【提升版】北师大版数学九年级上册 第六章 反比例函数 章节测试卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2024九上·高邑期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则反比例函数的图象在（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第二、三象限 D．第一、四象限
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
∴反比例函数的图象在第二、四象限；
故答案为：B
【分析】先根据一元二次方程根的判别式得到，进而得到，再根据反比例函数的图象即可求解。
2．（初中数学北师大版九年级上册第六章 反比例函数1练习题 (1)反比例函数综合题）两个反比例函数y=和y=在第一象限内的图象如图所示，点P在y=的图象上，PC⊥x轴于点C，交y=的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y=的图象于点B，当点P在y=的图象上运动时，以下结论：
①△ODB与△OCA的面积相等；
②四边形PAOB的面积不会发生变化；
③PA与PB始终相等；
④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．
其中一定正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由反比例函数系数k的几何意义判断各结论：
①△ODB与△OCA的面积相等；正确，由于A、B在同一反比例函数图象上，则两三角形面积相等，都为；
②四边形PAOB的面积不会发生变化；正确，由于矩形OCPD、三角形ODB、三角形OCA为定值，则四边形PAOB的面积不会发生变化；
③PA与PB始终相等；错误，不一定，只有当四边形OCPD为正方形时满足PA=PB；
④连接OP，点A是PC的中点，
则△OAP和△OAC的面积相等，
∵△ODP的面积=△OCP的面积=，△ODB与△OCA的面积相等，
∴△OBP与△OAP的面积相等，
∴△OBD和△OBP面积相等，
∴点B一定是PD的中点．
故一定正确的是①②④．
故选C．
【分析】本题考查的是反比例函数中k的几何意义，无论如何变化，只要知道过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是个恒等值即易解题．
3．（2024九上·重庆市开学考）如图，点是反比例函数图象上的一点，过作轴于点，点为轴正半轴上一点且，连接交轴于点，连接．若的面积为4，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵DO=2BO，
∴设BO=x，则DO=2x，
∴BD=3x，
∵AB⊥x轴，∠COD=90°，
∴∠ABD=∠COD=90°，
∴AB∥OC，
∴，
∴，
∴，
∵的面积为4，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点A是反比例函数图象上的一点，
∴，
故答案为：D．
【分析】设BO=x，则DO=2x，得BD=3x，易证AB∥OC，从而证出，根据相似三角形对应边成比例得，进而得，接下来利用三角形面积公式求出，得，即可求出A的坐标，最后根据反比例函数上点的坐标特征求出k的值.
4．（2022九上·济南期末）如图，两个反比例函数和在第一象限的图象分别是和，设点P在上，轴于点，交于，则的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵轴于点，交于点，
∴，，
∴=．
故答案为：A．
【分析】利用反比例函数k的几何意义可得=×4=2，=×2=1，再利用割补法求出的面积即可。
5．（2023九上·南开月考）已知点，和都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据反比例函数的图象可得，反比例函数的图象在二、四象限，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大，且函数值均为正，当x＞0时，y随x的增大而增大，且函数值均为负，
∴当点A、B、C三个点在反比例函数的图象上时，
∵-2＜-1＜2，
∴y2＞y1＞y3；
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数的图象和性质判断即可。
6．（2024九上·阜平期末）如图，等腰直角三角形在第一象限，点A，B的坐标分别为，．动点D从点A出发，沿运动到点C，反比例函数（）的图象L经过点D，则在点D的运动过程中，下列各点中，图象L经过两次的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵等腰直角三角形在第一象限，点A，B的坐标分别为，，
∴轴，轴，
∴点C的坐标为，
当点D在线段上运动时，点D的横坐标是1，纵坐标的范围为，
此时k的取值范围为，
当点D在线段上运动时，点D的纵坐标是2，横坐标的范围为，
此时k的取值范围为，
∴k的取值范围公共部分是，
∴点B是线段和的公共端点，点C是线段的端点，
∴和只会被经过一次，
∵，6不在在内，
∴图象L不可能经过两次，
∵，4在内，且不是线段和的端点，
∴图象L经过两次的是，
