【精品解析】【提升版】北师大版数学九年级上册6.3反比例函数的应用 同步练习

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名称 【精品解析】【提升版】北师大版数学九年级上册6.3反比例函数的应用 同步练习
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资源类型 试卷
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科目 数学
更新时间 2024-10-10 11:06:12

文档简介

【提升版】北师大版数学九年级上册6.3反比例函数的应用 同步练习
一、选择题
1.(2024九下·二道模拟)当温度不变时,某气球内的气压与气体体积的函数关系如图所示,已知当气球内的气压时,气球将爆炸,为了安全起见,气球的体积应(  )
A.不大于 B.大于 C.不小于 D.小于
【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解:设反比例函数解析式为:,
∵根据函数图象可得点(1.6,60)在反比例函数图象上,
∴将点(1.6,60)代入可得:
∴反比例函数解析式为:,
根据题意可得:
解得:,
故选C.
【分析】先根据图象可知,函数图象是反比例函数,且过点,将点代入反函数解析式即可求得的值,从而得出函数解析式,再根据的范围即可得出答案.
2.(2024九上·馆陶期末)在四个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气体,如图,用四个点分别描述这四种气体的密度与体积的情况,其中描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的阁象上,则这四种气体的质量最小的是(  )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【答案】A
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解:根据题意,的值即为该气体的质量,
∵描述乙、丁两该气体的质量的点恰好在同一个反比例函数的图象上,
∴乙、丁两该气体的质量相同,
∵点丙在反比例函数图象上面,点甲在反比例函数图象下面,
∴丙该气体的质量值最大,甲气体的质量的值最小.
故答案为:A
【分析】根据题意可知的值即为该气体的质量,再根据反比例函数图象上点的坐标特点并结合图像可知丙气体的质量最多,甲气体的质量最少,乙、丁两气体的质量相同。
3.(2024九上·沅江开学考)某个亮度可调节的台灯,其灯光亮度的改变,可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现.如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象,该图象经过点.根据图象可知,下列说法正确的是( )
A.当时,
B.I与R的函数表达式是
C.当时,
D.当时,则
【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解:设反比例函数的解析式为,
把点P坐标代入得:,解得:,
即函数解析式为:,故B不正确;
当时,即,解得:;故A不正确;
当时,,
由图象知,当时,;故C不正确;
当时,;当时,,
表明当时,则;故D正确;
故答案为:D.
【分析】先利用待定系数法求出反比例函数解析式,再利用反比例函数的性质分析求解即可.
4.(2023九上·福州月考)在物理学中,功率表示做功的快慢,功与做功时间的比叫做功率,即所做的功一定时,功率与做功所用的时间成反比例函数关系,图象如图所示,下列说法不正确的是(  )
A.P与t的函数关系式为 B.当时,
C.当时, D.p随t的增大而减小
【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解:由题意功率P与时间t成反比例函数关系,设P=,
将点(15,4000)代入得
解得k=60000,
故,故A选项正确,不符合题意;
当t=5时,P=,故B正确,不符合题意;
由图象可得,当,,故C错误,符合题意;
中k=60000>0,所以P随t的增大而减小,故D正确,不符合题意.
故答案为:C.
【分析】利用待定系数法求出反比例函数的解析式,即可判断A选项;将t=5代入所求的函数解析式算出对应的函数值即可判断B选项;根据反比例函数中k>0,函数值y随自变量x的增大而减小,当k<0时,函数值y随自变量x的增大而增大,可判断C、D两个选项.
5.(2024·巴东模拟)已知经过闭合电路的电流(单位:)与电路的电阻(单位:)之间的关系如表所示,则下列说法中错误的是(  )
…… 5 4 2 1 0.5 0.25 ……
…… 20 25 30 40 50 100 200 400 ……
A.的值为2.5
B.与之间的函数表达式为
C.当时,
D.随的增大而减小
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质;反比例函数的实际应用
【解析】【解答】∵闭合的电流I(单位:A)与电路的电阻(单位:Ω)是反比例函数关系,
∴40m=5×20,
∴m=2.5,
∴A不符合题意;
∵闭合的电流I(单位:A)与电路的电阻(单位:Ω)是反比例函数关系,
∴,把(20,5)代入得:U=20×5=100,
∴,
∴B不符合题意;
∵闭合的电流I(单位:A)与电路的电阻(单位:Ω)是反比例函数关系,且函数解析式为,
∴随的增大而减小,
∴D不符合题意;
故答案为:C.
【分析】先结合表格中的数据利用待定系数法求出函数解析式,再逐项分析判断即可.
6.(2024九下·邯郸模拟)在温度不变的条件下,通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压,加压后气体对汽缸壁所产生的压强p(kPa)与汽缸内气体的体积V(mL)成反比例,p关于V的函数图象如图所示.若压强由75kPa加压到100kPa,则气体体积压缩了(  )
A.10mL B.15mL C.20mL D.25mL
【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解:设关于的函数解析式为,
把点代入得:,
关于的函数解析式为,
当时,则,
当时,则,
压强由加压到,则气体体积压缩了;
故答案为:C
【分析】先根据物理知识设关于的函数解析式为,进而将点代入即可求出反比例函数的解析式,进而结合题意根据反比例函数图象上的点的坐标特征即可求解。
7.(2024·南昌模拟)物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路,其电路图如图1所示.经测试,发现电流I(A)随着电阻R(Ω)的变化而变化,并结合数据描点,连线,画成图2所示的函数图象.若该电路的最小电阻为1Ω,则该电路能通过的(  )
A.最大电流是36A B.最大电流是27A
C.最小电流是36A D.最小电流是27A
【答案】A
【知识点】反比例函数的实际应用;通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解:设,
将点代入得,解得,

