【培优版】北师大版数学九年级上册6.3反比例函数的应用 同步练习
一、选择题
1．（2024·绵竹模拟）如图表示两种材料的电阻与温度的关系，下列说法错误的是（ ）
A．当时，两种材料的电阻大小相同
B．两种材料的电阻都是随着温度的增大而减小
C．当温度低于时，半导体热敏电阻的电阻值在以上
D．当铂热电阻的电阻值超过时，温度在以上
2．一个长方体物体的一顶点所在 三个面的面积比是 ， 如果分别按 ， 面朝上将此长方体物体放在水平地面上， 地面所受的压力产生的压强分别为 ， (压强的计算公式为 )， 则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2024·柳州三模）伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“杠杆原理”的意义和价值．“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用．比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”．已知阻力和阻力臂的函数图象如图所示，若小明想使动力不超过，则动力臂（单位：m）需满足（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·高州模拟）如图所示，小亮设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，右侧用一个弹簧测力计向下拉，改变弹簧测力计与支点O的距离，观察弹簧测力计的示数的变化情况．实验数据记录如下表：
…… 10 15 20 25 30 ……
…… 45 30 22.5 18 15 ……
下列说法不正确的是（ ）
A．弹簧测力计的示数与支点O的距离之间关系的图象如图
B．y与x的函数关系式为
C．当弹簧测力计的示数为时，弹簧测力计与O点的距离是37.5
D．随着弹簧测力计与O点的距离不断增大，弹簧测力计上的示数不断减小
5．（2024九上·浦北期末）某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降．此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．上午点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水
B．水温下降过程中，与的函数关系式是
C．水温从加热到，需要
D．水温不低于的时间为
6．（2011九上·黄冈竞赛）如图，一次函数y=ax+b的图象与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数 的图象相交于C、D两点，分别过C、D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E、F，连接CF、DE，有下列结论：①△CEF与△DEF的面积相等；②EF∥CD；③△DCE≌△CDF；④AC=BD；⑤△CEF的面积等于 ，其中正确的个数有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2024九上·定海开学考）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．水温从加热到，需要
B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是
C．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水
D．在一个加热周期内水温不低于的时间为
8．（2024·南山模拟）某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积为，压敏电阻的阻值随所受液体压力的变化关系如图2所示（水深越深，压力越大），电源电压保持6V不变，当电路中的电流为0.3A时，报警器（电阴不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式x），则下列说法中不正确的是（ ）
A．当水箱未装水（h=0m）时，压强为0kPa
B．当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力为40N
C．当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度是0.8m
D．若想使水深1m时报警，应使定值电阻的阻值为
二、填空题
9．（2022九上·平谷期末）青藏铁路是当今世界上海拔最高、线路最长的高原铁路，因路况、季节、天气等原因行车的平均速度在（千米/小时）之间变化，铁路运行全程所需要的时间（小时）与运行的平均速度（千米/小时）满足如图所示的函数关系，列车运行的平均速度最大和列车运行的平均速度最小时全程所用时间相差 小时．
10．（2020九上·龙华期末）如图，已知直线y=k1x与双曲线y= 交于A B两点，将线段AB绕点A沿顺时针方向旋转60°后，点B落在点C处，双曲线y= 经过点C，则 的值是 。
11．（2020九上·福田期末）如图，直线y= x+4与x轴、y轴交于4、B两点，AC⊥AB，交双曲线y= (x<0)于C点，且BC交x轴于M点，BM=2CM，则k= 。
12．（2023·滦州模拟）如图是某种电子理疗设备工作原理的示意图，其开始工作时的温度是，然后按照一次函数关系一直增加到，这样有利于打通病灶部位的血液循环，在此温度下再沿反比例函数关系缓慢下降至，然后在此基础上又沿着一次函数关系一直将温度升至，再在此温度下沿着反比例函数关系缓慢下降至，如此循环下去．
（1）t的值为 ；
（2）如果在分钟内温度大于或等于时，治疗效果最好，则维持这个温度范围的持续时间为 分钟．
13．如图1，将一个长方体放置于一水平桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示：
桌面所受压强 p(Pa) 400 500 800 1000 1250
受力面积S(m2) 0.5 0.4 a 0.2 0.16
（1）根据表中数据，计算a的值为 .
（2）将另一个长、宽、高分别为 60 cm， 20cm，10cm，且与原长方体重量相同的长方体按照如图2所示的方式放置于该水平桌面上，则桌面所承受的压强为 Pa.
三、解答题
14．（2024八下·萧山期末）综合与实践：如何称量一个元硬币的重量？
素材：如图是一架自制天平，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的点可以在横梁段滑动已知，支点的中点处，一个的砝码．
素材：由于一个硬币太轻，这个自制天平无法直接称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置一个砝码，右侧托盘放入个相同的元硬币，调整点的位置，发现当时，天平平衡．
链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘砝码重量右盘物体重量不计托盘与横梁重量
（1）任务：左侧托盘放入砝码，设右侧托盘放置物体，长为，求关于的函数表达式；
（2）任务：求一个元硬币的重量；并判断左侧托盘放入砝码时，右侧托盘至少要放置几个元硬币，该天平才能保持平衡；
（3）任务：横梁长度保持不变的情况下，通过调整天平支点的位置，使左侧托盘放入砝码，右侧托盘放置一个元硬币时，天平能保持平衡，的长度至多是多少？
15．（2023九上·平山月考） 某公司的饮水机在水温为20℃时开机加热，加热时每分钟上升20℃，加热到100℃停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系，如图所示，直至水温降至20℃，饮水机关机（这是一个加热周期），饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序.
（1）将水从20℃加热到100℃需要 min；在图15中的水温下降的过程中，求水温与开机后用时的函数解析式（不写自变量的取值范围）；
（2）在一个加热周期中，求水温不低于40℃的时长；
（3）王经理去接水时看到饮水机的水温刚好降到50℃，若他想接到60℃的水（在不打断加热周期的情况下），请直接写出他至少还要等待多长时间？
16．（2023九上·路北月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点是反比例函数第一象限图象上一点，且的面积是面积的一半，直接写出点的横坐标．
17．（2018·秀洲模拟）某农户共摘收水蜜桃1920千克，为寻求合适的销售价格，进行了6天试销，试销情况如下：
第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天
售价 x（元/千克） 20 18 15 12 10 9
销售量 y（千克） 45 50 60 75 90 100
由表中数据可知，试销期间这批水蜜桃的每天销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足我们曾经学过的某种函数关系．若在这批水蜜桃的后续销售中，每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间都满足这一函数关系．
（1）你认为y与x之间满足什么函数关系？并求y关于x的函数表达式．
（2）在试销6天后，该农户决定将这批水密桃的售价定为15元/千克．
① 若每天都按15元/千克的售价销售，则余下的水蜜桃预计还要多少天可以全部售完？
② 该农户按15元/千克的售价销售20天后，发现剩下的水蜜桃过于成熟，必须在不超过2天内全部售完，因此需要重新确定一个售价，使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完，则新的售价最高可以定为多少元/千克？
18．【背景】在一次物理实验中， 小冉同学用一固定电压为 的蓄电池， 通过调节滑动变阻器来改变电流大小， 完成控制灯泡 (灯丝的阻值 ) 亮度的实验． 如图， 已知串联电路中， 电流与电阻 之间关系为 ， 通过实验得出如下数据：
1
3 4 6
4 3 2.4 2
（1） ， .
