一元二次方程的应用——北师大版数学九年级上册知识点训练
一、选择题
1．（2020九上·临海期末）电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关密不可分的动人故事，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A．3（1+x）＝10 B．3（1+x）2＝10
C．3+3（1+x）2＝10 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10
【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设平均每天票房的增长率为x，
根据题意得：3+3（1+x）+3（1+x）2＝10．
故答案为：D．
【分析】此题是一道平均增长率的问题，根据公式a(1+x)n=p，a是增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，p是增长结束达到的量，利用公式表示出第二天、第三天的票房收入，进而根据 三天后累计票房收入达10亿元 即可列出方程.
2．（2024九上·广州月考）某校从本学期开始实施劳动教育，在学校靠墙（墙长22米）的一块空地上，开辟出一块矩形菜地，如图所示，矩形菜地的另外三边用一根长49米的绳子围成，并留1米宽的门，若想开辟成面积为平方米的菜地，则菜地垂直于墙的一边的长为（ ）
A．10米 B．14米 C．15米 D．10米或15米
【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
3．（2024九上·深圳开学考）如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为的两扇小门，若花圃的面积刚好为，则此时花圃段的长为（ ）m．
A．4或 B． C．4 D．10
【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设米，则米，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，．
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意．
故答案为：C。
【分析】设，则米，根据花圃面积，即可得出关于x的一元二次方程： 求出x的值，然后再根据BC的条件，即可确定x的值。
4．（2024九上·广州开学考）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“健身杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间赛一场），现计划安排21场比赛，则邀请的参赛队数是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设 邀请的参赛队数是 x组
∴，解得x1=7，x2=-6(舍去)
∴邀请的参赛队数是7组.
故答案为：B.
【分析】根据题意，设邀请的参赛队数是 x组，每个可以参赛（x-1）次，x个球队可以参赛，可列方程为：，解出x即可.
5．（2024九下·黄浦月考）我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下面四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景；一元二次方程的应用-几何问题
6．（2024·平城模拟）古今中外，许多数学家曾研究过一元二次方程的几何解法，以方程，即为例．三国时期数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图1，其中，大正方形的面积是，它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得．公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米采用的方法是：构造图2，其中，大正方形的面积为，它又等于，据此可得．上述求解过程中所用的数学思想方法是（ ）
A．分类讨论思想 B．数形结合思想
C．函数方程思想 D．转化思想
【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
7．（2024九下·红桥模拟）某服装店试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间每件服装的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系．有下列结论：
①销售单价可以是90元；
②该服装店销售这种服装可获得的最大利润为891元；
③销售单价有两个不同的值满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元，
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的应用；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
8．（2011九上·黄冈竞赛）设a、b是整数，方程x2+ax+b=0的一根是 ，则 的值为（ ）
A．2 B．0 C．-2 D．-1
【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：，
根据题意得，，
即，
整理得，
∴，
∵a、b是整数，
∴a=2，-4-b=-a，
解得b=-2，
.
故答案为：C
【分析】先把方程的根代入方程整理，然后根据a、b都是整数得出a、b的值，再代入代数式进行计算即可求解．本题主要考查了一元二次方程的解，方程的解就是使方程的两边相等的未知数的值，去掉外面的根号是解题的关键．
二、填空题
9．（2016九上·黑龙江月考）某校要组织一次乒乓球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排2天，每天安排5场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的方程为 ．
【答案】 x（x﹣1）=2×5
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，
所以可列方程为： x（x﹣1）=2×5．
【分析】设比赛组织者应邀请x个队参赛，根据循环赛的比赛规则，则每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，故需要比赛的总场次是 x（x﹣1）场，根据总赛场次时10场，即可列出方程。
10．（2024七上·重庆市月考）如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，作为第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，依次类推，如果n层六边形点阵的总点数为331，则n等于 .
