【培优版】北师大版数学九年级上册第六章 反比例函数 章节测试卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2019九上·惠州期末）如图所示双曲线y＝ 与y＝﹣ 分别位于第三象限和第二象限，A是y轴上任意一点，B是y＝﹣ 上的点，C是y＝ 上的点，线段BC⊥x轴于D，且4BD＝3CD，则下列说法：①双曲线y＝ 在每个象限内，y随x的增大而减小；②若点B的横坐标为﹣3，则C点的坐标为（﹣3， ）；③k＝4；④△ABC的面积为定值7，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2023九上·金东月考）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，点G为△OAB的重心，连接BG并延长，交OA于点C，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过C，G两点．若△AOB的面积为6，则k的值为（ ）
A． B． C． D．3
3．（2019九上·章丘期中）如图，在 轴正半轴上依次截取 ，过点 、 、 、…… 分别作 轴的垂线，与反比例函数 交于点 、 、 、…、 ，连接 、 、… ，过点 、 、…、 分别向 、 、…、 作垂线段，构成的一系列直角三角形（图中阴影部分）的面积和等于（ ）.
A． B． C． D．
4．（2022九上·桐乡市月考）如图，OABC的边OA在x轴正半轴上，点D在边AB上，线段CD的延长线交x轴于点E，连接OB、OD．反比例函数y=(k>0)经过点B、D．若S△OBC=4，S△BDE=2，则k的值为（ ）
A． B．3 C． D．4
5．（2020九上·崇川月考）已知点A是双曲线y＝ 在第一象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y＝ （x＞0）上运动，则k的值是（ ）
A．3 B． C．﹣3 D．﹣
6．（2020九上·兴业月考）如图，在以 为原点的平面直角坐标系中，矩形 的两边 、 分别在 轴、 轴的正半轴上，反比例函数 的图象与 相交于点 ，与 相交于点 ，若 ，且 的面积是 ，则 的值为（ ）.
A． B．8 C．6 D．
7．（2020九上·天等期中）两个反比例函数y＝ 和y＝ 在第一象限内，点P在y＝ 的图象上，PC垂直于X轴于点C，交y＝ 的图象于点A，PD垂直于Y轴于D，交y＝ 的图象于点B，当点P在y＝ 的图象上运动时，下列结论错误的是（ ）
A．△ODB与△OCA的面积相等
B．当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点
C．只有当四边形OCPB为正方形时，四边形PAOB的面积最大
D． ＝
8．（2019九上·益阳月考）如图，正方形ABCD位于第一象限，边长为3，点A在直线y=x上，点A的横坐标为1，正方形ABCD的边分别平行于x轴、y轴．若双曲线 与正方形ABCD有公共点，则k的取值范围为（ ）
A．1＜k＜9 B．2≤k≤34 C．1≤k≤16 D．4≤k＜16
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2024九上·雅安期末）如图，点P是反比例函数上一点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交反比例函数的图象于点A、B，若，，则点P的坐标为 ．
10．（2023九上·鄞州期末）如图，矩形中，点，在轴上，交轴于点，点在上，，连接交轴于点，过点作轴交于点，点在函数的图象上.若的面积为，则的值为 ；的面积与的面积差为 .
11．（2022九上·普陀月考）如图，在平面直角坐标系中，已知第一象限上的点A（m，n）是双曲线上的动点，过点A作AM∥y轴交x轴于点M，过点N（0，2n）作NB∥x轴交双曲线于点B，交直线AM于点C，若四边形OACB的面积为4，则k的值为 ．
12．（2020九上·孝义期末）如图， 的顶点 在反比例函数 的图象上，顶点 在 轴的正半轴上，顶点 和 在反比例函数 的图象上，且对角线 轴，则 的面积等于 ．
13．（2020九上·仓山月考）如图，正方形ABCD的两个顶点A，B分别在x轴，y轴上，对角线相交于点E， .若反比例函数 的图象经过D，E两点，则k的值是 .
三、解答题（共7题，共61分）
14．（2023九上·小店月考） 如图，一次函数的图与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，过作轴于．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）根据图象直接写出不等式的解集．
（4）在轴上是否存在一点，使的面积为9，求点的坐标
15．（2023九上·天桥期中）如图，已知一次函数图象y=x+b与y轴交于点C(0，1)，与反比例函数图象y=交于点A(a，2)和点B两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式.
（2）求点B的坐标和△AOB的面积.
（3）若点M为y轴上的一个动点，N为平面内任意一点，当四边形ABMN是矩形时，请求出M点坐标．
16．（2023九上·邵东月考） 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与x轴交于点C，且.
（1）求反比例函数与一次函数关系式；
（2）线段AC上是否存在一点D，使以点O、C、D为顶点的三角形是等腰三角形，若存在请求出D点坐标；若不存在，请说明理由.
（3）点P是x轴上一点，是否存在以点A、C、P为顶点的三角形与相似，若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由.
17．（2023九上·东平月考）如图，函数的图象过点和两点．
（1）求n和k的值；
（2）将直线沿x轴向左移动得直线，交x 轴于点D，交y 轴于点E，交于点C，若，求直线解析式；
（3）在（2）的条件下，第二象限内是否存在点F，使得是以为腰的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
18．（2022九上·茂南期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点在轴正半轴上，点的坐标是，反比例函数（）的图像经过点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点在边上，且，过点D作轴，交反比例函数的图象于点，求点的坐标；
（3）在x轴上找一点，使的值最小，直接写出此时点的坐标．
19．（2023九上·宝安月考）综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为am．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若a＝10，能否围出矩形地块？
（1）【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设AB为xm，BC为ym．由矩形地块面积为8m2，得到xy＝8，满足条件的（x，y）可看成是反比例函数y＝的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到2x+y＝10，满足条件的（x，y）可看成一次函数y＝﹣2x+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的（x，y）就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数y＝（x＞0）的图象与直线l1：y＝﹣2x+10的交点坐标为（1，8）和 ，因此，木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB＝1m，BC＝8m；或AB＝ m，BC＝ m．
根据小颖的分析思路，完成上面的填空；
（2）【类比探究】
若a＝6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由；
（3）【问题延伸】
当木栏总长为am时，小颖建立了一次函数y＝﹣2x+a．发现直线y＝﹣2x+a可以看成是直线y＝﹣2x通过平移得到的，在平移过程中，当过点（2，4）时，直线y＝﹣2x+a与反比例函数y＝（x＞0）的图象有唯一交点．
请在图2中画出直线y＝﹣2x+a过点（2，4）时的图象，并求出a的值；
（4）【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y＝﹣2x+a与y＝图象在第一象限内交点的存在问题”．
若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1m，请直接写出a的取值范围．
20．（2024九上·铜仁期末） 如图①，一次函数的图象与轴交于点，点是反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限的交点．
（1）求点B的坐标；
（2）点是反比例函数在第一象限内的图象上有别于的另外一点，过点作交轴于点．在轴正半轴上是否存在一点，使四边形是平行四边形，如果存在，请确定的长度，如果不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】①∵双曲线y= 在第一象限，
∴k＞0，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，故①符合题意；
②∵点B的横坐标为3，
∴y=- =-1，
∴BD=1，
∵4BD=3CD，
∴CD= ，
∴点C的坐标为（3， ），故②不符合题意；
③∵点C的坐标为（3， ），
∴k=3× =4，故③符合题意；
④设B点横坐标为：x，则其纵坐标为：- ，故C点纵坐标为： ，
则BC= + = ，
则△ABC的面积为： ，故此选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据函数图象所在象限可得k＞0，根据反比例函数的性质可得①正确；根据函数解析式结合点B的横坐标为-3，可得纵坐标，然后根据 4BD＝3CD 可得点C坐标；根据图像上的点xy的积是定值，可求得k；首先表示B，C点坐标，进而求出BC的长，既得△ABC的面积。
2．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：如图，过点C作CN⊥OB于N，过G作GM⊥OB于M，
∵G为三角形OAB重心，
∴BG=2CG，
∵CN⊥OB，GM⊥OB，
∴CN∥GM，
∴，
设GM=2a，则CN=3a，
∴G（），C（），
∴MN=，
∴BN=3MN=
∴OB=ON+BN=，
∵BC为中线，
∴，
∴，
∴k=.