故答案为：C
【分析】先根据等腰直角三角形的性质确定点C的坐标，再根据点D的运动路线求出k的取值范围公共部分，再对选项进行分析即可得到答案．
7．（2024九上·桥西期末）如图，，分别是反比例函数和在第一象限内的图象，点和点在上，线段交于点，线段交于点下列结论中正确的为（ ）
A． B．
C．为中点 D．
【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点A作AF⊥x轴于点F，过点B作BE⊥x轴于点E
由题意可得：
∵AF⊥x轴，BE⊥x轴
∴BE∥SF
∴△OBE∽△OAF
∴
同理可得：
∴OB：OA=OC：OD
∵∠BOC=∠AOD
∴△BOC∽△AOD
∴
∴
∴
∴，A选项不正确，不符合题意
∵
∴
∵△BOC∽△AOD
∴，B选项不正确，不符合题意
∵
∴点B不一定是OA的中点，C选项不正确，不符合题意
∵△BOC∽△AOD
∴∠OBC=∠OAD
∴BC∥AD，D选项正确，符合题意
故答案为：D
【分析】过点A作AF⊥x轴于点F，过点B作BE⊥x轴于点E，根据反比例函数比例系数的几何意义可得，根据相似三角形判定定理可得△OBE∽△OAF，则，同理，则可判断△BOC∽△AOD，再根据相似三角形性质可得，可判断A选项错误；根据，△BOC∽△AOD，可判断可得B选项错误，由可得C选项错误，再根据相似三角形性质可判断D选项正确.
8．（2024九上·渠县期末）如图点、D在反比例函数 ()的图象上轴于点C，轴于点A，轴于点E，且，若，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；勾股定理；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：记的交点为，如图所示：
由题意得，，
设，
∵，
∴，
∴，，
将代入得，，
∴，
当时，，
∴，
∴，，
由勾股定理得，，
∴，
∴，
故答案为：A
【分析】记的交点为，由题意得，，设，进而结合题意即可得到，再根据题意运用勾股定理即可得到AF，从而得到点D，进而根据反比例函数图象上的点的坐标特征即可求解。
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2024九上·衡阳开学考）反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为3，则k的值为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∵反比例函数图象在第二象限，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】利用反比例函数k的几何意义可得，再求出k的值即可.
10．（2024九上·九龙坡期末）如图，四边形是平行四边形，在轴上，点在轴上，反比例函数的图象经过第一象限点，且平行四边形的面积为8，则 ．
【答案】8
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：过点作轴于点，如图所示：
∵平行四边形的面积为8，
∴，
∵，
∴，
∴矩形的面积为8，
∵点在反比例函数的图象上，
∴.
故答案为：8
【分析】如图，过点作轴，结合“平行四边形的面积为8”可得，根据反比例函数比例系数k的几何意义进而可得到。
11．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册1.3 反比例函数的应用 同步练习）近视眼镜的度数y度与镜片焦距x米呈反比例，其函数关系式为 如果近似眼镜镜片的焦距 米，那么近视眼镜的度数y为 ．
【答案】400
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：把 代入 ，
，
故答案为：400
【分析】将x=0.3代入函数解析式，求出y的值，可解答。
12．（2024九上·深圳期末）如图，在矩形中，，，F是上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E，若时，则 .
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：连接OF，如图，
∵ F在反比例函数上，
∴ S△OAF=×AF×OA=k，
∵ S△AEF=×AF×BE=k，
∴ BE=OA=4，
∵ 四边形OABC为矩形，
∴ CB=OA=12，
∴ CE=CB-BE=12-4=8，
∴ E（8，10），
∵ E在反比例函数上，
∴ k=8×10=80.
故答案为：80.
【分析】根据 △OAF 和△AEF为同底三角形，进而求得E的坐标，再代入反比例函数的解析式，即可求得.
13．（2024九上·锦江期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为，点在第二象限，反比例函数的图象恰好经过点，则的值为 ．
【答案】-4
【知识点】平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：因为四边形是平行四边形，
所以
因为点，点，点O，
所以
得出
所以点A（-2，2），
将点A（-2，2）代入解得出k=-4，
故答案为：-4.
【分析】根据平行四边形的性质和点B、C、O的坐标求出点A的坐标，再将其代入即可得出答案.
