一元二次方程的概念及解法——北师大版数学九年级上册知识点训练
一、选择题
1．（2024九上·潮南期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（ ）
A． B．2023 C． D．2024
2．（2024九上·重庆市开学考）某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·凉州模拟）用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020九上·江苏月考）若方程 是关于x的一元二次方程，则（ ）
A． B．m=2 C．m=-2 D．
5．（2019九上·芜湖月考）若m是方程 的一个根，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·深圳开学考）根据下表确定方程的解的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
7．（2024九上·蔡甸期中）关于x的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则m的取值范围为（ ）
A． B．或
C．或 D．或
8．（2023八上·福州月考）已知实数满是，且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2024九上·双辽期末）方程的解为 ．
10．（2021·十堰）对于任意实数a、b，定义一种运算： ，若 ，则x的值为 .
11．（2024九上·岳阳开学考）已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 ．
12．（2024九上·闵行开学考）定义：如图1，对于线段的内分点和外分点，如果满足，那么称是“调和点列”．如图2，在中，点在上，点在的延长线上，联结，射线与射线交于点，若是调和点列，且，则的值是 ．
图1 图2
13．已知 ， 且 ， 则 .
三、解答题
14．（2024九上·龙华月考）已知关于的方程．
（1）当为何值时，该方程是一元二次方程？
（2）当为何值时，该方程是一元一次方程？
15．（2024九上·沅江开学考）已知关于x的方程x2+ax+16=0，
（1）若这个方程有两个相等的实数根，求a的值
（2）若这个方程有一个根是2，求a的值及另外一个根
16．（2024九上·沅江开学考）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程有一个根为2，求方程的另一根．
17．（2024九上·柳州开学考）阅读与理解：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”．
（1）通过计算，判断方程是否是“邻根方程”；
（2）已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值．
18．（2024九上·岳阳开学考）用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）．
19．（2024八下·普宁期末）上数学课时，张老师在讲完因式分解的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：，
，
时，的值最小，最小值是，
，
时，的值最小，最小值是，
的最小值是．
请你根据上述方法，解答下列各题
（1）知识再现：当 时，代数式的最小值是 ；
（2）知识运用：若，当 时，有最 值填“大”或“小”，这个值是 ；
（3）知识拓展：若，求的最小值．
20．（2024九上·龙华月考）阅读下列材料：
方程两边同时除以，得，即．因为，所以．
根据以上材料解答下列问题：
（1）已知方程，则_____；_____．
（2）若m是方程的根，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程的一个根是，
∴
原式=
故答案为：B.
【分析】将代入原方程得到将待求式化简即可求解.
2．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意可得：
故选：B．
【分析】根据增长率公式：，其中，a是原来的数，b是后来的量，n是变化的次数，分别写出一月份，二月份，三月份分别的为：10，，，然后把一月份，二月份，三月份相加即可.
3．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】
故答案为：C
【分析】左边有二次项和一次项，只需要在两边同时补充常数项就可以了。常数项为一次项系数一半的平方。
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：由题意得： ，即 ，∴m=2
故答案为：B.
【分析】一元二次方程满足的条件：一个未知数、未知数的最高次数为2、二次项系数不为0、整式方程，根据一元二次方程的定义可以得到关于m的混合组，求解得到m的值.
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵m是方程2x2-3x-1=0的一个根，
∴代入得：2m2-3m-1=0，
∴2m2-3m=1，
∴6m2-9m+2016=3（2m2-3m）+2016=3×1+2016=2019，
故答案为：D．
【分析】把x=m代入方程，求出2m2-3m=1，再变形后代入，即可求出答案．
6．【答案】A
【知识点】估算一元二次方程的近似解
【解析】【解答】解：根据题意，得当x=-2，x=5时，有x2-bx-5=5>0，
当x=-1，x=4时，有x2-bx-5=-1<0，
∴方程的解的取值范围是或，
故答案为：A.
【分析】根据表格中x与x2-bx-5的值的变化规律可知方程的解的取值范围.