故答案为：B.
【分析】利用三角形重心性质可得，BG=2CG；过C和G作OB的垂线，可以得到比例关系，设CN=3a，GM=2a，可得到C、G的纵坐标，代入反比例函数可得M、N横坐标，从而用含k和a的式子表示出OB、CN的长；再根据BC是中线，三角形OCB面积是三角形OAB的一半即为3；利用三角形面积公式列出式子，即可求出k的值.
3．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】∵
∴设 （1， ）， （1， ）， （1， ）… （1， ）
∵ 、 、 、…、 在反比例函数 的图像上
∴
∴
∴
∵
∴
…
∴
因此答案选择B.
【分析】由 可设 点的坐标为（1， ）， 点的坐标为（1， ）， 点的坐标为（1， ）… 点的坐标为（1， ），把x=1，x=2，x=3代入反比例函数的解析式即可求出 的值，再由三角形的面积公式可以得出 … 的值，即可得出答案.
4．【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：在平行四边形ABCD中，CB//OA
∴S△OBC=S△EBC=4，
∵S△BDE=2，∴S△BDC=S△BDE=2
∴CD=DE
∵△CBD∽△EAD
∴
∴BD=DA，D是AB的中点
作BM⊥OA，DN⊥OA
则MN=AN，DN=BM
∵反比例函数y=kx(k>0)经过点B、D
∴S△BOM=S△DON
∴OM·BM＝ON·DN
∴
记OM=t，则ON=2t，MN=t=AN，OA=3t
∴OM=OA
∴S△BOM=S△BOA=S△BOC=
∵反比例函数y=kx(k>0)经过点D
∴S△DON==
∴k=
故答案为：A.
【分析】反比例函数y=kx(k>0)经过点D，由反比例函数中k的几何意义可知，S△DON=，故只需要求出S△DON即可求出k的值；因为S△OBC=S△EBC=4，S△BDE=2，可得S△BDC=S△BDE=2，CD=DE；由△CBD∽△EAD，可得BD=DA，D是AB的中点；作BM⊥OA，DN⊥OA，则MN=AN，DN=BM；由k的几何意义可知S△DON=S△BOM=，故OM·BM＝ON·DN，ON=2OM，可知OM=MN=NA，所以OM=OA，故S△BOM=S△BOA=S△BOC=，S△DON==，k=，得解.
5．【答案】C
【知识点】反比例函数图象的对称性；等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，连接OC，
根据反比例函数的中心对称性质，得 OA=OB，
∵△ABC是等边三角形，
∴OC⊥AB，∠OCA=30°，
∴OC：OA= ，
过点A作AD⊥x轴，垂足为点D，过点C作CE⊥x轴，垂足为点E，
∴∠ADO=∠OEC=90°，
∵∠AOD+∠OAD =90°，∠AOD+∠COE=90°，
∴∠OAD=∠COE，
∴△DOA∽△ECO，
∴EC：DO=OE：AD=OC：AD，
∴EC= DO，OE= AD，
设点A（a，b），则DO=a，AD=b，ab=1，
∵点C在第四象限，
∴点C的坐标为（ b，- a），
∵点C始终在双曲线y＝ （x＞0）上运动，
∴k=（- a）× b= -3ab= -3.
故答案为：C.
【分析】连接OC，则OA=OB，由等边三角形的性质可得OC⊥AB，∠OCA=30°，则OC：OA=，过点A作AD⊥x轴，垂足为点D，过点C作CE⊥x轴，垂足为点E，由同角的余角相等可得∠OAD=∠COE，证明△DOA∽△ECO，由相似三角形的性质表示出EC、OE，设点A（a，b），则DO=a，AD=b，ab=1，则点C的坐标为（b，-a），代入y＝（x＞0）中求解可得k的值.
6．【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设点D的横坐标为m
∵反比例函数 的图象与 相交于点
∴
∴
∵
∴
∵矩形
∴ ，
∴
∵反比例函数 的图象与 相交于点
∴
矩形 面积
∵矩形 面积
∵ 的面积是6
∴
∴
故答案为：D.
【分析】设点D的横坐标为m，根据反比例函数 的图象与 相交于点 ，得D点坐标；再根据矩形 的性质，并结合题意，可分别的点A、B、C、E的坐标；根据 矩形 面积 ，通过计算即可得到答案.
7．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：A、由于点A和点D均在同一个反比例函数y＝ 的图象上，所以S△ODB＝ ，S△OCA＝ ；故△ODB与△OCA的面积相等，故A选项正确；
B、连接OP，点A是PC的中点，
则△OAP和△OAC的面积相等，
∵△ODP的面积＝△OCP的面积＝ ，△ODB与△OCA的面积相等，
∴△OBP与△OAP的面积相等，
∴△OBD和△OBP面积相等，
∴点B一定是PD的中点，故B选项正确；
C、由于矩形OCPD、三角形ODB、三角形OCA为定值，则四边形PAOB的面积不会发生变化，故C选项错误；
D、设P（m， ），则A（m， ），B（ ， ），则CA＝ ，PA＝ ﹣ ，DB＝ ，PB＝m﹣ ，
故 ， ，
∴ ，故D选项正确.
故答案为：C.
【分析】根据反比例函数的图象和性质，特别是根据反比例函数k的几何意义，对四个选项逐一进行分析，即可得出正确答案.
