【浙教版】2024-2025学年第一学期九年级数学期中模拟试卷（2）（含解析）

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2024-2025学年第一学期八年级数学期中模拟试卷（2）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．三角形的两边之和大于第三边 B．玩猜拳游戏时，对方出“剪刀”
C．明年的冬至会下雪 D．从装满红球的袋子里摸出黄球
2．下列各点中，抛物线y＝x2﹣4x﹣4经过的点是（　　）
A．（0，4） B．（1，﹣7） C．（﹣1，﹣1） D．（2，8）
3．关于二次函数的图象与性质，下列结论错误的是（　　）
A．图象开口向下 B．当x＝3时，y有最大值﹣2
C．当x＞3时，y随x的增大而减小 D．图象的顶点坐标为（﹣3，﹣2）
4．青田林业局考查一种树苗移植的成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率约是（　　）
A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD是⊙O的直径，连接BD，若∠BCD＝100°，则∠BAD的度数为（　　）
A．70° B．75° C．80° D．85°
6．如图，在正方形方格中，A，B，C，D，E，P均在格点处，则点P是下列哪个三角形的外心（　　）
A．△ACE B．△ABD C．△ACD D．△BCE
7．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知EF＝CD＝8cm，则球的半径长是（　　）
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣1，且经过点（0，1）．给出下列结论：①a＜0；②b＝2a；③4a﹣2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0．正确的是：（　　）
A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④
9．二次函数y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值为﹣5，则c的值为（　　）
A．3或﹣1 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3
10．如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA＝60°，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积为S1、S2、S3，则它们之间的关系是（　　）
A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3 C．S1＜S3＜S2 D．S3＜S2＜S1
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．多边形的每个内角的度数都等于140°，则这个多边形的边数为 　 　．
12．一个不透明的口袋中装有红色、黄色、蓝色玻璃球共200个，这些球除颜色外都相同．小明通过大量随机摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在30%左右，则可估计红球的个数约为 　 　．
13．如图，抛物线y＝ax2+bx与直线y＝mx+n相交于点A（﹣，1），B（1，3），则关于x的方程ax2+bx＝mx+n的解为　 　．
14．在⊙O中，弦AB的长是⊙O的半径长的倍，则弦AB所对的圆周角等于 　 　．
15．军事演坦的草原上进行，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y（m）与飞行时间x（s）的关系满足y＝﹣x2+6x．经过　 　秒时间，炮弹落到地上爆炸了．
16．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝60°，OB＝2，C是弧AB上一动点，过点C作CD⊥OB，交OB于点D，连接OC，OI、CI分别平分∠COD、∠OCD，当点C从A运动到B的过程中，点I的运动路径长为 　 　．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（5，0），B（4，﹣3）．将△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OA′B′，点A旋转后的对应点为A′．
（1）画出旋转后的图形△OA′B′；
（2）在（1）的条件下，求线段OB在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．
18．如图，（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作△ABC的外接圆⊙O；
（2）若△ABC是等边三角形，AB＝4．则△ABC的外接圆⊙O的半径为　 　．
19．小明和小乐用一副扑克牌玩游戏，两人手中各有三张扑克牌．小明的是5，7，10，小乐的是2，8，9．两人将扑克牌扣在桌面上（背面朝上），各自洗匀后分别从自己的三张牌中随机抽取一张进行比较，数字大的获胜．
（1）小乐从自己的三张牌中随机抽取一张，取出的扑克牌是2的概率是 　 　；
（2）请用画树状图或列表的方法说明这个游戏是否公平．
20．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c图象经过点P（1，﹣2）和C（0，﹣5）．
（1）求该二次函数的解析式及图象的顶点坐标．
