梯形及特殊梯形——北师大版数学九年级上册知识点训练
一、选择题
1．如图，把直角梯形 沿 方向平移得到梯形， 则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八下·深圳期末） 如图， 四边形ABCD中， BC∥AD， AC⊥BD， AC=3， BD=6，BC=1， 则AD的长为( )
A．8 B． C． D．
3．（2024八下·南昌期中）如图，中，，平分，交于点E，，点F、G分别是和的中点，则的长为（ ）
A．3 B．2.5 C．2 D．5
4．（2024·遵义会模拟） 如图①， 在四边形ABCD中， AB∥CD， AB=28， 点M从A点出发， 以每秒1个单位长度的速度沿A→D→C→B运动，连接MB， AM. △AMB的面积y与点 M的运动时间x(s)的函数关系如图②所示，则四边形ABCD 的面积为（ ）
A．404 B．252 C．168 D．126
5．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，连结AC，BD，且AC⊥BD，设AB=a，CD=b.给出下列说法：①②AD=下列判断正确的是（ ）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确
C．①②均正确 D．①②均错误
6．（2020·上海）下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形
B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
D．对角线平分一组对角的梯形是直角梯形
7．（2023八下·南京期末）如图在中，平分交于点，点，分别是，的中点.若，，则的长为（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
8．（2024·义乌模拟）如图，四边形ABCD中，为CD的中点，为BC上一点，且满足，则CF的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2024八下·昌黎期末）如图，在矩形ABCD中，，，E为AB的中点，点F，G分别在CD，AD上，△EFG为等腰直角三角形，且，则四边形BCFE的面积为 ．
10．（2023八上·金华月考）如图，点E是 ABCD的AD边上的中点，连结BE，点F为BE中点，若AB＝6，AD＝4，∠BAD＝120°，则DF的长为 ．
11．（2023九上·虹口期中）如图，梯形中，，点在边上，且，则的面积与四边形的面积之比为 ．
12．（2023九上·温州期中） 如图，在正方形ABCD的右下角有一个正方形GICJ，以点G为顶点向左构造正方形EFGH，使点E，F分别落在边AB，BI上，当A，H，J三点共线时，则的值是 ．
13．（2023八下·徐汇期末）如图，在等腰梯形中，，对角线于点，，，垂足分别为、，，，则 ．
三、解答题
14．（2024八上·道里期末）如图，点C为上一动点，以，为斜边在同侧作等腰直角三角形与等腰直角三角形，连接，点F在上，连接，．
（1）求证：点F为的中点；
（2）过点F作的垂线，点G为垂足，求的值；
（3）若，与的面积和为S，求S的最小值．
15．（2017八下·君山期末）在直角坐标平面里，梯形ABCD各顶点的位置如图所示，图中每个小正方形方格的边长为1个单位长度．
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）如果把梯形ABCD在坐标平面里先向右平移1个单位，然后向下平移2个单位得到梯形A1B1C1D1，求新顶点A1，B1，C1，D1的坐标．
16．（2023八下·青羊期末）如图，在四边形中，，．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）点E为边的中点，连接，过E作交边于点F，连接．
①求证：；
②若，，，求与的值．
四、阅读理解题
17．（四边形(323)+—+梯形（普通））阅读材料：
如图（1），在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为点P．求证：S四边形ABCD= AC BD；
证明：∵AC⊥BD，
∴
∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ACB= AC PD+ AC BP
= AC（PD+PB）= AC BD
解答问题：
（1）上述证明得到的性质可叙述为
（2）已知：如图（2），在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且相交于点P，AD=3cm，BC=7cm，利用上述性质求梯形的面积．
（3）如图（3），用一块面积为800cm2的等腰梯形彩纸做风筝，并用两根竹条作梯形的对角线固定风筝，对角线恰好互相垂直，问竹条的长是多少？
18．阅读理解：
如图1，若在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E与点A，B不重合），分别连结ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：
（1）如图1，若∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；
拓展探究：
（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，请直接写出的值．
图1 图2 图3
五、实践探究题
19．（2024八下·浏阳期中）若四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫做这个四边形的“巧分线”，这个四边形叫“巧妙四边形”，若一个四边形有两条巧分线，则称为“绝妙四边形”．
（1）下列四边形一定是巧妙四边形的是 ；（填序号点①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．
（2）初步应用
在绝妙四边形ABCD中，AC垂直平分BD，若∠BAD＝80°，则∠BCD＝ ；
（3）深入研究
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD，∠B＝72°．
求证：梯形ABCD是绝妙四边形．
（4）在巧妙四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠A＝90°，AC是四边形ABCD的巧分线，请直接写出∠BCD的度数．
20．（2018·齐齐哈尔）综合与实践
折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等，进一步发展空间观念，在经历借助图形思考问题的过程中，我们会初步建立几何直观，折纸往往从矩形纸片开始，今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论．
【实践操作】
如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点B′落在矩形ABCD所在平面内，B'C和AD相交于点E，连接B′D．
（1）【解决问题】在图1中，
①B′D和AC的位置关系为 ；
②将△AEC剪下后展开，得到的图形是 ；
（2）若图1中的矩形变为平行四边形时（AB≠BC），如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由；
（3）小红沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形，则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为 ；
（4）【拓展应用】在图2中，若∠B=30°，AB=4 ，当△AB′D恰好为直角三角形时，BC的长度为 ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】直角梯形；平移的性质
【解析】【解答】解： ∵直角梯形沿方向平移得到梯形，
∴，直角梯形和梯形的面积相等，
∴阴影部分的面积等于梯形的面积，，
∴阴影部分的面积等于；
故答案为：B。
【分析】根据平移的性质，将阴影部分的面积转化为梯形DHGW的面积进行求解即可．
2．【答案】D
【知识点】梯形；直角三角形的性质
【解析】【解答】过点C作CE||BD交AD延长线于点E，又BC||DE得BCED为平行四边形，
DE=BC=1，CE=BD=6，而 AC⊥BD 得AC⊥CE，由勾股定理得AE=
故AD=AE-DE=3-1
故答案为：D
【分析】作CE||BD可得BCED为平行四边形得DE=BC=1，由勾股定理得AE的长，即可得AD的长.
3．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；梯形中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠EBC=∠AEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC=∠ABE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=3，
∴AD=5，
∴BC=5，
∵点F、G分别是和的中点，
∴FG=2.5，
故答案为：B
【分析】先根据平行四边形的性质得到AD=BC，AD∥BC，进而即可得到∠EBC=∠AEB，再根据角平分线的定义得到∠EBC=∠ABE，从而根据等腰三角形的性质即可得到AE=AB=3，再结合题意即可得到BC，进而根据三角形中位线定理结合题意即可求解。
4．【答案】B
【知识点】梯形；动点问题的函数图象；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：当M运动到点D处时，x=15，y=168
∴AD=15，
设AB与CD之间的距离为h
∵AB=28
∴，解得：h=12
当M运动到点C处时，x=29
∴DC=29-15=14
∴四边形ABCD的面积为：
故答案为：B
【分析】根据函数关系图可得相关长度，再根据梯形面积即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；等腰梯形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，延长DC至点E，使CE=AB，
，
，
，，
四边形ABEC是平行四边形，，
，
，
，
，
，
，
四边形ABCD是等腰梯形，
，
，①正确；
作，
，，
，
，
四边形ABCD是等腰梯形，
，②正确.