（2）【探究】根据以上实验， 构建出函数 ， 结合表格信息， 探究函数 的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数 的图像．
②随着自变量 的不断增大，函数值 的变化趋势是 ▲
（3）【拓展】结合 (2) 中函数图象分析， 当 时， 求 的解集．
19．（2018九上·北京期末）阅读下列材料：
实验数据显示，一般成人喝250毫升低度白酒后，其血液中酒精含量（毫克/百毫升）随时间的增加逐步增高达到峰值，之后血液中酒精含量随时间的增加逐渐降低．
小带根据相关数据和学习函数的经验，对血液中酒精含量随时间变化的规律进行了探究，发现血液中酒精含量y是时间x的函数，其中y表示血液中酒精含量（毫克/百毫升），x表示饮酒后的时间（小时）．
下表记录了6小时内11个时间点血液中酒精含量y（毫克/百毫升）随饮酒后的时间x（小时）（x＞0）的变化情况．
下面是小带的探究过程，请补充完整：
（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，以上表中各对数值为坐标描点，图中已给出部分点，请你描出剩余的点，画出血液中酒精含量y随时间x变化的函数图象；
（2）观察表中数据及图象可发现此函数图象在直线 两侧可以用不同的函数表达式表示，请你任选其中一部分写出表达式；
（3）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：30在家喝完250毫升低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．
20．（2023九上·福田月考）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“”形图都是正方形结构，同一行的“”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．
素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1． 探究1 检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“”形图边长．
素材2 图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“”形图所成的角叫做分辨视角θ．视力值n与分辨视角θ（分）的对应关系近似满足n＝（0.5≤θ≤10）． 探究2 当n≥1.0时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角θ的范围．
素材3 如图3，当θ确定时，在A处用边长为b1的Ⅰ号“”测得的视力与在B处用边长为b2的Ⅱ号“”测得的视力相同． 探究3 若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“”形图边长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：A、由图象可知：当T=a时，两种材料的电阻大小相同，此选项不符合题意；
B、铂热电阻的电阻值随着温度的增大而增大，原说法错误，此选项符合题意；
C、由图象可知：当温度低于时，半导体热敏电阻的电阻值在以上，此选项不符合题意；
D、由图象可知： 当铂热电阻的电阻值超过时，温度在以上，此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】观察图象，根据两种材料的电阻R与温度T的函数图象的交点以及增减性依次判断即可求解.
2．【答案】A
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵ 长方体物体的一顶点所在 三个面的面积比是 ，
∴设A、B、C三个面的面积分别是3a，2a，a，
则，，，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据A、B、C三个面的面积比是3：2：1，设出A、B、C三个面的面积分别是3a，2a，a，再根据压强的计算公式为 表示 ， ，再计算化简 即可.
3．【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设阻力和阻力臂的函数关系式为，
点在该函数图象上，
，
解得，
阻力和阻力臂的函数关系式为，
，
，
当时，，
小明想使动力不超过，则动力臂（单位：需满足，
故答案为：C．
【分析】根据题意和图象中的数据，可以计算出阻力和阻力臂的函数关系式，然后根据动力动力臂阻力阻力臂，即可得到动力臂的取值范围．
4．【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：通过表格数据发现xy=450，
∴y与x之间的函数关系是反比例函数，其关系是为(x＞0)，故B选项正确，不符合题意；
∵解析式中比例系数k=450＞0，且自变量x＞0，
∴图象在第一象限，其y随x的增大而减小，故A、D选项正确，不符合题意；
将y=12.5代入得，
解得x=36，
∴ 当弹簧测力计的示数为12.5N时，弹簧测力计与O点的距离是36，故C选项错误，符合题意.
故答案为：C.
【分析】过表格数据发现xy=450，可得y与x之间的函数关系是反比例函数，其关系是为(x＞0)，由于比例系数k=450＞0，且自变量x＞0，所以图象在第一象限，其y随x的增大而减小，据此可判断A、B、D选项；将将y=12.5代入所得函数解析式，算出对应的自变量x的值，即可判断C选项.
5．【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设水温上升阶段y关于x之间的函数关系为y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)，
将点(0，20)与(8，100)分别代入得，
解得，
∴水温上升阶段y关于x之间的函数关系为y=10x+20；
设水温下降阶段y关于x之间的函数关系式为，
将点(8，100)代入得k1=800，
∴水温下降阶段y关于x之间的函数关系式，故B选项不符合题意；
令中的y1=20，得x=40，
∴饮水机每经过40min，要重新开始加热一次，从上午8点接通电源到9：30分，经过的时间为90min，90-40×2=10min，
将y=100代入y=10x+20，得10x+20=100，解得x=8，即水温加热到100℃，需要时间为8min，故C选项错误；
∴9：30时，饮水机第三次从开始加热加热了10min ，
将x=10代入得y1=80，
即9：30时，饮水机的水温为80℃，故A选项错误，不符合题意；
将y=30代入y=10x+20可得x=1，将y1=30代入，得x=，
∴水温不低于30℃的时间为min，故D选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】首先利用待定系数法求出水温上升阶段y关于x之间的函数关系为y=10x+20；水温下降阶段y关于x之间的函数关系式为，据此可判断B选向；然后令中的y1=20，算出对应的自变量的值，从而得出饮水机每经过40min，要重新开始加热一次，从上午8点接通电源到9：30分，经过的时间为90min，故饮水机第三次从开始加热加热了10min ，然后将x=10代入算出对应的自变量的值，可判断A选项；将y=100代入y=10x+20，算出对应的自变量的值可判断C选项；将y=30分别代入y=10x+20与算出对应的自变量的取值，求差即可判断D选项.