8．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，则把x=1代入y=x解得y=1，则A的坐标是（1，1），∵AB=BC=3，∴C点的坐标是（4，4），∴当双曲线 经过点（1，1）时，k=1；当双曲线 经过点（4，4）时，k=16，因而1≤k≤16．
故答案为：C．
【分析】先求出点A的坐标，再求出点C的坐标，分别求出双曲线经过点A和点C时的k的值，即可求出k的取值范围.
9．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如下图，延长交轴于点，延长交轴于点，连接，
设点，
∴，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【分析】延长PA交x轴于点C，延长PB交y轴于点D，连接CD，设点P(a，b)，用含a、b的代数式表示出A和B两点坐标，证，可得AB∥CD；根据OP=2AB列方程求出k的值，再证得，根据相似三角形的性质求解即可。
10．【答案】-4；1
【知识点】矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设，，则，
∵的面积为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
把代入，得；
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：-4；1.
【分析】设C（c，0），B（b，0），则BC＝b c，根据△BCG的面积为2，求得OG，再由平行线分线段成比例定理得OG∶BF＝OC∶BC，求得BF，进而得出P（c， ），再用待定系数法求得k；由，求得AB，再求得△DEG的面积，进而求得结果．
11．【答案】4
【知识点】反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：∵AM∥y轴，NB∥x轴，
∴四边形ONCM为矩形，
∵点A、B为反比例函数图象上的两点，A（m，n），N（0，2n），
∴S△BNO=S△AMO=k，S矩形ONCM=2mn=2k，
又∵S四边形OACB=4，
∴k+k+4=2mn=2k，
∴k=4.
故答案为：4.
【分析】由AM∥y轴，NB∥x轴，易得四边形ONCM为矩形，再根据反比例函数k的几何意义及图象上点的坐标特征可得S△BNO=S△AMO=k，S矩形ONCM=2mn=2k，又有S四边形OACB=4，从而可得到k+k+4=2mn=2k，解之即可求得k值.
12．【答案】10
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：作 轴于 ， 轴于 ， 于 ，设AC交y轴于点P，
∵ 轴，
∴ ， ， 轴， ，
∴四边形AMNC，四边形AMOP，四边形OPNC都是矩形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵顶 在反比例函数 的图象上，顶点 和 在反比例函数 的图象上， ，
∴ ．
故答案为：10．
【分析】作 轴于 ， 轴于 ， 于 ，设AC交y轴于点P，可得四边形AMNC，四边形AMOP，四边形OPNC都是矩形，根据平行四边形的性质得 ，则 ，再根据反比例函数系数k的几何意义解答即可．
13．【答案】8
【知识点】勾股定理；正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥x轴于F，则∠AOB=∠DFA=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，BE=DE，
∴∠OAB+∠DAF=90°，又∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠DAF，
在△AOB和△DFA中，
∴△AOB≌△DFA（AAS），
∴AF=OB，DF=OA，
设A(a，0)，B(0，b)，
则AF=OB=b，DF=OA=a，
∴点D的坐标为（a+b，a），
∴点E的坐标为（ ， ），
∵反比例函数 的图象经过D，E两点，
∴k=a(a+b)= · ，
∵a+b≠0，
∴4a=a+b，即b=3a，
在Rt△AOB中，由勾股定理得： ，
∴ ，
解得：a= ，b=3 ，
∴k= ×4 =8.
故答案为：8.
【分析】过点D作DF⊥x轴于F，则∠AOB=∠DFA=90°，由正方形的性质可得AB=AD，∠BAD=90°，BE=DE，由同角的余角相等可得∠ABO=∠DAF，证明△AOB≌△DFA，得到AF=OB，DF=OA，设A（a，0），B（0，b），则D（a+b，a），E（，），将点D、E代入y=中可得b=3a，然后在Rt△AOB中，由勾股定理求出a的值，进而得到b的值，据此不难求出k的值.
14．【答案】（1）解：反比例函数的图象过点，
．
反比例函数的解析式为
反比例函数的图象过点，
．
一次函数的图象过，两点，
解得
一次函数的解析式为；
（2）解：直线：交轴于点，
．
轴于，，
，．
．
（3）或
（4）解：设
时，
时，
点的坐标为，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】
（3）解：由（1）知： 一次函数的图与反比例函数的图象交于，两点
∴ 当x＜-2时，；
当-2＜x＜0时，；
当0＜x＜4时，；
当x＞4时，；
则不等式的解集是或 .
【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，求反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，一次函数与坐标轴的交点，与不等式的关系，与三角形的面积及两点间的距离等知识。
（1）由点B（4，-2）可得反比例函数；可得A（-2，4），根据A（-2，4），B（4，-2）可得一次函数y=-x+2；
（2）由y=-x+2得C（2，0），得CD，AD，得；
（3）根据一次函数与反比例的交点横坐标，可得不等式的解集；
（4）设点P（a，0），可得PC=，根据可得，可得，解得点P的坐标为，.
15．【答案】（1）解：一次函数图象y=x+b与y轴交于点C(0，1)
∴b=1
∴一次函数的解析式为y=x+1
∵点A(a，2)在直线y=x+1上，
∴a=1
即A(1，2)
又∵反比例函数y=过A点
∴k=2
∴反比例函数为y=
（2）解：反比例函数与一次函数交于点A和点B
联立两解析式得
解得或
∴B(﹣2，﹣1)
△AOB面积=1×1÷2+1×2÷2=1.5
（3）解：M（0，3）或（0，﹣3）或（0，）或 （0，）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；矩形的性质
【解析】解：（3）分三种情况讨论：
①当∠BAM=90°时，
设M1（0，y），
则AM2+AB2=BM2，
∴12+（2-y）2+（1+2）2+（2+1）2=4+（y+1）2，
解得y=3，
∴M（0，3）；
②当∠ABM=90°时，
同理可得：M（0，-3），
③当∠AMB=90°时，设M（0，m），设AB的中点为J，
则J（-，），
∵AB=，
∴AJ=BJ=JM=，
∴（-）2+（-m）2=（）2，
解得m=，
∴M3（0，），M4（0，），
综上，满足条件的M点的坐标为（0，3）或（0，-3）或（0，）或（0，）．
【分析】（1）先根据点C的坐标即可得到b，进而将点A带入即可求出a，从而根据反比例函数的图象结合题意即可求解；
（2）先根据一次函数与反比例函数的交点问题求出交点坐标，进而即可求解；
（3）根据题意分三种情况讨论：①当∠BAM=90°时，设M1（0，y），②当∠ABM=90°时，③当∠AMB=90°时，设M（0，m），设AB的中点为J，进而结合题意根据坐标系中两点间的距离公式即可得到一元二次方程，进而解方程即可求解。
16．【答案】（1）解：作轴于点B，由点可知，，，.