7．【答案】D
【知识点】估算一元二次方程的近似解；一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次根的根的情况求参数
【解析】【解答】解：①当一元二次方程有两个相等的实数根，且在的范围内时，
则，
解得：，
此时，
∴，
解得：，
∴；
②当一元二次方程有两个不相等的实数根，且在的范围内时，
∴或，
解不等式组得该不等式组无解；
解不等式组得：，
综上，m的取值范围为：或，
故答案为：D．
【分析】分类讨论：①当一元二次方程有两个相等的实数根，且在的范围内时，②当一元二次方程有两个不相等的实数根，且在的范围内时，再分别利用根的判别式列出不等式（组）求出m的取值范围即可.
8．【答案】C
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
∵
，
∴，
即.
故答案为：C．
【分析】利用完全平方公式求出ab得取值范围，进而理由已知等式可得t，最后根据不等式的性质即可得解．
9．【答案】，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得，
解得，，
故答案为：，
【分析】根据题意直接运用因式分解法解一元二次方程即可求解。
10．【答案】-1或2
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：根据新定义内容可得： ，
整理可得 ，
解得 ， ，
故答案为：-1或2.
【分析】利用定义新运算可得，然后求出方程的解即可.
11．【答案】k≤2且k≠1
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
解得：，即k≤2且k≠1
故答案为：即k≤2且k≠1
【分析】根据一元二次方程的定义，有实数根时判别式，列出不等式组，解不等式组即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵是调和点列，且，
∴，
∴，
即，
解得：（负值舍去），
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据题意得出，即，代入求出BD=1，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形得出，根据相似三角形的对应边之比相等得出，故，即可求解.
13．【答案】
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴设m，为一元二次方程两个不相等的实数根，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】本题先将两边除以n2得到，进而确定m，为一元二次方程两个不相等的实数根，再由韦达定理确定两根和与两根积，代入求值.
14．【答案】（1）解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴，
解得：，
答：当时，该方程是一元二次方程；
（2）解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴且，
解得：，
答：当时，该方程是一元一次方程．
【知识点】一元一次方程的概念；一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】（）根据一元二次方程的定义“含有一个未知数且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程”可得关于m的不等式，解不等式即可求解；
（）根据一元一次方程的“含有一个未知数且未知数的最高次数是1的整式方程叫作一元二次方程”可得关于m的不等式，解不等式即可求解.
（1）解：根据题意，，
解得：，
故当时，该方程是一元二次方程；
（2）解根据题意，且，
解得：，
故当时，该方程是一元一次方程．
15．【答案】解：（1）∵方程x2+ax+16=0有两个相等的实数根，
∴a2－4×1×16=0，
解得a=8或﹣8；
（2）∵方程x2+ax+16=0有一个根是2，
∴22+2a+16=0，解得a=﹣10；
此时方程为x2﹣10x+16=0，
解得x1=2，x2=8；
∴a=﹣10，方程的另一个根为8．
故答案为：（1）a=8或﹣8；（2）a=﹣10，方程的另一个根为8．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式列出方程求解即可；
（2）将x=2代入 x2+ax+16=0，求出a的值可得x2﹣10x+16=0，再利用十字相乘法求解一元二次方程即可.
16．【答案】（1）解：因为方程有两个实数根，所以，即
所以 ；
（2）解：因为方程有一个根为2，设方程的另一根
所以
所以
所以可方程的另一根为
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）由一元二次方程x2＋2x－k＝0有两个实数根，可得：，再解不等式可得答案；
（2）由方程有一个根为2，设方程的另一根 根据根与系数的关系（若一元二次方程有两个根，则两根之和为，两根之积为）可得：再解方程可得答案．
（1）解：（1）∵方程有两个实数根，
∴，即
∴ ；
（2）解： 方程有一个根为2，设方程的另一根
所以可方程的另一根为
17．【答案】（1）解：
，
解得：，
∵，
故方程是“邻根方程”；
（2）解：
，
解得：，
∵方程（是常数）是“邻根方程”，
∴，或．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据十字相乘法进行因式分解，再求出两根，根据“邻根方程”的定义即可求出答案.