（2）当y≥﹣2时，请根据图象直接写出x的取值范围．
21．如图，已知BC是⊙O的一条弦，点A是⊙O的优弧BC上的一个动点（点A与B，C不重合），∠BAC的平分线AP交⊙O于点P．∠ABC的平分线BE交AP于点E，连接BP．
（1）求证：点P为的中点；
（2）PE的长度是否会随点A的运动而变化？请说明理由．
22．随着劳动教育的开展，某学校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为28米），用长为40米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端设计了两个宽1米的小门，便于同学们进入．
（1）若围成的菜地面积为120平方米，求此时边AB的长；
（2）可以围成的菜地面积最大是多少？
23．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，m），点B（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上．设抛物线的对称轴为直线x＝t．
（1）当t＝2时，
①直接写出b与a满足的等量关系；
②比较m，n的大小，并说明理由；
（2）已知点C（x0，p）在该抛物线上，若对于3＜x0＜4，都有m＞p＞n，求t的取值范围．
24．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦（不是直径），且CD⊥AB于点E，过点C作⊙O的直径CF，直线CB、DF交于点G．
（1）求证：△CFG为等腰三角形；
（2） ①若AB＝6，求△CDF的最大面积；
②当∠ABC的度数为多少度时，以点B，O，D，F为顶点的四边形为菱形．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．三角形的两边之和大于第三边 B．玩猜拳游戏时，对方出“剪刀”
C．明年的冬至会下雪 D．从装满红球的袋子里摸出黄球
【点拨】根据随机事件的定义解答即可．
【解析】解：A、三角形的两边之和大于第三边是必然事件，符合题意；
B、玩猜拳游戏时，对方出“剪刀”是随机事件，不符合题意；
C、明年的冬至会下雪是随机事件，不符合题意；
D、从装满红球的袋子里摸出黄球是不可能事件，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键．
2．下列各点中，抛物线y＝x2﹣4x﹣4经过的点是（　　）
A．（0，4） B．（1，﹣7） C．（﹣1，﹣1） D．（2，8）
【点拨】分别计算出自变量为0、1、﹣1、和2所对应的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断．
【解析】解：当x＝0时，y＝x2﹣4x﹣4＝﹣4；当x＝1时，y＝x2﹣4x﹣4＝﹣7；当x＝﹣1时，y＝x2﹣4x﹣4＝1；当x＝2时，y＝x2﹣4x﹣4＝﹣8，
所以点（1，﹣7）在抛物线y＝x2﹣4x﹣4上．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
3．关于二次函数的图象与性质，下列结论错误的是（　　）
A．图象开口向下 B．当x＝3时，y有最大值﹣2
C．当x＞3时，y随x的增大而减小 D．图象的顶点坐标为（﹣3，﹣2）
【点拨】根据二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的图象和性质，逐项判断即可求解．
【解析】解：∵二次函数，a＝＜0，
∴开口向下，顶点坐标为（3，﹣2）；当x＝3时，y有最大值﹣2；当x＞3时，y随x的增大而减小；图象的顶点坐标为（3，﹣2）；
∴D选项错误，符合题意，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，正确把握二次函数的性质是解题关键．
4．青田林业局考查一种树苗移植的成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率约是（　　）
A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80
【点拨】由图可知，成活概率在0.9上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值为0.9．
【解析】解：这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值约是0.9．
故选：B．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率．由于树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为近似相等．用到的知识点为：总体数目＝部分数目÷相应频率．部分的具体数目＝总体数目×相应频率．
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD是⊙O的直径，连接BD，若∠BCD＝100°，则∠BAD的度数为（　　）
A．70° B．75° C．80° D．85°
【点拨】圆内接四边形的对角互补，由此即可得到答案．
【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BCD＝100°，
∴∠BAD＝80°．
故选：C．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形的对角互补．
6．如图，在正方形方格中，A，B，C，D，E，P均在格点处，则点P是下列哪个三角形的外心（　　）
A．△ACE B．△ABD C．△ACD D．△BCE