又，，所以.
即，所以，则，
所以反比例函数与一次函数关系为，.
（2）解：当时，，则，
当时，点D在OC的垂直平分线上，故，
当时，设，则，
又，则，即，
所以，
综上，，或
（3）解：存在.设，则，
又，，则，则
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；相似三角形的判定与性质；反比例函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）分类讨论：①当时，②当时，③当时，再分别求解即可；
（3）利用相似三角形的性质可得，再将数据代入求出，可得点P的坐标.
17．【答案】（1）解：函数的图像过点和两点，
，
解得，
故n和k的值分别为4，8；
（2）解：，
，直线OA的解析式为：，
过点C作轴于点G，交直线于点H，
设，
，
，
，
或（不符合题意舍去）
，
，
设直线的解析式为：，
点C在直线上，
，即，
直线的解析式为：；
（3）或
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】（3）解：由（2）得， 直线的解析式为：，
令y=0得，，
解得，，
∴D（-6，0），
∴OD=6，
令x=0得，，
∴E（0，3），
∴OE=3，
①如图，当∠DEF=90°，EF=ED时，
过点F作FG⊥y轴于点G，
∵∠FEG+∠DEO=∠DEO+∠EDO=90°，
∴∠FEG=∠EDO，
在△FEG和△EDO中，
∴△FEG≌△EDO（AAS），
∴FG=EO=3，EG=DO=6，
∴F（-3，9）；
②如图，当∠EDF=90°，FD=ED时，
过点F作FG⊥x轴于点G，
∵∠GFD+∠FDG=∠ODE+∠FDG=90°，
∴∠GFD=∠ODE，
在△GFD和△ODE中，
∴△GFD≌△ODE（AAS），
∴FG=DO=6，DG=EO=3，
∴F（-9，6），
综上所述， 或 .
故答案为： 或 .
【分析】（1）把A、B点坐标代入反比例函数解析式得到关于n、k的方程组，解方程组即可求得n、k的值；
（2）由（1）问得A、B的坐标及反比例函数的解析， 过点C作轴于点G，交直线于点H，设， 由△ACO的面积求出m的值，由平移设直线的解析式为：，代入C的坐标，即可求解；
（3）先求出D、E的坐标，再分两种情况：①当∠DEF=90°，EF=ED时，②当∠EDF=90°，FD=ED时，然后分别构造“K字型"全等三角形，求得F点坐标即可.
18．【答案】（1）解：
如图：过点作轴，垂足为
设点A为
∵四边形是菱形
∴
∵点B为
∴，，
在中
∴，解得：
∴
∴yc=3
∴点C的坐标为
把点C代入，得
∴反比例函数的解析式为（）
（2）（2）如图：作轴，轴，垂足分别为
∵
∴
∵点C的坐标为
∴，
∵
∴
∴
∴
∴，
∵轴
∴yD=yE=
令y=
∴，解得
∴点的坐标为.
（3）如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则点即为所求
由（1）知：点C的坐标为
∴
设直线的解析式为：
把点C'，E代入得：
∴
解得：
∴直线的解析式为
令
∴
解得
∴点P的坐标为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；两点之间线段最短；勾股定理；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）过点作轴，垂足为，设点A为，根据点B为 得出：，，在中，由勾股定理：列出方程：解出m=5，得出，因此得到点C的坐标为，再把点C代入中得出k值.
（2）作轴，轴，垂足分别为，证明，根据相似三角形对应边成比例列出：，得出，，从而求出点D的纵坐标，再根据轴，继而求得点的坐标，最后令y=，列出方程：，解出x即可.
（3）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则点即为所求，设直线：的解析式为：，把点E，C'代入直线解析式，列出方程组：，解得：
故直线的解析式为，令y=0，解出x即可.
（1）根据题意，过点作轴，垂足为，如图：
∵四边形是菱形，
设点A为，
∴，
∵点B为，
∴，，
在中，由勾股定理，则
，即，解得：，
∴，
∴点C的坐标为，
把点C代入，得，
∴反比例函数的解析式为（）；
（2）作轴，轴，垂足分别为，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点C的坐标为，
∴，，
∴，
∴，，
∴点的纵坐标为，
∵轴，
∴点的纵坐标为，
∴，解得，
∴点的坐标为；
（3）如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则点即为所求，
点C的坐标为，
则点关于轴对称的点的坐标为，
设直线的解析式为：，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
令，，
解得，
∴点P的坐标为．
19．【答案】（1）（4，2）；4；2
（2）不能围出；
y＝﹣2x+6的图象，如答案图中l2所示：
∵l2与函数y=图象没有交点，
∴不能围出面积为 8m2的矩形．
（3）如答案图中直线l3所示：
将点（2，4）代入y＝﹣2x+a，解得a＝8．
（4）∵AB和BC的长均不小于1m，
∴x≥1，y≥1，
∴y=≥1，
∴x≤8，
∴1≤x≤8，
如图所示，直线y＝﹣2x+a在l3、l4上面或之间移动，
把（8，1）代入y＝﹣2x+a得a＝17，
∴8≤a≤17．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（1）联立方程组，
整理得：x2-5x+4=0，
解得：x1=1，x2=4，
∴ 反比例函数y＝（x＞0）的图象与直线l1：y＝﹣2x+10的另一个交点坐标为（4，2） ，
∴AB=4，BC=2，
故答案为：（4，2），4，2.
【分析】（1）联立直线与反比例函数解析式为方程组并解之，继而得出结论；
（2）画出y＝﹣2x+6的图象发现l2与函数y=图象没有交点，可得不能围出；
（3）将点（2，4）代入y＝﹣2x+a中，即可求出a值；
（4）由AB和BC的长均不小于1m，可得1≤x≤8，结合直线y＝﹣2x+a在l3、l4上面或之间移动，即可求出a的范围.
20．【答案】（1）解：联立反比例函数与一次函数，
则，
解得或舍，
当时，，
∴；
（2）解：存在，理由如下：
对于，令则，
∴；
∵，
∴可设直线的解析式为：，
令，则，
解得，
∴；
若四边形是平行四边形，
∵点向右平移了个单位向下平移个单位得到点，
∴点向右平移个单位向下平移个单位得到点，
∴，
将点代入反比例函数解析式中，
∴，
解得；
∴，
∴
∴存在点使得四边形是平行四边形此时
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；平行四边形的性质；反比例函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）联立反比例函数与一次函数 ，解方程组即可求得点B的坐标.
（2）先利用直线AB的表达式求出OA的长， 若使四边形是平行四边形， 则AB∥CD，进而可得 直线的解析式为：， 得出点D的坐标，根据平行得出点A移动到点D的移动方法，以及点B移动到点C的移动方法，再把点C坐标代入反比例函数解析式中求出b的值，进而得到点D的坐标，再利用勾股定理即可求出AD的长.