故答案为：C.
【分析】延长DC至点E，使CE=AB，易证四边形ABEC是平行四边形，进而得到AC||BE，证得是直角三角形，再利用等腰梯形的性质证得是等腰直角三角形，然后通过勾股定理即可证得①正确；利用等腰直角三角形的性质表示出BF、CF的长度，通过勾股定理计算出AD的长度，即可证得②正确.
6．【答案】C
【知识点】菱形的判定；正方形的判定；直角梯形；等腰梯形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】A．对角线互相垂直且相等的梯形是等腰梯形，故不符合题意；
B．对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故不符合题意；
C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，符合题意；
D．对角线平分一组对角的梯形是菱形，故不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用特殊四边形的判定定理对每个选项逐一判断后即可确定正确的选项．
7．【答案】C
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；梯形中位线定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC=5，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC.
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=3，
∴ED=AD-AE=5-3=2.
∵F、G为分别为BE、CD的中点，
∴FG为梯形BCDE的中位线，
∴FG=(DE+BC)=×(2+5)=3.5.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质可得AD=BC=5，AD∥BC，由平行线的性质可得∠AEB=∠EBC，根据角平分线的概念可得∠ABE=∠EBC，则∠ABE=∠AEB，推出AE=AB=3，然后求出ED的值，易得FG为梯形BCDE的中位线，则FG=(DE+BC)，据此计算.
8．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的判定与性质；梯形中位线定理；三角形全等的判定-AAS；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：延长AD，FE交于点G，过E作EM⊥AB于点M，作EM⊥BC与点N，如图所示：
∵∠B=90°，
∴四边形MBNE是矩形，
∴BM=EN，ME=NB，ME//BC.
∵点E是DC的中点，即DE=CE.
∴ME是梯形的中位线.
∵AD=2，AB=4，BC=5，
∴，.
∴Rt△AME中，
.
在△AEG中，∵∠DEG=∠FEC=∠AED，
∴，即.
设，则DG=4a.
∵AD//BC，
∴∠G=∠EFC，∠GDE=∠C，DE=CE，
∴△GDE≌△FCE(AAS).
∴，.
∵Rt△ENF中，，NE=MB=2，，
∴.
解得：，（舍）.
∴.
故答案为：D.
【分析】延长AD，FE交于点G，过E作EM⊥AB于点M，作EM⊥BC与点N，证明四边形MBNE是矩形，可得BM=EN，ME=NB，证明ME是梯形的中位线，可得，.在Rt△AME中求出AE长，再利用三角形角平分线的性质可得，设，则DG=4a，证明△GDE≌△FCE，可得FC和EF的长，在Rt△ENF中利用勾股定理，求得a值，即可得到FC的长.
9．【答案】16
【知识点】矩形的性质；直角梯形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AGE+∠AEG=90°，
∵△GEF是等腰直角三角形，且GE=GF，
∴∠EGF=90°，
∴∠AGE+∠DGF=90°，
∴∠AEG=∠DGF，
在△AEG与△DGF中，
∵∠A=∠D，∠AEG=∠DGF，EG=FG，
∴△AEG≌△DGF（AAS），
∴AE=GD，AG=DF，
∴AE+DF=AG+GD=AD=8，
∴S四边形BCFE=S矩形ABCD-S梯形ADFE=6×8-×(AE+DF)×AD=48-×8×8=16.
故答案为：16.
【分析】由矩形的性质、直角三角形两锐角互余、平角定义及同角余角相等得∠AEG=∠DGF，从而由AAS判断出△AEG≌△DGF，得AE=GD，AG=DF，推出AE+DF=AG+GD=AD=8，进而结合几何图形面积计算公式，由S四边形BCFE=S矩形ABCD-S梯形ADFE列式计算即可.
10．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；梯形中位线定理
【解析】【解答】解：过点F作FM∥AD，交CD于点M，如图所示，
在平行四边形ABCD中，，，，
∵为中点，且，
∴为中点，，
∴，
∵，
∴，
∵点是的边上的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】过点F作FM∥AD，交CD于点M，先根据梯形的中位线求FM的长，再证明为直角三角形、和为等腰三角形，进而解得∠MDF=30°，根据30°直角三角形的性质，结合勾股定理求解即可。
11．【答案】
【知识点】三角形的面积；梯形
【解析】【解答】解：连接AC，设△AEC的面积为S，
∵，
∴△BEC的面积为3S，
∴△ABC的面积为4S，
∵BC=3AD，
∴△ABC的面积=3△ACD的面积=4S，
∴△ACD的面积=S，
∴ 四边形的面积= △AEC的面积+△ACD的面积=S+S=S，
∴的面积与四边形的面积之比为3S：S=9：7．
故答案为：9：7．
【分析】连接AC，设△AEC的面积为S，由可得△BEC的面积为3S，根据三角形的高相同可得△ABC的面积=3△ACD的面积=4S，据此分别求出△ACD的面积、四边形的面积，从而求出其比.
12．【答案】
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；直角梯形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点H作HN⊥AB于点N，过点H作HM⊥GJ，交JG的延长线于点M，
设正方形GICJ的边长为x，FI=y，
∵四边形ABCD，EFGH，GICJ是正方形，
∴∠B=∠EFG=∠FIG=90°，EF=FG，AB=BC，
∵∠BFE+∠GFI=90°，∠GFI+∠IGF=90°，
∴∠BFE=∠IGF，
∴△BFE≌△IGF（AAS），
同理可证△MGH≌△NEH≌△BFE≌△IGF，
∴MG=NE=GI=BF=x，HM=BE=NH=FI=y，
∴AB=BC=2x+y，AN=2x+y-x-y=x，
∵S梯形ABCJ=S△NAH+S△NEH+S△BFE+S△IGF+S△HGJ+S正方形EFGH+S正方形GICJ，
S△HGJ=GJ·HM=xy=S△IGF，
∴S梯形ABCJ=5S△IGF+S正方形EFGH+S正方形GICJ
∴（x+2x+y）（2x+y）=5×xy+（x2+y2）+x2，
整理得：y2=2x2，
∴FG2=3x2，
∴
∴
【分析】过点H作HN⊥AB于点N，过点H作HM⊥GJ，交JG的延长线于点M，利用正方形的性质可证得∠B=∠EFG=∠FIG=90°，EF=FG，AB=BC，利用余角的性质可推出∠BFE=∠IGF，再利用AAS可证得△BFE≌△IGF，同理可证△MGH≌△NEH≌△BFE≌△IGF，利用全等三角形的性质可知MG=NE=GI=BF=x，HM=BE=NH=FI=y，可表示出BC，AB，AN的长；再根据三角形的面积公式可得到S△HGJ=xy=S△IGF；然后证明S梯形ABCJ=5S△IGF+S正方形EFGH+S正方形GICJ，利用梯形的面积公式和三角形的面积公式，可得到关于y，x的方程，解方程可得到y2=2x2，由此可得到FG2=3x2，可表示出FG的长，即可求出的值 .
