第六章 平行四边形(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.一个多边形的内角和与外角和的度数之比为2∶1,则这个多边形的边数为 (D)
A.3 B.4 C.5 D.6
2.根据图中所给的边长及角度,下列四边形中,一定可以判定为平行四边形的是(B)
3.如图所示,已知l1∥l2,AB∥CD,CE⊥l2于点E,FG⊥l2于点G,则下列说法错误的是 (D)
A.AB=CD
B.CE=FG
C.l1与l2之间的距离就是线段CE的长度
D.l1与l2之间的距离就是线段CD的长度
4.(2024·益阳中考)如图,在 ABCD中,AB=8,点E是AB上一点,AE=3,连接DE,过点C作CF∥DE,交AB的延长线于点F,则BF的长为 (C)
A.5 B.4 C.3 D.2
5.如图,在七边形ABCDEFG中,EF,BA的延长线相交于点P,若∠ABC,∠BCD,∠CDE,∠DEF的外角的度数和为230°,则∠P的度数为 (C)
A.40° B.45° C.50° D.55°
6.如图,E是平行四边形内任一点,若S ABCD=8,则图中阴影部分的面积是 (B)
A.3 B.4 C.5 D.6
7.如图,在△ABC中,AC=6 cm,BC=8 cm,AB=10 cm,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,则△DEF的面积等于 (C)
A.4 cm2 B.5 cm2 C.6 cm2 D.7 cm2
8.如图,在 ABCD中,M,N分别为CD,BC的中点,AM=4,AN=2,∠MAN=60°,则对角线BD的长为 (A)
A.4 B.4 C.6 D.8
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.如图,在 ABCD中,∠D=72°,BE平分∠ABC,则∠ABE的度数是 36° .
10.(2024·广州中考)如图,在 ABCD中,AD=10,对角线AC与BD相交于点O,AC+BD=22,则△BOC的周长为 21 .
11.(2024·长春中考)跳棋是一项传统的智力游戏.如图是一副跳棋棋盘的示意图,它可以看作是由全等的等边三角形ABC和等边三角形DEF组合而成,它们重叠部分的图形为正六边形.若AB=27厘米,则这个正六边形的周长为 54 厘米.
12.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AB=12,AD=5.点M,N分别为线段BC,AB上的动点(含端点,但点M不与点B重合),点E,F分别为DM,MN的中点,则EF长度的最大值是 6.5 .
13.将一个多边形切去一个角后所得的多边形内角和为2 880°,则原多边形的边数为 17或18或19 .
14.在四边形ABCD中,AD∥BC,BC⊥CD,AD=6 cm,BC=10 cm,M是BC上一点,且BM=4,点E从A出发以1 cm/s的速度向D运动,点F从点B出发以2 cm/s的速度向点C运动,当其中一点到达终点,而另一点也随之停止,设运动时间为t s,当t的值为 4或 时,以A,M,E,F为顶点的四边形是平行四边形.
三、解答题(共52分)
15.(8分)(2024·攀枝花中考)同学们在探索“多边形的内角和”时,利用了“三角形的内角和”.请你在不直接运用结论“n边形的内角和为(n-2)·180°”计算的条件下,利用“一个三角形的内角和等于180°”,结合图形说明:五边形ABCDE的内角和为540°.
【解析】连接AD,AC,
∴五边形ABCDE的内角和等于△AED,△ADC,△ABC的内角和,∴五边形ABCDE的内角和=180°×3=540°.
16.(8分)(2024·宿迁中考)如图,在 ABCD中,点E,F分别是边AB,CD的中点.求证:AF=CE.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,
∵点E,F分别是边AB,CD的中点,
∴AE=BE=CF=DF,
∴四边形AECF是平行四边形,∴AF=CE.
17.(8分)如图,在四边形ABCD中,点E,F分别是对角线AC上任意两点,且满足AF=CE,连接DF,BE,若DF=BE,DF∥BE.求证:
(1)△AFD≌△CEB;
(2)四边形ABCD是平行四边形.
【证明】(1)∵DF∥BE,∴∠DFE=∠BEF.
在△ADF和△CBE中,,
∴△AFD≌△CEB(SAS);
(2)由(1)知△AFD≌△CEB,
∴∠DAC=∠BCA,AD=BC,∴AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
18.(8分)(2023·株洲中考)如图所示,在△ABC 中,点D,E分别为AB,AC的中点,点H在线段CE上,连接BH,点G,F分别为BH,CH的中点.
(1)求证:四边形DEFG为平行四边形;
(2)DG⊥BH,BD=3,EF=2,求线段BG的长度.
【解析】(1)∵点D,E分别为AB,AC的中点,点G,F分别为BH,CH的中点,∴DE是△ABC的中位线,GF是△HBC的中位线,
∴DE∥BC,DE=BC,GF∥BC,GF=BC,
∴DE∥GF,DE=GF,∴四边形DEFG为平行四边形;
(2)∵四边形DEFG为平行四边形,∴DG=EF=2,
∵DG⊥BH,∴∠DGB=90°,
∴BG===,即线段BG的长度为.
19.(10分)如图,在△ABC中,过点C作CD∥AB,E是AC的中点,连接DE并延长,交边AB于点F,连接AD,CF.
(1)求证:四边形AFCD是平行四边形;
(2)若AF=2BF,四边形AFCD的面积为S1,四边形FBCE的面积为S2,求S1∶S2.
