40°，∠2＝40°不满足命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”，不符合题意；
故选：A．
【点睛】考查了命题与定理的知识，理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键．
6．在△ABC中，已知D为直线BC上一点，若∠ABC＝α，∠BAD＝β，且AB＝AC＝CD，则β与α之间不可能存在的关系式是（　　）
A．β＝90°﹣α B．β＝180°﹣α C．β＝ D．β＝120°﹣α
【点拨】分点D在线段BC上，在BC延长线上，在CB延长线上讨论，根据外角和等于不相邻的两个内角和及三角形内角和定理可求β与α的等量关系式．
【解析】解：当点D在线段BC上，
∵∠ABC＝α，CA＝AB，
∴∠C＝∠ABC＝α，
∵CD＝CA，
∴∠ADC＝∠CAD＝＝90°﹣α，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴90°﹣α＝α+β，
即β＝90°﹣α；
当点D在线段BC的延长线上，
同理可得：β＝180°﹣α；
当点D在线段CB的延长线上，
同理可得：β＝α﹣90°．
故选：D．
【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质以及三角形外角的性质．注意分类思想的应用是解此题的关键．
7．若直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，则斜边上的中线长是（　　）
A．6 B．6.5 C．13 D．不能确定
【点拨】根据勾股定理可求得直角三角形斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
【解析】解：∵直角三角形两直角边长为5和12，
∴斜边＝＝13，
∴此直角三角形斜边上的中线的长＝＝6.5．
故选：B．
【点睛】此题主要考查勾股定理及直角三角形斜边上的中线的性质；熟练掌握勾股定理，熟记直角三角形斜边上的中线的性质是解决问题的关键．
8．小明准备用零花钱购买一个学生VR眼镜，他已经存有60元，从现在起计划每月平均存25元．他想购买的这款眼镜至少需要480元，如果存钱x个月，下列符合题意的不等式为（　　）
A．25x+60≥480 B．25x﹣60≥480 C．25x+60≤480 D．25x﹣60≤480
【点拨】根据每月存25元，则x个月存25x元，与已存的60元之和大于等于480元即可．
【解析】解：由题意知，已存的60元与x个月存的钱之和大于等于480元，
因此25x+60≥480，
故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意是关键．
9．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，下列说法中错误的是（　　）
A．如果∠C﹣∠B＝∠A，那么△ABC是直角三角形，且∠C＝90°
B．如果c2＝b2﹣a2，那么△ABC是直角三角形，且∠C＝90°
C．如果（c+a）（c﹣a）＝b2，那么△ABC是直角三角形，且∠C＝90°
D．如果∠A：∠B：∠C＝3：2：5，那么△ABC是直角三角形，且∠C＝90°
【点拨】根据勾股定理的逆定理以及直角三角形的各种判定方法逐项分析即可．
【解析】解：
A、因为∠C﹣∠B＝∠A，∠C+∠B+∠A＝180°，所以2∠C＝180°，即∠C＝90°，故选项正确；
B、因为c2＝a2﹣b2，所以如果a2＝b2+c2，则△ABC是直角三角形，且∠A＝90，不是∠C＝90°，故该选项错误；
C、因为（c+a）（c﹣a）＝b2，所以C2＝a2+b2，则△ABC是直角三角形，且∠C＝90°，故选项正确；
D、因为∠A：∠B：∠C＝3：2：5，所以∠A＝54°，∠B＝36°，∠C＝90°，则△ABC是直角三角形，且∠C＝90°，故选项正确；
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，解题的关键是熟记直角三角形的各种判定方法，并能够灵活运用．
10．如图，在等边△ABC的AC，BC边上各取一点P，Q，使AP＝CQ，AQ，BP相交于O，若OB＝1，则B点到AQ的距离等于（　　）
A．0.5 B．1 C． D．
【点拨】过点B作BD⊥AQ于D，证明△ABP和△CAQ全等得∠ABP＝∠CAQ，则∠BOD＝∠ABP+∠OAB＝60°，然后在Rt△OBD中利用直角三角形的性质求ucBD的长即可．
【解析】解：过点B作BD⊥AQ于D，如图所示：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝CA，∠BAC＝∠ABC＝∠C＝60°，
在△ABP和△CAQ中，
，
∴△ABP≌△CAQ（SAS），
∴∠ABP＝∠CAQ，
∴∠ABP+∠OAB＝∠CAQ+∠OAB＝∠BAC＝60°，
∵∠BOD为△OAB的一个外角，
∴∠BOD＝∠ABP+∠OAB＝60°，
∵BD⊥AQ，
∴∠BDO＝90°，
在Rt△OBD中，∠BOD＝60°，OB＝1，
∴∠OBD＝30°，
∴OD＝OB＝，
由勾股定理得：BD＝．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，理解等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．用不等式表示“m的3倍与7的差小于11”为 　3m﹣7＜11　．
【点拨】由m的3倍与7的差得3m﹣7，进而可得不等式3m﹣7＜11．
【解析】解：根据题意得：3m﹣7＜11．