6．【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：设点D的坐标为（x，kx），则F（x，0）．
由函数的图象可知：x＞0，k＞0． ∴S△DFE= DF OF= |xD| | |= k，
同理可得S△CEF= k，故⑤正确； 故S△DEF=S△CEF．故①正确；
若两个三角形以EF为底，则EF边上的高相等，故CD∥EF．故②正确；
③条件不足，无法得到判定两三角形全等的条件，故③错误；
④法一：∵CD∥EF，DF∥BE，
∴四边形DBEF是平行四边形，
∴S△DEF=S△BED， 同理可得S△ACF=S△ECF；
由①得：S△DBE=S△ACF． 又∵CD∥EF，BD、AC边上的高相等，
∴BD=AC，故④正确；
法2：∵四边形ACEF，四边形BDEF都是平行四边形， 而且EF是公共边， 即AC=EF=BD，
∴BD=AC，故④正确； 因此正确的结论有4个：①②④⑤．
故答案为：C．
【分析】此题要根据反比例函数的性质进行求解，解决此题的关键是要证出CD∥EF，可从①问的面积相等入手；△DFE中，以DF为底，OF为高，可得S△DFE=|xD| |yD|=k，同理可求得△CEF的面积也是k，因此两者的面积相等；若两个三角形都以EF为底，那么它们的高相同，即E、F到AD的距离相等，由此可证得CD∥EF，然后根据这个条件来逐一判断各选项的正误．
7．【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵开机加热时每分钟上升，
∴水温从加热到，所需时间为，故A选项正确，不符合题意；
设水温下降过程中，y与x的函数关系式为，
由题意得，点在反比例函数的图象上，
∴，
解得：，
∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，故B选项正确，不符合题意；
令，则，
∴，
∴从开机加热到水温降至需要，即一个循环为，
设加热过程中水温与通电时间的函数关系式为：，把代入得：，
解得：，
∴此时，
∴水温与通电时间的函数关系式为，
上午10点到共30分钟，，
∴当时，，
即此时的水温为，故C选项正确，不符合题意；
在加热过程中，水温为时，，
解得：，
在降温过程中，水温为时，，
解得：，
∵，
∴一个加热周期内水温不低于的时间为，故D选项错误，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据水温升高的速度，即可求出水温从加热到所需的时间；设水温下降过程中，y与x的函数关系式为，根据待定系数法，将（4，100）代入，即可求解；由反比例函数解析式求出当水温下降到所需时间为，即一个循环为，则接通电源30分钟后，将代入反比例函数解析式中求出此时水温即可判断；分别由加热过程和降温过程的解析式求出水温为的时间，计算时间差即可判断．
8．【答案】B
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：A、由图3可知，水箱未装水（h=0m）时，压强p为0kPa，
故A正确，A不符合题意；
B、当报警器刚好开始报警时，根据欧姆定律可知此时电路的电阻：R===20（Ω），
次时压敏电阻的阻值：R2=R-R1=20Q-10Q=10Ω，由乙图可知此时压敏电阻受到压力为80N，
故B不正确，B符合题意；
C、当报警器刚好开始报警时，则水箱受到的压强为P===8000（Pa），
则水箱的深度为h===0.8（m），
故C正确，C不符合题意；
D、水深为lm时，压敏电阻受到的压强：P=ρgh=1.0×103×10×l=10000（Pa），
此时压敏电阻受到的压力：F=PS=10000×0.01=100（N），
由图2可知此时压敏电阻的阻值为8Ω，
由B知当报警器刚好开始报警时，电路总电阻为20Q，
根据串联电路电阻规律可知选用的定值电阻的阻值：R1=R-R2=20-8=12．
故D正确，D不符合题意．
故答案为：B.
【分析】由图3可以直接判断A；
根据欧姆定律计算当报警器刚好开始报警时通过电路的电阻，根据串联电路电阻规律计算此时压敏电阻的阻值，根据F=pS计算压敏电阻受到的压力即可判断B；
根据液体压公式计算水箱中水的深度即可判断C；
根据液体压强公式计算水深为1m时压敏电阻受到的压强，根据F=pS计算此时压敏电阻受到的压力，由乙图可知此时压敏电阻的阻值，由B知当报警器刚好开始报警时电路总电阻，根据串联电路电阻规律计算选用的定值电阻的阻值可判断D。
9．【答案】2.2
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设铁路运行全程所需要的时间与运行的平均速度之间的表达式为，
把点代入得：，
解得：，
∴设铁路运行全程所需要的时间与运行的平均速度之间的表达式为，
当时，（小时），
当时，（小时），
（小时），
故答案为：2.2．
【分析】先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将和分别代入解析式求出t的值，最后求出即可。
10．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接OC，BC，过点B作BD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，
∴∠BDO=∠OCE=90°，
∴∠BOD+∠OBD=90°，
∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵ 直线y=k1x与双曲线y= 交于A、B两点，
∴OA=OB，
∴OC⊥AB，∠BCO=30°，
∴，
∴∠BOD+∠COE=90°，
∴∠OBD=∠COE，
∴△OBD∽△COE，
∴，
∵S△OBD=，S△OCE=，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】连接OC，BC，过点B作BD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，根据旋转的性质得出△ABC是等边三角形，根据反比例函数和一次函数的对称性得出OA=OB，得出OC⊥AB，∠BCO=30°，得出，再证出△OBD∽△COE，得出，利用反比例函数系数k的几何意义得出S△OBD=，S△OCE=，从而得出.
11．【答案】14
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点C作CD⊥x轴于点D，
∴∠ADC=∠CDM=∠BOM=90°，
∵∠CMD=∠BMO，
∴△CMD∽△BMO，
∴，
∴CD=OB，
∵ 直线y=x+4与x轴、y轴交于A、B两点，
∴A（-8，0），B（0，4），
∴OA=8，OB=4，
∴CD=2，
∵AC⊥AB，
∴∠CAD+∠BAO=∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠BAO，
∴∠ACD∽∠BAO，
∴，
∴，
∴OD=8-1=7，
∴点C坐标为（-7，-2），
∴k=2×7=14.
故答案为：14.
【分析】过点C作CD⊥x轴于点D，证出△CMD∽△BMO，得出CD=OB，再求出点A，B的坐标，求出CD的长，证出∠ACD∽∠BAO，求出AD的长，从而求出点C的坐标，代入双曲线的解析式，即可求出k的值.
12．【答案】（1）50
（2）20
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：(1)设第一次循环过程中反比例函数的解析式为，过点，
，
，
当时，则，解得，
(2)设第一次循环过程中一次函数的解析式为，
由题意得 ，解得 ，
一次函数的解析式为，
当时，则，解得，
当时则，解得，
分钟内温度大于或等于时，治疗效果最好，则维持这个温度范围的持续时间为
（分钟）
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再将y=35代入计算即可；
（2）先求出一次函数解析式，再将y=50代入求出t的值即可。
13．【答案】（1）0.25
（2）10000
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：（1）解：由表格数据知：压强与受力面积的乘积不变，则压强与受力面积呈反比例关系，∴设把代入，∴∴则当时，.
故答案为：0.25.
（2）解：∴桌面受到的压强为：，故答案为：10000.
【分析】（1）由表格数据知：压强与受力面积的乘积不变，则压强与受力面积呈反比例关系，设把代入，求出k的值，最后把代入即可求出a的值；
（2）根据题意求出长方体与桌面的接触面积，进而结合（1）计算即可.
14．【答案】（1）解：由题意得，，
．
．
（2）解：由任务，，
又当时，天平平衡，
．
．
枚一元的硬币．
一个一元的硬币．
，
随的增大而减小．
当最大时，最小，
即当时，最小．
又，
右侧托盘至少要放置个元硬币．
（3）解：由题意，设时，天平平衡，此时，
．
．
答：的长度为．
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）先根据中点得到，进而即可列出反比例函数；
（2）根据反比例函数图象上的点的坐标特征结合反比例函数的性质即可得到当时，最小，从而即可求解；
（3）设时，天平平衡，此时，进而即可列出一元一次方程，从而即可求解。
15．【答案】（1）4
（2）解：当时，设水温与开机后用时的函数解析式为.
将，代入，解得∴.
