【浙教版】2024-2025学年第一学期九年级数学期中模拟试卷（1）（含解析）

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2024-2025学年第一学期九年级数学期中模拟试卷（1）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列函数中，y一定是x的二次函数的是（　　）
A．y＝ax2+bx+c B．y＝x（x2+1） C．y＝x+1 D．y＝﹣3x2
2．下列说法正确的是（　　）
A．“平分弦的直径垂直于弦”是必然事件
B．“垂直于弦的直径平分弦”是必然事件
C．可能性是0.1%的事件在一次试验中一定不会发生
D．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件
3．下列现象不是旋转的是（　　）
A．传送带传送货物 B．飞速转动的电风扇 C．钟摆的摆动 D．自行车车轮的运动
4．已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，则（　　）
A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2
5．给出下列说法：①半径相等的圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④平面上任意三点能确定一个圆，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．若二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如表：
x 1 2 3 4 5
y ﹣8 ﹣9 ﹣8 ﹣5 0
则当x＝0时，y的值为（　　）
A．0 B．﹣5 C．﹣8 D．﹣13
7．小丽的衣柜里有2件上衣，1件是长袖的，1件是短袖的；有3条裤子，颜色分别为白色、黄色、蓝色．她任意拿出1件上衣和1条裤子，正好是长袖上衣和白色裤子的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（　　）
A．y＝x2﹣x﹣2 B． C． D．y＝﹣x2+x+2
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P为边BC上的一点，以P为圆心，长为半径作圆，则当点C在圆内，点A在圆外时，线段CP的取值范围为（　　）
A． B． C．3＜CP＜5 D．
10．如图是王阿姨阿晚饭后步行的路程s（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象．其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分，下列说法不正确的是（　　）
A．25min～50min，王阿姨步行的路程为800m B．5min～20min，王阿姨步行速度由慢到快
C．线段CD的函数解析式为s＝32t+400（25≤t≤50）
D．曲线段AB的函数解析式为s＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．写出一个开口向上，经过点（1，0）的二次函数 　 　．
12．当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组对二维码开展试验活动，如图，是一张边长为3cm的正方形二维码示意图，在其区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.7左右，由此可以估计该二维码黑色部分的总面积约为 　 　cm2．
13．将抛物线y＝x2﹣6x+5先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为 　 　．
14．如图，点A是半圆上的一个三等分点，点B是的中点，P是直径CD上一动点，⊙O的半径是2，则PA+PB的最小值为 　 　．
15．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，其图象的一部分如图所示．下列说法正确的是 　 　（填正确结论的序号）．①abc＜0；②4a﹣2b+c＞0；③a﹣b+c＜0；④3a+c＜0；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0．
16．如图，点A、B、O是单位为1的正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是优弧的中点，则△APB的面积为 　 　．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，AB＝DC．求证：AC＝BD．
18．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A（﹣1，0），B（1，﹣2）两点，
（1）求二次函数解析式．
（2）求该抛物线的开口方向，对称轴，顶点．
19．如图，甲分为三等分数字转盘，乙为四等分数字转盘，自由转动转盘．
（1）转动甲转盘，指针指向的数字小于3的概率是 　 　．
（2）同时自由转动两个转盘，用列表或画树状图的方法求两个转盘指针指向的数字均为奇数的概率．
20．如图，AB是半圆O的直径，C，D是圆上的两点，∠C＝90°，且OD∥AC，OD与BC交于点E．
（1）求证：E为BC的中点．
（2）若BC＝10，DE＝3，求AB的长度．