【点拨】由三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，即可判断．
【解析】解：由勾股定理得：PC＝PE＝PB＝＝，
∴P到B、C、E的距离相等，
∴P是△BCE的外心．
故选：D．
【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心，关键是掌握三角形外心的性质．
7．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知EF＝CD＝8cm，则球的半径长是（　　）
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
【点拨】设圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，交CB于点M，连接OF，设OF＝x cm，则ON＝（8﹣x）cm，NE＝NF＝4，然后在Rt△NOF中利用勾股定理求得OF的长即可．
【解析】解：设圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，交CB于点M，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴四边形CDNM是矩形，
∴MN＝CD＝8，
设OF＝x cm，则OM＝OF，
∴ON＝MN﹣OM＝（8﹣x）cm，NF＝EN＝4cm，
在Rt△ONF中，ON2+NF2＝OF2
即：（8﹣x）2+42＝x2
解得：x＝5，
故选：B．
【点睛】本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣1，且经过点（0，1）．给出下列结论：①a＜0；②b＝2a；③4a﹣2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0．正确的是：（　　）
A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④
【点拨】依据题意，由抛物线开口向下，则a＜0，故可判断①；又对称轴是直线x＝﹣＝﹣1，故可判断②；又对称轴是直线x＝﹣1，且当x＝0时，y＝1＞0，则当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝1＞0，故可判断③；又抛物线对称轴是直线x＝﹣1，且抛物线与x轴的一交点为（1，0），从而另一交点为（﹣3，0），可得Δ＝b2﹣4ac＞0，故可判断④．
【解析】解：由题意，∵抛物线开口向下，
∴a＜0，故①正确．
又对称轴是直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，故②正确．
∵对称轴是直线x＝﹣1，
又当x＝0时，y＝1＞0，
∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝1＞0，故③正确．
又∵抛物线对称轴是直线x＝﹣1，且抛物线与x轴的一交点为（1，0），
∴另一交点为（﹣3，0）．
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，故④正确．
综上，正确的有：①②③④．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
9．二次函数y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值为﹣5，则c的值为（　　）
A．3或﹣1 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3
【点拨】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，从而可得在﹣3≤x≤2的范围内函数取最小值时x的值，进而求解．
【解析】解：∵y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c＝﹣（x+1）2+c2﹣2c+1，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∵2﹣（﹣1）＞﹣1﹣（﹣3），
∴在﹣3≤x≤2的范围内，x＝2时，y＝﹣4﹣4+c2﹣2c＝c2﹣2c﹣8＝（c﹣1）2﹣9为函数最小值，
∴（c﹣1）2﹣9＝﹣5，
解得c＝3或c＝﹣1，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．
10．如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA＝60°，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积为S1、S2、S3，则它们之间的关系是（　　）
A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3 C．S1＜S3＜S2 D．S3＜S2＜S1
【点拨】设出半径，作出△COB底边BC上的高，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式表示出三个图形面积，比较即可求解．
【解析】解：作OD⊥BC交BC与点D，
∵∠COA＝60°，
∴∠COB＝120°，则∠COD＝60°．
∴S扇形AOC＝；
S扇形BOC＝．
在三角形OCD中，∠OCD＝30°，
∴OD＝，CD＝，BC＝R，
∴S△OBC＝，S弓形＝＝，
＞＞，
∴S2＜S1＜S3．
故选：B．
