一元二次方程根与系数的关系——北师大版数学九年级上册知识点训练
一、选择题
1．（2024九上·长沙开学考）若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·青原月考）若，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2020九上·叙州期末）已知关于x的一元二次方程 的两个根分别是 ， ，且满足 ，则m的值是（ ）
A．0 B． C．0或 D． 或0
4．（2024九上·江汉月考）若、是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九下·涪城模拟）已知关于x的方程的两个实数根，，若，则m的值为（ ）
A． B．1 C．或1 D．或3
6．（2024九上·宜都月考）已知a、b是一元二次方程的根，则代数式的值是（ ）
A．3 B．1 C． D．
7．（2024八下·上虞期末）在解一元二次方程时，小马同学粗心地将项的系数与常数项对换了，使得方程也变了．他正确地解出了这个不同的方程，得到一个根是2，另一根等于原方程的一个根．则原方程两根的平方和是（ ）
A． B． C． D．
8．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册2.4 一元二次方程根与系数的关系 同步练习）关于x的一元二次方程 有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程 同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；② ；③ ．其中正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
9．（2024八下·宁波期末）关于的方程的两个实数根，满足，则的取值范围是
10．（2024·高港模拟）已知，，且，设，则的最小值为 ．
11．已知 ， 且 ， 则 .
12．（2023九上·成都开学考）已知实数，满足，，且，且的值为 ．
13．（2024九上·石家庄月考）若，且一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 ；若，是一元二次方程的两个实数根且满足，则 ．
三、计算题
14．（2024九上·天河月考）设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
15．（2024九上·长沙开学考）关于的一元二次方程．
（1）若方程总有两个实数根，求的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若两个实数根，满足，求的值．
四、解答题
16．（2024九上·南沙月考）已知关于x的方程．
（1）若方程总有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）若两实数根，满足，求m的值．
五、实践探究题
17．（2024八下·余杭期中）【综合与实践】
【问题情境】对于关于x的一元二次方程（a，b，c为常数，且），求方程的根的实质是找到一个x的具体的值，代入之后等式成立．一般情况下，如果有两个不同的x的具体值都满足，这就说明这个方程有两个根，且两根与a，b，c之间具有一定的关系．
【操作判断】项目研究小组经过讨论得到两个结论：
（1）当时，则一元二次方程必有一根是1．
（2）当时，则一元二次方程必有一根是－1．
请判断两个结论的真假，并说明原因．
（3）【实践探究】项目研究小组经过讨论编制了以下问题，请帮助解决：
方程的较大的根为p，方程的较小的根为q，求的值．
18．（2024九上·湘西期末）阅读材料：
材料1：如图，是由四个长为，宽为的长方形拼摆而成的正方形，其中，则根据图形可以得到等式．
材料2：若一元二次方程的两个根为，则，．
材料3：已知实数满足，且，则是方程的两个不相等的实数根．
根据上述材料解决以下问题：
（1）材料理解：一元二次方程两个根为，则______，_____．
（2）应用探究：一元二次方程两个根为，则_______．
（3）思维拓展：已知实数分别满足，，其中且，求的值．
六、阅读理解题
19．（2024·庐阳模拟）类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．阅读材料：
设的两个根为和，那么比较系数，可得，．
类比推广，回答问题：设的三个根为，，，那么
（___________）（___________）．
比较系数，可以得到一元三次方程的根与系数的关系：
___________，___________，___________．
20．（2023八下·临淄期末）阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．
根据上述材料，解决以下问题：
（1）直接应用：
方程的解为_______________________；
（2）间接应用：
已知实数a，b满足：，且，求的值；
（3）拓展应用：
已知实数x，y满足：，且，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：当时，，
∴，
将变形得：，
又，
与为方程的两个解，
∴．
故答案为：A．
【分析】首先根据方程根的定义判断出n≠0，从而将原题第二个等式左右两边同时除以，变形后与第一个等式比较，得到与为方程的两个解；设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，利用一元二次方程根与系数x1x2=求解即可.
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2-mx+2m-1=0的两个实数根，
∴x1+x2=-（2m+1），x1x2=m-1，
∵x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=3，
∴[-（2m+1）]2-2（m-1）=3，
解得：m1=0，m2= ，
又∵方程x2-mx+2m-1=0有两个实数根，
∴△=（2m+1）2-4（m-1）≥0，
∴当m=0时，△=5>0，当m= 时，△=6>0
∴m1=0，m2= 都符合题意.
故答案为：C.