21．跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一．如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡BC上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．这里OA表示起跳点A到地面OB的距离，OC表示着陆坡BC的高度，OB表示着陆坡底端B到点O的水平距离．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣+bx+c．已知OA＝70m，OC＝60m，落点P的水平距离是40m，竖直高度是30m．
（1）点A的坐标是 　 　，点P的坐标是 　 　；
（2）求满足的函数关系y＝﹣+bx+c；
（3）运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡BC竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距离．
22．如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，E为上一点，且，连接EC交AB于点F，连接AC．
（1）求证：∠BAC＝∠ECA；
（2）若OM＝3，OC＝5，求FM的长．
23．已知二次函数y＝mx2+2x﹣4m﹣2（m为常数，m≠0）．
（1）当m＝1时，求该函数的图象的顶点坐标；
（2）当m取不同的值时，该函数的图象总经过一个或几个定点，求出所有定点的坐标；
（3）已知A（m，2），B（4，2）．若该函数的图象与线段AB恰有1个公共点，直接写出m的取值范围．
24．如图，⊙O的直径AB＝16，半径OC⊥AB，D为上一动点（不包括B，C两点），DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E，F．
（1）求EF的长．
（2）若点E为OC的中点，
①求劣弧CD的长度；
②若点P为直径AB上一动点，直接写出PC+PD的最小值．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列函数中，y一定是x的二次函数的是（　　）
A．y＝ax2+bx+c B．y＝x（x2+1） C．y＝x+1 D．y＝﹣3x2
【点拨】根据二次函数的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解析】解：A、函数y＝ax2+bx+c中，当a＝0时，不是二次函数，不符合题意；
B、函数y＝x（x2+1）＝x3+x中，x的次数是3，不是二次函数，不符合题意；
C、函数y＝x+1中，x的次数是1，不是二次函数，不符合题意；
D、函数y＝﹣3x2是二次函数，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解题的关键．
2．下列说法正确的是（　　）
A．“平分弦的直径垂直于弦”是必然事件
B．“垂直于弦的直径平分弦”是必然事件
C．可能性是0.1%的事件在一次试验中一定不会发生
D．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件
【点拨】根据垂径定理、概率的意义，轴对称图形以及随机事件逐项进行判断即可．
【解析】解：A．“平分弦的直径垂直于弦”当被平分的弦是直径时，这个结论就不正确，应该为“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦”，因此A不符合题意；
B．“垂直于弦的直径平分弦”是正确的，故B符合题意；
C． 可能性是0.1%的事件也可能发生，只是发生的可能性很小，因此C不正确，故C不符合题意；
D． 等边三角形是轴对称图形，因此“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，因此D不正确，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查垂径定理、概率的意义，轴对称图形以及随机事件等知识，利用相关的知识对每个选项进行判断是得出正确答案的前提．
3．下列现象不是旋转的是（　　）
A．传送带传送货物 B．飞速转动的电风扇 C．钟摆的摆动 D．自行车车轮的运动
【点拨】根据旋转的定义来判断：旋转就是将图形绕某点转动一定的角度，旋转后所得图形与原图形的形状、大小不变，对应点与旋转中心的连线的夹角相等．
【解析】解：传送带传送货物的过程中没有发生旋转．
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转，正确理解旋转的定义是解题的关键．
4．已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，则（　　）
A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2
【点拨】求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．
【解析】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，
∵a＝﹣3＜0，
∴x＝﹣2时，函数值最大，
又∵﹣3到﹣2的距离比1到﹣2的距离小，
∴y3＜y1＜y2．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键．
5．给出下列说法：①半径相等的圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④平面上任意三点能确定一个圆，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】根据等圆、等弧和半圆的定义分别进行判断．