1 / 1【培优版】北师大版数学九年级上册第六章 反比例函数 章节测试卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2019九上·惠州期末）如图所示双曲线y＝ 与y＝﹣ 分别位于第三象限和第二象限，A是y轴上任意一点，B是y＝﹣ 上的点，C是y＝ 上的点，线段BC⊥x轴于D，且4BD＝3CD，则下列说法：①双曲线y＝ 在每个象限内，y随x的增大而减小；②若点B的横坐标为﹣3，则C点的坐标为（﹣3， ）；③k＝4；④△ABC的面积为定值7，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】①∵双曲线y= 在第一象限，
∴k＞0，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，故①符合题意；
②∵点B的横坐标为3，
∴y=- =-1，
∴BD=1，
∵4BD=3CD，
∴CD= ，
∴点C的坐标为（3， ），故②不符合题意；
③∵点C的坐标为（3， ），
∴k=3× =4，故③符合题意；
④设B点横坐标为：x，则其纵坐标为：- ，故C点纵坐标为： ，
则BC= + = ，
则△ABC的面积为： ，故此选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据函数图象所在象限可得k＞0，根据反比例函数的性质可得①正确；根据函数解析式结合点B的横坐标为-3，可得纵坐标，然后根据 4BD＝3CD 可得点C坐标；根据图像上的点xy的积是定值，可求得k；首先表示B，C点坐标，进而求出BC的长，既得△ABC的面积。
2．（2023九上·金东月考）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，点G为△OAB的重心，连接BG并延长，交OA于点C，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过C，G两点．若△AOB的面积为6，则k的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：如图，过点C作CN⊥OB于N，过G作GM⊥OB于M，
∵G为三角形OAB重心，
∴BG=2CG，
∵CN⊥OB，GM⊥OB，
∴CN∥GM，
∴，
设GM=2a，则CN=3a，
∴G（），C（），
∴MN=，
∴BN=3MN=
∴OB=ON+BN=，
∵BC为中线，
∴，
∴，
∴k=.
故答案为：B.
【分析】利用三角形重心性质可得，BG=2CG；过C和G作OB的垂线，可以得到比例关系，设CN=3a，GM=2a，可得到C、G的纵坐标，代入反比例函数可得M、N横坐标，从而用含k和a的式子表示出OB、CN的长；再根据BC是中线，三角形OCB面积是三角形OAB的一半即为3；利用三角形面积公式列出式子，即可求出k的值.
3．（2019九上·章丘期中）如图，在 轴正半轴上依次截取 ，过点 、 、 、…… 分别作 轴的垂线，与反比例函数 交于点 、 、 、…、 ，连接 、 、… ，过点 、 、…、 分别向 、 、…、 作垂线段，构成的一系列直角三角形（图中阴影部分）的面积和等于（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】∵
∴设 （1， ）， （1， ）， （1， ）… （1， ）
∵ 、 、 、…、 在反比例函数 的图像上
∴
∴
∴
∵
∴
…
∴
因此答案选择B.
【分析】由 可设 点的坐标为（1， ）， 点的坐标为（1， ）， 点的坐标为（1， ）… 点的坐标为（1， ），把x=1，x=2，x=3代入反比例函数的解析式即可求出 的值，再由三角形的面积公式可以得出 … 的值，即可得出答案.
4．（2022九上·桐乡市月考）如图，OABC的边OA在x轴正半轴上，点D在边AB上，线段CD的延长线交x轴于点E，连接OB、OD．反比例函数y=(k>0)经过点B、D．若S△OBC=4，S△BDE=2，则k的值为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：在平行四边形ABCD中，CB//OA
∴S△OBC=S△EBC=4，
∵S△BDE=2，∴S△BDC=S△BDE=2
∴CD=DE
∵△CBD∽△EAD
∴
∴BD=DA，D是AB的中点
作BM⊥OA，DN⊥OA
则MN=AN，DN=BM
∵反比例函数y=kx(k>0)经过点B、D
∴S△BOM=S△DON
∴OM·BM＝ON·DN
∴
记OM=t，则ON=2t，MN=t=AN，OA=3t
∴OM=OA
∴S△BOM=S△BOA=S△BOC=
∵反比例函数y=kx(k>0)经过点D
∴S△DON==
∴k=
故答案为：A.
【分析】反比例函数y=kx(k>0)经过点D，由反比例函数中k的几何意义可知，S△DON=，故只需要求出S△DON即可求出k的值；因为S△OBC=S△EBC=4，S△BDE=2，可得S△BDC=S△BDE=2，CD=DE；由△CBD∽△EAD，可得BD=DA，D是AB的中点；作BM⊥OA，DN⊥OA，则MN=AN，DN=BM；由k的几何意义可知S△DON=S△BOM=，故OM·BM＝ON·DN，ON=2OM，可知OM=MN=NA，所以OM=OA，故S△BOM=S△BOA=S△BOC=，S△DON==，k=，得解.
5．（2020九上·崇川月考）已知点A是双曲线y＝ 在第一象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y＝ （x＞0）上运动，则k的值是（ ）
A．3 B． C．﹣3 D．﹣
【答案】C
【知识点】反比例函数图象的对称性；等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，连接OC，
根据反比例函数的中心对称性质，得 OA=OB，
∵△ABC是等边三角形，
∴OC⊥AB，∠OCA=30°，
∴OC：OA= ，
过点A作AD⊥x轴，垂足为点D，过点C作CE⊥x轴，垂足为点E，
∴∠ADO=∠OEC=90°，
∵∠AOD+∠OAD =90°，∠AOD+∠COE=90°，
∴∠OAD=∠COE，
∴△DOA∽△ECO，
∴EC：DO=OE：AD=OC：AD，
∴EC= DO，OE= AD，
设点A（a，b），则DO=a，AD=b，ab=1，
∵点C在第四象限，
∴点C的坐标为（ b，- a），
∵点C始终在双曲线y＝ （x＞0）上运动，
∴k=（- a）× b= -3ab= -3.
故答案为：C.
【分析】连接OC，则OA=OB，由等边三角形的性质可得OC⊥AB，∠OCA=30°，则OC：OA=，过点A作AD⊥x轴，垂足为点D，过点C作CE⊥x轴，垂足为点E，由同角的余角相等可得∠OAD=∠COE，证明△DOA∽△ECO，由相似三角形的性质表示出EC、OE，设点A（a，b），则DO=a，AD=b，ab=1，则点C的坐标为（b，-a），代入y＝（x＞0）中求解可得k的值.