若该电路的最小电阻值为,该电路能通过的最大电流是,
故答案为:A
【分析】设,进而运用待定系数法即可求出U,从而根据题意代入1即可求解。
8.(2024九上·浦北期末)某品牌自动饮水机,开机加热时每分钟上升,加热到,停止加热,水温开始下降.此时水温与通电时间成反比例关系.当水温降至时,饮水机再自动加热,若水温在时接通电源,水温与通电时间之间的关系如图所示,则下列说法中正确的是(  )
A.上午点接通电源,可以保证当天能喝到不超过的水
B.水温下降过程中,与的函数关系式是
C.水温从加热到,需要
D.水温不低于的时间为
【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解:设水温上升阶段y关于x之间的函数关系为y=kx+b(k、b为常数,且k≠0),
将点(0,20)与(8,100)分别代入得,
解得,
∴水温上升阶段y关于x之间的函数关系为y=10x+20;
设水温下降阶段y关于x之间的函数关系式为,
将点(8,100)代入得k1=800,
∴水温下降阶段y关于x之间的函数关系式,故B选项不符合题意;
令中的y1=20,得x=40,
∴饮水机每经过40min,要重新开始加热一次,从上午8点接通电源到9:30分,经过的时间为90min,90-40×2=10min,
将y=100代入y=10x+20,得10x+20=100,解得x=8,即水温加热到100℃,需要时间为8min,故C选项错误;
∴9:30时,饮水机第三次从开始加热加热了10min ,
将x=10代入得y1=80,
即9:30时,饮水机的水温为80℃,故A选项错误,不符合题意;
将y=30代入y=10x+20可得x=1,将y1=30代入,得x=,
∴水温不低于30℃的时间为min,故D选项正确,符合题意.
故答案为:D.
【分析】首先利用待定系数法求出水温上升阶段y关于x之间的函数关系为y=10x+20;水温下降阶段y关于x之间的函数关系式为,据此可判断B选向;然后令中的y1=20,算出对应的自变量的值,从而得出饮水机每经过40min,要重新开始加热一次,从上午8点接通电源到9:30分,经过的时间为90min,故饮水机第三次从开始加热加热了10min ,然后将x=10代入算出对应的自变量的值,可判断A选项;将y=100代入y=10x+20,算出对应的自变量的值可判断C选项;将y=30分别代入y=10x+20与算出对应的自变量的取值,求差即可判断D选项.
二、填空题
9.(2024·江门模拟)学校科技兴趣小组为探索如图所示的电路中电压、电流、电阻三者之间的关系,测得数据如下,根据数据猜想得到三者之间为:.由此可得,当电阻时,电流   A.
 
【答案】
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解: 由题意可得,∵,∴,
当R=220时,,解得
∴,
当R=110时,
故答案为:2.
【分析】 根据题意和表格中的数据,可以得到U的值是一个定值,然后将R=110代入函数解析式,求出I的值即可.
10.(2024九下·惠阳月考)饮水机中原有水的温度为,通电开机后,饮水机自动开始加热(此过程中,水温与开机时间分满足一次函数关系),当加热到时自动停止加热,随后水温开始下降(此过程中,水温与开机时间x分成反比例函数关系),当水温降至时,饮水机又自动开始加热,……如此循环下去(如图所示).那么开机后分钟时,水的温度是   .
【答案】50
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解:设反比例函数为y=;
∵反比例函数过点(8,100)将其代入,可得k=800;
∴反比例函数为y=
当y=20是,x=40;
∴水温从20℃升至100摄氏度,再将至20℃,所需的总时间为:8+40=48分;
∵56-40=16>8
∴当x=16时,y=50℃.
故答案为:50.
【分析】根据待定系数法可求出反比例函数的表达式;根据时间的关系,作比较后,将反比例函数上的点的横坐标代入即可求解.
11.(2024九上·雅安期末)如图,直线与y轴交于点A,与反比例函数图象交于点C,过点C作轴于点B,,则k的值为   .
【答案】-16
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解:令,则,




把代入,
得,

把代入,
得,
解得.
故答案为:.
【分析】先求出点A的坐标和求出BO的长,确定点C的横坐标,再将点C的横坐标代入一次函数解析式,可求得点C的坐标,最后将点C的坐标代入反比例函数解析式,求解即可.
12.(2024九上·松原期末)如图,一次函数的图象与反比例函数的图象交于,两点,则不等式的解集为    .
【答案】或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解:

在图中即直线在抛物线上方的部分
根据图中交点坐标(-1,m),(-5,n)
可知当时直线在抛物线上方
当 时直线在抛物线上方
的解集为或
故答案为:或
【分析】根据一次函数和反比例函数的性质及意义,进行函数值的大小比较,一个图象在某个自变量范围内在另一个图象的上方,说明这个函数在这个自变量范围内的函数值大。
13.(2024九上·广水期末)小明要把一篇文章录入电脑,所需时间y(min)与录入文字的速度x(字/min)之间的函数关系如图所示.如果小明要在7min内完成录入任务,那么他录入文字的速度至少为   字/min.
【答案】200
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解∶设,
把代入,得,
∴,
∴,
当时,,
∵,
在第一象限内,y随x的增大而减小,
∴小明录入文字的速度至少为200字/min.
故答案为:200.
【分析】先利用待定系数法求出反比例函数解析式为,再将x=7代入解析式求出y的值,再求解即可.
三、解答题
14.(2024九上·沅江开学考)如图,一次函数的图象与反比例的数的图象交于点和点,与x轴交于点C.
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)连接,,求的面积;
(3)直接写出关于x的不等式:的解集.
【答案】(1)解:∵点和点都在反比例函数图象上,
∴,
解得:,
∴,,
把代入得:,
∴反比例函数的解析式为,
把,代入得:,
解得:,
∴一次函数解析式为.
故答案为:一次函数解析式为;反比例函数的解析式为.
(2)解:把代入得:,解得:,
∴,
∴.
故答案为:.
(3)解:根据函数图象可知,当或时,反比例函数图象在一次函数图象的上面,
∴关于x的不等式:的解集为或.
故答案为:或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式;一次函数与二元一次方程(组)的关系;待定系数法求反比例函数解析式;反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】(1)利用点A、B都在反比例函数图象上,可得,求出n的值,再将点A、B的坐标分别代入求出k、b的值即可;
(2)先求出点C的坐标,再利用三角形的面积公式及割补法求出即可;
(3)结合函数图象,利用函数值大的图像在上方的原则求解即可.
(1)解:∵点和点都在反比例函数图象上,
∴,
解得:,
∴,,
把代入得:,
∴反比例函数的解析式为,
把,代入得:,
解得:,
∴一次函数解析式为.
(2)解:把代入得:,
解得:,
∴,
∴.
(3)解:根据函数图象可知,当或时,反比例函数图象在一次函数图象的上面,
∴关于x的不等式:的解集为或.
15.(2024九上·金沙期末) 如图,在平面直角坐标系中,反比例函数与一次函数的图象相交于两点,直线交y轴于点C.
(1)求反比例函数与一次函数的表达式;
(2)直接写出关于x的不等式的解集为   .
【答案】(1)解:∵在反比例函数上,

反比例函数解析式为,
在反比例函数上,


∵在一次函数上,

解得,
一次函数为.
(2)或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式;待定系数法求反比例函数解析式;反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解:(2)由(1)知点A(4,9),点B(-12,-3),由函数图象可知x>4或-12<x<0。
【分析】(1)首先根据在反比例函数上, 可求得反比例函数; 然后根据点A在反比例函数图象上,即可求得m=9,然后再利用待定系数法根据点A和点B的坐标,即可求得一次函数表达式一次函数为;
根据两函数交点的横坐标,结合函数图象,即可直接写出答案。
(2) 直接观察函数图象,即可得出不等式的解集。
16.(2024·金华模拟) 建筑是一门不断演化和创新的艺术,近年来,一种名为双曲铝单板的新兴材料以其独特的曲线和光泽,为建筑注入了新的时尚元素,同时也赋予了建筑更多的创意和流动性.图1为某厂家设计制造的双曲铝单板建筑,其横截面(图2)由两条曲线,(反比例函数图象的一部分)和若干线段围成,为轴对称图形,其中四边形与四边形均为矩形,,,,,,以AC的中点为原点,所在直线为轴建立平面直角坐标系.
请回答下列问题:
(1)如图2,求所在图象的函数表达式.
(2)如图3,为在曲面实现自动化操作,工程师安装了支架,并加装了始终垂直于的伸缩机械臂用来雕刻所在曲面的花纹,请问点P在上滑动过程中,最长为多少米?
【答案】(1)解:设反比例函数解析式为y=,由AC=20,BE=2,AB=2得E(-8,-2),代入解析式得得k=16,
故反比例函数解析式为;
(2)解:如图求出直线EG解析式为
根据反比例函数图象轴对称的性质,曲线关于直线对称,