13．【答案】6
【知识点】等腰梯形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示：过D作DH∥AC，交BC延长线于H
∵ 四边形ABCD为等腰梯形， ，
∴ AC=BD，AE=DF
∵ AC⊥BD
∴ BD⊥DH，BD=DH=AC
∴ 四边形ACHD为平行四边形
∴ AD=CH=4
∵ DF⊥BC
∴ DF=
∴ DF=6
∴ AE=6
故答案为：6.
【分析】本题考查等腰梯形的性质。作平行线，构造等腰直角三角形是解题重点。
14．【答案】（1）证明：∵以为斜边在同侧作等腰直角三角形与等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵
∴
∴，
∴
∴
∴点F为的中点；
（2）解：过D作于，过E作于，
∵和是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵FG⊥AB，DM⊥AB，EN⊥AB，
∴
∵，
∴
∴，
∴；
（3）解：∵
∴设则，
∵
∴，
∴
即
∵二次项系数a=＞0，
∴当x=6时，S的最小值为18．
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；梯形中位线定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得∠ACD=∠BCE=45°，由平角定义得∠DCE=90°，由等边对等角得∠FDC=∠FCD，进而根据等角的余角相等得∠FCE=∠FEC，由等角对等边得CF=EF，从而由等量代换得DF=EF，此题得证；
（2）过D作于DM⊥AB于点M，过E作EN⊥AB于N，由等腰直角三角形的性质得AC=2DM，BC=2EN，则AB=2(DM+EN)，由同一平面内垂直于同一直线的几条直线互相平行，得DM∥FG∥EN，由平行线等分线段定理得MG=NG，由梯形中位线定理得FG=(DM+EN)，从而即可求出FG与AB的比值；
（3）设AC=x，则BC=12-x，由等腰直角三角形性质得DM=x，EN=(12-x)，结合三角形面积计算公式表示出S关于x的函数解析式，进而根据二次函数的性质可得答案.
15．【答案】（1）解：由图可知：
A（﹣3，﹣1）、B（2，﹣1）、C（2，2）、D（﹣1，2）
AB∥CD，BC⊥AB，
所以，梯形ABCD是直角梯形，
AB=5，DC=3，BC=3，
梯形ABCD的面积是S＝
（2）解：如果把梯形ABCD在坐标平面里先向右平移1个单位，然后向下平移2个单位，则平移公式为：
所以，平移以后所得梯形A1B1C1D1各顶点的坐标分别为：
A1（﹣2，﹣3），B1（3，﹣3），C1（3，0），D1（0，0）
A1（-2，-3），B1（3，-3），C1（3，0），D1（0，0）
【知识点】直角梯形；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【分析】（1）根据图可知 梯形ABCD是直角梯形 ，并可以算得AB，BC，CD的长，从而根据梯形的面积公式求得 梯形ABCD的面积；
（2）根据平移的方向和距离得到平移公式，然后根据平移公式分别算得各新顶点的坐标。
16．【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
（2）解：①证明：如图，取的中点N，连接，
，
四边形是梯形，
是的中点，点E为边的中点，
是梯形的中位线，
，
，
，
；
②解： 四边形为平行四边形，
，，
根据①中结论可得得，
，，
，，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；梯形中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）首先根据AB∥CD可得出同旁内角∠ABC+∠BCD=180°，然后等量代换为：∠ADC+∠BCD=180°，从而根据同旁内角互补，两直线平行得出结论；
（2）取AF的中点N，首先根据EN是梯形的中位线，可以得出2EN=AB+CF，然后根据△AEF是直角三角形，EN是直角三角形斜边上的中线，所以AF=2EN；所以AF=AB+CF；
首先根据（2）的结论，求得AF的长，再在Rt△ADF中根据勾股定理求得AD的长，
17．【答案】（1）对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半
（2）解：在BC的延长线上取一点E，使DE∥AC，从D点作DF⊥BE，
∵梯形是等腰梯形，
∴BD=AC=DE，
∵AC⊥BD，
∴∠DBC+∠ACB=90°，
∵DE∥AC，
∴∠DEB=∠ACB，
∴∠DBC+∠DEB=90°
利用直角三角形斜边上的中线的性质可知DF=BF=EF=5，
由勾股定理可知，DE=5 ，
∴S梯形=S△BDE= DE DB=5 ×5 ÷2=25cm2
（3）解：∵ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，
∴S梯形ABCD= AC BD= AC2=800，
∴AC=BD=40cm；
答：竹条的长是40cm
【知识点】梯形
【解析】【解答】解：（1）叙述：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．
【分析】（1）只要把图形符号转化成语言表达即可．（2）作辅助线在BC的延长线上取一点E，使DE∥AC．从D点作DF⊥BE，先求出梯形的高，再利用勾股定理求出对角线的长，即可求出面积．（3）利用梯形的面积公式即可求出对角线的长．即是竹条的长．
18．【答案】解：（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．
理由：∵∠A=55°，
∴∠ADE+∠DEA=125°．
∵∠DEC=55°，
∴∠BEC+∠DEA=125°．
∴∠ADE=∠BEC．
∵∠A=∠B，
∴△ADE∽△BEC．
∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点
（2）作图如下：
图1图2
（3）．
【知识点】矩形的性质；梯形；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)要证明点E是四边形ABCD的边AB上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△BEC，所以问题得解.
(2)根据两个直角三角形相似得到强相似点的两种情况即可.
(3)因为点E是梯形ABCD的边AB上的一个强相似点，所以就有相似三角形出现，根据相似三角形的对应线段成比例，可以判断出BC和AB的数量关系，从而可求出解.
19．【答案】（1）③④
（2）140°或80°
（3）证明：如图，连接AC与BD，交于点O，
在梯形ABCD中，AB＝CD，
∴∠ABC＝∠DCB＝72°，
∵AD∥BC，
∴∠BAD＝∠ADC＝108°，
∵AB＝AD＝CD，
∴△ABD是等腰三角形，∠ABD＝∠ADB＝36°，
∴∠DBC＝72°﹣36°＝36°，∠BDC＝108°﹣36°＝72°＝∠DCB，
∴△BDC也是等腰三角形，
∴对角线BD叫做这个四边形ABCD的“巧分线”，
同理可得△ADC和△ACB也是等腰三角形，
∴对角线AC叫做这个四边形ABCD的“巧分线”，
∴梯形ABCD是绝妙四边形.
（4）解：∵AC是四边形ABCD的巧分线，
∴△ACD和△ABC是等腰三角形，
①当AC＝BC时，如图5，过C作CH⊥AB于H，过C作CG⊥AD，交AD的延长线于G，
∵∠HAD＝∠AHC＝∠G＝90°，
∴四边形AHCG是矩形，
∴AH＝CG＝AB＝CD，
∴∠CDG＝30°，
∴∠ADC＝150°，
∴∠DAC＝∠DCA＝15°，
∵∠DAB＝90°，
∴∠CAB＝∠B＝75°，
∴∠ACB＝30°，
∴∠BCD＝30°+15°＝45°；
②当AC＝AB时，如图6，
∵AC＝AB＝AD＝CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠CAD＝∠ACD＝60°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAC＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝75°，
∴∠BCD＝75°+60°＝135°；
③当AB＝BC时，如图7，此时∠BCD＝90°；
④当AB＝AD＝CD时，如图8，过点C作CH⊥AB于H，作DF＝DC，交CH于F，过点F作FE⊥AD于E，
由①得：∠EDF＝∠DCF＝∠DFC＝30°，
∴∠CDF＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∠ADC＝180°﹣30°﹣120°＝30°，
∴∠DAC＝∠ACD＝75°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠CAB＝∠B＝15°，
∴∠ACB＝180°﹣15°﹣15°＝150°，
∴∠BCD＝360°﹣150°﹣75°＝135°．
综上，∠BCD的度数是45°或135°或90°．
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；梯形
【解析】【解答】解：（1）菱形的四条边相等，
连接对角线能得到两个等腰三角形，
菱形是巧妙四边形；
正方形是特殊的菱形，所以正方形也是巧妙四边形；
故答案为：③④.