【解析】解：半径相等的圆是等圆，所以①说法正确；
长度相等的弧不一定是等弧，所以②说法错误；
半圆是弧，但弧不一定是半圆，所以③说法正确；
不在同一直线上的三点确定一个圆，所以④说法错误．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了确定圆的条件以及圆的相关定义，熟练掌握其定义是解题关键．
6．若二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如表：
x 1 2 3 4 5
y ﹣8 ﹣9 ﹣8 ﹣5 0
则当x＝0时，y的值为（　　）
A．0 B．﹣5 C．﹣8 D．﹣13
【点拨】从表格中得到对称轴为直线x＝2，则x＝0与x＝4对应的函数值相等，即可求解．
【解析】解：由表格可知对称轴为直线x＝2，
∴x＝0与x＝4对应的函数值相等，
∴x＝0时，y＝﹣5，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
7．小丽的衣柜里有2件上衣，1件是长袖的，1件是短袖的；有3条裤子，颜色分别为白色、黄色、蓝色．她任意拿出1件上衣和1条裤子，正好是长袖上衣和白色裤子的概率是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据题意画树状图，然后由树状图确定所有等可能的结果；接下来得到正好是长袖上衣和白色裤子的情况数，再根据概率公式进行求解即可．
【解析】解：画树形图如下：
由树形图可知一共有6种等可能的情况；
正好是长袖上衣和白色裤子只有1种情况，
故正好是长袖上衣和白色裤子的概率为．
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是用树状图法求概率的知识，熟练掌握“概率等于所求情况数与总情况数之比”是解题的关键．
8．如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（　　）
A．y＝x2﹣x﹣2 B． C． D．y＝﹣x2+x+2
【点拨】根据图象知，可设该二次函数为顶点式y＝a（x﹣）2+，然后把（2，0）代入求出a即可．
【解析】解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣）2+，
把（2，0）代入得a+＝0，解得a＝﹣1，
所以抛物线解析式为y＝﹣（x﹣）2+．
即y＝﹣x2+x+2，
故选：D．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P为边BC上的一点，以P为圆心，长为半径作圆，则当点C在圆内，点A在圆外时，线段CP的取值范围为（　　）
A． B． C．3＜CP＜5 D．
【点拨】先根据点在圆内，点到圆心P的距离小于半径，再计算点A在圆上时，PC的长，从而可以解答．
【解析】解：当点C在⊙P内时，PC＜，
当点A在⊙P上时，PA＝，
∵∠C＝90°，AC＝3，
此时PC＝＝＝，
∴要使点A在⊙P外时，PC＞，
∴满足条件的线段CP的取值范围为：＜PC＜．
故选：A．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，掌握点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外 d＞r；
②点P在圆上 d＝r；
①点P在圆内 d＜r．
10．如图是王阿姨阿晚饭后步行的路程s（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象．其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分，下列说法不正确的是（　　）
A．25min～50min，王阿姨步行的路程为800m
B．5min～20min，王阿姨步行速度由慢到快
C．线段CD的函数解析式为s＝32t+400（25≤t≤50）
D．曲线段AB的函数解析式为s＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）
【点拨】根据函数图象中的信息，利用数形结合及求相关线段的解析式解答即可．
【解析】解：A、25min～50min，王阿姨步行的路程为2000﹣1200＝800m，故A正确，不符合题意；
B、在A点的速度为＝105m/min，在A到B点的平均速度为＝＝45m/min，故B错误，符合题意；
C、设线段CD的函数解析式为s＝kt+b，
把（25，1200），（50，2000）代入得，，
解得：，
∴线段CD的函数解析式为S＝32t+400（25≤t≤50），故C正确，不符合题意；
D、当t＝20时，由图象可得s＝1200m，即抛物线顶点为（20，1200），
将（5，525）代入s＝a（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）得：525＝a（5﹣20）2+1200，
解得a＝﹣3，
∴曲线段AB的函数解析式为s＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20），故D正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，正确的识别图象、数形结合是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．写出一个开口向上，经过点（1，0）的二次函数 　y＝x2﹣1（答案不唯一）　．
【点拨】根据题意和二次函数的性质，可以写出相应的函数解析式，注意本题答案不唯一．