6．（2020九上·兴业月考）如图，在以 为原点的平面直角坐标系中，矩形 的两边 、 分别在 轴、 轴的正半轴上，反比例函数 的图象与 相交于点 ，与 相交于点 ，若 ，且 的面积是 ，则 的值为（ ）.
A． B．8 C．6 D．
【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设点D的横坐标为m
∵反比例函数 的图象与 相交于点
∴
∴
∵
∴
∵矩形
∴ ，
∴
∵反比例函数 的图象与 相交于点
∴
矩形 面积
∵矩形 面积
∵ 的面积是6
∴
∴
故答案为：D.
【分析】设点D的横坐标为m，根据反比例函数 的图象与 相交于点 ，得D点坐标；再根据矩形 的性质，并结合题意，可分别的点A、B、C、E的坐标；根据 矩形 面积 ，通过计算即可得到答案.
7．（2020九上·天等期中）两个反比例函数y＝ 和y＝ 在第一象限内，点P在y＝ 的图象上，PC垂直于X轴于点C，交y＝ 的图象于点A，PD垂直于Y轴于D，交y＝ 的图象于点B，当点P在y＝ 的图象上运动时，下列结论错误的是（ ）
A．△ODB与△OCA的面积相等
B．当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点
C．只有当四边形OCPB为正方形时，四边形PAOB的面积最大
D． ＝
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：A、由于点A和点D均在同一个反比例函数y＝ 的图象上，所以S△ODB＝ ，S△OCA＝ ；故△ODB与△OCA的面积相等，故A选项正确；
B、连接OP，点A是PC的中点，
则△OAP和△OAC的面积相等，
∵△ODP的面积＝△OCP的面积＝ ，△ODB与△OCA的面积相等，
∴△OBP与△OAP的面积相等，
∴△OBD和△OBP面积相等，
∴点B一定是PD的中点，故B选项正确；
C、由于矩形OCPD、三角形ODB、三角形OCA为定值，则四边形PAOB的面积不会发生变化，故C选项错误；
D、设P（m， ），则A（m， ），B（ ， ），则CA＝ ，PA＝ ﹣ ，DB＝ ，PB＝m﹣ ，
故 ， ，
∴ ，故D选项正确.
故答案为：C.
【分析】根据反比例函数的图象和性质，特别是根据反比例函数k的几何意义，对四个选项逐一进行分析，即可得出正确答案.
8．（2019九上·益阳月考）如图，正方形ABCD位于第一象限，边长为3，点A在直线y=x上，点A的横坐标为1，正方形ABCD的边分别平行于x轴、y轴．若双曲线 与正方形ABCD有公共点，则k的取值范围为（ ）
A．1＜k＜9 B．2≤k≤34 C．1≤k≤16 D．4≤k＜16
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，则把x=1代入y=x解得y=1，则A的坐标是（1，1），∵AB=BC=3，∴C点的坐标是（4，4），∴当双曲线 经过点（1，1）时，k=1；当双曲线 经过点（4，4）时，k=16，因而1≤k≤16．
故答案为：C．
【分析】先求出点A的坐标，再求出点C的坐标，分别求出双曲线经过点A和点C时的k的值，即可求出k的取值范围.
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2024九上·雅安期末）如图，点P是反比例函数上一点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交反比例函数的图象于点A、B，若，，则点P的坐标为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如下图，延长交轴于点，延长交轴于点，连接，
设点，
∴，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【分析】延长PA交x轴于点C，延长PB交y轴于点D，连接CD，设点P(a，b)，用含a、b的代数式表示出A和B两点坐标，证，可得AB∥CD；根据OP=2AB列方程求出k的值，再证得，根据相似三角形的性质求解即可。
10．（2023九上·鄞州期末）如图，矩形中，点，在轴上，交轴于点，点在上，，连接交轴于点，过点作轴交于点，点在函数的图象上.若的面积为，则的值为 ；的面积与的面积差为 .
【答案】-4；1
【知识点】矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设，，则，
∵的面积为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
把代入，得；
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：-4；1.
【分析】设C（c，0），B（b，0），则BC＝b c，根据△BCG的面积为2，求得OG，再由平行线分线段成比例定理得OG∶BF＝OC∶BC，求得BF，进而得出P（c， ），再用待定系数法求得k；由，求得AB，再求得△DEG的面积，进而求得结果．
11．（2022九上·普陀月考）如图，在平面直角坐标系中，已知第一象限上的点A（m，n）是双曲线上的动点，过点A作AM∥y轴交x轴于点M，过点N（0，2n）作NB∥x轴交双曲线于点B，交直线AM于点C，若四边形OACB的面积为4，则k的值为 ．
【答案】4
【知识点】反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：∵AM∥y轴，NB∥x轴，
∴四边形ONCM为矩形，
∵点A、B为反比例函数图象上的两点，A（m，n），N（0，2n），
∴S△BNO=S△AMO=k，S矩形ONCM=2mn=2k，
又∵S四边形OACB=4，
∴k+k+4=2mn=2k，
∴k=4.
故答案为：4.
【分析】由AM∥y轴，NB∥x轴，易得四边形ONCM为矩形，再根据反比例函数k的几何意义及图象上点的坐标特征可得S△BNO=S△AMO=k，S矩形ONCM=2mn=2k，又有S四边形OACB=4，从而可得到k+k+4=2mn=2k，解之即可求得k值.
12．（2020九上·孝义期末）如图， 的顶点 在反比例函数 的图象上，顶点 在 轴的正半轴上，顶点 和 在反比例函数 的图象上，且对角线 轴，则 的面积等于 ．
【答案】10
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：作 轴于 ， 轴于 ， 于 ，设AC交y轴于点P，
∵ 轴，
∴ ， ， 轴， ，
∴四边形AMNC，四边形AMOP，四边形OPNC都是矩形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵顶 在反比例函数 的图象上，顶点 和 在反比例函数 的图象上， ，
∴ ．
故答案为：10．
【分析】作 轴于 ， 轴于 ， 于 ，设AC交y轴于点P，可得四边形AMNC，四边形AMOP，四边形OPNC都是矩形，根据平行四边形的性质得 ，则 ，再根据反比例函数系数k的几何意义解答即可．
13．（2020九上·仓山月考）如图，正方形ABCD的两个顶点A，B分别在x轴，y轴上，对角线相交于点E， .若反比例函数 的图象经过D，E两点，则k的值是 .
【答案】8
【知识点】勾股定理；正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥x轴于F，则∠AOB=∠DFA=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，BE=DE，
∴∠OAB+∠DAF=90°，又∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠DAF，
在△AOB和△DFA中，
∴△AOB≌△DFA（AAS），
∴AF=OB，DF=OA，
设A(a，0)，B(0，b)，
则AF=OB=b，DF=OA=a，
∴点D的坐标为（a+b，a），
∴点E的坐标为（ ， ），
∵反比例函数 的图象经过D，E两点，
∴k=a(a+b)= · ，
∵a+b≠0，
∴4a=a+b，即b=3a，
在Rt△AOB中，由勾股定理得： ，
∴ ，
解得：a= ，b=3 ，
∴k= ×4 =8.