（2）∵AC垂直平分BD，
∴AB=AD，BC=CD，AC⊥BD，
∴∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，
∵∠BAD=80°，
∴∠BAC=∠DAC=40°，
∵AC=AD，
∴∠ACD=70°=∠BCA，
∴∠BCD=140°，
如图，∵四边形ABCD是绝妙四边形，
∴AD=CD，AB=BC，
∵AC垂直平分BD，
∴AB=AD，BC=CD，
∴AB=AD=BC=CD，
∴四边形ABCD是萎形，
∴∠BCD=∠BAD=80°，
综上所述，∠BCD=140°或80°；
【分析】(1)根据巧妙四边形的定义，可得到菱形和正方形是巧妙四边形；
(2)依据绝妙四边形的定义，可得两条对角线都是巧分线，分情况画图进行计算可得结论；
(3)先根据题意画出图形，再分别证明两条对角线分成的三角形是等腰三角形即可；
(4)依据AC是四边形ABCD的巧分线，可得△ACD和△ABC是等腰三角形，△ABC是等腰三角形时分三种情况画图进行讨论可得结论.
20．【答案】（1）平行；菱形
（2）解：①选择②证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∴∠ACB′=∠ACB，
∴∠DAC=∠ACB′，
∴AE=CE，
∴△AEC是等腰三角形；
∴将△AEC剪下后展开，得到的图形四边相等，
∴将△AEC剪下后展开，得到的图形四边是菱形．
②选择①证明如下，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∴B′C=BC，
∴B′C=AD，
∴B′E=DE，
∴∠CB′D=∠ADB′，
∵∠AEC=∠B′ED，∠ACB′=∠CAD
∴∠ADB′=∠DAC，
∴B′D∥AC．
（3）1：1或 ：1
（4）4或6或8或12
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的性质；等腰梯形的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）①BD′∥AC．②将△AEC剪下后展开，得到的图形是菱形；
故答案为BD′∥AC，菱形；（3）①当矩形的长宽相等时，满足条件，此时矩形纸片的长宽之比为1：1；
②当矩形的长宽之比为 ：1时，满足条件，此时可以证明四边形ACDB′是等腰梯形，是轴对称图形；
综上所述，满足条件的矩形纸片的长宽之比为1：1或 ：1
（4）∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵AC∥B′D，
∴四边形ACB′D是等腰梯形，
∵∠B=30°，∴∠AB′C=∠CDA=30°，
∵△AB′D是直角三角形，
当∠B′AD=90°，AB＞BC时，如图3中，
设∠ADB′=∠CB′D=y，
∴∠AB′D=y﹣30°，
解得y=60°，
∴∠AB′D=y﹣30°=30°，
∵AB′=AB=4 ，
∴AD= ×4 =4，
∴BC=4，
当∠ADB ′=90°，AB＞BC时，如图4，
∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵AC∥B′D，
∴四边形ACB′D是等腰梯形，
∵∠ADB′=90°，
∴四边形ACB′D是矩形，
∴∠ACB′=90°，
∴∠ACB=90°，
∵∠B=30°，AB=4 ，
∴BC= AB= ×4 =6；
当∠B′AD=90°，AB＜BC时，如图5，
∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵AC∥B′D，∠B′AD=90°，
∵∠B=30°，AB′=4 ，
∴∠AB′C=30°，
∴AE=4，BE′=2AE=8，
∴AE=EC=4，
∴CB′=12，
当∠AB′D=90°时，如图6，
∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵AC∥B′D，
∴四边形ACDB′是等腰梯形，
∵∠AB′D=90°，
∴四边形ACDB′是矩形，
∴∠BAC=90°，
∵∠B=30°，AB=4 ，
∴BC=AB÷ =8；
∴已知当BC的长为4或6或8或12时，△AB′D是直角三角形．
故答案为：平行，菱形，1：1或 ：1，4或6或8或12；
【分析】（1）①B′D和AC的位置关系为平行，理由如下：根据折叠的性质知BC=B'C，∠BCA=∠B'CA，根据矩形的性质知BC=AD，AD∥BC，故∠BCA=∠DAC，故∠DAC=∠B'CA，根据等角对等边得出AE=CE，进而根据等量减等量差相等得出B'E=BD，故∠EB'D=∠B'DE，又∠AEC==∠B'ED故∠DB'C=∠B'CA，所以B′D∥AC；②将△AEC剪下后展开，得到的图形是菱形，根据四边相等的四边形式菱形即可得出结论；
（2）①选择②证明如下：根据平行四边形的旋转得出AD∥BC，由平行线的性质得出∠DAC=∠ACB，根据翻折的性质得出∠ACB′=∠ACB，故∠DAC=∠ACB′，根据等角对等边得出AE=CE，故△AEC是等腰三角形，将△AEC剪下后展开，得到的图形四边相等，根据四边相等的四边形是菱形即可得出结论；②选择①证明如下，根据平行四边形的旋转得出AD=BC，根据翻折的性质得出B′C=BC，故B′C=AD，根据等量减去等量差相等得出B′E=DE，根据等边对等角得出∠CB′D=∠ADB′，又∠AEC=∠B′ED，∠ACB′=∠CAD故∠ADB′=∠DAC，根据内错角相等两直线平行得出B′D∥AC；
( 3）①当矩形的长宽相等时，满足条件，此时矩形纸片的长宽之比为1：1；②当矩形的长宽之比为 ：1时，满足条件，此时可以证明四边形ACDB′是等腰梯形，是轴对称图形；综上所述，得出答案；（4）由AD=BC，BC=B′C，得出AD=B′C，然后判断出四边形ACB′D是等腰梯形，△AB′D是直角三角形，当∠B′AD=90°，AB＞BC时，如图3中，设∠ADB′=∠CB′D=y，则∠AB′D=y﹣30°，解得y=60°，∠AB′D=y﹣30°=30°， 又AB′=AB=4 ，故AD=4，BC=4，当∠ADB ′=90°，AB＞BC时，如图4，因AD=BC，BC=B′C，故AD=B′C，又AC∥B′D，故四边形ACB′D是等腰梯形，然后判断出四边形ACB′D是矩形，根据矩形的性质得出∠ACB′=90°，故∠ACB=90°，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出BC的长，当∠B′AD=90°，AB＜BC时，如图5， 由AD=BC，BC=B′C，得出AD=B′C，AC∥B′D，∠B′AD=90°，故∠AB′C=30°，AE=4，BE′=2AE=8，AE=EC=4，所以CB′=12；当∠AB′D=90°时，如图6，首先判断出四边形ACDB′是等腰梯形，再判断出四边形ACDB′是矩形，根据矩形的性质，得出∠BAC=90°，根据锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值即可求出BC的长，综上所述得出答案。
1 / 1梯形及特殊梯形——北师大版数学九年级上册知识点训练
一、选择题
1．如图，把直角梯形 沿 方向平移得到梯形， 则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直角梯形；平移的性质
【解析】【解答】解： ∵直角梯形沿方向平移得到梯形，
∴，直角梯形和梯形的面积相等，
∴阴影部分的面积等于梯形的面积，，
∴阴影部分的面积等于；
故答案为：B。
【分析】根据平移的性质，将阴影部分的面积转化为梯形DHGW的面积进行求解即可．
2．（2024八下·深圳期末） 如图， 四边形ABCD中， BC∥AD， AC⊥BD， AC=3， BD=6，BC=1， 则AD的长为( )
A．8 B． C． D．
【答案】D
【知识点】梯形；直角三角形的性质
【解析】【解答】过点C作CE||BD交AD延长线于点E，又BC||DE得BCED为平行四边形，
DE=BC=1，CE=BD=6，而 AC⊥BD 得AC⊥CE，由勾股定理得AE=
故AD=AE-DE=3-1
故答案为：D
【分析】作CE||BD可得BCED为平行四边形得DE=BC=1，由勾股定理得AE的长，即可得AD的长.