【答案】11
【知识点】探索图形规律；一元二次方程的实际应用-销售问题
11．（2024九上·阳新月考）如图，在长为28米，宽为10米的矩形空地上修建如图所示的道路（图中的阴影部分），余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为243平方米，设道路的宽为x米，则 ．
【答案】1
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：道路的宽为米，
铺设草坪的面积等于长为（28-x）米、宽（10-x）米的矩形面积．
草坪的面积为243平方米，
．
∴．
∴（舍去）
故答案为：1.
【分析】根据平移的思想可得铺设草坪的面积等于长为（28-x）米、宽（10-x）米的矩形面积，结合草坪的面积为243平方米，即可得出关于x的一元二次方程，求解并检验即可得出答案.
12．如图所示的图形的面积为 24 ， 根据图中的条件可求得 的值为
【答案】4
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵图形的面积为24，
∴.
∵x＞0，
∴解得x=4.
故答案为：4.
【分析】该图形面积由边长为（x+1）的正方形面积减去右上角“消失”的边长为1的小正方形面积.
13．（2024八下·哈尔滨期中）如图， 矩形中， 为对角线， 点E在上， ，若 ，则线段的长为 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
三、解答题
14．（2023九上·樊城期中）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，现商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）；
（2）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？
【答案】（1）解：∵每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，
∴设每件商品降价x元，则商场日销售量增加件，每件商品，盈利元．
（2）解：根据题意，得：，
整理，得：，
解得：，，
∵商场要尽快减少库存，
∴．
答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据“每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件”结合每件商品降价x元，即可找出日销售量增加的件数，再根据原来每件盈利50元，即可得出降价后的每件盈利额.
（2）根据“盈利=单件利润×销售数量”即可列出关于x的一元二次方程，解方程即可求出答案.
（1）∵每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，
∴设每件商品降价x元，则商场日销售量增加件，每件商品，盈利元．
故答案为：；．
（2）根据题意，得：，
整理，得：，
解得：，，
∵商场要尽快减少库存，
∴．
答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元．
15．（2024九上·黄陂月考）如图，在中，．
（1）点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟后，的面积为？
（2）如果点P，Q分别从A，B同时出发，点P在边上沿A→B→A的路线以的速度移动，点Q在边上沿B→C→B的路线以的速度移动，且其中一点到达终点时，另一点随之停止移动，连接，求经过几秒钟后，的面积为？
【答案】（1）2秒或4秒
（2）2秒或8秒
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；一元二次方程的应用-几何问题
16．（2024·康巴什模拟）网络销售是一种重要的销售方式．某乡镇农贸公司新开设了一家网店，销售当地农产品．其中一种当地特产在网上试销售，其成本为每千克10元．公司在试销售期间，调查发现，每天销售量y（kg）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中）．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围．
（2）若农贸公司每天销售该特产的利润要达到3100元，则销售单价x应定为多少元？
（3）设每天销售该特产的利润为W元，若，求：销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）；（2）销售单价x应定为15元；（3）当时，每天的销售利润最大，最大利润是6480元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
17．（2024八下·婺城期中）根据以下素材，探索完成任务．
如何改造硬纸板制作无盖纸盒？
背景 学校手工社团小组想把一张长，宽的矩形硬纸板，制作成一个高，容积的无盖长方体纸盒，且纸盒的长不小于（纸板的厚度忽略不计）．
方案 初始方案：将矩形硬纸板竖着裁剪（阴影部分），剩余纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形．
改进方案：将矩形硬纸板竖着裁剪，横着裁剪（阴影部分），剩余纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形．
问题解决
任务1 判断方案 请通过计算判断初始方案是否可行？