故答案为：3m﹣7＜11．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式．用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系．
12．命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是 　如果三角形有两个角互余，则三角形为直角三角形　，它是 　真　（填真/假）命题．
【点拨】根据给出的命题将其结论与条件互换即得到其逆命题，然后分析其真假即可．
【解析】解：逆命题为：如果三角形有两个角互余，则三角形为直角三角形．
因为符合三角形内角和定理，故是真命题．
故答案为：如果三角形有两个角互余，则三角形为直角三角形；真．
【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
13．如图，在△ABC中，BC＝8，AB垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为17，则AC为 　9　．
【点拨】根据线段垂直平分线的性质得到NA＝NB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解析】解：∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴NA＝NB，
∵△BCN的周长为17，
∴BC+CN+BN＝17，
∴BC+CN+AN＝BC+AC＝17，
∴AC＝17﹣BC＝17﹣8＝9，
故答案为：9．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
14．若一个直角三角形两边的长分别为6和8，则第三边的长为　10或2　．
【点拨】由于直角三角形的斜边不能确定，故分b是斜边与直角边两种情况进行解答．
【解析】解：分情况讨论：
①当6和8为两条直角边时，由勾股定理得第三边长为：＝10；
②当8为斜边，6为直角边时，由勾股定理地第三边长为：＝2；
故答案为：10或2．
【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
15．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：△ABD、△ACE、△BCF，若图中阴影部分的面积S1＝6.5，S2＝3.5，S3＝5.5，则S4＝　2.5　．
【点拨】设AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，S△ABG＝m，S△ACH＝n，由a2+b2＝c2，可得S△ABD+S△ACE＝S△BCF，由此构建关系式，可得结论．
【解析】解：∵△ABD、△ACE、△BCF均是等腰直角三角形，
∴AB＝BD，AC＝CE，BC＝CF，
设AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，S△ABG＝m，S△ACH＝n，
∵a2+b2＝c2，
∴S△ABD+S△ACE＝S△BCF，
∴S1+m+n+S4＝S2+S3+m+n，
∴S4＝3.5+5.5﹣6.5＝2.5
故答案为：2.5．
【点睛】本题考查了勾股定理在几何计算中的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
16．已知：如图，△ABC是等边三角形，延长AC到E，C为线段AE上的一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下四个结论：①AD＝BE；②AP＝BO；③PQ∥AE；④∠AOB＝60°；结论正确的有 　①③④　．
【点拨】根据等边三角形的三边都相等，三个角都是60°，可以证明△△ACD≌△BCE，根据全等三角形对应边相等可得AD＝BE，所以①正确；
由△ACD≌△BCE得∠CAD＝∠CBE，加上∠BCA＝∠DCE＝60°，AC＝BC，得到△ACP≌△BCQ（ASA），所以AP＝BO，故②正确；
根据△ACP≌△BCQ，再根据PC＝QC，推出△PCQ是等边三角形，又由∠ACB＝∠CPQ，根据内错角相等，两直线平行，故③正确；
根据△ACD≌△BCE，得出∠DAC＝∠EBC，根据∠BPO＝∠APC，∠AOB+∠CBE+∠BPO＝∠APC+∠CAD+∠ACB，得出∠AOB＝∠ACB＝60°，故④正确．
【解析】解：①∵正三角形ABC和正三角形CDE，
∴BC＝AC，DE＝DC＝CE，∠DEC＝∠BCA＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；故①正确．
②∵△ACD≌△BCE（已证），
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠BCA＝∠DCE＝60°（已证），
∴∠BCQ＝180°﹣60°×2＝60°，
∴∠ACB＝∠BCQ＝60°，
在△ACP和△BCQ中，
，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴AP＝BQ，故②错误；
③∵△ACP≌△BCQ（已证），
∴PC＝QC，
∵∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝60°，
∴△PCQ是等边三角形．
∴∠CPQ＝60°，
∴∠ACB＝∠CPQ，
∴PQ∥AE，故③正确；
④∵△ACD≌△BCE，
∴∠DAC＝∠EBC，
∵∠BPO＝∠APC，∠AOB+∠CBE+∠BPO＝∠APC+∠CAD+∠ACB，
∴∠AOB＝∠ACB＝60°，故④正确；
综上分析可知，正确的有①③④．
故答案为：①③④．