解得,
解,得
的最大值为;
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式;反比例函数与一次函数的交点问题;反比例函数的实际应用
【解析】【分析】(1)根据题意求出点E的坐标,即可求出反比例函数的解析式;
(2)由反比例函数的对称性知,y=x与其的交点P与Q之间的距离为最大值.
17.(2024·长沙模拟) 通过实验研究发现:初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化,上课开始时,学生兴趣激增,中间一段时间,学生的兴趣保持平稳状态,随后开始分散.学生注意力指标数y随时间x(分)变化的函数图象如图所示.当和时,图象是线段:当时,图象是双曲线的一部分,根据函数图象回答下列问题:
(1)点A的注意力指标数是   ;
(2)当时,求注意力指标数y随时间x(分)的函数解析式;
(3)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要分钟,他能否经过适当的安排,使学生在听这道综合题的讲解时,注意力指标数都不低于?请说明理由.
【答案】(1)24
(2)解:当时,设的解析式为,
∴,
∴.
∴.
(3)解:张老师能经过适当安排,使学生在听这道综合题的讲解时,注意力指标数都不低于.
理由:当时,,解得;
当时,反比例函数解析为,
当时,,解得.
∴当时,注意力指标数都不低于.
而,
∴张老师能经过适当安排,使学生在听这道综合题的讲解时,注意力指标数都不低于.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式;待定系数法求反比例函数解析式;反比例函数的实际应用;一次函数的其他应用
【解析】【解答】解:(1)设双曲线CD的解析式为由C(20,48)可解得k=960,
D(40,24),
点A的注意力指标为24.
【分析】(1)设双曲线CD的解析式为将点C的坐标代入解得k的值,从而求解;
(2)当时,设的解析式为,利用待定系数法求得.进而求解;
(3)分别解得当时,;当时,的x的值,从而得出结论.
18.(2024九上·松原期末)驾驶员血液中每毫升的酒精含量大于或等于微克即为酒驾,某研究所经实验测得,成人饮用某品牌度白酒后血液中酒精浓度微克毫升与饮酒时间小时之间函数关系如图所示当时,与成反比例.
(1)根据图象直接写出:血液中酒精浓度上升阶段的函数解析式为    ;下降阶段的函数解析式为    ;并写出的取值范围
(2)问血液中酒精浓度不低于微克毫升的持续时间是多少小时?
【答案】(1);
(2)解:当,则,
解得:,
当,则,
解得:,
小时,
血液中药物浓度不低于微克毫升的持续时间小时.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式;待定系数法求反比例函数解析式;反比例函数的实际应用;通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解:如图所示
当时
函数图象是一段过原点直线,设解析式为y=kx
代入(4,400)
4k=400
解得k=100
y=100x
血液中酒精浓度上升阶段的函数解析式为y=100x()
故第一空填:y=100x()
当时
函数图象是一部分双曲线,设解析式为
代入(4,400)
解得k=1600
血液中酒精浓度下升阶段的函数解析式为()
故第二空填:()
【分析】(1)先根据图象特征设出函数的一般式,再代入图象经过点的坐标,用待定系数法求得解析式,注意要写上自变量的取值范围;(2)根据题意,找到y=200时对应的两个x值,其差值就是持续的时间。
19.(2024九上·石家庄期末)生活中处处充满着趣味数学,如图是河南省某海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图,建立如图坐标系,其中段可以看成是反比例函数图象的一段,为水面,矩形为向上攀爬的梯子,每节梯子高米,宽1米.其中点A,E,D均在坐标轴上,且轴.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)求出口C点到的距离的长;
(3)若滑梯上有一个小球Q,要求Q到水面的距离不高于3米,则Q到的距离至少是多少米?
【答案】(1)解:由题意得,,
∴,
∴,
∴反比例函数解析式为
(2)解:∵,
∴点C的纵坐标为,
在中,当时,,
∴,
∴;
(3)解:在中,当时,,
∵,
∴y随x增大而减小,
∴当时,,即点Q的横坐标要大于等于2,
∴点Q到的距离至少是米.
【知识点】反比例函数的实际应用;矩形的性质
【解析】【分析】(1)先根据已知条件得到点B的坐标,进而根据待定系数法即可求出反比例函数的解析式;
(2)先根据题意得到点C的纵坐标为,进而代入函数解析式即可得到点C的坐标,从而即可得到CF;
(3)先根据反比例函数的性质得到y随x增大而减小,进而结合题意即可求解。
20. 在实验课上, 小明做了一个试验.如图, 在仪器左边托盘 (固定)中放置一个物体, 在右边托盘 (可左右移动) 中放置一个可以装水的容器, 容器的质量为 . 在容器中加入一定质量的水, 可以使仪器左右平衡. 改变托盘 与点 的距离 , 记录容器中加入的水的质量, 得到下表:
托盘 与点 的距离 30 25 20 15 10
容器与水的总质量 10 12 15 20 30
加入的水的质量 5 7 10 15 25
把上表中的 与 各组对应值作为点的坐标, 在平面直角坐标系中描出这些点, 并用光滑的曲线连接起来, 得到如图所示的 关于 的函数图象.
(1)请在该平面直角坐标系中作出 关于 的函数图象.
(2)观察函数图象,并结合表中的数据:
①猜测 与 之间的函数关系,并求 关于 的函数表达式.
②求 关于 的函数表达式.
③当 时, 随 的增大而 ▲ (填“增大”或“减小”), 随 的增大而 ▲ (填“增大”或“减小”), 的图象可以由 的图象向 ▲ (填“上” “下”“左”或“右”)平移得到.
(3) 若在容器中加入的水的质量 满足 , 求托盘 与点 的距离 的取值范围.
【答案】(1)作出 关于 的函数图象如下:

(2)解:①观察表格可知, 是 的反比例函数,
设 ,
把 代入得:
∴y1关于 的函数表达式是
②观察可得:

③ 减小;減小;下.
(3),
【知识点】反比例函数的性质;反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解:(2)③观察图象可得, 当 时, 随 的增大而减小, 随 的增大而减小, 的图象可以由 的图象向下平移得到.
故答案为: 减小, 減小,下.
【分析】(1)根据题意描点,连线即可;
(2)①观察图象得 是 的反比例函数, 设出函数表达式,并利用待定系数法求解即可;
(2)②观察图象和表格可得, 代入y1,即可求得y2的函数表达式.
(2)③根据函数图象即可得到答案.
(3)把, 代入y2,解不等式即可.
1 / 1【提升版】北师大版数学九年级上册6.3反比例函数的应用 同步练习
一、选择题
1.(2024九下·二道模拟)当温度不变时,某气球内的气压与气体体积的函数关系如图所示,已知当气球内的气压时,气球将爆炸,为了安全起见,气球的体积应(  )
A.不大于 B.大于 C.不小于 D.小于
2.(2024九上·馆陶期末)在四个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气体,如图,用四个点分别描述这四种气体的密度与体积的情况,其中描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的阁象上,则这四种气体的质量最小的是(  )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
3.(2024九上·沅江开学考)某个亮度可调节的台灯,其灯光亮度的改变,可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现.如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象,该图象经过点.根据图象可知,下列说法正确的是( )
A.当时,
B.I与R的函数表达式是
C.当时,
D.当时,则
4.(2023九上·福州月考)在物理学中,功率表示做功的快慢,功与做功时间的比叫做功率,即所做的功一定时,功率与做功所用的时间成反比例函数关系,图象如图所示,下列说法不正确的是(  )
A.P与t的函数关系式为 B.当时,
C.当时, D.p随t的增大而减小
5.(2024·巴东模拟)已知经过闭合电路的电流(单位:)与电路的电阻(单位:)之间的关系如表所示,则下列说法中错误的是(  )
…… 5 4 2 1 0.5 0.25 ……
…… 20 25 30 40 50 100 200 400 ……
A.的值为2.5
B.与之间的函数表达式为
C.当时,
D.随的增大而减小
6.(2024九下·邯郸模拟)在温度不变的条件下,通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压,加压后气体对汽缸壁所产生的压强p(kPa)与汽缸内气体的体积V(mL)成反比例,p关于V的函数图象如图所示.若压强由75kPa加压到100kPa,则气体体积压缩了(  )
A.10mL B.15mL C.20mL D.25mL
7.(2024·南昌模拟)物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路,其电路图如图1所示.经测试,发现电流I(A)随着电阻R(Ω)的变化而变化,并结合数据描点,连线,画成图2所示的函数图象.若该电路的最小电阻为1Ω,则该电路能通过的(  )
A.最大电流是36A B.最大电流是27A
C.最小电流是36A D.最小电流是27A
8.(2024九上·浦北期末)某品牌自动饮水机,开机加热时每分钟上升,加热到,停止加热,水温开始下降.此时水温与通电时间成反比例关系.当水温降至时,饮水机再自动加热,若水温在时接通电源,水温与通电时间之间的关系如图所示,则下列说法中正确的是(  )
A.上午点接通电源,可以保证当天能喝到不超过的水
B.水温下降过程中,与的函数关系式是
C.水温从加热到,需要
D.水温不低于的时间为
二、填空题
9.(2024·江门模拟)学校科技兴趣小组为探索如图所示的电路中电压、电流、电阻三者之间的关系,测得数据如下,根据数据猜想得到三者之间为:.由此可得,当电阻时,电流   A.
 