三、解答题（共7题，共61分）
14．（2024九上·新会开学考）如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数且）的图象相交于，B两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）在y轴上有一动点E，当最小时，求点E的坐标；
（3）将一次函数的图象沿y轴向下平移b个单位（），使平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，求b的值．
【答案】（1）解：把代入直线中得：
把点代入 反比例函数 中
反比例函数解析式：.
（2）解：如图，作点B关于x轴的对称点B‘交y轴于点E，此时最小
令，解得：
∴
∴
∴关于x轴对称点
设直线为：
把点A，B'代入得：
，解得：
直线为：
当时，
.
（3）解：设平移后的解析式为：
令
∴
解得：或
故或．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）把代入直线中得：，得出，把点代入 反比例函数 中，计算出k值即可.
（2）先令，求出B点坐标，得到B关于x轴对称点，连接交y轴与E点，此时最小，利用待定系数法求出的解析式：，再令x=0，解出y的值即可.
（3）设平移后的解析式为：，令，得到：，再根据题意，令，解出b即可.
（1）解：一次函数的图象与反比例函数（k为常数且）的图象相交于，B两点，
∴当时，，
，
，
反比例函数解析式：；
（2）根据题意可得：，
解得：，
则，
即，
关于x轴对称点，
连接交y轴与E点，此时最小，
设直线为：，
则，
解得：，
直线为：，
当时，，
；
（3）设一次函数的图象沿y轴向下平移b个单位（）后为，
平移后的图象与反比例函数只有一个交点，
，
则，
，
解得：或，
故或．
15．（2024九上·钟山期末） 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．
（1）求一次函数的表达式；
（2）已知点，试求与的数量关系．
【答案】（1）解：解：由题可得2×（-4）=× ，
∴=2 ，
∴点B的坐标是（-4，2），将点A，点B代入中得 解得
∴
（2）解： ∴=
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求得的值即可求解；
（2）利用三角形的面积公式代入数据进行计算得到， ，从而求解.
16．（2023九上·贵阳月考）如图所示，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数y=(x>0)图象上一点，AB⊥x轴，垂足为B，若S△AOB=3，一次函数y=mx+2与x轴交于点C(-1，0).
（1）求k，m的值；
（2）有一点P(1，2)，过点P作x轴的平行线，分别交y=mx+2和y=(x>0)的图象于点M，N.判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）解：∵S△AOB=3，
∴=3，|k|=6.
又∵图象位于第一象限，
∴k>0.∴k=6.
∵一次函数y=mx+2的图象经过C(-1，0)，
代入，得0=-m+2，
∴m=2.
（2）解：PN=2PM.理由如下：
如图所示，过P(1，2)作x轴的平行线与函数图象分别交于点M，N，
∴设M(a，2)，N(b，2)将 y=2 分别代入y=2x+2，y=，
解得a=0，b=3，
∴M(0，2)，N(3，2).
∴PM=1，PN=3-1=2.
∴PN=2PM.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数-动态几何问题
【解析】【分析】(1)根据 S△AOB=3， 求出k的值，将点C坐标代入一次函数求出m；
(2) 过P(1，2)作x轴的平行线与函数图象分别交于点M，N， 设M(a，2)，N(b，2)，将y=2分别代入y=2x+2， y=， 得a=0，b=3，得到点M，N的坐标，求出PM， PN的长，从而得到其数量关系.
17．（2023九上·赣州期末）如图，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，a），在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点C坐标为（﹣2，0）．
（1）求k的值；
（2）求AB所在直线的解析式．
【答案】（1）解：∵正比例函数y＝x的图象经过点A（1，a），
∴a＝1，
∴A（1，1），
∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝1×1＝1；
（2）解：作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，
∵A（1，1），C（﹣2，0），
∴AD＝1，CD＝3，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
∵∠ACD+∠CAD＝90°，
∴∠BCE＝∠CAD，
在△BCE和△CAD中，
，
∴△BCE≌△CAD（AAS），
∴CE＝AD＝1，BE＝CD＝3，
∴B（﹣3，3），
设直线AB的解析式为y＝mx+n，
∴， 解得
∴直线AB的解析式为y＝﹣+．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E， 根据点A、C的坐标以及直角三角形的性质得到AD＝1，CD＝3，∠BCE＝∠CAD， 进而证明△BCE≌△CAD ，得到点B的坐标，设直线AB的解析式为y＝mx+n， 利用待定系数法求得m，n的值，即可求解.