在水温上升的过程中，当时，. 在水温下降的过程中，
当时，，∴，
即水温不低于40℃的时长为9min；
（3）他至少还要等待14min.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）∵开机加热时每分钟上升20℃，
∴将水从20℃加热到100℃需要 （100-20）÷20=4（min），
在水温下降的过程中，设水温与开机后用时的函数解析式为，
将代入中，得：，
解得，
即水温与开机后用时的函数解析式为；
故答案为：4；
（3）水温刚好降到50℃时，可得：，
解得：x=8；
水温刚好降到20℃时，可得：，
解得：x=20；
从20℃加热到60℃需要（60-20）÷20=2（min），
∴王经理至少还要等待20-8+2=14（min），
即他至少还要等待14min。
【分析】（1）先求出水从20℃加热到100℃需要的时间，再利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）利用待定系数法求出解析式，再求出当时，，最后求解即可；
（3）根据题意先求出x=8或x=20，再求出从20℃加热到60℃需要2min，最后计算求解即可。
16．【答案】（1）解：一次函数的图象过点，可得，
解得：，
点的坐标为，
反比例函数的图象过点，可得，
解得：．
反比例函数的表达式为．
（2）解：点的横坐标为或，理由如下：
如图所示，
将一次函数的图象向下平移个单位，得到直线：的图象．
将直线：的图象向下平移个单位，得到直线：的图象，该图象过原点．
将直线：的图象向上平移个单位，得到直线：的图象．
直线与直线平行，两条平行线之间的距离即为的边上的高；直线与直线平行，两条平行线之间的距离即为的边上的高，
．
的面积是面积的一半，
直线与反比例函数在第一象限内的交点即为点，
．
．
解得：，(舍去)．
同理，直线与直线平行，两条平行线之间的距离即为的边上的高，
．
直线与反比例函数在第一象限内的交点即为点，
，
解得：，(舍去)．
综上可知，点的横坐标为或．
【知识点】公式法解一元二次方程；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）将点A坐标代入一次函数解析式可得点的坐标为，再根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
（2）根据平移的性质和平行线线的距离可知，直线或与反比例函数在第一象限内的交点即为点，连接两个函数，求出的值即可．
（1）一次函数的图象过点，可得，
解得：，
点的坐标为，
反比例函数的图象过点，可得，
解得：．
反比例函数的表达式为．
（2）点的横坐标为或，理由如下：
如图所示，
将一次函数的图象向下平移个单位，得到直线：的图象．
将直线：的图象向下平移个单位，得到直线：的图象，该图象过原点．
将直线：的图象向上平移个单位，得到直线：的图象．
直线与直线平行，两条平行线之间的距离即为的边上的高；直线与直线平行，两条平行线之间的距离即为的边上的高，
．
的面积是面积的一半，
直线与反比例函数在第一象限内的交点即为点，
．
．
解得：，(舍去)．
同理，直线与直线平行，两条平行线之间的距离即为的边上的高，
．
直线与反比例函数在第一象限内的交点即为点，
，
解得：，(舍去)．
综上可知，点的横坐标为或．
17．【答案】（1）解：y与x之间满足反比例函数关系，y关于x的函数表达式为
（2）解：①试销6天共销售水蜜桃45+50+60+75+90+100=420千克，水密桃的售价定为15元/千克时，每天的销售量为60千克，由题意得， （天）.
∴余下的水蜜桃预计还要25天可以全部售完；
②农户按15元/千克的售价销售20天后，
还剩下水蜜桃 （千克），
∵要在不超过2天内全部售完，∴每天的销售量至少为150千克，
把y=150代入 中得x=6.
∴新的售价最高可以定为6元/千克.。
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）从表格数据来看，每天的售价与销售量的乘积是一个定值900，从而得出y与x之间满足反比例函数关系，及函数表达式；
（2）①首先算出试销6天共销售水蜜桃的总质量，然后算出还剩水蜜桃的质量，根据表格水密桃的售价定为15元/千克时，每天的销售量为60千克，然后用总质量除以每天的销量即可得出余下的水蜜桃预计全部售完的时间；②首先算出农户按15元/千克的售价销售20天后，还剩水蜜桃的质量，又要在不超过2天内全部售完，从而得出每天的销售量至少保证的量，即y的量，再把y的量代入函数解析式，即可得出答案
18．【答案】（1）2；
（2）①根据表格数据描点， 在平面直角坐标系中画出对应函数 的图象如下：
② 由图象可知，数值 随着自变量 的不断增大而不断减小．
（3）解：作函数，如图，
由函数图象知， 当 或 时， ，
即当 时， 的解集为 或 ．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：（1）∵，U=12，
当R=1时，I=4，
故，解得：RL=2.
∴I=3时，，解得：a=2.
R=6时，，即
故答案为：2；.
（2）② 随着自变量 的不断增大，函数值 的变化趋势是：数值 随着自变量 的不断增大而不断减小．
故答案为：数值 随着自变量 的不断增大而不断减小．
【分析】（1）把R=1时，I=4代入，求出RL的值，再分别把I=3代入求出a的值，把R=6代入，即可求出b的值.
（2）①通过表格描点连线即可；
②根据函数图象即可确定函数的变化趋势；
（3）函数的图象，结合两个函数的图象即可得 的解集 .
19．【答案】（1）解：图象如图所示．
（2）解：y＝－200x2＋400x(0≤x≤ )或y＝ (x> )
（3）解：不能．理由如下：把y＝20代入反比例函数y＝ 得x＝11.25．
∵晚上20：30经过11.25小时为第二天早上7：45，
∴第二天早上7：45以后才可以驾车上路，
∴第二天早上7：00不能驾车去上班
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据表中的x、y的对应值，利用描点法画出函数图象即可。
（2）利用待定系数法求出两函数解析式即可。
（3）把y=20代入反比例函数解析式求得x=11.25．喝完酒经过11.25小时为早上7：45，即早上7：45以后血液中的酒精含量小于或等于20毫克/百毫升．由此即可判断。
20．【答案】解：探究1：
由图象中的点的坐标规律得到n与b成反比例关系，
设，
将其中一点（9，0.8）代入得：，
解得：k＝7.2，
∴，
将其余各点一一代入验证，都符合关系式；
将 n＝1.2 代入n＝得：b＝6；
答：检测距离为5米时， n与b的关系式为，且视力值1.2所对应行的“E”形图边长为6mm，视力值1.2所对应行的“E”形图边长为6mm；
探究2：
∵，
∴在自变量θ的取值范围内，n随着θ的增大而减小，
∴当n≥1.0时，0＜θ≤1.0，
∵θ的取值范围是：0.5≤θ≤10，
∴0.5≤θ≤1.0；
探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角形性质可得
由探究1知b1＝6mm，
∴
解得，
答：检测距离为3m时，视力值1.2所对应行的“E”形图边长为．
【知识点】反比例函数的实际应用；相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）根据图象判断得n与b成反比例关系，设出表达式，然后代入点，即可得到k值，再令n=1.2，即可求得对应的b值；
（2）根据在自变量取值范围内n随θ的增大而减小，结合题中要求0.5≤θ≤10，可知n≥1.0时θ的取值范围；
（3）根据题意得当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，于是可得，代入数据计算即可.