【解析】解：∵二次函数的图象开口向上，且经过点（1，0），
∴a＞0，
∴该函数图象可以是y＝x2﹣1，
故答案为：y＝x2﹣1（答案不唯一）．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
12．当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组对二维码开展试验活动，如图，是一张边长为3cm的正方形二维码示意图，在其区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.7左右，由此可以估计该二维码黑色部分的总面积约为 　6.3　cm2．
【点拨】用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率稳定值即可．
【解析】解：∵经过大量重复试验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.7左右，
∴落在黑色区域的概率约为0.7，
∴该二维码黑色部分的总面积约为3×3×0.7＝6.3（cm2）．
故答案为：6.3．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
13．将抛物线y＝x2﹣6x+5先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为 　y＝（x﹣4）2﹣2　．
【点拨】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．
【解析】解：∵y＝x2﹣6x+5，
∴y＝（x﹣3）2﹣4．
∴由“左加右减，上加下减”的原则可知：将抛物线y＝（x﹣3）2﹣4先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为y＝（x﹣3﹣1）2﹣4+2，即y＝（x﹣4）2﹣2．
故答案为：y＝（x﹣4）2﹣2．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
14．如图，点A是半圆上的一个三等分点，点B是的中点，P是直径CD上一动点，⊙O的半径是2，则PA+PB的最小值为 　2　．
【点拨】首先作A关于CD的对称点Q，连接BQ，然后根据圆周角定理、圆的对称性质和勾股定理解答．
【解析】解：作A关于CD的对称点Q，连接CQ，BQ，BQ交CD于P，此时AP+PB＝QP+PB＝QB，
根据两点之间线段最短，PA+PB的最小值为QB的长度，
连接OQ，OB，
∵点A是半圆上的一个三等分点，
∴∠ACD＝30°．
∵B弧AD中点，
∴∠BOD＝∠ACD＝30°，
∴∠QOD＝2∠QCD＝2×30°＝60°，
∴∠BOQ＝30°+60°＝90°．
∵⊙O的半径是2，
∴OB＝OQ＝2，
∴BQ＝＝2，即PA+PB的最小值为2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是圆周角定理，轴对称﹣最短路线问题，解答此题的关键是找到点A的对称点，把题目的问题转化为两点之间线段最短解答．
15．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，其图象的一部分如图所示．下列说法正确的是 　①③④　（填正确结论的序号）．①abc＜0；②4a﹣2b+c＞0；③a﹣b+c＜0；④3a+c＜0；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0．
【点拨】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解析】解：①∵抛物线的开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线交y轴的正半轴，
∴c＞0．
∵x＝﹣＝1，
∴a、b异号．
∴b＞0．
∴abc＜0故①正确．
②由抛物线的对称性可知当x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，故②错误；
③∵x＝﹣＝1，
∴由抛物线的对称性可知当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，故③正确，
∴a﹣（﹣2a）+c＜0，
即3a+c＜0，故④正确，
由函数图象可知：当﹣1＜x＜3时，y＞0或y＜0．⑤错误．
故答案为：①③④．
【点睛】本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
16．如图，点A、B、O是单位为1的正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是优弧的中点，则△APB的面积为 　　．
【点拨】首先过点B作BC⊥PA于点C，由点P是优弧的中点，可得PA＝PB，易得△PBC是等腰直角三角形，设PC＝x，则PA＝PB＝x，即可得方程：2＝[（﹣1）x]2+x2，继而求得答案．
【解析】解：过点B作BC⊥PA于点C，
∵点P是优弧的中点，
∴PA＝PB，
∵∠AOB＝90°，
∴∠APB＝∠AOB＝45°，
∴△PBC是等腰直角三角形，
∴PC＝BC，
设PC＝x，则PA＝PB＝x，
∴AC＝PA﹣PC＝（﹣1）x，
∵AB2＝AC2+BC2，AB＝，
∴2＝[（﹣1）x]2+x2，
解得：x2＝，
∴S△APB＝PA BC＝x2＝．
故答案为：．
【点睛】此题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，AB＝DC．求证：AC＝BD．