【解析】(1)∵CD∥AB,∴∠FAC=∠DCA,
∵点E是AC的中点,∴AE=CE,
又∵∠AEF=∠CED,
∴△AEF≌△CED(ASA),∴AF=CD,
又∵AF∥CD,
∴四边形AFCD是平行四边形;
(2)设BF=a,则AF=2BF=2a,
如图,过点C作CG⊥AB于点G,设CG=h,
∴S△ACF=·AF·CG=·2a·h=ah,
S△BCF=·BF·CG=·a·h=ah,
∴S1=2S△ACF=2ah,S△ECF=S1=ah,
∴S2=S△ECF+S△BCF=ah,
∴S1∶S2=2ah∶ah=2.
20.(10分)如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E,与DC交于点F,且点F为边DC的中点,DG⊥AE,垂足为G,若DG=1,求AE的长.
【解析】∵AE为∠DAB的平分线,
∴∠DAE=∠BAE,
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴DC∥AB,∴∠BAE=∠DFA,
∴∠DAE=∠DFA,∴AD=FD,
又F为DC的中点,∴DF=CF,∴AD=DF
=DC=AB=2,
在Rt△ADG中,DG=1,
∴AG==,
∵DG⊥AE,∴AF=2AG=2,
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠DAF=∠E,∠ADF=∠ECF,
在△ADF和△ECF中,,
∴△ADF≌△ECF(AAS),∴AF=EF,
则AE=2AF=4.第六章 平行四边形(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.一个多边形的内角和与外角和的度数之比为2∶1,则这个多边形的边数为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
2.根据图中所给的边长及角度,下列四边形中,一定可以判定为平行四边形的是( )
3.如图所示,已知l1∥l2,AB∥CD,CE⊥l2于点E,FG⊥l2于点G,则下列说法错误的是 ( )
A.AB=CD
B.CE=FG
C.l1与l2之间的距离就是线段CE的长度
D.l1与l2之间的距离就是线段CD的长度
4.(2024·益阳中考)如图,在 ABCD中,AB=8,点E是AB上一点,AE=3,连接DE,过点C作CF∥DE,交AB的延长线于点F,则BF的长为 ( )
A.5 B.4 C.3 D.2
5.如图,在七边形ABCDEFG中,EF,BA的延长线相交于点P,若∠ABC,∠BCD,∠CDE,∠DEF的外角的度数和为230°,则∠P的度数为 ( )
A.40° B.45° C.50° D.55°
6.如图,E是平行四边形内任一点,若S ABCD=8,则图中阴影部分的面积是 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
7.如图,在△ABC中,AC=6 cm,BC=8 cm,AB=10 cm,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,则△DEF的面积等于 ( )
A.4 cm2 B.5 cm2 C.6 cm2 D.7 cm2
8.如图,在 ABCD中,M,N分别为CD,BC的中点,AM=4,AN=2,∠MAN=60°,则对角线BD的长为 ( )
A.4 B.4 C.6 D.8
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.如图,在 ABCD中,∠D=72°,BE平分∠ABC,则∠ABE的度数是 .
10.(2024·广州中考)如图,在 ABCD中,AD=10,对角线AC与BD相交于点O,AC+BD=22,则△BOC的周长为 .
11.(2024·长春中考)跳棋是一项传统的智力游戏.如图是一副跳棋棋盘的示意图,它可以看作是由全等的等边三角形ABC和等边三角形DEF组合而成,它们重叠部分的图形为正六边形.若AB=27厘米,则这个正六边形的周长为 厘米.
12.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AB=12,AD=5.点M,N分别为线段BC,AB上的动点(含端点,但点M不与点B重合),点E,F分别为DM,MN的中点,则EF长度的最大值是 .
13.将一个多边形切去一个角后所得的多边形内角和为2 880°,则原多边形的边数为 .
14.在四边形ABCD中,AD∥BC,BC⊥CD,AD=6 cm,BC=10 cm,M是BC上一点,且BM=4,点E从A出发以1 cm/s的速度向D运动,点F从点B出发以2 cm/s的速度向点C运动,当其中一点到达终点,而另一点也随之停止,设运动时间为t s,当t的值为 时,以A,M,E,F为顶点的四边形是平行四边形.
三、解答题(共52分)
15.(8分)(2024·攀枝花中考)同学们在探索“多边形的内角和”时,利用了“三角形的内角和”.请你在不直接运用结论“n边形的内角和为(n-2)·180°”计算的条件下,利用“一个三角形的内角和等于180°”,结合图形说明:五边形ABCDE的内角和为540°.
16.(8分)(2024·宿迁中考)如图,在 ABCD中,点E,F分别是边AB,CD的中点.求证:AF=CE.
17.(8分)如图,在四边形ABCD中,点E,F分别是对角线AC上任意两点,且满足AF=CE,连接DF,BE,若DF=BE,DF∥BE.求证:
(1)△AFD≌△CEB;
(2)四边形ABCD是平行四边形.
18.(8分)(2023·株洲中考)如图所示,在△ABC 中,点D,E分别为AB,AC的中点,点H在线段CE上,连接BH,点G,F分别为BH,CH的中点.
(1)求证:四边形DEFG为平行四边形;
(2)DG⊥BH,BD=3,EF=2,求线段BG的长度.
19.(10分)如图,在△ABC中,过点C作CD∥AB,E是AC的中点,连接DE并延长,交边AB于点F,连接AD,CF.
(1)求证:四边形AFCD是平行四边形;
(2)若AF=2BF,四边形AFCD的面积为S1,四边形FBCE的面积为S2,求S1∶S2.
20.(10分)如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E,与DC交于点F,且点F为边DC的中点,DG⊥AE,垂足为G,若DG=1,求AE的长.