任务2 改进方案 改进方案中，当时，求x的值．
任务3 探究方案 当裁剪后能制作成符合要求的纸盒时，求出y与x的等量关系，并写出y的取值范围．
【答案】解：任务1：根据题意得：，解得：，
此时长方体盒子的长为：
∵，
∴初始方案是不可行；
任务2：当时，根据题意得：，
解得：或，
当时，盒子的长为，符合题意；
当时，盒子的长为，不符合题意；
∴x的值为4；
任务3：根据题意得：，
整理得：，
∵纸盒的长不小于，
∴，
解得：，
∴，
把代入得：，
把代入得：，
∴．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】纸盒高度5cm，剪去四个角上的正方形边长是5厘米。
任务1：根据题意列出方程，求出x的值，算出此时盒子的长，再与32进行比较即可；
任务2：根据题意列出方程，求出x的值，再进行验证即可；
任务3：根据题意列出关系式，根据题意，解不等式，再求出y的取值范围即可．
18．（2023九上·南昌月考）随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点．据某市交通部门统计，2017年底全市汽车拥有量为150万辆，而截止到2019年底，全市的汽车拥有量已达216万辆．
（1）求2017年底至2019年底该市汽车拥有量的年平均增长率；
（2）为保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2021年底全市汽车拥有量不超过231.96万辆；另据估计，从2020年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10％．假定每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆．
【答案】（1）该市汽车拥有量的年平均增长率为20%．
（2）该市每年新增汽车数量最多不能超过30万辆．
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题
19．（2024九上·宜都月考）综合与实践
观察与思考：
规律发现：请用含的式子填空：
（1）第个图案中小圆圈的个数为____________；
（2）第1个图案中小星星的个数可表示为，第2个图案中的小星星的个数可表示为，第3个图案中小星星的个数可表示为，，第个图案中小星星的个数可表示为_____________；
规律应用：
（3）结合图案中小星星的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的偶数之和等于第个图案中小圆圈的个数的4倍．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【知识点】一元二次方程的其他应用；探索图形规律
20．（2024八下·上城期中）
如何利用闲置纸板箱制作储物盒
素材1 小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体底面尺寸如图2所示．
素材2 下图是利用闲置纸板箱拆解出的以下两种纸板：长方形纸板①和长方形纸板②，其中两种纸板的宽度均为．
长方形纸板① 长方形纸板②
小琴将分别利用长方形纸板①和长方形纸板②进行制作无盖和有盖的储物盒．
长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②的制作方式
裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒．
（1）【任务一：熟悉材料】若要求按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够刚好放入图2储物区域，则裁去小正方形的边长为 ，长方形纸板宽a的值为 ．
（2）利用任务1计算所得的数据a，进行进一步探究．
①【初步应用】按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积．
②【储物收纳】按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为，如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断下列玩具①机械狗；②玩具车能否分别完全放入该储物盒并合上盖子．（不考虑倾斜放入）
【答案】（1）5cm；50cm
（2）解：①设裁去小正方形边长为，
解得：（舍去），
∴储物盒的容积；
②设裁去小长方形长为，宽为，
，
则，
∵，
∴
解得：（舍去），
∴，
则
即裁去小长方形长为，宽为，
∴制作储物盒长为，高为，宽为
①∵，
∴机械狗能完全放入；
②∵，
∴玩具车不能完全放入．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）∵图2储物区域长为50cm， 储物盒刚好放入图2的储物区域，
∴则裁去小正方形的边长为（60-50）=5cm；
a=40+2×5=50cm.
故答案为：5cm，50cm.
【分析】（1）观察图形可知图2储物区域长为50cm， 储物盒刚好放入图2的储物区域，列式计算可求出裁去小正方形的边长；由题意可知a=收纳盒的宽+2×裁去小正方形的边长，列式计算即可.
（2）①设裁去小正方形边长为，根据题意可得到关于x的方程，解方程求出x的值，然后求出储物盒的容积；②设裁去小长方形长为，宽为，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到符合题意的m的值，再求出裁去小长方形长和宽，可得到制作储物盒长、宽、高，然后比较大小可得答案.