【点拨】根据圆心角、弧、弦之间的关系得出＝，求出＝，再根据圆心角、弧、弦之间的关系推出答案即可．
【解析】证明：∵AB＝DC，
∴＝，
∴＝，
∴AC＝BD．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
18．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A（﹣1，0），B（1，﹣2）两点，
（1）求二次函数解析式．
（2）求该抛物线的开口方向，对称轴，顶点．
【点拨】（1）把二次函数图形经过的两点坐标代入函数解析式求出b、c的值，即可得解；
（2）根据a是正数，确定开口向上，把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出对称轴与顶点坐标即可．
【解析】解：（1）∵二次函数y＝ax2+2x+c的图象经过点（﹣1，0），（1，﹣2），
∴，
解得，
所以，抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，
∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣，
∴对称轴x＝，顶点坐标（，﹣）．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，把经过的点的坐标代入函数解析式进行计算即可，熟记性质是解题的关键．
19．如图，甲分为三等分数字转盘，乙为四等分数字转盘，自由转动转盘．
（1）转动甲转盘，指针指向的数字小于3的概率是 　　．
（2）同时自由转动两个转盘，用列表或画树状图的方法求两个转盘指针指向的数字均为奇数的概率．
【点拨】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有12种等可能结果，找出两个转盘指针指向的数字均为奇数的结果数，然后根据概率公式计算．
【解析】解；（1）转动甲转盘，指针指向的数字小于3的概率是；
故答案为：；
（2）画树状图：
共有12种等可能结果，其中两个转盘指针指向的数字均为奇数的结果数为4，
所以两个转盘指针指向的数字均为奇数的概率＝＝．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
20．如图，AB是半圆O的直径，C，D是圆上的两点，∠C＝90°，且OD∥AC，OD与BC交于点E．
（1）求证：E为BC的中点．
（2）若BC＝10，DE＝3，求AB的长度．
【点拨】（1）根据直径的性质可得∠C＝90°，根据平行线的性质可证OD⊥BC，根据垂径定理即可得证；
（2）设圆O的半径为x，在Rt△BOE中用勾股定理建立方程，求解即可．
【解析】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，
∴∠C＝90°，
∵OD∥AC，
∴∠OEB＝∠C＝90°，
∴OD⊥BC，
∵OD是⊙O的半径，
∴BE＝CE，
∴E为BC的中点
（2）解：∵BC＝10，DE＝3，
∴设圆O的半径为x，OB＝OD＝x，OE＝x﹣3，．
在Rt△BOE中，OB2＝BE2+OE2，即x2＝52+（x﹣3）2，
解得，
∴．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，平行线的性质，勾股定理，垂径定理，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．
21．跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一．如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡BC上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．这里OA表示起跳点A到地面OB的距离，OC表示着陆坡BC的高度，OB表示着陆坡底端B到点O的水平距离．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣+bx+c．已知OA＝70m，OC＝60m，落点P的水平距离是40m，竖直高度是30m．
（1）点A的坐标是 　（0，70）　，点P的坐标是 　（40，30）　；
（2）求满足的函数关系y＝﹣+bx+c；
（3）运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡BC竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距离．
【点拨】（1）根据题意可知直接求出A，P坐标；
（2）把A，P坐标代入y＝﹣+bx+c，用待定系数法求函数解析式即可；
（3）作MN∥y轴分别交抛物线和BC于M、N两点，先求出BC的关系式，再分别表示出M、N的纵坐标，计算纵坐标的差可得答案．
【解析】解：（1）根据题意得，A（0，70），P（40，30），
故答案为：（0，70），（40，30）；
（2）把A（0，70），P（40，30）代入y＝﹣+bx+c得：
，
解得，
所以二次函数的表达式为y＝﹣x2+x+70；
（3）如图，作MN∥y轴分别交抛物线和BC于M、N两点，
∵OC＝60m，
∴C（0，60），
设线段BC的关系式为y＝kx+m，则，
解得：，
所以线段BC的关系式为y＝﹣x+60，
设M（a，﹣a2+a+70），则N（a，﹣a+60），
则MN＝﹣a2+a+70+a﹣60＝﹣a2+a+10＝﹣（a﹣18）2+30.25，
∵﹣＜0，
∴当a＝18时，MN有最大值，最大值为30.25，