18．（2023九上·寿阳月考） 阅读与思考
下面是小宇同学的一篇日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
在物理活动课上，我们“博学”小组的同学，参加了一次“探究电功率P与电阻R之间的函数关系”的活动．
第一步，实验测量．根据物理知识，改变电阻R的大小，通过测量电路中的电流，计算电功率P．
第二步，整理数据． R/Ω…3691215…P/W…31.510.750.7…
第三步，描点连线．以R的数值为横坐标，对应P的数值为纵坐标在平面直角坐标系中描出以表中数值为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点．
在数据分析时，我发现一个数据有错误，重新测量计算后，证明了我的猜想正确，并修改了表中这个数据．实验结束后，大家都有很多收获，每人都撰写了日记．
任务：
（1）表格中错误的数据是 ，P与R的函数表达式为 ；
（2）在平面直角坐标系中，画出P与R的函数图象；
（3）结合图象，直接写出P大于6W时R的取值范围．
【答案】（1）R=15Ω，P=0.7W；
（2）解：画出P与R的函数图象如图：
（3）0＜R＜1.5
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】（3）解：∵ p=
∴ 当P=6w，R=1.5w
∴ 当P＞6w，0＜R＜1.5w
【分析】本题考查反比例函数的应用，熟悉反比例函数的性质是关键。（1）结合表格数据，可得结论；（2）描点法画函数图象；（3）结合函数图象可得结论。
19．（2021九上·广饶期中）泡茶需要将电热水壶中的水先烧到100℃，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温y(℃)与时间x(min)成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度y(℃)与时间x(min)近似于反比例函数关系(如图)．已知水壶中水的初始温度是20℃，降温过程中水温不低于20℃．
（1）分别求出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围：
（2）从水壶中的水烧开(100℃)降到90℃就可以泡茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？
【答案】（1）解：停止加热时，设 ，
由题意得：50＝ ，
解得：k＝900，
∴y＝ ，
当y＝100时，解得：x＝9，
∴C点坐标为(9，100)，
∴B点坐标为(8，100)，
当加热烧水时，设y＝ax+20，
由题意得：100＝8a+20，
解得：a＝10，
∴当加热烧水，函数关系式为y＝10x+20(0≤x≤8)；
当停止加热，得y与x的函数关系式 为y＝100(8＜x≤9)；y＝ (9＜x≤45)；
（2）解：把y＝90代入y＝ ，得x＝10，
因此从烧水开到泡茶需要等待10﹣8＝2分钟．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）将点D的坐标代入反比例函数的一般式利用待定系数法求出反比例函数解析式，然后求出点C和点B的坐标，从而用待定系数法确定一次函数的解析式即可；
（2）将y=80代入反比例函数的解析式，从而求得答案。
20．（2022九上·绵阳期末）如图，在正方形OABC中，点O为坐标原点，点，点A在y轴正半轴上，点E，F分别在BC，CO上，，一次函数的图象过点E和F，交y轴于点G，过点E的反比例函数的图象交AB于点D.
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在线段EF上是否存在点P，使，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解： 点 ，
正方形 边长为3，即 ，
，
，
， ，
把 ， 代入 得 ，
解得 ，
一次函数的解析式为 ，
把 代入 得 ，
解得 ，
反比例函数解析式为 ，
答：反比例函数解析式为 ，一次函数的解析式为 ；
（2）解：存在点 ，使 ，
在 中，令 得 ，
，
，
在 中，令 得 ，
，
，
设 ，
，
，
解得 ，
， .
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；正方形的性质
【解析】【分析】（1）由点C（ 3，0），CE＝CF＝2，可得E（ 3，2），F（ 1，0），用待定系数法即得一次函数的解析式为y＝ x 1，反比例函数解析式为 ；
（2）令y＝ x 1中的x=0，算出对应的函数值，从而得G（0， 1），在中，令y=3算出对应的自变量x的值，得D（ 2，3），设P（t， t 1），根据S△ADP＝S△APG有×2 [3 （ t 1）]＝×4×（ t），即可解得 ， .