10.(2024九下·惠阳月考)饮水机中原有水的温度为,通电开机后,饮水机自动开始加热(此过程中,水温与开机时间分满足一次函数关系),当加热到时自动停止加热,随后水温开始下降(此过程中,水温与开机时间x分成反比例函数关系),当水温降至时,饮水机又自动开始加热,……如此循环下去(如图所示).那么开机后分钟时,水的温度是   .
11.(2024九上·雅安期末)如图,直线与y轴交于点A,与反比例函数图象交于点C,过点C作轴于点B,,则k的值为   .
12.(2024九上·松原期末)如图,一次函数的图象与反比例函数的图象交于,两点,则不等式的解集为    .
13.(2024九上·广水期末)小明要把一篇文章录入电脑,所需时间y(min)与录入文字的速度x(字/min)之间的函数关系如图所示.如果小明要在7min内完成录入任务,那么他录入文字的速度至少为   字/min.
三、解答题
14.(2024九上·沅江开学考)如图,一次函数的图象与反比例的数的图象交于点和点,与x轴交于点C.
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)连接,,求的面积;
(3)直接写出关于x的不等式:的解集.
15.(2024九上·金沙期末) 如图,在平面直角坐标系中,反比例函数与一次函数的图象相交于两点,直线交y轴于点C.
(1)求反比例函数与一次函数的表达式;
(2)直接写出关于x的不等式的解集为   .
16.(2024·金华模拟) 建筑是一门不断演化和创新的艺术,近年来,一种名为双曲铝单板的新兴材料以其独特的曲线和光泽,为建筑注入了新的时尚元素,同时也赋予了建筑更多的创意和流动性.图1为某厂家设计制造的双曲铝单板建筑,其横截面(图2)由两条曲线,(反比例函数图象的一部分)和若干线段围成,为轴对称图形,其中四边形与四边形均为矩形,,,,,,以AC的中点为原点,所在直线为轴建立平面直角坐标系.
请回答下列问题:
(1)如图2,求所在图象的函数表达式.
(2)如图3,为在曲面实现自动化操作,工程师安装了支架,并加装了始终垂直于的伸缩机械臂用来雕刻所在曲面的花纹,请问点P在上滑动过程中,最长为多少米?
17.(2024·长沙模拟) 通过实验研究发现:初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化,上课开始时,学生兴趣激增,中间一段时间,学生的兴趣保持平稳状态,随后开始分散.学生注意力指标数y随时间x(分)变化的函数图象如图所示.当和时,图象是线段:当时,图象是双曲线的一部分,根据函数图象回答下列问题:
(1)点A的注意力指标数是   ;
(2)当时,求注意力指标数y随时间x(分)的函数解析式;
(3)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要分钟,他能否经过适当的安排,使学生在听这道综合题的讲解时,注意力指标数都不低于?请说明理由.
18.(2024九上·松原期末)驾驶员血液中每毫升的酒精含量大于或等于微克即为酒驾,某研究所经实验测得,成人饮用某品牌度白酒后血液中酒精浓度微克毫升与饮酒时间小时之间函数关系如图所示当时,与成反比例.
(1)根据图象直接写出:血液中酒精浓度上升阶段的函数解析式为    ;下降阶段的函数解析式为    ;并写出的取值范围
(2)问血液中酒精浓度不低于微克毫升的持续时间是多少小时?
19.(2024九上·石家庄期末)生活中处处充满着趣味数学,如图是河南省某海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图,建立如图坐标系,其中段可以看成是反比例函数图象的一段,为水面,矩形为向上攀爬的梯子,每节梯子高米,宽1米.其中点A,E,D均在坐标轴上,且轴.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)求出口C点到的距离的长;
(3)若滑梯上有一个小球Q,要求Q到水面的距离不高于3米,则Q到的距离至少是多少米?
20. 在实验课上, 小明做了一个试验.如图, 在仪器左边托盘 (固定)中放置一个物体, 在右边托盘 (可左右移动) 中放置一个可以装水的容器, 容器的质量为 . 在容器中加入一定质量的水, 可以使仪器左右平衡. 改变托盘 与点 的距离 , 记录容器中加入的水的质量, 得到下表:
托盘 与点 的距离 30 25 20 15 10
容器与水的总质量 10 12 15 20 30
加入的水的质量 5 7 10 15 25
把上表中的 与 各组对应值作为点的坐标, 在平面直角坐标系中描出这些点, 并用光滑的曲线连接起来, 得到如图所示的 关于 的函数图象.
(1)请在该平面直角坐标系中作出 关于 的函数图象.
(2)观察函数图象,并结合表中的数据:
①猜测 与 之间的函数关系,并求 关于 的函数表达式.
②求 关于 的函数表达式.
③当 时, 随 的增大而 ▲ (填“增大”或“减小”), 随 的增大而 ▲ (填“增大”或“减小”), 的图象可以由 的图象向 ▲ (填“上” “下”“左”或“右”)平移得到.
(3) 若在容器中加入的水的质量 满足 , 求托盘 与点 的距离 的取值范围.
答案解析部分
1.【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解:设反比例函数解析式为:,
∵根据函数图象可得点(1.6,60)在反比例函数图象上,
∴将点(1.6,60)代入可得:
∴反比例函数解析式为:,
根据题意可得:
解得:,
故选C.
【分析】先根据图象可知,函数图象是反比例函数,且过点,将点代入反函数解析式即可求得的值,从而得出函数解析式,再根据的范围即可得出答案.
2.【答案】A
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解:根据题意,的值即为该气体的质量,
∵描述乙、丁两该气体的质量的点恰好在同一个反比例函数的图象上,
∴乙、丁两该气体的质量相同,
∵点丙在反比例函数图象上面,点甲在反比例函数图象下面,
∴丙该气体的质量值最大,甲气体的质量的值最小.
故答案为:A
【分析】根据题意可知的值即为该气体的质量,再根据反比例函数图象上点的坐标特点并结合图像可知丙气体的质量最多,甲气体的质量最少,乙、丁两气体的质量相同。
3.【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解:设反比例函数的解析式为,
把点P坐标代入得:,解得:,
即函数解析式为:,故B不正确;
当时,即,解得:;故A不正确;
当时,,
由图象知,当时,;故C不正确;
当时,;当时,,
表明当时,则;故D正确;
故答案为:D.
【分析】先利用待定系数法求出反比例函数解析式,再利用反比例函数的性质分析求解即可.
4.【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解:由题意功率P与时间t成反比例函数关系,设P=,
将点(15,4000)代入得
解得k=60000,
故,故A选项正确,不符合题意;
当t=5时,P=,故B正确,不符合题意;
由图象可得,当,,故C错误,符合题意;
中k=60000>0,所以P随t的增大而减小,故D正确,不符合题意.
故答案为:C.
【分析】利用待定系数法求出反比例函数的解析式,即可判断A选项;将t=5代入所求的函数解析式算出对应的函数值即可判断B选项;根据反比例函数中k>0,函数值y随自变量x的增大而减小,当k<0时,函数值y随自变量x的增大而增大,可判断C、D两个选项.
5.【答案】C
【知识点】反比例函数的性质;反比例函数的实际应用
【解析】【解答】∵闭合的电流I(单位:A)与电路的电阻(单位:Ω)是反比例函数关系,
∴40m=5×20,
∴m=2.5,
∴A不符合题意;
∵闭合的电流I(单位:A)与电路的电阻(单位:Ω)是反比例函数关系,
∴,把(20,5)代入得:U=20×5=100,
∴,
∴B不符合题意;
∵闭合的电流I(单位:A)与电路的电阻(单位:Ω)是反比例函数关系,且函数解析式为,
∴随的增大而减小,
∴D不符合题意;
故答案为:C.
【分析】先结合表格中的数据利用待定系数法求出函数解析式,再逐项分析判断即可.
6.【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解:设关于的函数解析式为,
把点代入得:,
关于的函数解析式为,
当时,则,
当时,则,
压强由加压到,则气体体积压缩了;
故答案为:C
【分析】先根据物理知识设关于的函数解析式为,进而将点代入即可求出反比例函数的解析式,进而结合题意根据反比例函数图象上的点的坐标特征即可求解。
7.【答案】A
【知识点】反比例函数的实际应用;通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解:设,
将点代入得,解得,