【点睛】本题主要考查了三角形的证明，解题的关键是熟知全等三角形的判定、等边三角形的性质、角平分线的性质以及平行线的判定．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．解不等式（组）：
（1）5x﹣3＜1﹣3x；
（2）．
【点拨】（1）先去分母，再去括号，接着移项、合并同类项，然后把x的系数化为1得到不等式的解集即可；
（2）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集．
【解析】解：（1）5x﹣3＜1﹣3x，
移项得5x+3x＜1+3，
合并得8x＜4，
系数化为1得x＜；
（2），
解①得x，
解②得x≤3，
所以不等式组的解集为x≤．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．也考查了解一元一次不等式．
18．作图并计算：如图，点O在直线AC上．
（1）画出∠COB的平分线OD（不必写作法）；
（2）在（1）的前提下，若∠AOB＝120°，求∠AOD的度数．
【点拨】（1）根据角平分线的尺规作图求解即可；
（2）由∠AOB＝120°知∠COB＝180°﹣120°＝60°，继而得∠DOB＝∠COB＝30°，从而得出答案．
【解析】解：（1）如图，OD即为平分线：
（2）∵∠AOB＝120°，
∴∠COB＝180°﹣120°＝60°，
∴∠DOB＝∠COB＝30°，
∴∠AOD＝120°+30°＝150°．
【点睛】本题主要考查作图—基本作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线的定义．
19．已知：A，E，F，B在同一条直线上，CE⊥AB，DF⊥AB，∠A＝∠B，CE＝DF．
（1）求证：AE＝BF．
（2）若CO＝1，求DO的长．
【点拨】（1）由“AAS”可证△DFA≌△CEB，可得AF＝BE，从而得出结论；
（2）由全等三角形的性质可得AD＝BC，可证CO＝DO＝1．
【解析】（1）证明：∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠CEB＝∠DFA＝90°，
在△DFA和△CEB中，
，
∴△DFA≌△CEB（AAS），
∴AF＝BE，
∴AF﹣EF＝BE﹣EF，
∴AE＝BF；
（2）解：∵△DFA≌△CEB，
∴AD＝BC，
∵∠A＝∠B，
∴AO＝BO，
∴AD﹣AO＝BC﹣BO，
∴DO＝CO，
∵CO＝1，
∴CO＝DO＝1．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
20．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，BC⊥AC于C，DE⊥AB于E，F在AC，BD＝DF．求证：
（1）CF＝EB；
（2）如果AB＝8，AC＝6，DE＝2，求△ABC的面积．
【点拨】（1）根据角平分线的性质可得DC＝DE，再运用HL证明△DCF≌△DEB，最后根据全等三角形的性质即可证明结论；
（2）由DE＝DC可得DC＝2，然后分别求得S△ADC、S△ABD，然后再根据S△ABC＝S△ADC+S△ABD求解即可．
【解析】（1）证明：∵AD平分∠BAC，BC⊥AC，DE⊥AB，
∴∠DCA＝∠BED＝90°、DC＝DE，
在Rt△DCF和Rt△DEB中．
，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL），
∴CF＝BE；
（2）解：方法一：∵DE＝DC，DE＝2，
∴DC＝2，
∵AB＝8、AC＝6，
∴S△ADC＝6×2÷2＝6，S△ABD＝8×2÷2＝8，
∵S△ABC＝S△ADC+S△ABD，
∴S△ABC＝8+6＝14．
方法二，∵∠C＝90°，AB＝8，AC＝6，
∴BC＝＝2，
∴△ABC的面积＝＝＝6．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
21．如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“梦想三角形”．
（1）如图，在△ABC中，AB＝AC＝，BC＝2．求证：△ABC是“梦想三角形”．
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6．若△ABC是“梦想三角形”，求BC的长．
【点拨】（1）过点A作AD⊥BC于D，根据等腰三角形三线合一的性质得出BD＝BC＝1，再根据勾股定理求出AD的长即可得出结论；
（2）分当AC边上的中线BD等于AC时，当BC边上的中线AE等于BC时两种情况分别求解即可．
【解析】（1）证明：过点A作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝BC＝1，
由勾股定理得，AD＝＝2，
∴AD＝BC，
即△ABC是“梦想三角形”；
（2）解：当AC边上的中线BD等于AC时，如图，
BC＝＝＝3，
当BC边上的中线AE等于BC时，
AC2＝AE2﹣CE2，
即BC2﹣（BC）2＝62，
解得，BC＝＝4，
综上所述，BC＝3或BC＝4．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟记勾股定理，等腰三角形的性质是解题的关键．
22．学校近期举办了一年一度的经典诵读比赛，某班级因节目需要，须购买A，B两种道具．已知购买1件B道具比购买1件A道具多10元，购买2件A道具和3件B道具共需要45元．
（1）购买一件A道具和一件B道具各需要多少元？
（2）根据班级情况，需要这两种道具共60件，且购买两种道具的总费用不超过620元，问最多购买B道具多少件？
