24.1.2垂直于弦的直径 课时巩固练 2024--2025学年上学期初中数学人教版九年级上册

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24.1.2垂直于弦的直径 课时巩固练
-2025学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．如图，因为⊙O的直径CD过弦EF的中点G，弦EF不是直径，所以CD⊥EF，根据是（　　）
A．垂直于弦的直径平分这条线 B．平分弦的直径垂直于这条弦
C．平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦 D．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角也相等
2．如图，在中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则圆O的半径长是（ ）
A．1 B． C． D．4
3．⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（ ）
A．2 B．14 C．2或14 D．7或1
4．如图，一个圆柱形的玻璃水杯，将其水平放置，截面是个圆，C为弦中点，点D是弧的中点，cm，杯内水面宽cm，则圆的半径的长是（ ）

A．6cm B．5cm C．4cm D．
5．如图，将半径为的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（ ）
A．4cm B．2cm C．cm D．cm
6．如图，是圆的弦，直径，垂足为，若，，则的长为（ ）
A． B．9 C． D．
7．如图，是的弦，是的直径，于点．在下列结论中，不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在扇形中，点D在上，点C在上，．若，则的半径为( )
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，在⊙O中，AB为直径，弦于点H，若，则⊙O的半径长为 ．
10．如图，是的弦，是的三等分点，连接并延长交于点．若，，则圆心到弦的距离是 ．

11．如图，一种花边是由弓形组成的，弧ACB的半径为5，弦AB为8，则弓形的高CD为
12．⊙O的半径为10cm，弦AB＝12cm，则圆心到AB的距离为 ．
13．在中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BC上一点，连接BD，AD，OC，∠ADB＝30°．若弦BC＝6cm，则图中阴影部分的面积为 .
三、解答题
14．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点C、D．
(1)求证：AC＝BD；
(2)若大圆的半径r＝8，小圆的半径r＝6，且圆心O到直线AB的距离为4，求AC的长．
15．如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，OF⊥AC于点F，BE＝OF．
（1）求证：△AFO≌△CEB；
（2）若BE＝4，CD＝8，求：
①⊙O的半径；
②求图中阴影部分的面积．
16．在《折叠圆形纸片》综合实践课上，小东同学展示了如下的操作及问题：
(1)如图1，的半径为4cm，通过折叠圆形纸片，使得劣弧AB沿弦AB折叠后恰好过圆心，求AB长；
(2)如图2，弦AB，垂足为点C，劣弧AB沿弦AB折叠后经过的中点D，，求的半径．
17．如图，是的直径，于点，连接并延长交于点，且恰为的中点．
(1)求的度数；
(2)证明：是的中点．
18．如图，A，B，C，D在上，经过圆心O的线段于点F，与交于点E，已知半径为5．
（1）若，，求的长；
（2）若，且，求弦的长；
参考答案：
1．C
因为⊙O的直径CD过弦EF的中点G，弦EF不是直径，所以
理由是垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦
2．C
解：∵圆心到弦的距离为2，
∴，
∵弦的长为4，
∴，
∴，
即圆O的半径长是，
3．C
解：如图，作于E，于F，连，
则，
∵，
∴E、O、F三点共线，
在中，，
在中，，
当圆心O在弦与之间时，与的距离；
当圆心O在弦与的外部时，与的距离．
所以与的距离是14或2．
4．B
解：连接并延长，交圆于点，，，

∵，C为弦中点，
∴，，
∴平分，
∵为的中点，
∴点重合，
∴三点共线，
设圆的半径为，则：，
由勾股定理，得：，
∴，
解得：；
5．A
如图所示，连接AO，过O作OD⊥AB，交于点D，交弦AB与点E，
∵折叠后恰好经过圆心，
∴OE=DE,
∵半径为4，
∴OE=2，
∵OD⊥AB，
∴AE=AB，
在Rt△AOE中，AE==2
∴AB=2AE=4
故选A.
6．C
解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴在中，，
∴．
7．D
解：根据垂径定理可以得到，故选项A不符合题意；
∵是的直径，
∴，故选项B不符合题意；
∵，
∴，
∵
∴,
故选项C不符合题意；
∵无法证明，
∴选项D符合题意．
8．C
解：过点作与，连接交与点，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的中点，
∴，
又∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
即的半径为，
9．5
解：如图，连接OC，设圆的半径为x，
由垂径定理可得：CH=CD=4，
Rt△OCH中，OH=AH-AO=8-x，则
，
，
解得：x=5，即⊙O半径为5，
故答案为：5；
10．
解：延长交圆于点，作于点，连接．

则，，
，
，
解得：，
则，
，
，
在中，．
故答案为：．
11．2
解：根据题意，画出下图，然后根据勾股定理，由OA=5，AD=4，
可得OD=3，
因此可得CD=．
故答案为：2．
12．8cm
解：如图，连接OB，作OC⊥AB，垂足为C，
∵OC⊥AB，
∴BC=AB=6cm，
在Rt△OBC中，，
∴圆心到AB的距离为8cm．
故答案为：8cm
13．
∵BC=6，
∴ ，
在中， ，
∴ ，
∵ ，
∴∠BOC=2∠AOC=120°，
∴
（cm2）．
故答案为
14．(1)见解析
(2)AC＝
（1）证明：作OE⊥AB，则AE＝BE，CE＝DE，
故BE﹣DE＝AE﹣CE；
即AC＝BD；
（2）解：连接OC，OA，
∵OE⊥AB且OE⊥CD，
∴OE＝4，CE＝DE，
∴DE＝CE＝＝＝2，
AE＝＝＝4，
∴AC＝AE﹣CE＝4﹣2．
15．（1）见解析；（2）①8；②
（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径，AB⊥CD，
∴BC＝BD，
∴∠A＝∠DCB，
∴OF⊥AC，
∴∠AFO＝∠CEB，
∵BE＝OF，
∴△AFO≌△CEB（AAS）．
（2）①∵AB 为⊙O 的直径，AB⊥CD，
∴CE＝CD＝4
设 OC＝r，则 OE＝r﹣4，
∴r2＝（r﹣4）2+（4）2
∴r＝8．
②连结 OD．
∵OE＝4＝OC，
∴∠OCE＝30°，∠COB＝60°，
∴∠COD＝120°，
∵△AFO≌△CEB，
∴S△AFO＝S△BCE，
∴S阴＝S扇形OCD﹣S△OCD
＝﹣
＝﹣16.
16．(1)cm
(2)cm
（1）解：如图1，作交于，交于，连接
由题意知，，
在中，由勾股定理得
∴
∴的长为．
（2）解：如图2，延长交于，连接，设半径为
由题意知，由折叠和中点的性质可知，
在中，由勾股定理得，即
解得：，（不合题意，舍去）
∴半径的长为．
17．(1)
(2)见解析
（1）解：如图，连接，
，，为的直径，
，
垂直平分，
，
为的中点，过圆心，
，
垂直平分，
，
，
是等边三角形，
，，
（2）解：为的中点，
，
，
，
为等边三角形，
，
，即是的中点．
18．（1）7；（2）8
解：（1）连接AO和DO，
∵，且EF过圆心，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
同理，
，
∴；
（2）如图，连接BO和DO，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
，解得，（舍去），
∴，
∴．
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