若该电路的最小电阻值为,该电路能通过的最大电流是,
故答案为:A
【分析】设,进而运用待定系数法即可求出U,从而根据题意代入1即可求解。
8.【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解:设水温上升阶段y关于x之间的函数关系为y=kx+b(k、b为常数,且k≠0),
将点(0,20)与(8,100)分别代入得,
解得,
∴水温上升阶段y关于x之间的函数关系为y=10x+20;
设水温下降阶段y关于x之间的函数关系式为,
将点(8,100)代入得k1=800,
∴水温下降阶段y关于x之间的函数关系式,故B选项不符合题意;
令中的y1=20,得x=40,
∴饮水机每经过40min,要重新开始加热一次,从上午8点接通电源到9:30分,经过的时间为90min,90-40×2=10min,
将y=100代入y=10x+20,得10x+20=100,解得x=8,即水温加热到100℃,需要时间为8min,故C选项错误;
∴9:30时,饮水机第三次从开始加热加热了10min ,
将x=10代入得y1=80,
即9:30时,饮水机的水温为80℃,故A选项错误,不符合题意;
将y=30代入y=10x+20可得x=1,将y1=30代入,得x=,
∴水温不低于30℃的时间为min,故D选项正确,符合题意.
故答案为:D.
【分析】首先利用待定系数法求出水温上升阶段y关于x之间的函数关系为y=10x+20;水温下降阶段y关于x之间的函数关系式为,据此可判断B选向;然后令中的y1=20,算出对应的自变量的值,从而得出饮水机每经过40min,要重新开始加热一次,从上午8点接通电源到9:30分,经过的时间为90min,故饮水机第三次从开始加热加热了10min ,然后将x=10代入算出对应的自变量的值,可判断A选项;将y=100代入y=10x+20,算出对应的自变量的值可判断C选项;将y=30分别代入y=10x+20与算出对应的自变量的取值,求差即可判断D选项.
9.【答案】
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解: 由题意可得,∵,∴,
当R=220时,,解得
∴,
当R=110时,
故答案为:2.
【分析】 根据题意和表格中的数据,可以得到U的值是一个定值,然后将R=110代入函数解析式,求出I的值即可.
10.【答案】50
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解:设反比例函数为y=;
∵反比例函数过点(8,100)将其代入,可得k=800;
∴反比例函数为y=
当y=20是,x=40;
∴水温从20℃升至100摄氏度,再将至20℃,所需的总时间为:8+40=48分;
∵56-40=16>8
∴当x=16时,y=50℃.
故答案为:50.
【分析】根据待定系数法可求出反比例函数的表达式;根据时间的关系,作比较后,将反比例函数上的点的横坐标代入即可求解.
11.【答案】-16
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解:令,则,




把代入,
得,

把代入,
得,
解得.
故答案为:.
【分析】先求出点A的坐标和求出BO的长,确定点C的横坐标,再将点C的横坐标代入一次函数解析式,可求得点C的坐标,最后将点C的坐标代入反比例函数解析式,求解即可.
12.【答案】或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解:

在图中即直线在抛物线上方的部分
根据图中交点坐标(-1,m),(-5,n)
可知当时直线在抛物线上方
当 时直线在抛物线上方
的解集为或
故答案为:或
【分析】根据一次函数和反比例函数的性质及意义,进行函数值的大小比较,一个图象在某个自变量范围内在另一个图象的上方,说明这个函数在这个自变量范围内的函数值大。
13.【答案】200
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解∶设,
把代入,得,
∴,
∴,
当时,,
∵,
在第一象限内,y随x的增大而减小,
∴小明录入文字的速度至少为200字/min.
故答案为:200.
【分析】先利用待定系数法求出反比例函数解析式为,再将x=7代入解析式求出y的值,再求解即可.
14.【答案】(1)解:∵点和点都在反比例函数图象上,
∴,
解得:,
∴,,
把代入得:,
∴反比例函数的解析式为,
把,代入得:,
解得:,
∴一次函数解析式为.
故答案为:一次函数解析式为;反比例函数的解析式为.
(2)解:把代入得:,解得:,
∴,
∴.
故答案为:.
(3)解:根据函数图象可知,当或时,反比例函数图象在一次函数图象的上面,
∴关于x的不等式:的解集为或.
故答案为:或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式;一次函数与二元一次方程(组)的关系;待定系数法求反比例函数解析式;反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】(1)利用点A、B都在反比例函数图象上,可得,求出n的值,再将点A、B的坐标分别代入求出k、b的值即可;
(2)先求出点C的坐标,再利用三角形的面积公式及割补法求出即可;
(3)结合函数图象,利用函数值大的图像在上方的原则求解即可.
(1)解:∵点和点都在反比例函数图象上,
∴,
解得:,
∴,,
把代入得:,
∴反比例函数的解析式为,
把,代入得:,
解得:,
∴一次函数解析式为.
(2)解:把代入得:,
解得:,
∴,
∴.
(3)解:根据函数图象可知,当或时,反比例函数图象在一次函数图象的上面,
∴关于x的不等式:的解集为或.
15.【答案】(1)解:∵在反比例函数上,