1 / 1【提升版】北师大版数学九年级上册 第六章 反比例函数 章节测试卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2024九上·高邑期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则反比例函数的图象在（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第二、三象限 D．第一、四象限
2．（初中数学北师大版九年级上册第六章 反比例函数1练习题 (1)反比例函数综合题）两个反比例函数y=和y=在第一象限内的图象如图所示，点P在y=的图象上，PC⊥x轴于点C，交y=的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y=的图象于点B，当点P在y=的图象上运动时，以下结论：
①△ODB与△OCA的面积相等；
②四边形PAOB的面积不会发生变化；
③PA与PB始终相等；
④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．
其中一定正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
3．（2024九上·重庆市开学考）如图，点是反比例函数图象上的一点，过作轴于点，点为轴正半轴上一点且，连接交轴于点，连接．若的面积为4，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022九上·济南期末）如图，两个反比例函数和在第一象限的图象分别是和，设点P在上，轴于点，交于，则的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2023九上·南开月考）已知点，和都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·阜平期末）如图，等腰直角三角形在第一象限，点A，B的坐标分别为，．动点D从点A出发，沿运动到点C，反比例函数（）的图象L经过点D，则在点D的运动过程中，下列各点中，图象L经过两次的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·桥西期末）如图，，分别是反比例函数和在第一象限内的图象，点和点在上，线段交于点，线段交于点下列结论中正确的为（ ）
A． B．
C．为中点 D．
8．（2024九上·渠县期末）如图点、D在反比例函数 ()的图象上轴于点C，轴于点A，轴于点E，且，若，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2024九上·衡阳开学考）反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为3，则k的值为 ．
10．（2024九上·九龙坡期末）如图，四边形是平行四边形，在轴上，点在轴上，反比例函数的图象经过第一象限点，且平行四边形的面积为8，则 ．
11．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册1.3 反比例函数的应用 同步练习）近视眼镜的度数y度与镜片焦距x米呈反比例，其函数关系式为 如果近似眼镜镜片的焦距 米，那么近视眼镜的度数y为 ．
12．（2024九上·深圳期末）如图，在矩形中，，，F是上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E，若时，则 .
13．（2024九上·锦江期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为，点在第二象限，反比例函数的图象恰好经过点，则的值为 ．
三、解答题（共7题，共61分）
14．（2024九上·新会开学考）如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数且）的图象相交于，B两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）在y轴上有一动点E，当最小时，求点E的坐标；
（3）将一次函数的图象沿y轴向下平移b个单位（），使平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，求b的值．
15．（2024九上·钟山期末） 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．
（1）求一次函数的表达式；
（2）已知点，试求与的数量关系．
16．（2023九上·贵阳月考）如图所示，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数y=(x>0)图象上一点，AB⊥x轴，垂足为B，若S△AOB=3，一次函数y=mx+2与x轴交于点C(-1，0).
（1）求k，m的值；
（2）有一点P(1，2)，过点P作x轴的平行线，分别交y=mx+2和y=(x>0)的图象于点M，N.判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由.
17．（2023九上·赣州期末）如图，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，a），在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点C坐标为（﹣2，0）．
（1）求k的值；
（2）求AB所在直线的解析式．
18．（2023九上·寿阳月考） 阅读与思考
下面是小宇同学的一篇日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
在物理活动课上，我们“博学”小组的同学，参加了一次“探究电功率P与电阻R之间的函数关系”的活动．
第一步，实验测量．根据物理知识，改变电阻R的大小，通过测量电路中的电流，计算电功率P．
第二步，整理数据． R/Ω…3691215…P/W…31.510.750.7…
第三步，描点连线．以R的数值为横坐标，对应P的数值为纵坐标在平面直角坐标系中描出以表中数值为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点．
在数据分析时，我发现一个数据有错误，重新测量计算后，证明了我的猜想正确，并修改了表中这个数据．实验结束后，大家都有很多收获，每人都撰写了日记．
任务：
（1）表格中错误的数据是 ，P与R的函数表达式为 ；
（2）在平面直角坐标系中，画出P与R的函数图象；
（3）结合图象，直接写出P大于6W时R的取值范围．
19．（2021九上·广饶期中）泡茶需要将电热水壶中的水先烧到100℃，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温y(℃)与时间x(min)成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度y(℃)与时间x(min)近似于反比例函数关系(如图)．已知水壶中水的初始温度是20℃，降温过程中水温不低于20℃．
（1）分别求出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围：
（2）从水壶中的水烧开(100℃)降到90℃就可以泡茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？
20．（2022九上·绵阳期末）如图，在正方形OABC中，点O为坐标原点，点，点A在y轴正半轴上，点E，F分别在BC，CO上，，一次函数的图象过点E和F，交y轴于点G，过点E的反比例函数的图象交AB于点D.