3．（2024八下·南昌期中）如图，中，，平分，交于点E，，点F、G分别是和的中点，则的长为（ ）
A．3 B．2.5 C．2 D．5
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；梯形中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠EBC=∠AEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC=∠ABE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=3，
∴AD=5，
∴BC=5，
∵点F、G分别是和的中点，
∴FG=2.5，
故答案为：B
【分析】先根据平行四边形的性质得到AD=BC，AD∥BC，进而即可得到∠EBC=∠AEB，再根据角平分线的定义得到∠EBC=∠ABE，从而根据等腰三角形的性质即可得到AE=AB=3，再结合题意即可得到BC，进而根据三角形中位线定理结合题意即可求解。
4．（2024·遵义会模拟） 如图①， 在四边形ABCD中， AB∥CD， AB=28， 点M从A点出发， 以每秒1个单位长度的速度沿A→D→C→B运动，连接MB， AM. △AMB的面积y与点 M的运动时间x(s)的函数关系如图②所示，则四边形ABCD 的面积为（ ）
A．404 B．252 C．168 D．126
【答案】B
【知识点】梯形；动点问题的函数图象；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：当M运动到点D处时，x=15，y=168
∴AD=15，
设AB与CD之间的距离为h
∵AB=28
∴，解得：h=12
当M运动到点C处时，x=29
∴DC=29-15=14
∴四边形ABCD的面积为：
故答案为：B
【分析】根据函数关系图可得相关长度，再根据梯形面积即可求出答案.
5．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，连结AC，BD，且AC⊥BD，设AB=a，CD=b.给出下列说法：①②AD=下列判断正确的是（ ）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确
C．①②均正确 D．①②均错误
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；等腰梯形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，延长DC至点E，使CE=AB，
，
，
，，
四边形ABEC是平行四边形，，
，
，
，
，
，
，
四边形ABCD是等腰梯形，
，
，①正确；
作，
，，
，
，
四边形ABCD是等腰梯形，
，②正确.
故答案为：C.
【分析】延长DC至点E，使CE=AB，易证四边形ABEC是平行四边形，进而得到AC||BE，证得是直角三角形，再利用等腰梯形的性质证得是等腰直角三角形，然后通过勾股定理即可证得①正确；利用等腰直角三角形的性质表示出BF、CF的长度，通过勾股定理计算出AD的长度，即可证得②正确.
6．（2020·上海）下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形
B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
D．对角线平分一组对角的梯形是直角梯形
【答案】C
【知识点】菱形的判定；正方形的判定；直角梯形；等腰梯形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】A．对角线互相垂直且相等的梯形是等腰梯形，故不符合题意；
B．对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故不符合题意；
C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，符合题意；
D．对角线平分一组对角的梯形是菱形，故不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用特殊四边形的判定定理对每个选项逐一判断后即可确定正确的选项．
7．（2023八下·南京期末）如图在中，平分交于点，点，分别是，的中点.若，，则的长为（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
【答案】C
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；梯形中位线定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC=5，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC.
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=3，
∴ED=AD-AE=5-3=2.
∵F、G为分别为BE、CD的中点，
∴FG为梯形BCDE的中位线，
∴FG=(DE+BC)=×(2+5)=3.5.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质可得AD=BC=5，AD∥BC，由平行线的性质可得∠AEB=∠EBC，根据角平分线的概念可得∠ABE=∠EBC，则∠ABE=∠AEB，推出AE=AB=3，然后求出ED的值，易得FG为梯形BCDE的中位线，则FG=(DE+BC)，据此计算.
8．（2024·义乌模拟）如图，四边形ABCD中，为CD的中点，为BC上一点，且满足，则CF的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的判定与性质；梯形中位线定理；三角形全等的判定-AAS；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：延长AD，FE交于点G，过E作EM⊥AB于点M，作EM⊥BC与点N，如图所示：
∵∠B=90°，
∴四边形MBNE是矩形，
∴BM=EN，ME=NB，ME//BC.
∵点E是DC的中点，即DE=CE.
∴ME是梯形的中位线.
∵AD=2，AB=4，BC=5，
∴，.
∴Rt△AME中，
.
在△AEG中，∵∠DEG=∠FEC=∠AED，
∴，即.
设，则DG=4a.
∵AD//BC，
∴∠G=∠EFC，∠GDE=∠C，DE=CE，
∴△GDE≌△FCE(AAS).
∴，.
∵Rt△ENF中，，NE=MB=2，，
∴.
解得：，（舍）.
∴.
故答案为：D.
【分析】延长AD，FE交于点G，过E作EM⊥AB于点M，作EM⊥BC与点N，证明四边形MBNE是矩形，可得BM=EN，ME=NB，证明ME是梯形的中位线，可得，.在Rt△AME中求出AE长，再利用三角形角平分线的性质可得，设，则DG=4a，证明△GDE≌△FCE，可得FC和EF的长，在Rt△ENF中利用勾股定理，求得a值，即可得到FC的长.
二、填空题
9．（2024八下·昌黎期末）如图，在矩形ABCD中，，，E为AB的中点，点F，G分别在CD，AD上，△EFG为等腰直角三角形，且，则四边形BCFE的面积为 ．
【答案】16
【知识点】矩形的性质；直角梯形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AGE+∠AEG=90°，
∵△GEF是等腰直角三角形，且GE=GF，
∴∠EGF=90°，
∴∠AGE+∠DGF=90°，
∴∠AEG=∠DGF，
在△AEG与△DGF中，
∵∠A=∠D，∠AEG=∠DGF，EG=FG，
∴△AEG≌△DGF（AAS），
∴AE=GD，AG=DF，
∴AE+DF=AG+GD=AD=8，
∴S四边形BCFE=S矩形ABCD-S梯形ADFE=6×8-×(AE+DF)×AD=48-×8×8=16.
故答案为：16.
【分析】由矩形的性质、直角三角形两锐角互余、平角定义及同角余角相等得∠AEG=∠DGF，从而由AAS判断出△AEG≌△DGF，得AE=GD，AG=DF，推出AE+DF=AG+GD=AD=8，进而结合几何图形面积计算公式，由S四边形BCFE=S矩形ABCD-S梯形ADFE列式计算即可.