1 / 1【培优版】北师大版数学九年级上册6.3反比例函数的应用 同步练习
一、选择题
1．（2024·绵竹模拟）如图表示两种材料的电阻与温度的关系，下列说法错误的是（ ）
A．当时，两种材料的电阻大小相同
B．两种材料的电阻都是随着温度的增大而减小
C．当温度低于时，半导体热敏电阻的电阻值在以上
D．当铂热电阻的电阻值超过时，温度在以上
【答案】B
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：A、由图象可知：当T=a时，两种材料的电阻大小相同，此选项不符合题意；
B、铂热电阻的电阻值随着温度的增大而增大，原说法错误，此选项符合题意；
C、由图象可知：当温度低于时，半导体热敏电阻的电阻值在以上，此选项不符合题意；
D、由图象可知： 当铂热电阻的电阻值超过时，温度在以上，此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】观察图象，根据两种材料的电阻R与温度T的函数图象的交点以及增减性依次判断即可求解.
2．一个长方体物体的一顶点所在 三个面的面积比是 ， 如果分别按 ， 面朝上将此长方体物体放在水平地面上， 地面所受的压力产生的压强分别为 ， (压强的计算公式为 )， 则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵ 长方体物体的一顶点所在 三个面的面积比是 ，
∴设A、B、C三个面的面积分别是3a，2a，a，
则，，，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据A、B、C三个面的面积比是3：2：1，设出A、B、C三个面的面积分别是3a，2a，a，再根据压强的计算公式为 表示 ， ，再计算化简 即可.
3．（2024·柳州三模）伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“杠杆原理”的意义和价值．“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用．比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”．已知阻力和阻力臂的函数图象如图所示，若小明想使动力不超过，则动力臂（单位：m）需满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设阻力和阻力臂的函数关系式为，
点在该函数图象上，
，
解得，
阻力和阻力臂的函数关系式为，
，
，
当时，，
小明想使动力不超过，则动力臂（单位：需满足，
故答案为：C．
【分析】根据题意和图象中的数据，可以计算出阻力和阻力臂的函数关系式，然后根据动力动力臂阻力阻力臂，即可得到动力臂的取值范围．
4．（2024·高州模拟）如图所示，小亮设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，右侧用一个弹簧测力计向下拉，改变弹簧测力计与支点O的距离，观察弹簧测力计的示数的变化情况．实验数据记录如下表：
…… 10 15 20 25 30 ……
…… 45 30 22.5 18 15 ……
下列说法不正确的是（ ）
A．弹簧测力计的示数与支点O的距离之间关系的图象如图
B．y与x的函数关系式为
C．当弹簧测力计的示数为时，弹簧测力计与O点的距离是37.5
D．随着弹簧测力计与O点的距离不断增大，弹簧测力计上的示数不断减小
【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：通过表格数据发现xy=450，
∴y与x之间的函数关系是反比例函数，其关系是为(x＞0)，故B选项正确，不符合题意；
∵解析式中比例系数k=450＞0，且自变量x＞0，
∴图象在第一象限，其y随x的增大而减小，故A、D选项正确，不符合题意；
将y=12.5代入得，
解得x=36，
∴ 当弹簧测力计的示数为12.5N时，弹簧测力计与O点的距离是36，故C选项错误，符合题意.
故答案为：C.
【分析】过表格数据发现xy=450，可得y与x之间的函数关系是反比例函数，其关系是为(x＞0)，由于比例系数k=450＞0，且自变量x＞0，所以图象在第一象限，其y随x的增大而减小，据此可判断A、B、D选项；将将y=12.5代入所得函数解析式，算出对应的自变量x的值，即可判断C选项.
5．（2024九上·浦北期末）某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降．此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．上午点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水
B．水温下降过程中，与的函数关系式是
C．水温从加热到，需要
D．水温不低于的时间为
【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设水温上升阶段y关于x之间的函数关系为y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)，
将点(0，20)与(8，100)分别代入得，
解得，
∴水温上升阶段y关于x之间的函数关系为y=10x+20；
设水温下降阶段y关于x之间的函数关系式为，
将点(8，100)代入得k1=800，
∴水温下降阶段y关于x之间的函数关系式，故B选项不符合题意；
令中的y1=20，得x=40，
∴饮水机每经过40min，要重新开始加热一次，从上午8点接通电源到9：30分，经过的时间为90min，90-40×2=10min，
将y=100代入y=10x+20，得10x+20=100，解得x=8，即水温加热到100℃，需要时间为8min，故C选项错误；
∴9：30时，饮水机第三次从开始加热加热了10min ，
将x=10代入得y1=80，
即9：30时，饮水机的水温为80℃，故A选项错误，不符合题意；
将y=30代入y=10x+20可得x=1，将y1=30代入，得x=，
∴水温不低于30℃的时间为min，故D选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】首先利用待定系数法求出水温上升阶段y关于x之间的函数关系为y=10x+20；水温下降阶段y关于x之间的函数关系式为，据此可判断B选向；然后令中的y1=20，算出对应的自变量的值，从而得出饮水机每经过40min，要重新开始加热一次，从上午8点接通电源到9：30分，经过的时间为90min，故饮水机第三次从开始加热加热了10min ，然后将x=10代入算出对应的自变量的值，可判断A选项；将y=100代入y=10x+20，算出对应的自变量的值可判断C选项；将y=30分别代入y=10x+20与算出对应的自变量的取值，求差即可判断D选项.