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在线段EF上是否存在点P，使，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
∴反比例函数的图象在第二、四象限；
故答案为：B
【分析】先根据一元二次方程根的判别式得到，进而得到，再根据反比例函数的图象即可求解。
2．【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由反比例函数系数k的几何意义判断各结论：
①△ODB与△OCA的面积相等；正确，由于A、B在同一反比例函数图象上，则两三角形面积相等，都为；
②四边形PAOB的面积不会发生变化；正确，由于矩形OCPD、三角形ODB、三角形OCA为定值，则四边形PAOB的面积不会发生变化；
③PA与PB始终相等；错误，不一定，只有当四边形OCPD为正方形时满足PA=PB；
④连接OP，点A是PC的中点，
则△OAP和△OAC的面积相等，
∵△ODP的面积=△OCP的面积=，△ODB与△OCA的面积相等，
∴△OBP与△OAP的面积相等，
∴△OBD和△OBP面积相等，
∴点B一定是PD的中点．
故一定正确的是①②④．
故选C．
【分析】本题考查的是反比例函数中k的几何意义，无论如何变化，只要知道过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是个恒等值即易解题．
3．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵DO=2BO，
∴设BO=x，则DO=2x，
∴BD=3x，
∵AB⊥x轴，∠COD=90°，
∴∠ABD=∠COD=90°，
∴AB∥OC，
∴，
∴，
∴，
∵的面积为4，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点A是反比例函数图象上的一点，
∴，
故答案为：D．
【分析】设BO=x，则DO=2x，得BD=3x，易证AB∥OC，从而证出，根据相似三角形对应边成比例得，进而得，接下来利用三角形面积公式求出，得，即可求出A的坐标，最后根据反比例函数上点的坐标特征求出k的值.
4．【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵轴于点，交于点，
∴，，
∴=．
故答案为：A．
【分析】利用反比例函数k的几何意义可得=×4=2，=×2=1，再利用割补法求出的面积即可。
5．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据反比例函数的图象可得，反比例函数的图象在二、四象限，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大，且函数值均为正，当x＞0时，y随x的增大而增大，且函数值均为负，
∴当点A、B、C三个点在反比例函数的图象上时，
∵-2＜-1＜2，
∴y2＞y1＞y3；
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数的图象和性质判断即可。
6．【答案】C
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵等腰直角三角形在第一象限，点A，B的坐标分别为，，
∴轴，轴，
∴点C的坐标为，
当点D在线段上运动时，点D的横坐标是1，纵坐标的范围为，
此时k的取值范围为，
当点D在线段上运动时，点D的纵坐标是2，横坐标的范围为，
此时k的取值范围为，
∴k的取值范围公共部分是，
∴点B是线段和的公共端点，点C是线段的端点，
∴和只会被经过一次，
∵，6不在在内，
∴图象L不可能经过两次，
∵，4在内，且不是线段和的端点，
∴图象L经过两次的是，
故答案为：C
【分析】先根据等腰直角三角形的性质确定点C的坐标，再根据点D的运动路线求出k的取值范围公共部分，再对选项进行分析即可得到答案．
7．【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点A作AF⊥x轴于点F，过点B作BE⊥x轴于点E
由题意可得：
∵AF⊥x轴，BE⊥x轴
∴BE∥SF
∴△OBE∽△OAF
∴
同理可得：
∴OB：OA=OC：OD
∵∠BOC=∠AOD
∴△BOC∽△AOD
∴
∴
∴
∴，A选项不正确，不符合题意
∵
∴
∵△BOC∽△AOD
∴，B选项不正确，不符合题意
∵
∴点B不一定是OA的中点，C选项不正确，不符合题意
∵△BOC∽△AOD
∴∠OBC=∠OAD
∴BC∥AD，D选项正确，符合题意
故答案为：D
【分析】过点A作AF⊥x轴于点F，过点B作BE⊥x轴于点E，根据反比例函数比例系数的几何意义可得，根据相似三角形判定定理可得△OBE∽△OAF，则，同理，则可判断△BOC∽△AOD，再根据相似三角形性质可得，可判断A选项错误；根据，△BOC∽△AOD，可判断可得B选项错误，由可得C选项错误，再根据相似三角形性质可判断D选项正确.