10．（2023八上·金华月考）如图，点E是 ABCD的AD边上的中点，连结BE，点F为BE中点，若AB＝6，AD＝4，∠BAD＝120°，则DF的长为 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；梯形中位线定理
【解析】【解答】解：过点F作FM∥AD，交CD于点M，如图所示，
在平行四边形ABCD中，，，，
∵为中点，且，
∴为中点，，
∴，
∵，
∴，
∵点是的边上的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】过点F作FM∥AD，交CD于点M，先根据梯形的中位线求FM的长，再证明为直角三角形、和为等腰三角形，进而解得∠MDF=30°，根据30°直角三角形的性质，结合勾股定理求解即可。
11．（2023九上·虹口期中）如图，梯形中，，点在边上，且，则的面积与四边形的面积之比为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；梯形
【解析】【解答】解：连接AC，设△AEC的面积为S，
∵，
∴△BEC的面积为3S，
∴△ABC的面积为4S，
∵BC=3AD，
∴△ABC的面积=3△ACD的面积=4S，
∴△ACD的面积=S，
∴ 四边形的面积= △AEC的面积+△ACD的面积=S+S=S，
∴的面积与四边形的面积之比为3S：S=9：7．
故答案为：9：7．
【分析】连接AC，设△AEC的面积为S，由可得△BEC的面积为3S，根据三角形的高相同可得△ABC的面积=3△ACD的面积=4S，据此分别求出△ACD的面积、四边形的面积，从而求出其比.
12．（2023九上·温州期中） 如图，在正方形ABCD的右下角有一个正方形GICJ，以点G为顶点向左构造正方形EFGH，使点E，F分别落在边AB，BI上，当A，H，J三点共线时，则的值是 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；直角梯形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点H作HN⊥AB于点N，过点H作HM⊥GJ，交JG的延长线于点M，
设正方形GICJ的边长为x，FI=y，
∵四边形ABCD，EFGH，GICJ是正方形，
∴∠B=∠EFG=∠FIG=90°，EF=FG，AB=BC，
∵∠BFE+∠GFI=90°，∠GFI+∠IGF=90°，
∴∠BFE=∠IGF，
∴△BFE≌△IGF（AAS），
同理可证△MGH≌△NEH≌△BFE≌△IGF，
∴MG=NE=GI=BF=x，HM=BE=NH=FI=y，
∴AB=BC=2x+y，AN=2x+y-x-y=x，
∵S梯形ABCJ=S△NAH+S△NEH+S△BFE+S△IGF+S△HGJ+S正方形EFGH+S正方形GICJ，
S△HGJ=GJ·HM=xy=S△IGF，
∴S梯形ABCJ=5S△IGF+S正方形EFGH+S正方形GICJ
∴（x+2x+y）（2x+y）=5×xy+（x2+y2）+x2，
整理得：y2=2x2，
∴FG2=3x2，
∴
∴
【分析】过点H作HN⊥AB于点N，过点H作HM⊥GJ，交JG的延长线于点M，利用正方形的性质可证得∠B=∠EFG=∠FIG=90°，EF=FG，AB=BC，利用余角的性质可推出∠BFE=∠IGF，再利用AAS可证得△BFE≌△IGF，同理可证△MGH≌△NEH≌△BFE≌△IGF，利用全等三角形的性质可知MG=NE=GI=BF=x，HM=BE=NH=FI=y，可表示出BC，AB，AN的长；再根据三角形的面积公式可得到S△HGJ=xy=S△IGF；然后证明S梯形ABCJ=5S△IGF+S正方形EFGH+S正方形GICJ，利用梯形的面积公式和三角形的面积公式，可得到关于y，x的方程，解方程可得到y2=2x2，由此可得到FG2=3x2，可表示出FG的长，即可求出的值 .
13．（2023八下·徐汇期末）如图，在等腰梯形中，，对角线于点，，，垂足分别为、，，，则 ．
【答案】6
【知识点】等腰梯形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示：过D作DH∥AC，交BC延长线于H
∵ 四边形ABCD为等腰梯形， ，
∴ AC=BD，AE=DF
∵ AC⊥BD
∴ BD⊥DH，BD=DH=AC
∴ 四边形ACHD为平行四边形
∴ AD=CH=4
∵ DF⊥BC
∴ DF=
∴ DF=6
∴ AE=6
故答案为：6.
【分析】本题考查等腰梯形的性质。作平行线，构造等腰直角三角形是解题重点。
三、解答题
14．（2024八上·道里期末）如图，点C为上一动点，以，为斜边在同侧作等腰直角三角形与等腰直角三角形，连接，点F在上，连接，．
（1）求证：点F为的中点；
（2）过点F作的垂线，点G为垂足，求的值；
（3）若，与的面积和为S，求S的最小值．
【答案】（1）证明：∵以为斜边在同侧作等腰直角三角形与等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵
∴
∴，
∴
∴
∴点F为的中点；
（2）解：过D作于，过E作于，
∵和是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵FG⊥AB，DM⊥AB，EN⊥AB，
∴
∵，
∴
∴，
∴；
（3）解：∵
∴设则，
∵
∴，
∴
即
∵二次项系数a=＞0，
∴当x=6时，S的最小值为18．
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；梯形中位线定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得∠ACD=∠BCE=45°，由平角定义得∠DCE=90°，由等边对等角得∠FDC=∠FCD，进而根据等角的余角相等得∠FCE=∠FEC，由等角对等边得CF=EF，从而由等量代换得DF=EF，此题得证；
（2）过D作于DM⊥AB于点M，过E作EN⊥AB于N，由等腰直角三角形的性质得AC=2DM，BC=2EN，则AB=2(DM+EN)，由同一平面内垂直于同一直线的几条直线互相平行，得DM∥FG∥EN，由平行线等分线段定理得MG=NG，由梯形中位线定理得FG=(DM+EN)，从而即可求出FG与AB的比值；
（3）设AC=x，则BC=12-x，由等腰直角三角形性质得DM=x，EN=(12-x)，结合三角形面积计算公式表示出S关于x的函数解析式，进而根据二次函数的性质可得答案.