故答案为：8.
【分析】过点D作DF⊥x轴于F，则∠AOB=∠DFA=90°，由正方形的性质可得AB=AD，∠BAD=90°，BE=DE，由同角的余角相等可得∠ABO=∠DAF，证明△AOB≌△DFA，得到AF=OB，DF=OA，设A（a，0），B（0，b），则D（a+b，a），E（，），将点D、E代入y=中可得b=3a，然后在Rt△AOB中，由勾股定理求出a的值，进而得到b的值，据此不难求出k的值.
三、解答题（共7题，共61分）
14．（2023九上·小店月考） 如图，一次函数的图与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，过作轴于．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）根据图象直接写出不等式的解集．
（4）在轴上是否存在一点，使的面积为9，求点的坐标
【答案】（1）解：反比例函数的图象过点，
．
反比例函数的解析式为
反比例函数的图象过点，
．
一次函数的图象过，两点，
解得
一次函数的解析式为；
（2）解：直线：交轴于点，
．
轴于，，
，．
．
（3）或
（4）解：设
时，
时，
点的坐标为，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】
（3）解：由（1）知： 一次函数的图与反比例函数的图象交于，两点
∴ 当x＜-2时，；
当-2＜x＜0时，；
当0＜x＜4时，；
当x＞4时，；
则不等式的解集是或 .
【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，求反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，一次函数与坐标轴的交点，与不等式的关系，与三角形的面积及两点间的距离等知识。
（1）由点B（4，-2）可得反比例函数；可得A（-2，4），根据A（-2，4），B（4，-2）可得一次函数y=-x+2；
（2）由y=-x+2得C（2，0），得CD，AD，得；
（3）根据一次函数与反比例的交点横坐标，可得不等式的解集；
（4）设点P（a，0），可得PC=，根据可得，可得，解得点P的坐标为，.
15．（2023九上·天桥期中）如图，已知一次函数图象y=x+b与y轴交于点C(0，1)，与反比例函数图象y=交于点A(a，2)和点B两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式.
（2）求点B的坐标和△AOB的面积.
（3）若点M为y轴上的一个动点，N为平面内任意一点，当四边形ABMN是矩形时，请求出M点坐标．
【答案】（1）解：一次函数图象y=x+b与y轴交于点C(0，1)
∴b=1
∴一次函数的解析式为y=x+1
∵点A(a，2)在直线y=x+1上，
∴a=1
即A(1，2)
又∵反比例函数y=过A点
∴k=2
∴反比例函数为y=
（2）解：反比例函数与一次函数交于点A和点B
联立两解析式得
解得或
∴B(﹣2，﹣1)
△AOB面积=1×1÷2+1×2÷2=1.5
（3）解：M（0，3）或（0，﹣3）或（0，）或 （0，）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；矩形的性质
【解析】解：（3）分三种情况讨论：
①当∠BAM=90°时，
设M1（0，y），
则AM2+AB2=BM2，
∴12+（2-y）2+（1+2）2+（2+1）2=4+（y+1）2，
解得y=3，
∴M（0，3）；
②当∠ABM=90°时，
同理可得：M（0，-3），
③当∠AMB=90°时，设M（0，m），设AB的中点为J，
则J（-，），
∵AB=，
∴AJ=BJ=JM=，
∴（-）2+（-m）2=（）2，
解得m=，
∴M3（0，），M4（0，），
综上，满足条件的M点的坐标为（0，3）或（0，-3）或（0，）或（0，）．
【分析】（1）先根据点C的坐标即可得到b，进而将点A带入即可求出a，从而根据反比例函数的图象结合题意即可求解；
（2）先根据一次函数与反比例函数的交点问题求出交点坐标，进而即可求解；
（3）根据题意分三种情况讨论：①当∠BAM=90°时，设M1（0，y），②当∠ABM=90°时，③当∠AMB=90°时，设M（0，m），设AB的中点为J，进而结合题意根据坐标系中两点间的距离公式即可得到一元二次方程，进而解方程即可求解。
16．（2023九上·邵东月考） 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与x轴交于点C，且.
（1）求反比例函数与一次函数关系式；
（2）线段AC上是否存在一点D，使以点O、C、D为顶点的三角形是等腰三角形，若存在请求出D点坐标；若不存在，请说明理由.
（3）点P是x轴上一点，是否存在以点A、C、P为顶点的三角形与相似，若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：作轴于点B，由点可知，，，.
又，，所以.
即，所以，则，
所以反比例函数与一次函数关系为，.
（2）解：当时，，则，
当时，点D在OC的垂直平分线上，故，
当时，设，则，
又，则，即，
所以，
综上，，或
（3）解：存在.设，则，
又，，则，则
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；相似三角形的判定与性质；反比例函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）分类讨论：①当时，②当时，③当时，再分别求解即可；
（3）利用相似三角形的性质可得，再将数据代入求出，可得点P的坐标.
17．（2023九上·东平月考）如图，函数的图象过点和两点．
（1）求n和k的值；
（2）将直线沿x轴向左移动得直线，交x 轴于点D，交y 轴于点E，交于点C，若，求直线解析式；
（3）在（2）的条件下，第二象限内是否存在点F，使得是以为腰的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：函数的图像过点和两点，
，
解得，
故n和k的值分别为4，8；
（2）解：，
，直线OA的解析式为：，
过点C作轴于点G，交直线于点H，
设，
，
，
，
或（不符合题意舍去）
，
，
设直线的解析式为：，
点C在直线上，
，即，
直线的解析式为：；
（3）或
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】（3）解：由（2）得， 直线的解析式为：，
令y=0得，，
解得，，
∴D（-6，0），
∴OD=6，
令x=0得，，
∴E（0，3），
∴OE=3，
①如图，当∠DEF=90°，EF=ED时，
过点F作FG⊥y轴于点G，
∵∠FEG+∠DEO=∠DEO+∠EDO=90°，
∴∠FEG=∠EDO，
在△FEG和△EDO中，
∴△FEG≌△EDO（AAS），
∴FG=EO=3，EG=DO=6，
∴F（-3，9）；
②如图，当∠EDF=90°，FD=ED时，
过点F作FG⊥x轴于点G，
∵∠GFD+∠FDG=∠ODE+∠FDG=90°，
∴∠GFD=∠ODE，
在△GFD和△ODE中，
∴△GFD≌△ODE（AAS），
∴FG=DO=6，DG=EO=3，
∴F（-9，6），
综上所述， 或 .
故答案为： 或 .