【点睛】此题考查扇形面积公式及弓形面积公式，解题的关键是算出三个图形的面积，首先利用扇形公式计算出第一个扇形的面积，再利用弓形等于扇形﹣三角形的关系求出弓形的面积，进行比较得出它们的面积关系．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．多边形的每个内角的度数都等于140°，则这个多边形的边数为 　9　．
【点拨】由多边形的每个内角的度数都等于140°，得这个多边形的每个外角为180°﹣140°＝40°．根据多边形的外角和等于360°，那么这个多边形的边数为360°÷40°＝9．
【解析】解：∵多边形的每个内角的度数都等于140°，
∴这个多边形的每个外角为180°﹣140°＝40°．
又∵多边形的外角和等于360°，
∴这个多边形的边数为360°÷40°＝9．
∴这个多边形的边数为9．
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查多边形的内角与外角、任意多边形的外角和，熟练掌握多边形的内角与外角、任意多边形的外角和等于360°是解决本题的关键．
12．一个不透明的口袋中装有红色、黄色、蓝色玻璃球共200个，这些球除颜色外都相同．小明通过大量随机摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在30%左右，则可估计红球的个数约为 　60个　．
【点拨】直接用频率乘以总数即可．
【解析】由题意可知红球的个数约为200×30%＝60（个），
故答案为：60个．
【点睛】本题考查了根据频率求总数，熟记频率×总数＝个数是解题的关键．
13．如图，抛物线y＝ax2+bx与直线y＝mx+n相交于点A（﹣，1），B（1，3），则关于x的方程ax2+bx＝mx+n的解为　x1＝﹣，x2＝1　．
【点拨】关于x的方程ax2+bx＝mx+n的解为抛物线y＝ax2+bx与直线y＝mx+n交点的横坐标．
【解析】解：∵抛物线y＝ax2+bx与直线y＝mx+n相交于点A（﹣，1），B（1，3），
∴关于x的方程ax2+bx＝mx+n的解为x1＝﹣，x2＝1．
故答案为：x1＝﹣，x2＝1．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．
14．在⊙O中，弦AB的长是⊙O的半径长的倍，则弦AB所对的圆周角等于 　60°或120°　．
【点拨】作OC⊥AB于C，∠APB和∠ADB为弦AB所对的圆周角，根据垂径定理得AC＝BC，由于AB：OA＝：1，则AC：OA＝：2，在Rt△OAC中，根据余弦的定义可求出∠OAC＝30°，则∠AOB＝120°，然后根据圆周角定理得到∠APB＝∠AOB＝60°，根据圆内接四边形的性质得到∠ADB＝180°﹣∠APB＝120°．
【解析】解：作OC⊥AB于C，∠APB和∠ADB为弦AB所对的圆周角，如图，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC，
∵AB：OA＝：1，
∴AC：OA＝：2，
在Rt△OAC中，cos∠OAC＝＝，
∴∠OAC＝30°，
而OA＝OB，
∴∠OBA＝30°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠APB＝∠AOB＝60°，
∴∠ADB＝180°﹣∠APB＝120°，
即弦AB所对的圆周角等于60°或120°．
故答案为：60°或120°．
【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理．
15．军事演坦的草原上进行，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y（m）与飞行时间x（s）的关系满足y＝﹣x2+6x．经过　18　秒时间，炮弹落到地上爆炸了．
【点拨】炮弹落到地上即y＝0，代入解析式解答即可．
【解析】解：依题意，关系式化为：
y＝﹣（x﹣9）2+27，
令y＝0，
解得：x1＝18，x2＝0（不合题意，舍去），
故答案为18．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出y＝0时x的值是解题关键．
16．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝60°，OB＝2，C是弧AB上一动点，过点C作CD⊥OB，交OB于点D，连接OC，OI、CI分别平分∠COD、∠OCD，当点C从A运动到B的过程中，点I的运动路径长为 　π．　．
【点拨】连接BI，以OB为底边作等腰直角三角形OBQ，以Q为圆心，OQ为半径作圆Q，△COI≌△BOI，从而得出∠BIO＝∠CIO＝135°，所以得出点I轨迹为上运动，在进一步确定I的开始和结束位置，进一步得出结果．
【解析】解：如图，
连接BI，
∵OI平分∠COD，
∴∠COI＝∠BOI，
∵OC＝OB，OI＝OI，
∴△COI≌△BOI（SAS），
∴∠BIO＝∠CIO，
∵∠CDO＝90°，
∴∠COD+∠OCD＝90°，
∵OI、CI分别平分∠COD、∠OCD，
∴∠COI＝，
∴∠COI+∠OCD＝，
∴∠BIO＝∠CIO＝135°，
以OB为底边作等腰直角三角形OBQ，以Q为圆心，OQ为半径作圆Q，
则点I在上运动，作AW⊥OB于W，此时I在I′处，连接OI′，
∵∠ABOI′＝，∠BOQ＝45°，
∴∠QI′O＝∠QOI′＝75°，
∴∠OQI′＝30°，
∴∠BQI′＝60°，
∵OQ＝OB＝，
∵＝＝，
∴点I的运动路径长为，
故答案为：π．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，确定圆的条件，弧长公式等知识，解决问题的关键是熟练掌握“定弦对定角”等模型．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（5，0），B（4，﹣3）．将△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OA′B′，点A旋转后的对应点为A′．