（2）根据十字相乘法进行因式分解，再求出两根，再根据新定义求出的值即可.
（1）解：
，
解得：，
∵，
故方程是“邻根方程”；
（2）解：
，
解得：，
∵方程（是常数）是“邻根方程”，
∴，或．
18．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据十字相乘法进行因式分解，再解方程即可求出答案.
（2）移项，提公因式进行因式分解，再解方程即可求出答案.
19．【答案】（1）3；1
（2）1；大；-4
（3），
．
．
，
，即．
当时，取最小值为．
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：（1）=（x-3）2+1，
∵（x-3）2≥0，
∴当x=3时，（x-3）2的值最小为0，
∴（x-3）2+1 ≥1，
即的最小值为1.
故答案为：3，1.
（2）=-（x2-2x+5）=-（x-1）2-4，
∵（x-1）2≥0，
∴-（x-1）2≤0，
∴-（x-1）2-4≤-4，
∴当x=1时，y=-（x-1）2-4有最大值，最大值为-4.
故答案为：1，大，-4.
【分析】（1）根据阅读材料，可得=（x-3）2+1， 根据偶次幂的非负性解答即可；
（2）由=-（x-1）2-4，根据偶次幂的非负性解答即可；
（3）由可得，再配方可得x+y=，继而得出x+y=≥-9，据此即得结论.
20．【答案】（1）4，18
（2）解：∵m是方程的根，
∴，
∴（时不满足原方程），
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∴；
两边平方得：，
∴，
∴，
故答案为：4；18.
【分析】（1）仿照题意，将已知的方程两边同时除以x，移项即可求得x-的值；把x-=4两边分别平分并整理即可求解；
（2）根据一元二次方程解的定义得到，进而得到，同理即可求解．
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4；18；
（2）解：∵m是方程的根，
∴，
∴（时不满足原方程），
∴，
∴，
∴，
∴．
1 / 1一元二次方程的概念及解法——北师大版数学九年级上册知识点训练
一、选择题
1．（2024九上·潮南期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（ ）
A． B．2023 C． D．2024
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程的一个根是，
∴
原式=
故答案为：B.
【分析】将代入原方程得到将待求式化简即可求解.
2．（2024九上·重庆市开学考）某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意可得：
故选：B．
【分析】根据增长率公式：，其中，a是原来的数，b是后来的量，n是变化的次数，分别写出一月份，二月份，三月份分别的为：10，，，然后把一月份，二月份，三月份相加即可.
3．（2023·凉州模拟）用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】
故答案为：C
【分析】左边有二次项和一次项，只需要在两边同时补充常数项就可以了。常数项为一次项系数一半的平方。
4．（2020九上·江苏月考）若方程 是关于x的一元二次方程，则（ ）
A． B．m=2 C．m=-2 D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：由题意得： ，即 ，∴m=2
故答案为：B.
【分析】一元二次方程满足的条件：一个未知数、未知数的最高次数为2、二次项系数不为0、整式方程，根据一元二次方程的定义可以得到关于m的混合组，求解得到m的值.
5．（2019九上·芜湖月考）若m是方程 的一个根，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵m是方程2x2-3x-1=0的一个根，
∴代入得：2m2-3m-1=0，
∴2m2-3m=1，
∴6m2-9m+2016=3（2m2-3m）+2016=3×1+2016=2019，
故答案为：D．
【分析】把x=m代入方程，求出2m2-3m=1，再变形后代入，即可求出答案．
6．（2024九上·深圳开学考）根据下表确定方程的解的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【知识点】估算一元二次方程的近似解
【解析】【解答】解：根据题意，得当x=-2，x=5时，有x2-bx-5=5>0，
当x=-1，x=4时，有x2-bx-5=-1<0，
∴方程的解的取值范围是或，
故答案为：A.
【分析】根据表格中x与x2-bx-5的值的变化规律可知方程的解的取值范围.