6．（2011九上·黄冈竞赛）如图，一次函数y=ax+b的图象与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数 的图象相交于C、D两点，分别过C、D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E、F，连接CF、DE，有下列结论：①△CEF与△DEF的面积相等；②EF∥CD；③△DCE≌△CDF；④AC=BD；⑤△CEF的面积等于 ，其中正确的个数有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：设点D的坐标为（x，kx），则F（x，0）．
由函数的图象可知：x＞0，k＞0． ∴S△DFE= DF OF= |xD| | |= k，
同理可得S△CEF= k，故⑤正确； 故S△DEF=S△CEF．故①正确；
若两个三角形以EF为底，则EF边上的高相等，故CD∥EF．故②正确；
③条件不足，无法得到判定两三角形全等的条件，故③错误；
④法一：∵CD∥EF，DF∥BE，
∴四边形DBEF是平行四边形，
∴S△DEF=S△BED， 同理可得S△ACF=S△ECF；
由①得：S△DBE=S△ACF． 又∵CD∥EF，BD、AC边上的高相等，
∴BD=AC，故④正确；
法2：∵四边形ACEF，四边形BDEF都是平行四边形， 而且EF是公共边， 即AC=EF=BD，
∴BD=AC，故④正确； 因此正确的结论有4个：①②④⑤．
故答案为：C．
【分析】此题要根据反比例函数的性质进行求解，解决此题的关键是要证出CD∥EF，可从①问的面积相等入手；△DFE中，以DF为底，OF为高，可得S△DFE=|xD| |yD|=k，同理可求得△CEF的面积也是k，因此两者的面积相等；若两个三角形都以EF为底，那么它们的高相同，即E、F到AD的距离相等，由此可证得CD∥EF，然后根据这个条件来逐一判断各选项的正误．
7．（2024九上·定海开学考）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．水温从加热到，需要
B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是
C．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水
D．在一个加热周期内水温不低于的时间为
【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵开机加热时每分钟上升，
∴水温从加热到，所需时间为，故A选项正确，不符合题意；
设水温下降过程中，y与x的函数关系式为，
由题意得，点在反比例函数的图象上，
∴，
解得：，
∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，故B选项正确，不符合题意；
令，则，
∴，
∴从开机加热到水温降至需要，即一个循环为，
设加热过程中水温与通电时间的函数关系式为：，把代入得：，
解得：，
∴此时，
∴水温与通电时间的函数关系式为，
上午10点到共30分钟，，
∴当时，，
即此时的水温为，故C选项正确，不符合题意；
在加热过程中，水温为时，，
解得：，
在降温过程中，水温为时，，
解得：，
∵，
∴一个加热周期内水温不低于的时间为，故D选项错误，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据水温升高的速度，即可求出水温从加热到所需的时间；设水温下降过程中，y与x的函数关系式为，根据待定系数法，将（4，100）代入，即可求解；由反比例函数解析式求出当水温下降到所需时间为，即一个循环为，则接通电源30分钟后，将代入反比例函数解析式中求出此时水温即可判断；分别由加热过程和降温过程的解析式求出水温为的时间，计算时间差即可判断．
8．（2024·南山模拟）某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积为，压敏电阻的阻值随所受液体压力的变化关系如图2所示（水深越深，压力越大），电源电压保持6V不变，当电路中的电流为0.3A时，报警器（电阴不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式x），则下列说法中不正确的是（ ）
A．当水箱未装水（h=0m）时，压强为0kPa
B．当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力为40N
C．当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度是0.8m
D．若想使水深1m时报警，应使定值电阻的阻值为
【答案】B
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：A、由图3可知，水箱未装水（h=0m）时，压强p为0kPa，
故A正确，A不符合题意；
B、当报警器刚好开始报警时，根据欧姆定律可知此时电路的电阻：R===20（Ω），
次时压敏电阻的阻值：R2=R-R1=20Q-10Q=10Ω，由乙图可知此时压敏电阻受到压力为80N，
故B不正确，B符合题意；
C、当报警器刚好开始报警时，则水箱受到的压强为P===8000（Pa），
则水箱的深度为h===0.8（m），
故C正确，C不符合题意；
D、水深为lm时，压敏电阻受到的压强：P=ρgh=1.0×103×10×l=10000（Pa），
此时压敏电阻受到的压力：F=PS=10000×0.01=100（N），
由图2可知此时压敏电阻的阻值为8Ω，
由B知当报警器刚好开始报警时，电路总电阻为20Q，
根据串联电路电阻规律可知选用的定值电阻的阻值：R1=R-R2=20-8=12．
故D正确，D不符合题意．
故答案为：B.
【分析】由图3可以直接判断A；
根据欧姆定律计算当报警器刚好开始报警时通过电路的电阻，根据串联电路电阻规律计算此时压敏电阻的阻值，根据F=pS计算压敏电阻受到的压力即可判断B；
根据液体压公式计算水箱中水的深度即可判断C；
根据液体压强公式计算水深为1m时压敏电阻受到的压强，根据F=pS计算此时压敏电阻受到的压力，由乙图可知此时压敏电阻的阻值，由B知当报警器刚好开始报警时电路总电阻，根据串联电路电阻规律计算选用的定值电阻的阻值可判断D。
二、填空题
9．（2022九上·平谷期末）青藏铁路是当今世界上海拔最高、线路最长的高原铁路，因路况、季节、天气等原因行车的平均速度在（千米/小时）之间变化，铁路运行全程所需要的时间（小时）与运行的平均速度（千米/小时）满足如图所示的函数关系，列车运行的平均速度最大和列车运行的平均速度最小时全程所用时间相差 小时．
【答案】2.2
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设铁路运行全程所需要的时间与运行的平均速度之间的表达式为，
把点代入得：，
解得：，
∴设铁路运行全程所需要的时间与运行的平均速度之间的表达式为，
当时，（小时），
当时，（小时），
（小时），
故答案为：2.2．
【分析】先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将和分别代入解析式求出t的值，最后求出即可。
10．（2020九上·龙华期末）如图，已知直线y=k1x与双曲线y= 交于A B两点，将线段AB绕点A沿顺时针方向旋转60°后，点B落在点C处，双曲线y= 经过点C，则 的值是 。
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接OC，BC，过点B作BD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，
∴∠BDO=∠OCE=90°，
∴∠BOD+∠OBD=90°，
∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵ 直线y=k1x与双曲线y= 交于A、B两点，
∴OA=OB，
∴OC⊥AB，∠BCO=30°，
∴，
∴∠BOD+∠COE=90°，
∴∠OBD=∠COE，
∴△OBD∽△COE，
∴，
∵S△OBD=，S△OCE=，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】连接OC，BC，过点B作BD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，根据旋转的性质得出△ABC是等边三角形，根据反比例函数和一次函数的对称性得出OA=OB，得出OC⊥AB，∠BCO=30°，得出，再证出△OBD∽△COE，得出，利用反比例函数系数k的几何意义得出S△OBD=，S△OCE=，从而得出.
11．（2020九上·福田期末）如图，直线y= x+4与x轴、y轴交于4、B两点，AC⊥AB，交双曲线y= (x<0)于C点，且BC交x轴于M点，BM=2CM，则k= 。
【答案】14
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点C作CD⊥x轴于点D，
∴∠ADC=∠CDM=∠BOM=90°，
∵∠CMD=∠BMO，
∴△CMD∽△BMO，
∴，
∴CD=OB，
∵ 直线y=x+4与x轴、y轴交于A、B两点，
∴A（-8，0），B（0，4），
∴OA=8，OB=4，
∴CD=2，
∵AC⊥AB，
∴∠CAD+∠BAO=∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠BAO，
∴∠ACD∽∠BAO，
∴，
∴，
∴OD=8-1=7，
∴点C坐标为（-7，-2），
∴k=2×7=14.
故答案为：14.
【分析】过点C作CD⊥x轴于点D，证出△CMD∽△BMO，得出CD=OB，再求出点A，B的坐标，求出CD的长，证出∠ACD∽∠BAO，求出AD的长，从而求出点C的坐标，代入双曲线的解析式，即可求出k的值.
12．（2023·滦州模拟）如图是某种电子理疗设备工作原理的示意图，其开始工作时的温度是，然后按照一次函数关系一直增加到，这样有利于打通病灶部位的血液循环，在此温度下再沿反比例函数关系缓慢下降至，然后在此基础上又沿着一次函数关系一直将温度升至，再在此温度下沿着反比例函数关系缓慢下降至，如此循环下去．
（1）t的值为 ；
（2）如果在分钟内温度大于或等于时，治疗效果最好，则维持这个温度范围的持续时间为 分钟．
【答案】（1）50
（2）20
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：(1)设第一次循环过程中反比例函数的解析式为，过点，
，
，
当时，则，解得，
(2)设第一次循环过程中一次函数的解析式为，
由题意得 ，解得 ，
一次函数的解析式为，
当时，则，解得，
当时则，解得，
分钟内温度大于或等于时，治疗效果最好，则维持这个温度范围的持续时间为
（分钟）
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再将y=35代入计算即可；
（2）先求出一次函数解析式，再将y=50代入求出t的值即可。
13．如图1，将一个长方体放置于一水平桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示：
桌面所受压强 p(Pa) 400 500 800 1000 1250
受力面积S(m2) 0.5 0.4 a 0.2 0.16
（1）根据表中数据，计算a的值为 .