15．（2017八下·君山期末）在直角坐标平面里，梯形ABCD各顶点的位置如图所示，图中每个小正方形方格的边长为1个单位长度．
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）如果把梯形ABCD在坐标平面里先向右平移1个单位，然后向下平移2个单位得到梯形A1B1C1D1，求新顶点A1，B1，C1，D1的坐标．
【答案】（1）解：由图可知：
A（﹣3，﹣1）、B（2，﹣1）、C（2，2）、D（﹣1，2）
AB∥CD，BC⊥AB，
所以，梯形ABCD是直角梯形，
AB=5，DC=3，BC=3，
梯形ABCD的面积是S＝
（2）解：如果把梯形ABCD在坐标平面里先向右平移1个单位，然后向下平移2个单位，则平移公式为：
所以，平移以后所得梯形A1B1C1D1各顶点的坐标分别为：
A1（﹣2，﹣3），B1（3，﹣3），C1（3，0），D1（0，0）
A1（-2，-3），B1（3，-3），C1（3，0），D1（0，0）
【知识点】直角梯形；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【分析】（1）根据图可知 梯形ABCD是直角梯形 ，并可以算得AB，BC，CD的长，从而根据梯形的面积公式求得 梯形ABCD的面积；
（2）根据平移的方向和距离得到平移公式，然后根据平移公式分别算得各新顶点的坐标。
16．（2023八下·青羊期末）如图，在四边形中，，．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）点E为边的中点，连接，过E作交边于点F，连接．
①求证：；
②若，，，求与的值．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
（2）解：①证明：如图，取的中点N，连接，
，
四边形是梯形，
是的中点，点E为边的中点，
是梯形的中位线，
，
，
，
；
②解： 四边形为平行四边形，
，，
根据①中结论可得得，
，，
，，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；梯形中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）首先根据AB∥CD可得出同旁内角∠ABC+∠BCD=180°，然后等量代换为：∠ADC+∠BCD=180°，从而根据同旁内角互补，两直线平行得出结论；
（2）取AF的中点N，首先根据EN是梯形的中位线，可以得出2EN=AB+CF，然后根据△AEF是直角三角形，EN是直角三角形斜边上的中线，所以AF=2EN；所以AF=AB+CF；
首先根据（2）的结论，求得AF的长，再在Rt△ADF中根据勾股定理求得AD的长，
四、阅读理解题
17．（四边形(323)+—+梯形（普通））阅读材料：
如图（1），在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为点P．求证：S四边形ABCD= AC BD；
证明：∵AC⊥BD，
∴
∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ACB= AC PD+ AC BP
= AC（PD+PB）= AC BD
解答问题：
（1）上述证明得到的性质可叙述为
（2）已知：如图（2），在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且相交于点P，AD=3cm，BC=7cm，利用上述性质求梯形的面积．
（3）如图（3），用一块面积为800cm2的等腰梯形彩纸做风筝，并用两根竹条作梯形的对角线固定风筝，对角线恰好互相垂直，问竹条的长是多少？
【答案】（1）对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半
（2）解：在BC的延长线上取一点E，使DE∥AC，从D点作DF⊥BE，
∵梯形是等腰梯形，
∴BD=AC=DE，
∵AC⊥BD，
∴∠DBC+∠ACB=90°，
∵DE∥AC，
∴∠DEB=∠ACB，
∴∠DBC+∠DEB=90°
利用直角三角形斜边上的中线的性质可知DF=BF=EF=5，
由勾股定理可知，DE=5 ，
∴S梯形=S△BDE= DE DB=5 ×5 ÷2=25cm2
（3）解：∵ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，
∴S梯形ABCD= AC BD= AC2=800，
∴AC=BD=40cm；
答：竹条的长是40cm
【知识点】梯形
【解析】【解答】解：（1）叙述：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．
【分析】（1）只要把图形符号转化成语言表达即可．（2）作辅助线在BC的延长线上取一点E，使DE∥AC．从D点作DF⊥BE，先求出梯形的高，再利用勾股定理求出对角线的长，即可求出面积．（3）利用梯形的面积公式即可求出对角线的长．即是竹条的长．
18．阅读理解：
如图1，若在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E与点A，B不重合），分别连结ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：
（1）如图1，若∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；
拓展探究：
（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，请直接写出的值．
图1 图2 图3
【答案】解：（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．
理由：∵∠A=55°，
∴∠ADE+∠DEA=125°．
∵∠DEC=55°，
∴∠BEC+∠DEA=125°．
∴∠ADE=∠BEC．
∵∠A=∠B，
∴△ADE∽△BEC．
∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点
（2）作图如下：
图1图2
（3）．
【知识点】矩形的性质；梯形；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)要证明点E是四边形ABCD的边AB上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△BEC，所以问题得解.
(2)根据两个直角三角形相似得到强相似点的两种情况即可.
(3)因为点E是梯形ABCD的边AB上的一个强相似点，所以就有相似三角形出现，根据相似三角形的对应线段成比例，可以判断出BC和AB的数量关系，从而可求出解.
五、实践探究题
19．（2024八下·浏阳期中）若四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫做这个四边形的“巧分线”，这个四边形叫“巧妙四边形”，若一个四边形有两条巧分线，则称为“绝妙四边形”．
（1）下列四边形一定是巧妙四边形的是 ；（填序号点①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．
（2）初步应用
在绝妙四边形ABCD中，AC垂直平分BD，若∠BAD＝80°，则∠BCD＝ ；
（3）深入研究
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD，∠B＝72°．
求证：梯形ABCD是绝妙四边形．
（4）在巧妙四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠A＝90°，AC是四边形ABCD的巧分线，请直接写出∠BCD的度数．
【答案】（1）③④
（2）140°或80°
（3）证明：如图，连接AC与BD，交于点O，
在梯形ABCD中，AB＝CD，
∴∠ABC＝∠DCB＝72°，
∵AD∥BC，
∴∠BAD＝∠ADC＝108°，
∵AB＝AD＝CD，
∴△ABD是等腰三角形，∠ABD＝∠ADB＝36°，
∴∠DBC＝72°﹣36°＝36°，∠BDC＝108°﹣36°＝72°＝∠DCB，
∴△BDC也是等腰三角形，
∴对角线BD叫做这个四边形ABCD的“巧分线”，
同理可得△ADC和△ACB也是等腰三角形，
∴对角线AC叫做这个四边形ABCD的“巧分线”，
∴梯形ABCD是绝妙四边形.
（4）解：∵AC是四边形ABCD的巧分线，
∴△ACD和△ABC是等腰三角形，
①当AC＝BC时，如图5，过C作CH⊥AB于H，过C作CG⊥AD，交AD的延长线于G，
∵∠HAD＝∠AHC＝∠G＝90°，
∴四边形AHCG是矩形，
∴AH＝CG＝AB＝CD，
∴∠CDG＝30°，
∴∠ADC＝150°，
∴∠DAC＝∠DCA＝15°，
∵∠DAB＝90°，
∴∠CAB＝∠B＝75°，
∴∠ACB＝30°，
∴∠BCD＝30°+15°＝45°；
②当AC＝AB时，如图6，
∵AC＝AB＝AD＝CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠CAD＝∠ACD＝60°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAC＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝75°，
∴∠BCD＝75°+60°＝135°；
③当AB＝BC时，如图7，此时∠BCD＝90°；
④当AB＝AD＝CD时，如图8，过点C作CH⊥AB于H，作DF＝DC，交CH于F，过点F作FE⊥AD于E，
由①得：∠EDF＝∠DCF＝∠DFC＝30°，
∴∠CDF＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∠ADC＝180°﹣30°﹣120°＝30°，
∴∠DAC＝∠ACD＝75°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠CAB＝∠B＝15°，
∴∠ACB＝180°﹣15°﹣15°＝150°，
∴∠BCD＝360°﹣150°﹣75°＝135°．
综上，∠BCD的度数是45°或135°或90°．
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；梯形
【解析】【解答】解：（1）菱形的四条边相等，
连接对角线能得到两个等腰三角形，
菱形是巧妙四边形；
正方形是特殊的菱形，所以正方形也是巧妙四边形；
故答案为：③④.