1 / 1一元二次方程的应用——北师大版数学九年级上册知识点训练
一、选择题
1．（2020九上·临海期末）电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关密不可分的动人故事，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A．3（1+x）＝10 B．3（1+x）2＝10
C．3+3（1+x）2＝10 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10
2．（2024九上·广州月考）某校从本学期开始实施劳动教育，在学校靠墙（墙长22米）的一块空地上，开辟出一块矩形菜地，如图所示，矩形菜地的另外三边用一根长49米的绳子围成，并留1米宽的门，若想开辟成面积为平方米的菜地，则菜地垂直于墙的一边的长为（ ）
A．10米 B．14米 C．15米 D．10米或15米
3．（2024九上·深圳开学考）如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为的两扇小门，若花圃的面积刚好为，则此时花圃段的长为（ ）m．
A．4或 B． C．4 D．10
4．（2024九上·广州开学考）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“健身杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间赛一场），现计划安排21场比赛，则邀请的参赛队数是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
5．（2024九下·黄浦月考）我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下面四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·平城模拟）古今中外，许多数学家曾研究过一元二次方程的几何解法，以方程，即为例．三国时期数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图1，其中，大正方形的面积是，它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得．公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米采用的方法是：构造图2，其中，大正方形的面积为，它又等于，据此可得．上述求解过程中所用的数学思想方法是（ ）
A．分类讨论思想 B．数形结合思想
C．函数方程思想 D．转化思想
7．（2024九下·红桥模拟）某服装店试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间每件服装的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系．有下列结论：
①销售单价可以是90元；
②该服装店销售这种服装可获得的最大利润为891元；
③销售单价有两个不同的值满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元，
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（2011九上·黄冈竞赛）设a、b是整数，方程x2+ax+b=0的一根是 ，则 的值为（ ）
A．2 B．0 C．-2 D．-1
二、填空题
9．（2016九上·黑龙江月考）某校要组织一次乒乓球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排2天，每天安排5场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的方程为 ．
10．（2024七上·重庆市月考）如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，作为第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，依次类推，如果n层六边形点阵的总点数为331，则n等于 .
11．（2024九上·阳新月考）如图，在长为28米，宽为10米的矩形空地上修建如图所示的道路（图中的阴影部分），余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为243平方米，设道路的宽为x米，则 ．
12．如图所示的图形的面积为 24 ， 根据图中的条件可求得 的值为
13．（2024八下·哈尔滨期中）如图， 矩形中， 为对角线， 点E在上， ，若 ，则线段的长为 ．
三、解答题
14．（2023九上·樊城期中）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，现商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）；
（2）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？
15．（2024九上·黄陂月考）如图，在中，．
（1）点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟后，的面积为？
（2）如果点P，Q分别从A，B同时出发，点P在边上沿A→B→A的路线以的速度移动，点Q在边上沿B→C→B的路线以的速度移动，且其中一点到达终点时，另一点随之停止移动，连接，求经过几秒钟后，的面积为？
16．（2024·康巴什模拟）网络销售是一种重要的销售方式．某乡镇农贸公司新开设了一家网店，销售当地农产品．其中一种当地特产在网上试销售，其成本为每千克10元．公司在试销售期间，调查发现，每天销售量y（kg）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中）．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围．
（2）若农贸公司每天销售该特产的利润要达到3100元，则销售单价x应定为多少元？
（3）设每天销售该特产的利润为W元，若，求：销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
17．（2024八下·婺城期中）根据以下素材，探索完成任务．
如何改造硬纸板制作无盖纸盒？
背景 学校手工社团小组想把一张长，宽的矩形硬纸板，制作成一个高，容积的无盖长方体纸盒，且纸盒的长不小于（纸板的厚度忽略不计）．
方案 初始方案：将矩形硬纸板竖着裁剪（阴影部分），剩余纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形．