【分析】首先根据一元二次方程根与系数关系得到两根之和和两根之积，然后把x12+x22转换为（x1+x2）2-2x1x2，然后利用前面的等式即可得到关于m的方程，解方程即可求出结果．
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
5．【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵是方程的两实数根，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：（舍）或；
故选A．
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系．根据方程有两个实数根可得：，再进行计算可求出：，利用根与系数的关系可得：，将式子进行变形可得：，进而可列出方程，解方程可求出m的值．
6．【答案】B
【知识点】分式的化简求值；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设原方程为，两个根为和；则新的方程为，两个根为2和．
∴，，
得，
∵两个方程不同，
∴a≠c，
∴，
∴，
∴．
①当时，代入新方程可得：，
解得：，
则，，
则．
②当时，代入新方程可得：，
解得：，
则，，
则．
综上，原方程两根的平方和是．
故答案为：D．
【分析】设原方程为，两个根为和．则新的方程为，两个根为2和．把根代入方程可得，，将①②联立可解得．分别把β=1和β=﹣1代入新方程，得到a、b、c之间的关系，再由根与系数的关系可求出与的值，进而可求出的值．
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解法一：因为关于 的一元二次方程 有两个整数根且乘积为正，由韦达定理得 ，所以 同号；同理 为同号。根据 得 均为负整数，因此结论①正确；又由题意得 ， ，则 ， ，故结论②正确；因为 均为负整数，则它们均小于等于 。设 ， ，则 分别为 的二次函数，其图象开口向上，与横轴的交点坐标均小于或等于 且为整数，因此当 时， 。当 时， ，即 ，故结论③正确。
应选D。
解法二：设 的两个整数根为 、 ，
的两个整数根为 、 ，
则 ， ，
由题意得： ， ，
∴ ， ，
∴ ， ， ， ，∴①正确；
∵ 的两个整数根为 、 ，
∴ ，即 ，
∴ ，同理： 。
∴
，∴②正确；
∵ 、 为负整数，∴ 、 ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，∴
，∴ ，
同理： ，即 ，
∴ ，∴③正确；
故答案为：D.
【分析】根据题意以及一元二次方程根与系数，可得出两个整数根都是负数，可对①作出判断；利用一元二次方程根的判别式，可对②作出判断；利用一元二次方程根与系数进行解答，可对③作出判断，综上所述，可得出答案。
9．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： ∵关于的方程的两个实数根，
∴，
∵，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】先利用一元二次方程有两个不同的实数根，得到，再得出，从而可得，求出a的取值范围，再根据，得到关于a的不等式求解．
10．【答案】6
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数的最值
11．【答案】
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴设m，为一元二次方程两个不相等的实数根，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】本题先将两边除以n2得到，进而确定m，为一元二次方程两个不相等的实数根，再由韦达定理确定两根和与两根积，代入求值.
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，∴，
∴α、可以看作方程，
∴
故答案为：.
【分析】通过分析两方程的特点以及所求代数式，不难想到应该是考查根与系数的关系，所以对第二个方程适当变形，易知是一元二次方程的两实数根，利用根与系数的关系求得两个和与两根积，进而求代数式的值。
13．【答案】且；或
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
14．【答案】（1）
（2）
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
15．【答案】（1）解：∵a=1，b=-2(m+1)，c=m2+2
∵方程总有两个实数根
（2）解：由韦达定理可得：
∵
∴
∴
解得或
由（1）知：
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）先写出a，b，c的值，再写出△的表达式，再令解出m的值即可．
（2）先由韦达定理得出：，再代入列出方程：解出m，再结合第（1）问进行取舍即可.
（1）解：，
∵方程总有两个实数根，
（2）由，
∵，
∴，
整理得，
解得或，
∵，
∴．
16．【答案】（1）m＞0
（2）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
17．【答案】（1）结论正确
理由如下：
令代入得，符合题意．
（2）解：结论正确
理由如下：
令代入得：即符合题意．
（3）解：∵20232－2022×2024－1＝20232－（2023－1）×（2023＋1）－1
＝20232－（20232－1）－1
＝0
是方程的根．
设方程的另外一个根是，则
又
是方程的一个根，
设方程的另外一个根为
则
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）将代入，即可判断；
（2）将代入，即可判断；
（3）实践探究：推出是方程的一个根，设方程的另外一个根是，根据根与系数的关系可得：，进而得到；推出是方程的一个根，设方程的另外一个根为，根据根与系数的关系可得，进而得到，代入，计算求解即可．
18．【答案】（1）2，
（2）
（3）解：把，两边同时除以得：，则实数s和可看作方程的根，
∴，，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】（ ）解：∵一元二次方程两个根为，
∴，；
故答案为：2，.