反比例函数解析式为,
在反比例函数上,


∵在一次函数上,

解得,
一次函数为.
(2)或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式;待定系数法求反比例函数解析式;反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解:(2)由(1)知点A(4,9),点B(-12,-3),由函数图象可知x>4或-12<x<0。
【分析】(1)首先根据在反比例函数上, 可求得反比例函数; 然后根据点A在反比例函数图象上,即可求得m=9,然后再利用待定系数法根据点A和点B的坐标,即可求得一次函数表达式一次函数为;
根据两函数交点的横坐标,结合函数图象,即可直接写出答案。
(2) 直接观察函数图象,即可得出不等式的解集。
16.【答案】(1)解:设反比例函数解析式为y=,由AC=20,BE=2,AB=2得E(-8,-2),代入解析式得得k=16,
故反比例函数解析式为;
(2)解:如图求出直线EG解析式为
根据反比例函数图象轴对称的性质,曲线关于直线对称,

解得,
解,得
的最大值为;
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式;反比例函数与一次函数的交点问题;反比例函数的实际应用
【解析】【分析】(1)根据题意求出点E的坐标,即可求出反比例函数的解析式;
(2)由反比例函数的对称性知,y=x与其的交点P与Q之间的距离为最大值.
17.【答案】(1)24
(2)解:当时,设的解析式为,
∴,
∴.
∴.
(3)解:张老师能经过适当安排,使学生在听这道综合题的讲解时,注意力指标数都不低于.
理由:当时,,解得;
当时,反比例函数解析为,
当时,,解得.
∴当时,注意力指标数都不低于.
而,
∴张老师能经过适当安排,使学生在听这道综合题的讲解时,注意力指标数都不低于.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式;待定系数法求反比例函数解析式;反比例函数的实际应用;一次函数的其他应用
【解析】【解答】解:(1)设双曲线CD的解析式为由C(20,48)可解得k=960,
D(40,24),
点A的注意力指标为24.
【分析】(1)设双曲线CD的解析式为将点C的坐标代入解得k的值,从而求解;
(2)当时,设的解析式为,利用待定系数法求得.进而求解;
(3)分别解得当时,;当时,的x的值,从而得出结论.
18.【答案】(1);
(2)解:当,则,
解得:,
当,则,
解得:,
小时,
血液中药物浓度不低于微克毫升的持续时间小时.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式;待定系数法求反比例函数解析式;反比例函数的实际应用;通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解:如图所示
当时
函数图象是一段过原点直线,设解析式为y=kx
代入(4,400)
4k=400
解得k=100
y=100x
血液中酒精浓度上升阶段的函数解析式为y=100x()
故第一空填:y=100x()
当时
函数图象是一部分双曲线,设解析式为
代入(4,400)
解得k=1600
血液中酒精浓度下升阶段的函数解析式为()
故第二空填:()
【分析】(1)先根据图象特征设出函数的一般式,再代入图象经过点的坐标,用待定系数法求得解析式,注意要写上自变量的取值范围;(2)根据题意,找到y=200时对应的两个x值,其差值就是持续的时间。
19.【答案】(1)解:由题意得,,
∴,
∴,
∴反比例函数解析式为
(2)解:∵,
∴点C的纵坐标为,
在中,当时,,
∴,
∴;
(3)解:在中,当时,,
∵,
∴y随x增大而减小,
∴当时,,即点Q的横坐标要大于等于2,
∴点Q到的距离至少是米.
【知识点】反比例函数的实际应用;矩形的性质
【解析】【分析】(1)先根据已知条件得到点B的坐标,进而根据待定系数法即可求出反比例函数的解析式;
(2)先根据题意得到点C的纵坐标为,进而代入函数解析式即可得到点C的坐标,从而即可得到CF;
(3)先根据反比例函数的性质得到y随x增大而减小,进而结合题意即可求解。
20.【答案】(1)作出 关于 的函数图象如下:

(2)解:①观察表格可知, 是 的反比例函数,
设 ,
把 代入得:
∴y1关于 的函数表达式是
②观察可得:

③ 减小;減小;下.
(3),
【知识点】反比例函数的性质;反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解:(2)③观察图象可得, 当 时, 随 的增大而减小, 随 的增大而减小, 的图象可以由 的图象向下平移得到.
故答案为: 减小, 減小,下.
【分析】(1)根据题意描点,连线即可;
(2)①观察图象得 是 的反比例函数, 设出函数表达式,并利用待定系数法求解即可;
(2)②观察图象和表格可得, 代入y1,即可求得y2的函数表达式.
(2)③根据函数图象即可得到答案.
(3)把, 代入y2,解不等式即可.
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