（2）∵AC垂直平分BD，
∴AB=AD，BC=CD，AC⊥BD，
∴∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，
∵∠BAD=80°，
∴∠BAC=∠DAC=40°，
∵AC=AD，
∴∠ACD=70°=∠BCA，
∴∠BCD=140°，
如图，∵四边形ABCD是绝妙四边形，
∴AD=CD，AB=BC，
∵AC垂直平分BD，
∴AB=AD，BC=CD，
∴AB=AD=BC=CD，
∴四边形ABCD是萎形，
∴∠BCD=∠BAD=80°，
综上所述，∠BCD=140°或80°；
【分析】(1)根据巧妙四边形的定义，可得到菱形和正方形是巧妙四边形；
(2)依据绝妙四边形的定义，可得两条对角线都是巧分线，分情况画图进行计算可得结论；
(3)先根据题意画出图形，再分别证明两条对角线分成的三角形是等腰三角形即可；
(4)依据AC是四边形ABCD的巧分线，可得△ACD和△ABC是等腰三角形，△ABC是等腰三角形时分三种情况画图进行讨论可得结论.
20．（2018·齐齐哈尔）综合与实践
折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等，进一步发展空间观念，在经历借助图形思考问题的过程中，我们会初步建立几何直观，折纸往往从矩形纸片开始，今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论．
【实践操作】
如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点B′落在矩形ABCD所在平面内，B'C和AD相交于点E，连接B′D．
（1）【解决问题】在图1中，
①B′D和AC的位置关系为 ；
②将△AEC剪下后展开，得到的图形是 ；
（2）若图1中的矩形变为平行四边形时（AB≠BC），如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由；
（3）小红沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形，则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为 ；
（4）【拓展应用】在图2中，若∠B=30°，AB=4 ，当△AB′D恰好为直角三角形时，BC的长度为 ．
【答案】（1）平行；菱形
（2）解：①选择②证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∴∠ACB′=∠ACB，
∴∠DAC=∠ACB′，
∴AE=CE，
∴△AEC是等腰三角形；
∴将△AEC剪下后展开，得到的图形四边相等，
∴将△AEC剪下后展开，得到的图形四边是菱形．
②选择①证明如下，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∴B′C=BC，
∴B′C=AD，
∴B′E=DE，
∴∠CB′D=∠ADB′，
∵∠AEC=∠B′ED，∠ACB′=∠CAD
∴∠ADB′=∠DAC，
∴B′D∥AC．
（3）1：1或 ：1
（4）4或6或8或12
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的性质；等腰梯形的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）①BD′∥AC．②将△AEC剪下后展开，得到的图形是菱形；
故答案为BD′∥AC，菱形；（3）①当矩形的长宽相等时，满足条件，此时矩形纸片的长宽之比为1：1；
②当矩形的长宽之比为 ：1时，满足条件，此时可以证明四边形ACDB′是等腰梯形，是轴对称图形；
综上所述，满足条件的矩形纸片的长宽之比为1：1或 ：1
（4）∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵AC∥B′D，
∴四边形ACB′D是等腰梯形，
∵∠B=30°，∴∠AB′C=∠CDA=30°，
∵△AB′D是直角三角形，
当∠B′AD=90°，AB＞BC时，如图3中，
设∠ADB′=∠CB′D=y，
∴∠AB′D=y﹣30°，
解得y=60°，
∴∠AB′D=y﹣30°=30°，
∵AB′=AB=4 ，
∴AD= ×4 =4，
∴BC=4，
当∠ADB ′=90°，AB＞BC时，如图4，
∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵AC∥B′D，
∴四边形ACB′D是等腰梯形，
∵∠ADB′=90°，
∴四边形ACB′D是矩形，
∴∠ACB′=90°，
∴∠ACB=90°，
∵∠B=30°，AB=4 ，
∴BC= AB= ×4 =6；
当∠B′AD=90°，AB＜BC时，如图5，
∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵AC∥B′D，∠B′AD=90°，
∵∠B=30°，AB′=4 ，
∴∠AB′C=30°，
∴AE=4，BE′=2AE=8，
∴AE=EC=4，
∴CB′=12，
当∠AB′D=90°时，如图6，
∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵AC∥B′D，
∴四边形ACDB′是等腰梯形，
∵∠AB′D=90°，
∴四边形ACDB′是矩形，
∴∠BAC=90°，
∵∠B=30°，AB=4 ，
∴BC=AB÷ =8；
∴已知当BC的长为4或6或8或12时，△AB′D是直角三角形．
故答案为：平行，菱形，1：1或 ：1，4或6或8或12；
【分析】（1）①B′D和AC的位置关系为平行，理由如下：根据折叠的性质知BC=B'C，∠BCA=∠B'CA，根据矩形的性质知BC=AD，AD∥BC，故∠BCA=∠DAC，故∠DAC=∠B'CA，根据等角对等边得出AE=CE，进而根据等量减等量差相等得出B'E=BD，故∠EB'D=∠B'DE，又∠AEC==∠B'ED故∠DB'C=∠B'CA，所以B′D∥AC；②将△AEC剪下后展开，得到的图形是菱形，根据四边相等的四边形式菱形即可得出结论；
（2）①选择②证明如下：根据平行四边形的旋转得出AD∥BC，由平行线的性质得出∠DAC=∠ACB，根据翻折的性质得出∠ACB′=∠ACB，故∠DAC=∠ACB′，根据等角对等边得出AE=CE，故△AEC是等腰三角形，将△AEC剪下后展开，得到的图形四边相等，根据四边相等的四边形是菱形即可得出结论；②选择①证明如下，根据平行四边形的旋转得出AD=BC，根据翻折的性质得出B′C=BC，故B′C=AD，根据等量减去等量差相等得出B′E=DE，根据等边对等角得出∠CB′D=∠ADB′，又∠AEC=∠B′ED，∠ACB′=∠CAD故∠ADB′=∠DAC，根据内错角相等两直线平行得出B′D∥AC；
( 3）①当矩形的长宽相等时，满足条件，此时矩形纸片的长宽之比为1：1；②当矩形的长宽之比为 ：1时，满足条件，此时可以证明四边形ACDB′是等腰梯形，是轴对称图形；综上所述，得出答案；（4）由AD=BC，BC=B′C，得出AD=B′C，然后判断出四边形ACB′D是等腰梯形，△AB′D是直角三角形，当∠B′AD=90°，AB＞BC时，如图3中，设∠ADB′=∠CB′D=y，则∠AB′D=y﹣30°，解得y=60°，∠AB′D=y﹣30°=30°， 又AB′=AB=4 ，故AD=4，BC=4，当∠ADB ′=90°，AB＞BC时，如图4，因AD=BC，BC=B′C，故AD=B′C，又AC∥B′D，故四边形ACB′D是等腰梯形，然后判断出四边形ACB′D是矩形，根据矩形的性质得出∠ACB′=90°，故∠ACB=90°，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出BC的长，当∠B′AD=90°，AB＜BC时，如图5， 由AD=BC，BC=B′C，得出AD=B′C，AC∥B′D，∠B′AD=90°，故∠AB′C=30°，AE=4，BE′=2AE=8，AE=EC=4，所以CB′=12；当∠AB′D=90°时，如图6，首先判断出四边形ACDB′是等腰梯形，再判断出四边形ACDB′是矩形，根据矩形的性质，得出∠BAC=90°，根据锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值即可求出BC的长，综上所述得出答案。
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