（2）将另一个长、宽、高分别为 60 cm， 20cm，10cm，且与原长方体重量相同的长方体按照如图2所示的方式放置于该水平桌面上，则桌面所承受的压强为 Pa.
【答案】（1）0.25
（2）10000
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：（1）解：由表格数据知：压强与受力面积的乘积不变，则压强与受力面积呈反比例关系，∴设把代入，∴∴则当时，.
故答案为：0.25.
（2）解：∴桌面受到的压强为：，故答案为：10000.
【分析】（1）由表格数据知：压强与受力面积的乘积不变，则压强与受力面积呈反比例关系，设把代入，求出k的值，最后把代入即可求出a的值；
（2）根据题意求出长方体与桌面的接触面积，进而结合（1）计算即可.
三、解答题
14．（2024八下·萧山期末）综合与实践：如何称量一个元硬币的重量？
素材：如图是一架自制天平，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的点可以在横梁段滑动已知，支点的中点处，一个的砝码．
素材：由于一个硬币太轻，这个自制天平无法直接称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置一个砝码，右侧托盘放入个相同的元硬币，调整点的位置，发现当时，天平平衡．
链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘砝码重量右盘物体重量不计托盘与横梁重量
（1）任务：左侧托盘放入砝码，设右侧托盘放置物体，长为，求关于的函数表达式；
（2）任务：求一个元硬币的重量；并判断左侧托盘放入砝码时，右侧托盘至少要放置几个元硬币，该天平才能保持平衡；
（3）任务：横梁长度保持不变的情况下，通过调整天平支点的位置，使左侧托盘放入砝码，右侧托盘放置一个元硬币时，天平能保持平衡，的长度至多是多少？
【答案】（1）解：由题意得，，
．
．
（2）解：由任务，，
又当时，天平平衡，
．
．
枚一元的硬币．
一个一元的硬币．
，
随的增大而减小．
当最大时，最小，
即当时，最小．
又，
右侧托盘至少要放置个元硬币．
（3）解：由题意，设时，天平平衡，此时，
．
．
答：的长度为．
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）先根据中点得到，进而即可列出反比例函数；
（2）根据反比例函数图象上的点的坐标特征结合反比例函数的性质即可得到当时，最小，从而即可求解；
（3）设时，天平平衡，此时，进而即可列出一元一次方程，从而即可求解。
15．（2023九上·平山月考） 某公司的饮水机在水温为20℃时开机加热，加热时每分钟上升20℃，加热到100℃停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系，如图所示，直至水温降至20℃，饮水机关机（这是一个加热周期），饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序.
（1）将水从20℃加热到100℃需要 min；在图15中的水温下降的过程中，求水温与开机后用时的函数解析式（不写自变量的取值范围）；
（2）在一个加热周期中，求水温不低于40℃的时长；
（3）王经理去接水时看到饮水机的水温刚好降到50℃，若他想接到60℃的水（在不打断加热周期的情况下），请直接写出他至少还要等待多长时间？
【答案】（1）4
（2）解：当时，设水温与开机后用时的函数解析式为.
将，代入，解得∴.
在水温上升的过程中，当时，. 在水温下降的过程中，
当时，，∴，
即水温不低于40℃的时长为9min；
（3）他至少还要等待14min.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）∵开机加热时每分钟上升20℃，
∴将水从20℃加热到100℃需要 （100-20）÷20=4（min），
在水温下降的过程中，设水温与开机后用时的函数解析式为，
将代入中，得：，
解得，
即水温与开机后用时的函数解析式为；
故答案为：4；
（3）水温刚好降到50℃时，可得：，
解得：x=8；
水温刚好降到20℃时，可得：，
解得：x=20；
从20℃加热到60℃需要（60-20）÷20=2（min），
∴王经理至少还要等待20-8+2=14（min），
即他至少还要等待14min。
【分析】（1）先求出水从20℃加热到100℃需要的时间，再利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）利用待定系数法求出解析式，再求出当时，，最后求解即可；
（3）根据题意先求出x=8或x=20，再求出从20℃加热到60℃需要2min，最后计算求解即可。
16．（2023九上·路北月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点是反比例函数第一象限图象上一点，且的面积是面积的一半，直接写出点的横坐标．
【答案】（1）解：一次函数的图象过点，可得，
解得：，
点的坐标为，
反比例函数的图象过点，可得，
解得：．
反比例函数的表达式为．
（2）解：点的横坐标为或，理由如下：
如图所示，
将一次函数的图象向下平移个单位，得到直线：的图象．
将直线：的图象向下平移个单位，得到直线：的图象，该图象过原点．
将直线：的图象向上平移个单位，得到直线：的图象．
直线与直线平行，两条平行线之间的距离即为的边上的高；直线与直线平行，两条平行线之间的距离即为的边上的高，
．
的面积是面积的一半，
直线与反比例函数在第一象限内的交点即为点，
．
．
解得：，(舍去)．
同理，直线与直线平行，两条平行线之间的距离即为的边上的高，
．
直线与反比例函数在第一象限内的交点即为点，
，
解得：，(舍去)．
综上可知，点的横坐标为或．
【知识点】公式法解一元二次方程；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）将点A坐标代入一次函数解析式可得点的坐标为，再根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
（2）根据平移的性质和平行线线的距离可知，直线或与反比例函数在第一象限内的交点即为点，连接两个函数，求出的值即可．
（1）一次函数的图象过点，可得，
解得：，
点的坐标为，
反比例函数的图象过点，可得，
解得：．
反比例函数的表达式为．
（2）点的横坐标为或，理由如下：
如图所示，
将一次函数的图象向下平移个单位，得到直线：的图象．
将直线：的图象向下平移个单位，得到直线：的图象，该图象过原点．
将直线：的图象向上平移个单位，得到直线：的图象．
直线与直线平行，两条平行线之间的距离即为的边上的高；直线与直线平行，两条平行线之间的距离即为的边上的高，
．
的面积是面积的一半，
直线与反比例函数在第一象限内的交点即为点，
．
．
解得：，(舍去)．
同理，直线与直线平行，两条平行线之间的距离即为的边上的高，
．
直线与反比例函数在第一象限内的交点即为点，
，
解得：，(舍去)．
综上可知，点的横坐标为或．
17．（2018·秀洲模拟）某农户共摘收水蜜桃1920千克，为寻求合适的销售价格，进行了6天试销，试销情况如下：
第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天
售价 x（元/千克） 20 18 15 12 10 9
销售量 y（千克） 45 50 60 75 90 100
由表中数据可知，试销期间这批水蜜桃的每天销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足我们曾经学过的某种函数关系．若在这批水蜜桃的后续销售中，每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间都满足这一函数关系．
（1）你认为y与x之间满足什么函数关系？并求y关于x的函数表达式．
（2）在试销6天后，该农户决定将这批水密桃的售价定为15元/千克．
① 若每天都按15元/千克的售价销售，则余下的水蜜桃预计还要多少天可以全部售完？
② 该农户按15元/千克的售价销售20天后，发现剩下的水蜜桃过于成熟，必须在不超过2天内全部售完，因此需要重新确定一个售价，使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完，则新的售价最高可以定为多少元/千克？
【答案】（1）解：y与x之间满足反比例函数关系，y关于x的函数表达式为
（2）解：①试销6天共销售水蜜桃45+50+60+75+90+100=420千克，水密桃的售价定为15元/千克时，每天的销售量为60千克，由题意得， （天）.