（1）画出旋转后的图形△OA′B′；
（2）在（1）的条件下，求线段OB在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．
【点拨】（1）根据旋转的性质作图即可．
（2）利用扇形面积公式计算即可．
【解析】解：（1）如图，△OA′B′即为所求．
（2）由勾股定理得，OB＝＝5，
∴线段OB在旋转过程中扫过的面积为＝．
【点睛】本题考查作图﹣旋转变换、扇形面积公式，熟练掌握旋转的性质、扇形面积公式是解答本题的关键．
18．如图，（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作△ABC的外接圆⊙O；
（2）若△ABC是等边三角形，AB＝4．则△ABC的外接圆⊙O的半径为　　．
【点拨】（1）分别作AB，BC的垂直平分线，交于点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O即为所求；
（2）连接OA，OB，设AB的垂直平分线OF交AB于点E，首先求出∠AOB＝2∠C＝120°，然后得到，根据垂直平分线的性质得到OF⊥AB，，然后利用勾股定理求解即可．
【解析】解：（1）如图，作AB，BC的垂直平分线，交于点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O即为所求．
（2）连接OA，OB，设AB的垂直平分线OF交AB于点E，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°，
∴∠AOB＝2∠C＝120°，
∵OA＝OB，
∴，
∵OF是AB的垂直平分线，
∴OF⊥AB，，
∵∠OBA＝30°，
∴，
在Rt△BOE中，OE2+BE2＝OB2，
∴，
∴（负值舍去），
∴△ABC的外接圆⊙O的半径为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了作三角形的外接圆，垂直平分线的性质，圆周角定理，勾股定理，含30°角直角三角形的性质和等边三角形的性质等知识，掌握基本作图是解题的关键．
19．小明和小乐用一副扑克牌玩游戏，两人手中各有三张扑克牌．小明的是5，7，10，小乐的是2，8，9．两人将扑克牌扣在桌面上（背面朝上），各自洗匀后分别从自己的三张牌中随机抽取一张进行比较，数字大的获胜．
（1）小乐从自己的三张牌中随机抽取一张，取出的扑克牌是2的概率是 　　；
（2）请用画树状图或列表的方法说明这个游戏是否公平．
【点拨】（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中取出的扑克牌是2的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及小明获胜的结果数、小乐获胜的结果数，再利用概率公式可得结论．
【解析】解：（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中取出的扑克牌是2的结果有1种，
∴取出的扑克牌是2的概率是．
故答案为：．
（2）列表如下：
2 8 9
5 （5，2） （5，8） （5，9）
7 （7，2） （7，8） （7，9）
10 （10，2） （10，8） （10，9）
共有9种等可能的结果，其中小明获胜的结果有：（5，2），（7，2），（10，2），（10，8），（10，9），共5种，
小乐获胜的结果有：（5，8），（5，9），（7，8），（7，9），共4种，
∴小明获胜的概率为，小乐获胜的概率为，
∴小明获胜的概率大，这个游戏不公平．
【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
20．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c图象经过点P（1，﹣2）和C（0，﹣5）．
（1）求该二次函数的解析式及图象的顶点坐标．
（2）当y≥﹣2时，请根据图象直接写出x的取值范围．
【点拨】（1）先把P点和C点坐标分别代入y＝x2+bx+c中得到b、c的方程组，则解方程求出b、c，从而得到抛物线解析式，然后把一般式化为顶点式，从而得到抛物线的顶点坐标；
（2）先解方程x2+2x﹣5＝﹣2得到x＝﹣3或x＝1时函数值为﹣2，然后结合函数图象写出自变量的取值范围．
【解析】解：（1）把P（1，﹣2）、C（0，﹣5）分别代入y＝x2+bx+c得，
解得，
∴该二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣5；
∵y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣6）；
（2）当y＝﹣2时，x2+2x﹣5＝﹣2，
解得x1＝﹣3，x2＝1，
∵抛物线的开口向上，
∴当x≤﹣3或x≥1时，y≥﹣2．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
21．如图，已知BC是⊙O的一条弦，点A是⊙O的优弧BC上的一个动点（点A与B，C不重合），∠BAC的平分线AP交⊙O于点P．∠ABC的平分线BE交AP于点E，连接BP．
（1）求证：点P为的中点；
（2）PE的长度是否会随点A的运动而变化？请说明理由．
【点拨】（1）由于AP平分∠BAC，即∠BAP＝∠CAP，则根据圆周角定理可得＝，于是可判断点P为的中点；
（2）通过证明PE＝PB来判断PE的长度不会随点A的运动而变化．
【解析】（1）证明：∵∠BAC的平分线AP交⊙O于点P，
即∠BAP＝∠CAP，
∴＝，
∴点P为的中点；