7．（2024九上·蔡甸期中）关于x的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则m的取值范围为（ ）
A． B．或
C．或 D．或
【答案】D
【知识点】估算一元二次方程的近似解；一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次根的根的情况求参数
【解析】【解答】解：①当一元二次方程有两个相等的实数根，且在的范围内时，
则，
解得：，
此时，
∴，
解得：，
∴；
②当一元二次方程有两个不相等的实数根，且在的范围内时，
∴或，
解不等式组得该不等式组无解；
解不等式组得：，
综上，m的取值范围为：或，
故答案为：D．
【分析】分类讨论：①当一元二次方程有两个相等的实数根，且在的范围内时，②当一元二次方程有两个不相等的实数根，且在的范围内时，再分别利用根的判别式列出不等式（组）求出m的取值范围即可.
8．（2023八上·福州月考）已知实数满是，且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
∵
，
∴，
即.
故答案为：C．
【分析】利用完全平方公式求出ab得取值范围，进而理由已知等式可得t，最后根据不等式的性质即可得解．
二、填空题
9．（2024九上·双辽期末）方程的解为 ．
【答案】，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得，
解得，，
故答案为：，
【分析】根据题意直接运用因式分解法解一元二次方程即可求解。
10．（2021·十堰）对于任意实数a、b，定义一种运算： ，若 ，则x的值为 .
【答案】-1或2
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：根据新定义内容可得： ，
整理可得 ，
解得 ， ，
故答案为：-1或2.
【分析】利用定义新运算可得，然后求出方程的解即可.
11．（2024九上·岳阳开学考）已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 ．
【答案】k≤2且k≠1
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
解得：，即k≤2且k≠1
故答案为：即k≤2且k≠1
【分析】根据一元二次方程的定义，有实数根时判别式，列出不等式组，解不等式组即可求出答案.
12．（2024九上·闵行开学考）定义：如图1，对于线段的内分点和外分点，如果满足，那么称是“调和点列”．如图2，在中，点在上，点在的延长线上，联结，射线与射线交于点，若是调和点列，且，则的值是 ．
图1 图2
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵是调和点列，且，
∴，
∴，
即，
解得：（负值舍去），
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据题意得出，即，代入求出BD=1，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形得出，根据相似三角形的对应边之比相等得出，故，即可求解.
13．已知 ， 且 ， 则 .
【答案】
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴设m，为一元二次方程两个不相等的实数根，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】本题先将两边除以n2得到，进而确定m，为一元二次方程两个不相等的实数根，再由韦达定理确定两根和与两根积，代入求值.
三、解答题
14．（2024九上·龙华月考）已知关于的方程．
（1）当为何值时，该方程是一元二次方程？
（2）当为何值时，该方程是一元一次方程？
【答案】（1）解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴，
解得：，
答：当时，该方程是一元二次方程；
（2）解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴且，
解得：，
答：当时，该方程是一元一次方程．
【知识点】一元一次方程的概念；一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】（）根据一元二次方程的定义“含有一个未知数且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程”可得关于m的不等式，解不等式即可求解；
（）根据一元一次方程的“含有一个未知数且未知数的最高次数是1的整式方程叫作一元二次方程”可得关于m的不等式，解不等式即可求解.
（1）解：根据题意，，
解得：，
故当时，该方程是一元二次方程；
（2）解根据题意，且，
解得：，
故当时，该方程是一元一次方程．
15．（2024九上·沅江开学考）已知关于x的方程x2+ax+16=0，
（1）若这个方程有两个相等的实数根，求a的值
（2）若这个方程有一个根是2，求a的值及另外一个根
【答案】解：（1）∵方程x2+ax+16=0有两个相等的实数根，
∴a2－4×1×16=0，
解得a=8或﹣8；
（2）∵方程x2+ax+16=0有一个根是2，
∴22+2a+16=0，解得a=﹣10；
此时方程为x2﹣10x+16=0，
解得x1=2，x2=8；
∴a=﹣10，方程的另一个根为8．
故答案为：（1）a=8或﹣8；（2）a=﹣10，方程的另一个根为8．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式列出方程求解即可；
（2）将x=2代入 x2+ax+16=0，求出a的值可得x2﹣10x+16=0，再利用十字相乘法求解一元二次方程即可.
