三十四 平行四边形的性质(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1平行四边形的性质——对角线
1.如图, ABCD的对角线AC,BD交于点O,已知AD=8,BD=12,AC=6,则△OBC的周长为(B)
A.13 B.17 C.20 D.26
2.如图,在 ABCD中,BD=6,AC=10,BD⊥AB,则AD的长为 (D)
A.8 B. C.2 D.2
3.(2023·西安质检)如图,在 ABCD中,AD=5,对角线AC与BD相交于点O,AC+BD=12,则△BOC的周长为 (B)
A.10 B.11 C.12 D.14
4.(2023·汕头期中)如图,在 ABCD中,AC,BD相交于点O,若△BOC的面积为3,则 ABCD的面积为 12 .
5.已知:在 ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,且AE=CF,对角线AC,BD交于点O.求证: BE∥DF.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD,
∵AE=CF,∴OE=OF,
在△BOE和△DOF中,
∴△BOE≌△DOF(SAS),
∴∠BEO=∠DFO,∴BE∥DF.
知识点2平行四边形性质的综合应用
6.(2023·临汾质检)如图,在 ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E.若BC=4,∠C=105°,∠BDC=45°,则AE的长为 (B)
A. B.1+
C.2+ D.2+2
7.如图,平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于O,过点O作OE⊥AC交AD于点E,若AE=4,DE=3,AB=5,则AC的长为 (A)
A.4 B.6 C.8 D.5
8. (2023·南充中考)如图,在 ABCD中,点E,F在对角线AC上,∠CBE=∠ADF.
求证:(1)AE=CF;
(2)BE∥DF.
【证明】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,∴∠DAF=∠BCE,
在△ADF与△CBE中,,
∴△ADF≌△CBE(ASA),∴AF=CE,
∴AF-EF=CE-EF,∴AE=CF;
(2)∵△ADF≌△CBE,
∴∠AFD=∠CEB,∴BE∥DF.
【B层 能力进阶】
9.有下列说法:
①平行四边形具有四边形的所有性质;
②平行四边形是中心对称图形;
③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形;
④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形.
其中正确说法的序号是 (D)
A.①②④ B.①③④
C.①②③ D.①②③④
10.(2023·忻州期末)如图,在 ABCD中,AB=10,AD=7,四个角的平分线分别相交于点E,F,G,H,则四边形EFGH对角线EG的长为(A)
A.3 B. C. D.
11.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E是边CD上一点,且BC=EC,CF⊥BE交AB于点F,P是EB延长线上一点,下列结论:①BE平分∠CBF;②CF平分∠DCB;③BC=FB;④PF=PC.其中正确结论的个数为 (D)
A.1 B.2 C.3 D.4
12.如图, ABCD中,AB=2 cm,AD=4 cm,AC⊥BC,则△DBC比△ABC的周长长
4 cm.
13.如图, ABCD中,对角线AC,BD交于O,若∠BOC=120°,AD=7,BD=10,则S ABCD= 15 .
14.如图,已知:在 ABCD中,DH⊥AB,垂足为H,AD=HB,点E,F分别为HB,CB的中点,连接HF,EC相交于点G.
(1)求证:GE=GF;
(2)若DH=3,HE=2,求 ABCD的面积.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,∵AD=HB,∴BH=BC,
∵点E,F分别为HB,CB的中点,
∴HE=BE=BF=CF,
在△BFH和△BEC中,,
∴△BFH≌△BEC(SAS),
∴∠BHF=∠BCE,
在△HEG和△CFG中,,
∴△HEG≌△CFG(AAS),∴GE=GF;
(2)∵DH=3,HE=2,点E为HB的中点,
∴BH=2HE=4,∵AD=HB,∴AD=4,
∵DH⊥AB,∴AH===,∴AB=AH+HB=+4,
∴S ABCD=AB·DH=(+4)×3=3+12.