改进方案：将矩形硬纸板竖着裁剪，横着裁剪（阴影部分），剩余纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形．
问题解决
任务1 判断方案 请通过计算判断初始方案是否可行？
任务2 改进方案 改进方案中，当时，求x的值．
任务3 探究方案 当裁剪后能制作成符合要求的纸盒时，求出y与x的等量关系，并写出y的取值范围．
18．（2023九上·南昌月考）随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点．据某市交通部门统计，2017年底全市汽车拥有量为150万辆，而截止到2019年底，全市的汽车拥有量已达216万辆．
（1）求2017年底至2019年底该市汽车拥有量的年平均增长率；
（2）为保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2021年底全市汽车拥有量不超过231.96万辆；另据估计，从2020年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10％．假定每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆．
19．（2024九上·宜都月考）综合与实践
观察与思考：
规律发现：请用含的式子填空：
（1）第个图案中小圆圈的个数为____________；
（2）第1个图案中小星星的个数可表示为，第2个图案中的小星星的个数可表示为，第3个图案中小星星的个数可表示为，，第个图案中小星星的个数可表示为_____________；
规律应用：
（3）结合图案中小星星的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的偶数之和等于第个图案中小圆圈的个数的4倍．
20．（2024八下·上城期中）
如何利用闲置纸板箱制作储物盒
素材1 小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体底面尺寸如图2所示．
素材2 下图是利用闲置纸板箱拆解出的以下两种纸板：长方形纸板①和长方形纸板②，其中两种纸板的宽度均为．
长方形纸板① 长方形纸板②
小琴将分别利用长方形纸板①和长方形纸板②进行制作无盖和有盖的储物盒．
长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②的制作方式
裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒．
（1）【任务一：熟悉材料】若要求按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够刚好放入图2储物区域，则裁去小正方形的边长为 ，长方形纸板宽a的值为 ．
（2）利用任务1计算所得的数据a，进行进一步探究．
①【初步应用】按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积．
②【储物收纳】按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为，如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断下列玩具①机械狗；②玩具车能否分别完全放入该储物盒并合上盖子．（不考虑倾斜放入）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设平均每天票房的增长率为x，
根据题意得：3+3（1+x）+3（1+x）2＝10．
故答案为：D．
【分析】此题是一道平均增长率的问题，根据公式a(1+x)n=p，a是增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，p是增长结束达到的量，利用公式表示出第二天、第三天的票房收入，进而根据 三天后累计票房收入达10亿元 即可列出方程.
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设米，则米，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，．
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意．
故答案为：C。
【分析】设，则米，根据花圃面积，即可得出关于x的一元二次方程： 求出x的值，然后再根据BC的条件，即可确定x的值。
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设 邀请的参赛队数是 x组
∴，解得x1=7，x2=-6(舍去)
∴邀请的参赛队数是7组.
故答案为：B.
【分析】根据题意，设邀请的参赛队数是 x组，每个可以参赛（x-1）次，x个球队可以参赛，可列方程为：，解出x即可.
5．【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景；一元二次方程的应用-几何问题
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
7．【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的应用；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：，
根据题意得，，
即，
整理得，
∴，
∵a、b是整数，
∴a=2，-4-b=-a，
解得b=-2，
.
故答案为：C
【分析】先把方程的根代入方程整理，然后根据a、b都是整数得出a、b的值，再代入代数式进行计算即可求解．本题主要考查了一元二次方程的解，方程的解就是使方程的两边相等的未知数的值，去掉外面的根号是解题的关键．
9．【答案】 x（x﹣1）=2×5
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，
所以可列方程为： x（x﹣1）=2×5．
【分析】设比赛组织者应邀请x个队参赛，根据循环赛的比赛规则，则每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，故需要比赛的总场次是 x（x﹣1）场，根据总赛场次时10场，即可列出方程。
10．【答案】11
【知识点】探索图形规律；一元二次方程的实际应用-销售问题
11．【答案】1
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：道路的宽为米，
铺设草坪的面积等于长为（28-x）米、宽（10-x）米的矩形面积．
草坪的面积为243平方米，
．
∴．
∴（舍去）
故答案为：1.