16．（2024九上·沅江开学考）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程有一个根为2，求方程的另一根．
【答案】（1）解：因为方程有两个实数根，所以，即
所以 ；
（2）解：因为方程有一个根为2，设方程的另一根
所以
所以
所以可方程的另一根为
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）由一元二次方程x2＋2x－k＝0有两个实数根，可得：，再解不等式可得答案；
（2）由方程有一个根为2，设方程的另一根 根据根与系数的关系（若一元二次方程有两个根，则两根之和为，两根之积为）可得：再解方程可得答案．
（1）解：（1）∵方程有两个实数根，
∴，即
∴ ；
（2）解： 方程有一个根为2，设方程的另一根
所以可方程的另一根为
17．（2024九上·柳州开学考）阅读与理解：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”．
（1）通过计算，判断方程是否是“邻根方程”；
（2）已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值．
【答案】（1）解：
，
解得：，
∵，
故方程是“邻根方程”；
（2）解：
，
解得：，
∵方程（是常数）是“邻根方程”，
∴，或．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据十字相乘法进行因式分解，再求出两根，根据“邻根方程”的定义即可求出答案.
（2）根据十字相乘法进行因式分解，再求出两根，再根据新定义求出的值即可.
（1）解：
，
解得：，
∵，
故方程是“邻根方程”；
（2）解：
，
解得：，
∵方程（是常数）是“邻根方程”，
∴，或．
18．（2024九上·岳阳开学考）用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据十字相乘法进行因式分解，再解方程即可求出答案.
（2）移项，提公因式进行因式分解，再解方程即可求出答案.
19．（2024八下·普宁期末）上数学课时，张老师在讲完因式分解的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：，
，
时，的值最小，最小值是，
，
时，的值最小，最小值是，
的最小值是．
请你根据上述方法，解答下列各题
（1）知识再现：当 时，代数式的最小值是 ；
（2）知识运用：若，当 时，有最 值填“大”或“小”，这个值是 ；
（3）知识拓展：若，求的最小值．
【答案】（1）3；1
（2）1；大；-4
（3），
．
．
，
，即．
当时，取最小值为．
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：（1）=（x-3）2+1，
∵（x-3）2≥0，
∴当x=3时，（x-3）2的值最小为0，
∴（x-3）2+1 ≥1，
即的最小值为1.
故答案为：3，1.
（2）=-（x2-2x+5）=-（x-1）2-4，
∵（x-1）2≥0，
∴-（x-1）2≤0，
∴-（x-1）2-4≤-4，
∴当x=1时，y=-（x-1）2-4有最大值，最大值为-4.
故答案为：1，大，-4.
【分析】（1）根据阅读材料，可得=（x-3）2+1， 根据偶次幂的非负性解答即可；
（2）由=-（x-1）2-4，根据偶次幂的非负性解答即可；
（3）由可得，再配方可得x+y=，继而得出x+y=≥-9，据此即得结论.
20．（2024九上·龙华月考）阅读下列材料：
方程两边同时除以，得，即．因为，所以．
根据以上材料解答下列问题：
（1）已知方程，则_____；_____．
（2）若m是方程的根，求的值．
【答案】（1）4，18
（2）解：∵m是方程的根，
∴，
∴（时不满足原方程），
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∴；
两边平方得：，
∴，
∴，
故答案为：4；18.
【分析】（1）仿照题意，将已知的方程两边同时除以x，移项即可求得x-的值；把x-=4两边分别平分并整理即可求解；
（2）根据一元二次方程解的定义得到，进而得到，同理即可求解．
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4；18；
（2）解：∵m是方程的根，
∴，
∴（时不满足原方程），
∴，
∴，
∴，
∴．
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