【点拨】（1）设购买一件A道具需要x元，购买一件B道具需要y元，根据“购买1件B道具比购买1件A道具多10元，购买2件A道具和3件B道具共需要45元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m件B道具，则购买（60﹣m）件A道具，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过620元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【解析】解：（1）设购买一件A道具需要x元，购买一件B道具需要y元，
根据题意得：，
解得：．
答：购买一件A道具需要3元，购买一件B道具需要13元；
（2）设购买m件B道具，则购买（60﹣m）件A道具，
根据题意得：3（60﹣m）+13m≤620，
解得：m≤44，
∴m的最大值为44．
答：最多购买B道具44件．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23．已知AB＝AC，D、A、E三点均在直线MN上，且∠BDA＝∠BAC＝∠AEC．
（1）如图①，若∠BAC＝90°，BD＝3，CE＝2，则线段DE的长为 　5　；
（2）如图②，判断BD、CE、DE之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，若将题中的“∠BDA＝∠BAC＝∠AEC”变为“∠BDM＝∠BAC＝∠MEC”，其他条件不变，且BD＝5，CE＝8，请直接写出DE的长．
【点拨】（1）利用平角的定义和三角形内角和定理得∠BAD＝∠C，再利用AAS证明△ABD≌△CAE，得BD＝AE，CE＝AD，据此即可求解；
（2）利用平角的定义和三角形内角和定理得∠CAE＝∠ABD，再利用AAS证明△ABD≌△CAE，得BD＝AE，CE＝AD，可得答案；
（3）利用邻补角的定义得∠BDA＝∠AEC，再利用三角形的外角性质可得到∠C＝∠BAD，再利用AAS证明△ABD≌△CAE，得BD＝AE，CE＝AD，可得DE＝CE﹣BD．
【解析】解：（1）∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠CAE＝∠C，
又∵BA＝AC，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD＝AE＝3，CE＝AD＝2，
∴DE＝AD+AE＝2+3＝5，
故答案为：5；
（2）DE＝BD+CE，理由如下：
∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∠BAD+∠CAE+∠BAC＝180°＝∠BAD+∠BDA+∠ABD，
∴∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠ABD，
∴∠CAE＝∠ABD，
又∵∠BDA＝∠AEC，BA＝AC，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD＝AE，CE＝AD，
∴DE＝BD+CE；
（3）∵∠BDM＝∠BAC＝∠MEC，
∴∠BDA＝∠AEC，∠C＝∠MEC﹣∠EAC＝∠BAC﹣∠EAC＝∠BAD，
又∵BA＝AC，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD＝AE，CE＝AD，
∴DE＝CE﹣BD＝8﹣5＝3．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
24．如果一个不等式（组）的解集中包含一个方程（组）的解，那么就称这个不等式（组）的解集为这个方程（组）的“船山范围”，例如：不等式x﹣1＞0的解集是x＞1，它包含了方程2x﹣1＝3的解，因此x＞1是2x﹣1＝3的“船山范围”．
（1）下列不等式 　①　（填序号）的解集是方程3x﹣2＝4的“船山范围”：
①2x﹣3＞0；②x+1＜﹣3；③．
（2）若不等式组的解集是方程的“船山范围”，且方程的解为整数，求a的值．
（3）已知是方程2x+y＝3的解，不等式组的解集是方程2x+y＝3的“船山范围”，求m﹣n的最小值．
【点拨】（1）分别解不等式和解一元一次方程，再根据“船山范围”的定义即可判断；
（2）解不等式组得出，再根据题意得到方程的解为x＝1，求出方程的解得到，进而求解即可；
（3）解不等式组得出，再根据“船山范围”的定义得出，由2m+n＝3可知n＝﹣2m+3，代入m﹣n的得m﹣n＝m﹣（﹣2m+3）＝3m﹣3，结合m的取值可得答案．
【解析】解：（1）由题意，方程3x﹣2＝4的解为：x＝2，
∵①不等式2x﹣3＞0的解集为：，
②不等式x+1＜﹣3的解集为：x＜﹣4，
③不等式的解集为：x＜1，
∴不等式①2x﹣3＞0的解集是方程3x﹣2＝4的“船山范围”；
（2）由题意，解不等式组的得：，
∵不等式组的解集是方程的“船山范围”，且方程的解为整数，
∴方程的解为x＝1，
解方程得，，
∴，
解得a＝﹣8；
（3）由题意，解不等式组的得：．
∵是方程2x+y＝3的解，不等式组的解集是方程2x+y＝3的“船山范围”，
∴，
∵2m+n＝3，
∴n＝﹣2m+3，
∴﹣2m+3≤3，
∴m≥0，
∴m≥2，
∴m﹣n＝m﹣（﹣2m+3）＝3m﹣3，
∴当m＝2时，m﹣n有最小值为3．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程，一元一次方程和不等式组，熟练掌握以上知识点是关键．
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