【分析】根据平移的思想可得铺设草坪的面积等于长为（28-x）米、宽（10-x）米的矩形面积，结合草坪的面积为243平方米，即可得出关于x的一元二次方程，求解并检验即可得出答案.
12．【答案】4
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵图形的面积为24，
∴.
∵x＞0，
∴解得x=4.
故答案为：4.
【分析】该图形面积由边长为（x+1）的正方形面积减去右上角“消失”的边长为1的小正方形面积.
13．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
14．【答案】（1）解：∵每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，
∴设每件商品降价x元，则商场日销售量增加件，每件商品，盈利元．
（2）解：根据题意，得：，
整理，得：，
解得：，，
∵商场要尽快减少库存，
∴．
答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据“每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件”结合每件商品降价x元，即可找出日销售量增加的件数，再根据原来每件盈利50元，即可得出降价后的每件盈利额.
（2）根据“盈利=单件利润×销售数量”即可列出关于x的一元二次方程，解方程即可求出答案.
（1）∵每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，
∴设每件商品降价x元，则商场日销售量增加件，每件商品，盈利元．
故答案为：；．
（2）根据题意，得：，
整理，得：，
解得：，，
∵商场要尽快减少库存，
∴．
答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元．
15．【答案】（1）2秒或4秒
（2）2秒或8秒
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；一元二次方程的应用-几何问题
16．【答案】（1）；（2）销售单价x应定为15元；（3）当时，每天的销售利润最大，最大利润是6480元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
17．【答案】解：任务1：根据题意得：，解得：，
此时长方体盒子的长为：
∵，
∴初始方案是不可行；
任务2：当时，根据题意得：，
解得：或，
当时，盒子的长为，符合题意；
当时，盒子的长为，不符合题意；
∴x的值为4；
任务3：根据题意得：，
整理得：，
∵纸盒的长不小于，
∴，
解得：，
∴，
把代入得：，
把代入得：，
∴．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】纸盒高度5cm，剪去四个角上的正方形边长是5厘米。
任务1：根据题意列出方程，求出x的值，算出此时盒子的长，再与32进行比较即可；
任务2：根据题意列出方程，求出x的值，再进行验证即可；
任务3：根据题意列出关系式，根据题意，解不等式，再求出y的取值范围即可．
18．【答案】（1）该市汽车拥有量的年平均增长率为20%．
（2）该市每年新增汽车数量最多不能超过30万辆．
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题
19．【答案】（1）；（2）；（3）．
【知识点】一元二次方程的其他应用；探索图形规律
20．【答案】（1）5cm；50cm
（2）解：①设裁去小正方形边长为，
解得：（舍去），
∴储物盒的容积；
②设裁去小长方形长为，宽为，
，
则，
∵，
∴
解得：（舍去），
∴，
则
即裁去小长方形长为，宽为，
∴制作储物盒长为，高为，宽为
①∵，
∴机械狗能完全放入；
②∵，
∴玩具车不能完全放入．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）∵图2储物区域长为50cm， 储物盒刚好放入图2的储物区域，
∴则裁去小正方形的边长为（60-50）=5cm；
a=40+2×5=50cm.
故答案为：5cm，50cm.
【分析】（1）观察图形可知图2储物区域长为50cm， 储物盒刚好放入图2的储物区域，列式计算可求出裁去小正方形的边长；由题意可知a=收纳盒的宽+2×裁去小正方形的边长，列式计算即可.
（2）①设裁去小正方形边长为，根据题意可得到关于x的方程，解方程求出x的值，然后求出储物盒的容积；②设裁去小长方形长为，宽为，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到符合题意的m的值，再求出裁去小长方形长和宽，可得到制作储物盒长、宽、高，然后比较大小可得答案.
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