8．【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；勾股定理；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：记的交点为，如图所示：
由题意得，，
设，
∵，
∴，
∴，，
将代入得，，
∴，
当时，，
∴，
∴，，
由勾股定理得，，
∴，
∴，
故答案为：A
【分析】记的交点为，由题意得，，设，进而结合题意即可得到，再根据题意运用勾股定理即可得到AF，从而得到点D，进而根据反比例函数图象上的点的坐标特征即可求解。
9．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∵反比例函数图象在第二象限，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】利用反比例函数k的几何意义可得，再求出k的值即可.
10．【答案】8
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：过点作轴于点，如图所示：
∵平行四边形的面积为8，
∴，
∵，
∴，
∴矩形的面积为8，
∵点在反比例函数的图象上，
∴.
故答案为：8
【分析】如图，过点作轴，结合“平行四边形的面积为8”可得，根据反比例函数比例系数k的几何意义进而可得到。
11．【答案】400
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：把 代入 ，
，
故答案为：400
【分析】将x=0.3代入函数解析式，求出y的值，可解答。
12．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：连接OF，如图，
∵ F在反比例函数上，
∴ S△OAF=×AF×OA=k，
∵ S△AEF=×AF×BE=k，
∴ BE=OA=4，
∵ 四边形OABC为矩形，
∴ CB=OA=12，
∴ CE=CB-BE=12-4=8，
∴ E（8，10），
∵ E在反比例函数上，
∴ k=8×10=80.
故答案为：80.
【分析】根据 △OAF 和△AEF为同底三角形，进而求得E的坐标，再代入反比例函数的解析式，即可求得.
13．【答案】-4
【知识点】平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：因为四边形是平行四边形，
所以
因为点，点，点O，
所以
得出
所以点A（-2，2），
将点A（-2，2）代入解得出k=-4，
故答案为：-4.
【分析】根据平行四边形的性质和点B、C、O的坐标求出点A的坐标，再将其代入即可得出答案.
14．【答案】（1）解：把代入直线中得：
把点代入 反比例函数 中
反比例函数解析式：.
（2）解：如图，作点B关于x轴的对称点B‘交y轴于点E，此时最小
令，解得：
∴
∴
∴关于x轴对称点
设直线为：
把点A，B'代入得：
，解得：
直线为：
当时，
.
（3）解：设平移后的解析式为：
令
∴
解得：或
故或．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）把代入直线中得：，得出，把点代入 反比例函数 中，计算出k值即可.
（2）先令，求出B点坐标，得到B关于x轴对称点，连接交y轴与E点，此时最小，利用待定系数法求出的解析式：，再令x=0，解出y的值即可.
（3）设平移后的解析式为：，令，得到：，再根据题意，令，解出b即可.
（1）解：一次函数的图象与反比例函数（k为常数且）的图象相交于，B两点，
∴当时，，
，
，
反比例函数解析式：；
（2）根据题意可得：，
解得：，
则，
即，
关于x轴对称点，
连接交y轴与E点，此时最小，
设直线为：，
则，
解得：，
直线为：，
当时，，
；
（3）设一次函数的图象沿y轴向下平移b个单位（）后为，
平移后的图象与反比例函数只有一个交点，
，
则，
，
解得：或，
故或．
15．【答案】（1）解：解：由题可得2×（-4）=× ，
∴=2 ，
∴点B的坐标是（-4，2），将点A，点B代入中得 解得
∴
（2）解： ∴=
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求得的值即可求解；
（2）利用三角形的面积公式代入数据进行计算得到， ，从而求解.
16．【答案】（1）解：∵S△AOB=3，
∴=3，|k|=6.
又∵图象位于第一象限，
∴k>0.∴k=6.