（2）解：∵，，
∴
∴；
【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系（x1+x2=-b/a；x1x2=c/a）可得答案；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系（x1+x2=-b/a；x1x2=c/a）可得，，再计算即可；
（3）先求出，，再将代数式变形为，再计算即可．
19．【答案】，，，，，r
【知识点】多项式乘多项式；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
20．【答案】（1），，，
（2）或
（3）15
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
1 / 1一元二次方程根与系数的关系——北师大版数学九年级上册知识点训练
一、选择题
1．（2024九上·长沙开学考）若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
2．（2024九上·青原月考）若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：当时，，
∴，
将变形得：，
又，
与为方程的两个解，
∴．
故答案为：A．
【分析】首先根据方程根的定义判断出n≠0，从而将原题第二个等式左右两边同时除以，变形后与第一个等式比较，得到与为方程的两个解；设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，利用一元二次方程根与系数x1x2=求解即可.
3．（2020九上·叙州期末）已知关于x的一元二次方程 的两个根分别是 ， ，且满足 ，则m的值是（ ）
A．0 B． C．0或 D． 或0
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2-mx+2m-1=0的两个实数根，
∴x1+x2=-（2m+1），x1x2=m-1，
∵x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=3，
∴[-（2m+1）]2-2（m-1）=3，
解得：m1=0，m2= ，
又∵方程x2-mx+2m-1=0有两个实数根，
∴△=（2m+1）2-4（m-1）≥0，
∴当m=0时，△=5>0，当m= 时，△=6>0
∴m1=0，m2= 都符合题意.
故答案为：C.
【分析】首先根据一元二次方程根与系数关系得到两根之和和两根之积，然后把x12+x22转换为（x1+x2）2-2x1x2，然后利用前面的等式即可得到关于m的方程，解方程即可求出结果．
4．（2024九上·江汉月考）若、是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
5．（2024九下·涪城模拟）已知关于x的方程的两个实数根，，若，则m的值为（ ）
A． B．1 C．或1 D．或3
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵是方程的两实数根，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：（舍）或；
故选A．
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系．根据方程有两个实数根可得：，再进行计算可求出：，利用根与系数的关系可得：，将式子进行变形可得：，进而可列出方程，解方程可求出m的值．
6．（2024九上·宜都月考）已知a、b是一元二次方程的根，则代数式的值是（ ）
A．3 B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】分式的化简求值；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
7．（2024八下·上虞期末）在解一元二次方程时，小马同学粗心地将项的系数与常数项对换了，使得方程也变了．他正确地解出了这个不同的方程，得到一个根是2，另一根等于原方程的一个根．则原方程两根的平方和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设原方程为，两个根为和；则新的方程为，两个根为2和．
∴，，
得，
∵两个方程不同，
∴a≠c，
∴，
∴，
∴．
①当时，代入新方程可得：，
解得：，
则，，
则．
②当时，代入新方程可得：，
解得：，
则，，
则．
综上，原方程两根的平方和是．
故答案为：D．
【分析】设原方程为，两个根为和．则新的方程为，两个根为2和．把根代入方程可得，，将①②联立可解得．分别把β=1和β=﹣1代入新方程，得到a、b、c之间的关系，再由根与系数的关系可求出与的值，进而可求出的值．
8．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册2.4 一元二次方程根与系数的关系 同步练习）关于x的一元二次方程 有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程 同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；② ；③ ．其中正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解法一：因为关于 的一元二次方程 有两个整数根且乘积为正，由韦达定理得 ，所以 同号；同理 为同号。根据 得 均为负整数，因此结论①正确；又由题意得 ， ，则 ， ，故结论②正确；因为 均为负整数，则它们均小于等于 。设 ， ，则 分别为 的二次函数，其图象开口向上，与横轴的交点坐标均小于或等于 且为整数，因此当 时， 。当 时， ，即 ，故结论③正确。
应选D。
解法二：设 的两个整数根为 、 ，
的两个整数根为 、 ，
则 ， ，
由题意得： ， ，
∴ ， ，
∴ ， ， ， ，∴①正确；
∵ 的两个整数根为 、 ，
∴ ，即 ，
∴ ，同理： 。
∴
，∴②正确；
∵ 、 为负整数，∴ 、 ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，∴
，∴ ，
同理： ，即 ，
∴ ，∴③正确；
故答案为：D.
【分析】根据题意以及一元二次方程根与系数，可得出两个整数根都是负数，可对①作出判断；利用一元二次方程根的判别式，可对②作出判断；利用一元二次方程根与系数进行解答，可对③作出判断，综上所述，可得出答案。
二、填空题
9．（2024八下·宁波期末）关于的方程的两个实数根，满足，则的取值范围是
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： ∵关于的方程的两个实数根，
∴，
∵，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】先利用一元二次方程有两个不同的实数根，得到，再得出，从而可得，求出a的取值范围，再根据，得到关于a的不等式求解．
10．（2024·高港模拟）已知，，且，设，则的最小值为 ．
【答案】6
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数的最值
11．已知 ， 且 ， 则 .