∴余下的水蜜桃预计还要25天可以全部售完；
②农户按15元/千克的售价销售20天后，
还剩下水蜜桃 （千克），
∵要在不超过2天内全部售完，∴每天的销售量至少为150千克，
把y=150代入 中得x=6.
∴新的售价最高可以定为6元/千克.。
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）从表格数据来看，每天的售价与销售量的乘积是一个定值900，从而得出y与x之间满足反比例函数关系，及函数表达式；
（2）①首先算出试销6天共销售水蜜桃的总质量，然后算出还剩水蜜桃的质量，根据表格水密桃的售价定为15元/千克时，每天的销售量为60千克，然后用总质量除以每天的销量即可得出余下的水蜜桃预计全部售完的时间；②首先算出农户按15元/千克的售价销售20天后，还剩水蜜桃的质量，又要在不超过2天内全部售完，从而得出每天的销售量至少保证的量，即y的量，再把y的量代入函数解析式，即可得出答案
18．【背景】在一次物理实验中， 小冉同学用一固定电压为 的蓄电池， 通过调节滑动变阻器来改变电流大小， 完成控制灯泡 (灯丝的阻值 ) 亮度的实验． 如图， 已知串联电路中， 电流与电阻 之间关系为 ， 通过实验得出如下数据：
1
3 4 6
4 3 2.4 2
（1） ， .
（2）【探究】根据以上实验， 构建出函数 ， 结合表格信息， 探究函数 的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数 的图像．
②随着自变量 的不断增大，函数值 的变化趋势是 ▲
（3）【拓展】结合 (2) 中函数图象分析， 当 时， 求 的解集．
【答案】（1）2；
（2）①根据表格数据描点， 在平面直角坐标系中画出对应函数 的图象如下：
② 由图象可知，数值 随着自变量 的不断增大而不断减小．
（3）解：作函数，如图，
由函数图象知， 当 或 时， ，
即当 时， 的解集为 或 ．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：（1）∵，U=12，
当R=1时，I=4，
故，解得：RL=2.
∴I=3时，，解得：a=2.
R=6时，，即
故答案为：2；.
（2）② 随着自变量 的不断增大，函数值 的变化趋势是：数值 随着自变量 的不断增大而不断减小．
故答案为：数值 随着自变量 的不断增大而不断减小．
【分析】（1）把R=1时，I=4代入，求出RL的值，再分别把I=3代入求出a的值，把R=6代入，即可求出b的值.
（2）①通过表格描点连线即可；
②根据函数图象即可确定函数的变化趋势；
（3）函数的图象，结合两个函数的图象即可得 的解集 .
19．（2018九上·北京期末）阅读下列材料：
实验数据显示，一般成人喝250毫升低度白酒后，其血液中酒精含量（毫克/百毫升）随时间的增加逐步增高达到峰值，之后血液中酒精含量随时间的增加逐渐降低．
小带根据相关数据和学习函数的经验，对血液中酒精含量随时间变化的规律进行了探究，发现血液中酒精含量y是时间x的函数，其中y表示血液中酒精含量（毫克/百毫升），x表示饮酒后的时间（小时）．
下表记录了6小时内11个时间点血液中酒精含量y（毫克/百毫升）随饮酒后的时间x（小时）（x＞0）的变化情况．
下面是小带的探究过程，请补充完整：
（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，以上表中各对数值为坐标描点，图中已给出部分点，请你描出剩余的点，画出血液中酒精含量y随时间x变化的函数图象；
（2）观察表中数据及图象可发现此函数图象在直线 两侧可以用不同的函数表达式表示，请你任选其中一部分写出表达式；
（3）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：30在家喝完250毫升低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．
【答案】（1）解：图象如图所示．
（2）解：y＝－200x2＋400x(0≤x≤ )或y＝ (x> )
（3）解：不能．理由如下：把y＝20代入反比例函数y＝ 得x＝11.25．
∵晚上20：30经过11.25小时为第二天早上7：45，
∴第二天早上7：45以后才可以驾车上路，
∴第二天早上7：00不能驾车去上班
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据表中的x、y的对应值，利用描点法画出函数图象即可。
（2）利用待定系数法求出两函数解析式即可。
（3）把y=20代入反比例函数解析式求得x=11.25．喝完酒经过11.25小时为早上7：45，即早上7：45以后血液中的酒精含量小于或等于20毫克/百毫升．由此即可判断。
20．（2023九上·福田月考）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“”形图都是正方形结构，同一行的“”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．
素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1． 探究1 检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“”形图边长．
素材2 图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“”形图所成的角叫做分辨视角θ．视力值n与分辨视角θ（分）的对应关系近似满足n＝（0.5≤θ≤10）． 探究2 当n≥1.0时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角θ的范围．
素材3 如图3，当θ确定时，在A处用边长为b1的Ⅰ号“”测得的视力与在B处用边长为b2的Ⅱ号“”测得的视力相同． 探究3 若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“”形图边长．
【答案】解：探究1：
由图象中的点的坐标规律得到n与b成反比例关系，
设，
将其中一点（9，0.8）代入得：，
解得：k＝7.2，
∴，
将其余各点一一代入验证，都符合关系式；
将 n＝1.2 代入n＝得：b＝6；
答：检测距离为5米时， n与b的关系式为，且视力值1.2所对应行的“E”形图边长为6mm，视力值1.2所对应行的“E”形图边长为6mm；
探究2：
∵，
∴在自变量θ的取值范围内，n随着θ的增大而减小，
∴当n≥1.0时，0＜θ≤1.0，
∵θ的取值范围是：0.5≤θ≤10，
∴0.5≤θ≤1.0；
探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角形性质可得
由探究1知b1＝6mm，
∴
解得，
答：检测距离为3m时，视力值1.2所对应行的“E”形图边长为．
【知识点】反比例函数的实际应用；相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）根据图象判断得n与b成反比例关系，设出表达式，然后代入点，即可得到k值，再令n=1.2，即可求得对应的b值；
（2）根据在自变量取值范围内n随θ的增大而减小，结合题中要求0.5≤θ≤10，可知n≥1.0时θ的取值范围；
（3）根据题意得当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，于是可得，代入数据计算即可.
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