（2）解：PE的长度不会随点A的运动而变化．理由如下：
如图，
∵BE平分∠ABC，
∴∠4＝∠5，
∵∠3＝∠1+∠4，
而∠1＝∠2，
∴∠3＝∠5+∠2，
∵∠2＝∠6，
∴∠3＝∠5+∠6，
∴PE＝PB，
∴PE的长度不会随点A的运动而变化．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了等腰三角形的判断和圆周角定理．
22．随着劳动教育的开展，某学校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为28米），用长为40米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端设计了两个宽1米的小门，便于同学们进入．
（1）若围成的菜地面积为120平方米，求此时边AB的长；
（2）可以围成的菜地面积最大是多少？
【点拨】（1）先由题意得到菜地的长AD为（40+2﹣3x）米，再列方程分情况讨论即可；
（2）设菜地的面积为S平方米，根据题意列出二次函数解析式，再根据二次函数的图象和性质作答即可．
【解析】解：（1）设菜地的宽AB为x米，
则菜地的长AD为（40+2﹣3x）米．
根据题意得x（40+2﹣3x）＝120，
解得x1＝4，x2＝10，
当x＝4时，40+2﹣3x＝30＞28，（不合题意，舍去）；
当x＝10时，40+2﹣3x＝12＜28，符合题意．
答：此时宽AB为10米；
（2）设菜地的面积为S平方米，则：
依题意得S＝x（42﹣3x）＝﹣3（x﹣7）2+147，
因为0＜42﹣3x≤28，解得≤x＜14；
当x＝7时，S取最大值，此时S＝147．
即菜地的最大面积为147平方米．
【点睛】本题考查了解一元二次方程和二次函数的图象和性质，解题时注意结果要符合题目要求．
23．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，m），点B（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上．设抛物线的对称轴为直线x＝t．
（1）当t＝2时，
①直接写出b与a满足的等量关系；
②比较m，n的大小，并说明理由；
（2）已知点C（x0，p）在该抛物线上，若对于3＜x0＜4，都有m＞p＞n，求t的取值范围．
【点拨】（1）①利用对称轴公式求得即可；
②利用二次函数的性质判断即可；
（2）由题意可知点A（﹣1，m）在对称轴的左侧，点B（3，n），C（x0，p）在对称轴的右侧，点A到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离，据此即可得到，解得≤t≤3．
【解析】解：（1）①∵t＝﹣＝2，
∴b＝﹣4a；
②∵抛物线y＝ax2+bx+c中，a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵点A（﹣1，m），点B（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，对称轴为直线x＝2，
∴点A（﹣1，m）到对称轴的距离大于点B（3，n）到对称轴的距离，
∴m＞n；
（2）由题意可知，点A（﹣1，m）在对称轴的左侧，点B（3，n），C（x0，p）在对称轴的右侧，
∵3＜x0＜4，都有m＞p＞n，
∴点A到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离，
∴，解得≤t≤3，
∴t的取值范围是≤t≤3．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质．
24．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦（不是直径），且CD⊥AB于点E，过点C作⊙O的直径CF，直线CB、DF交于点G．
（1）求证：△CFG为等腰三角形；
（2） ①若AB＝6，求△CDF的最大面积；
②当∠ABC的度数为多少度时，以点B，O，D，F为顶点的四边形为菱形．
【点拨】（1）先判断出AB∥DG，进而得出∠ABC＝∠G，再判断出∠ABC＝∠BCF，即可得出结论；
（2）先判断出DH最大时，△CDF的面积最大，计算即可得出结论；
（3）先判断出△ODF是等边三角形，进而得出∠COD＝120°，再用垂径定理，求出∠AOC即可得出结论．
【解析】解：（1）∵CF是⊙O的直径，
∴∠CDF＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BEC＝90°＝∠CDG，
∴AB∥DG，
∴∠ABC＝∠G，
∵OB＝OC，
∴∠ABC＝∠BCF，
∴∠BCF＝∠G，
∴CF＝GF，
∴△CFG是等腰三角形；
（2）如图1，
过点D作DH⊥CF于H，
∵AB，CF都是⊙O直径，且AB＝6，
∴CF＝6，
∴S△CDF＝CF×DH＝3DH，
要S△CDF最大，则DH最大，而DH最大＝3，
即：S△CDF最大＝9，
（3）如图2，当点E在OA上时，
∵AB∥DG，∴要以点B，O，D，F为顶点的四边形为菱形，只有四边形BODF是菱形，
∴OD＝DF，
∵OD＝OF，
∴OD＝OF＝DF，
∴△ODF是等边三角形，
∴∠DOF＝60°
∴∠COD＝120°，
∵直径AB⊥CD，
∴∠AOC＝COD＝60°，
∴∠ABC＝AOC＝30°，
当点E在OB上时，同理：∠ABC＝60°
即：当∠ABC的度数为30°或60°时，以点B，O，D，F为顶点的四边形为菱形，
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，判断出AB∥DG是解本题的关键．
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