答：运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离时水平距离是18m．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据抛物线上的点求出二次函数的关系式是解题关键．
22．如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，E为上一点，且，连接EC交AB于点F，连接AC．
（1）求证：∠BAC＝∠ECA；
（2）若OM＝3，OC＝5，求FM的长．
【点拨】（1）由垂径定理推出＝，而，得到＝，由圆周角定理即可证明∠BAC＝∠ECA；
（2）连接AD，由圆周角定理得到∠ACD＝90°，由余角的性质推出∠D＝∠CAM，而∠AMC＝∠AND＝90°，即可证明△ACM∽△DAM，得到AM：DM＝CM：AM，代入有关数据即可求出AM＝4，令FM＝x，则AF＝4﹣x，得到FC＝AF＝4﹣x，由勾股定理得到（4﹣x）2＝x2+22，求出x＝1.5，即可得到FM＝1.5．
【解析】（1）证明：∵直径DC⊥AB，
∴＝，
∵，
∴＝，
∴∠BAC＝∠ECA；
（2）解：连接AD，
∵CD是圆的直径，
∴∠DAC＝90°，
∵AM⊥CD，
∴∠CAM+∠DAM＝∠D+∠DAM＝90°，
∴∠D＝∠CAM，
∵∠AMC＝∠AND＝90°，
∴△ACM∽△DAM，
∴AM：DM＝CM：AM，
∵OM＝3，OC＝5，
∴MC＝5﹣3＝2，
∵OD＝OC＝5，
∴DM＝OD+OM＝5+3＝8，
∴AM：8＝2：AM，
∴AM＝4（舍去负值），
令FM＝x，则AF＝4﹣x，
由（1）知：∠BAC＝∠ECA，
∴FC＝AF＝4﹣x，
∵FC2＝FM2+MC2，
∴（4﹣x）2＝x2+22，
∴x＝1.5，
∴FM＝1.5．
【点睛】本题考查出圆周角定理，勾股定理，垂径定理，关键是由垂径定理推出＝；由△ACM∽△DAM，求出AM的长，由勾股定理得到关于x的方程．
23．已知二次函数y＝mx2+2x﹣4m﹣2（m为常数，m≠0）．
（1）当m＝1时，求该函数的图象的顶点坐标；
（2）当m取不同的值时，该函数的图象总经过一个或几个定点，求出所有定点的坐标；
（3）已知A（m，2），B（4，2）．若该函数的图象与线段AB恰有1个公共点，直接写出m的取值范围．
【点拨】（1）把m＝1代入y＝mx2+2x﹣4m﹣2，求出顶点坐标即可；
（2）把y＝mx2+2x﹣4m﹣2化为y＝m（x2﹣4）+2x﹣2，即可求出定点坐标；
（3）根据题意，结合图象．即可求出m的取值范围．
【解析】解：（1）将m＝1代入二次函数y＝mx2+2x﹣4m﹣2（m为常数，m≠0）中可得：
y＝x2+2x﹣6＝（x+1）2﹣7，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣7）；
（2）∵y＝mx2+2x﹣4m﹣2＝m（x2﹣4）+2x﹣2，
∴当x2﹣4＝0时，即x＝±2时，y的值与m无关，
∴当x＝2时，y＝2，x＝﹣2时，y＝﹣6，
∴定点坐标为（2，2），（﹣2，﹣6）．
（3）当y＝2时，2＝mx2+2x﹣4m﹣2，
mx2+2x﹣4m﹣4＝0，
Δ＝4﹣4m（﹣4m﹣4）＝4（2m+1）2，
当Δ＝0时，该图象与AB恰有一个公共点，是定点（2，2），
∴4（2m+1）2＝0，
∴．
当Δ＞0时，x1＝2，，
∴两交点坐标为（2，2），，2）．
①m＞0时，抛物线开口向上，过（2，2），（﹣2，﹣6）两点，
∴．
（m，2）在（2，2）的左边，
∴该函数的图象与线段AB恰有1个公共点．是定点（2，2），
∴此时：0＜m≤2
②m＜0时，抛物线开口向下，过点（2，2）在线段AB上，
∴抛物线与直线AB的另一个交点在B的右侧，
∴x＝4时，y＞2，
16m+8﹣4m﹣2＞2，
∴．
∴，该函数的图象与线段AB恰有1个公共点．
∴当0＜m≤2或或时，该函数的图象与线段AB恰有1个公共点．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
24．如图，⊙O的直径AB＝16，半径OC⊥AB，D为上一动点（不包括B，C两点），DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E，F．
（1）求EF的长．
（2）若点E为OC的中点，
①求劣弧CD的长度；
②若点P为直径AB上一动点，直接写出PC+PD的最小值．
【点拨】（1）连接OD，由OC⊥AB，DE⊥OC，DF⊥AB知四边形OFDE是矩形，据此可得EF＝OD＝AB；
（2）①先求出∠DOE的度数，再利用弧长公式求解可得；
②延长CO交⊙O于点G，连接DG交AB于点P，则PC+PD的最小值为DG，再根据勾股定理及EG＝12求解可得答案．
【解析】解：（1）如图，连接OD，
∵⊙O的直径AB＝16，
∴圆的半径为16÷2＝8．
∵OC⊥AB，DE⊥OC，DF⊥AB，
∴∠EOB＝∠OED＝∠OFD＝90°，
∴四边形OFDE是矩形，
∴EF＝OD＝8．
（2）①∵点E为OC的中点，
∴，
∴∠EDO＝30°，
∴∠DOE＝60°，
∴劣弧CD的长度为．
②延长CO交⊙O于点G，连接DG交AB于点P，
则PC+PD的最小值为DG．
设DE＝x，
则DG＝2x，
∵，EG＝12，
∴x2+144＝4x2，
解得x＝4，
∴DG＝8，
∴PC+PD的最小值为．
【点睛】本题主要考查圆的有关概念与性质，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、轴对称的性质、圆的相关性质．
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