∵一次函数y=mx+2的图象经过C(-1，0)，
代入，得0=-m+2，
∴m=2.
（2）解：PN=2PM.理由如下：
如图所示，过P(1，2)作x轴的平行线与函数图象分别交于点M，N，
∴设M(a，2)，N(b，2)将 y=2 分别代入y=2x+2，y=，
解得a=0，b=3，
∴M(0，2)，N(3，2).
∴PM=1，PN=3-1=2.
∴PN=2PM.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数-动态几何问题
【解析】【分析】(1)根据 S△AOB=3， 求出k的值，将点C坐标代入一次函数求出m；
(2) 过P(1，2)作x轴的平行线与函数图象分别交于点M，N， 设M(a，2)，N(b，2)，将y=2分别代入y=2x+2， y=， 得a=0，b=3，得到点M，N的坐标，求出PM， PN的长，从而得到其数量关系.
17．【答案】（1）解：∵正比例函数y＝x的图象经过点A（1，a），
∴a＝1，
∴A（1，1），
∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝1×1＝1；
（2）解：作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，
∵A（1，1），C（﹣2，0），
∴AD＝1，CD＝3，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
∵∠ACD+∠CAD＝90°，
∴∠BCE＝∠CAD，
在△BCE和△CAD中，
，
∴△BCE≌△CAD（AAS），
∴CE＝AD＝1，BE＝CD＝3，
∴B（﹣3，3），
设直线AB的解析式为y＝mx+n，
∴， 解得
∴直线AB的解析式为y＝﹣+．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E， 根据点A、C的坐标以及直角三角形的性质得到AD＝1，CD＝3，∠BCE＝∠CAD， 进而证明△BCE≌△CAD ，得到点B的坐标，设直线AB的解析式为y＝mx+n， 利用待定系数法求得m，n的值，即可求解.
18．【答案】（1）R=15Ω，P=0.7W；
（2）解：画出P与R的函数图象如图：
（3）0＜R＜1.5
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】（3）解：∵ p=
∴ 当P=6w，R=1.5w
∴ 当P＞6w，0＜R＜1.5w
【分析】本题考查反比例函数的应用，熟悉反比例函数的性质是关键。（1）结合表格数据，可得结论；（2）描点法画函数图象；（3）结合函数图象可得结论。
19．【答案】（1）解：停止加热时，设 ，
由题意得：50＝ ，
解得：k＝900，
∴y＝ ，
当y＝100时，解得：x＝9，
∴C点坐标为(9，100)，
∴B点坐标为(8，100)，
当加热烧水时，设y＝ax+20，
由题意得：100＝8a+20，
解得：a＝10，
∴当加热烧水，函数关系式为y＝10x+20(0≤x≤8)；
当停止加热，得y与x的函数关系式 为y＝100(8＜x≤9)；y＝ (9＜x≤45)；
（2）解：把y＝90代入y＝ ，得x＝10，
因此从烧水开到泡茶需要等待10﹣8＝2分钟．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）将点D的坐标代入反比例函数的一般式利用待定系数法求出反比例函数解析式，然后求出点C和点B的坐标，从而用待定系数法确定一次函数的解析式即可；
（2）将y=80代入反比例函数的解析式，从而求得答案。
20．【答案】（1）解： 点 ，
正方形 边长为3，即 ，
，
，
， ，
把 ， 代入 得 ，
解得 ，
一次函数的解析式为 ，
把 代入 得 ，
解得 ，
反比例函数解析式为 ，
答：反比例函数解析式为 ，一次函数的解析式为 ；
（2）解：存在点 ，使 ，
在 中，令 得 ，
，
，
在 中，令 得 ，
，
，
设 ，
，
，
解得 ，
， .
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；正方形的性质
【解析】【分析】（1）由点C（ 3，0），CE＝CF＝2，可得E（ 3，2），F（ 1，0），用待定系数法即得一次函数的解析式为y＝ x 1，反比例函数解析式为 ；
（2）令y＝ x 1中的x=0，算出对应的函数值，从而得G（0， 1），在中，令y=3算出对应的自变量x的值，得D（ 2，3），设P（t， t 1），根据S△ADP＝S△APG有×2 [3 （ t 1）]＝×4×（ t），即可解得 ， .
1 / 1