【分析】（1）把A、B点坐标代入反比例函数解析式得到关于n、k的方程组，解方程组即可求得n、k的值；
（2）由（1）问得A、B的坐标及反比例函数的解析， 过点C作轴于点G，交直线于点H，设， 由△ACO的面积求出m的值，由平移设直线的解析式为：，代入C的坐标，即可求解；
（3）先求出D、E的坐标，再分两种情况：①当∠DEF=90°，EF=ED时，②当∠EDF=90°，FD=ED时，然后分别构造“K字型"全等三角形，求得F点坐标即可.
18．（2022九上·茂南期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点在轴正半轴上，点的坐标是，反比例函数（）的图像经过点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点在边上，且，过点D作轴，交反比例函数的图象于点，求点的坐标；
（3）在x轴上找一点，使的值最小，直接写出此时点的坐标．
【答案】（1）解：
如图：过点作轴，垂足为
设点A为
∵四边形是菱形
∴
∵点B为
∴，，
在中
∴，解得：
∴
∴yc=3
∴点C的坐标为
把点C代入，得
∴反比例函数的解析式为（）
（2）（2）如图：作轴，轴，垂足分别为
∵
∴
∵点C的坐标为
∴，
∵
∴
∴
∴
∴，
∵轴
∴yD=yE=
令y=
∴，解得
∴点的坐标为.
（3）如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则点即为所求
由（1）知：点C的坐标为
∴
设直线的解析式为：
把点C'，E代入得：
∴
解得：
∴直线的解析式为
令
∴
解得
∴点P的坐标为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；两点之间线段最短；勾股定理；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）过点作轴，垂足为，设点A为，根据点B为 得出：，，在中，由勾股定理：列出方程：解出m=5，得出，因此得到点C的坐标为，再把点C代入中得出k值.
（2）作轴，轴，垂足分别为，证明，根据相似三角形对应边成比例列出：，得出，，从而求出点D的纵坐标，再根据轴，继而求得点的坐标，最后令y=，列出方程：，解出x即可.
（3）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则点即为所求，设直线：的解析式为：，把点E，C'代入直线解析式，列出方程组：，解得：
故直线的解析式为，令y=0，解出x即可.
（1）根据题意，过点作轴，垂足为，如图：
∵四边形是菱形，
设点A为，
∴，
∵点B为，
∴，，
在中，由勾股定理，则
，即，解得：，
∴，
∴点C的坐标为，
把点C代入，得，
∴反比例函数的解析式为（）；
（2）作轴，轴，垂足分别为，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点C的坐标为，
∴，，
∴，
∴，，
∴点的纵坐标为，
∵轴，
∴点的纵坐标为，
∴，解得，
∴点的坐标为；
（3）如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则点即为所求，
点C的坐标为，
则点关于轴对称的点的坐标为，
设直线的解析式为：，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
令，，
解得，
∴点P的坐标为．
19．（2023九上·宝安月考）综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为am．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若a＝10，能否围出矩形地块？
（1）【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设AB为xm，BC为ym．由矩形地块面积为8m2，得到xy＝8，满足条件的（x，y）可看成是反比例函数y＝的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到2x+y＝10，满足条件的（x，y）可看成一次函数y＝﹣2x+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的（x，y）就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数y＝（x＞0）的图象与直线l1：y＝﹣2x+10的交点坐标为（1，8）和 ，因此，木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB＝1m，BC＝8m；或AB＝ m，BC＝ m．
根据小颖的分析思路，完成上面的填空；
（2）【类比探究】
若a＝6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由；
（3）【问题延伸】
当木栏总长为am时，小颖建立了一次函数y＝﹣2x+a．发现直线y＝﹣2x+a可以看成是直线y＝﹣2x通过平移得到的，在平移过程中，当过点（2，4）时，直线y＝﹣2x+a与反比例函数y＝（x＞0）的图象有唯一交点．
请在图2中画出直线y＝﹣2x+a过点（2，4）时的图象，并求出a的值；
（4）【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y＝﹣2x+a与y＝图象在第一象限内交点的存在问题”．
若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1m，请直接写出a的取值范围．
【答案】（1）（4，2）；4；2
（2）不能围出；
y＝﹣2x+6的图象，如答案图中l2所示：
∵l2与函数y=图象没有交点，
∴不能围出面积为 8m2的矩形．
（3）如答案图中直线l3所示：
将点（2，4）代入y＝﹣2x+a，解得a＝8．
（4）∵AB和BC的长均不小于1m，
∴x≥1，y≥1，
∴y=≥1，
∴x≤8，
∴1≤x≤8，
如图所示，直线y＝﹣2x+a在l3、l4上面或之间移动，
把（8，1）代入y＝﹣2x+a得a＝17，
∴8≤a≤17．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（1）联立方程组，
整理得：x2-5x+4=0，
解得：x1=1，x2=4，
∴ 反比例函数y＝（x＞0）的图象与直线l1：y＝﹣2x+10的另一个交点坐标为（4，2） ，
∴AB=4，BC=2，
故答案为：（4，2），4，2.
【分析】（1）联立直线与反比例函数解析式为方程组并解之，继而得出结论；
（2）画出y＝﹣2x+6的图象发现l2与函数y=图象没有交点，可得不能围出；
（3）将点（2，4）代入y＝﹣2x+a中，即可求出a值；
（4）由AB和BC的长均不小于1m，可得1≤x≤8，结合直线y＝﹣2x+a在l3、l4上面或之间移动，即可求出a的范围.
20．（2024九上·铜仁期末） 如图①，一次函数的图象与轴交于点，点是反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限的交点．
（1）求点B的坐标；
（2）点是反比例函数在第一象限内的图象上有别于的另外一点，过点作交轴于点．在轴正半轴上是否存在一点，使四边形是平行四边形，如果存在，请确定的长度，如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：联立反比例函数与一次函数，
则，
解得或舍，
当时，，
∴；
（2）解：存在，理由如下：
对于，令则，
∴；
∵，
∴可设直线的解析式为：，
令，则，
解得，
∴；
若四边形是平行四边形，
∵点向右平移了个单位向下平移个单位得到点，
∴点向右平移个单位向下平移个单位得到点，
∴，
将点代入反比例函数解析式中，
∴，
解得；
∴，
∴
∴存在点使得四边形是平行四边形此时
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；平行四边形的性质；反比例函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）联立反比例函数与一次函数 ，解方程组即可求得点B的坐标.
（2）先利用直线AB的表达式求出OA的长， 若使四边形是平行四边形， 则AB∥CD，进而可得 直线的解析式为：， 得出点D的坐标，根据平行得出点A移动到点D的移动方法，以及点B移动到点C的移动方法，再把点C坐标代入反比例函数解析式中求出b的值，进而得到点D的坐标，再利用勾股定理即可求出AD的长.
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