【答案】
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴设m，为一元二次方程两个不相等的实数根，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】本题先将两边除以n2得到，进而确定m，为一元二次方程两个不相等的实数根，再由韦达定理确定两根和与两根积，代入求值.
12．（2023九上·成都开学考）已知实数，满足，，且，且的值为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，∴，
∴α、可以看作方程，
∴
故答案为：.
【分析】通过分析两方程的特点以及所求代数式，不难想到应该是考查根与系数的关系，所以对第二个方程适当变形，易知是一元二次方程的两实数根，利用根与系数的关系求得两个和与两根积，进而求代数式的值。
13．（2024九上·石家庄月考）若，且一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 ；若，是一元二次方程的两个实数根且满足，则 ．
【答案】且；或
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
三、计算题
14．（2024九上·天河月考）设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
15．（2024九上·长沙开学考）关于的一元二次方程．
（1）若方程总有两个实数根，求的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若两个实数根，满足，求的值．
【答案】（1）解：∵a=1，b=-2(m+1)，c=m2+2
∵方程总有两个实数根
（2）解：由韦达定理可得：
∵
∴
∴
解得或
由（1）知：
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）先写出a，b，c的值，再写出△的表达式，再令解出m的值即可．
（2）先由韦达定理得出：，再代入列出方程：解出m，再结合第（1）问进行取舍即可.
（1）解：，
∵方程总有两个实数根，
（2）由，
∵，
∴，
整理得，
解得或，
∵，
∴．
四、解答题
16．（2024九上·南沙月考）已知关于x的方程．
（1）若方程总有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）若两实数根，满足，求m的值．
【答案】（1）m＞0
（2）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
五、实践探究题
17．（2024八下·余杭期中）【综合与实践】
【问题情境】对于关于x的一元二次方程（a，b，c为常数，且），求方程的根的实质是找到一个x的具体的值，代入之后等式成立．一般情况下，如果有两个不同的x的具体值都满足，这就说明这个方程有两个根，且两根与a，b，c之间具有一定的关系．
【操作判断】项目研究小组经过讨论得到两个结论：
（1）当时，则一元二次方程必有一根是1．
（2）当时，则一元二次方程必有一根是－1．
请判断两个结论的真假，并说明原因．
（3）【实践探究】项目研究小组经过讨论编制了以下问题，请帮助解决：
方程的较大的根为p，方程的较小的根为q，求的值．
【答案】（1）结论正确
理由如下：
令代入得，符合题意．
（2）解：结论正确
理由如下：
令代入得：即符合题意．
（3）解：∵20232－2022×2024－1＝20232－（2023－1）×（2023＋1）－1
＝20232－（20232－1）－1
＝0
是方程的根．
设方程的另外一个根是，则
又
是方程的一个根，
设方程的另外一个根为
则
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）将代入，即可判断；
（2）将代入，即可判断；
（3）实践探究：推出是方程的一个根，设方程的另外一个根是，根据根与系数的关系可得：，进而得到；推出是方程的一个根，设方程的另外一个根为，根据根与系数的关系可得，进而得到，代入，计算求解即可．
18．（2024九上·湘西期末）阅读材料：
材料1：如图，是由四个长为，宽为的长方形拼摆而成的正方形，其中，则根据图形可以得到等式．
材料2：若一元二次方程的两个根为，则，．
材料3：已知实数满足，且，则是方程的两个不相等的实数根．
根据上述材料解决以下问题：
（1）材料理解：一元二次方程两个根为，则______，_____．
（2）应用探究：一元二次方程两个根为，则_______．
（3）思维拓展：已知实数分别满足，，其中且，求的值．
【答案】（1）2，
（2）
（3）解：把，两边同时除以得：，则实数s和可看作方程的根，
∴，，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】（ ）解：∵一元二次方程两个根为，
∴，；
故答案为：2，.
（2）解：∵，，
∴
∴；
【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系（x1+x2=-b/a；x1x2=c/a）可得答案；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系（x1+x2=-b/a；x1x2=c/a）可得，，再计算即可；
（3）先求出，，再将代数式变形为，再计算即可．
六、阅读理解题
19．（2024·庐阳模拟）类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．阅读材料：
设的两个根为和，那么比较系数，可得，．
类比推广，回答问题：设的三个根为，，，那么
（___________）（___________）．
比较系数，可以得到一元三次方程的根与系数的关系：
___________，___________，___________．
【答案】，，，，，r
【知识点】多项式乘多项式；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
20．（2023八下·临淄期末）阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．
根据上述材料，解决以下问题：
（1）直接应用：
方程的解为_______________________；
（2）间接应用：
已知实数a，b满足：，且，求的值；
（3）拓展应用：
已知实数x，y满足：，且，求的值．
【答案】（1），，，
（2）或
（3）15
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
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