【C层 创新挑战】(选做)
15.在 ABCD中,BE平分∠ABC交AD于点E.
(1)如图1,若∠D=30°,AB=,求△ABE的面积;
(2)如图2,过点A作AF⊥DC,交DC的延长线于点F,分别交BE,BC于点G,H,且AB=AF.求证:ED-AG=FC.
【解析】略三十三 平行四边形的性质(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1平行四边形的性质——边
1.如图,在 ABCD中,AB=5,AD=7,则 ABCD的周长为 ( )
A.12 B.14 C.35 D.24
2.已知 ABCD的周长为36,两邻边的差为4,则平行四边形的较短边的长为 ( )
A.7 B.11 C.14 D.22
3.平行四边形两邻边分别是4和6,其中一边上的高是3,则平行四边形的面积
是 .
4.如图,BD为 ABCD的对角线,点E,F在BD上,AE∥CF,求证:BF=DE.
知识点2平行四边形的性质——角
5.(2023·重庆质检)在 ABCD中,∠A=160°,则∠D= ( )
A.20° B.40° C.140° D.160°
6.如图,已知 ABCD中,∠B=4∠A,则∠C= ( )
A.18° B.36° C.72° D.144°
7.若平行四边形中两个内角的度数比为2∶7,则其中较大内角的度数是 ( )
A.20° B.40° C.70° D.140°
8.如图,在 ABCD中,DB=DC,∠A=65°,CE⊥BD于E,则∠BCE= .
9.(2024·烟台中考)如图,在 ABCD中,DF平分∠ADC,交AB于点F,BE∥DF,交AD的延长线于点E.若∠A=40°,求∠ABE的度数.
【B层 能力进阶】
10.在 ABCD中,∠ADC的平分线与AB边所在直线交于点E.若AB=5,BE=1,则 ABCD的周长为 ( )
A.22 B.16
C.22或18 D.24或16
11.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列结论不一定正确的是 ( )
A.∠ABO=∠CDO B.∠BAD=∠BCD
C.AB=CD D.AC⊥BD
12.(2023·滁州质检)锐角为45°的两个平行四边形的位置如图所示,若∠1=α,
则∠2= ( )
A.α-45° B.90°-α
C.135°-α D.180°-2α
13.如图,在 ABCD中,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为点E,F.求证:AE=CF.
14.如图,将 ABCD的边BC延长到点E,使BE=CD,连接AE交CD于点F.
(1)求证:AE平分∠BAD;
(2)已知BC=CE=3,EF=4,FG⊥AB,求FG的长.
【C层 创新挑战】(选做)
15.如图,在 ABCD中,AB>AD.
(1)尺规作图(保留作图痕迹,不写作法):
①在AB上截取AE,使得AE=AD;
②作∠BCD的平分线交AB于点F.
(2)连接DE交CF于点P,猜想△CDP的形状,并证明你的结论.三十三 平行四边形的性质(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1平行四边形的性质——边
1.如图,在 ABCD中,AB=5,AD=7,则 ABCD的周长为 (D)
A.12 B.14 C.35 D.24
2.已知 ABCD的周长为36,两邻边的差为4,则平行四边形的较短边的长为 (A)
A.7 B.11 C.14 D.22
3.平行四边形两邻边分别是4和6,其中一边上的高是3,则平行四边形的面积
是 12或18 .
4.如图,BD为 ABCD的对角线,点E,F在BD上,AE∥CF,求证:BF=DE.
【证明】略
知识点2平行四边形的性质——角
5.(2023·重庆质检)在 ABCD中,∠A=160°,则∠D= (A)
A.20° B.40° C.140° D.160°
6.如图,已知 ABCD中,∠B=4∠A,则∠C= (B)
A.18° B.36° C.72° D.144°
7.若平行四边形中两个内角的度数比为2∶7,则其中较大内角的度数是 (D)
A.20° B.40° C.70° D.140°
8.如图,在 ABCD中,DB=DC,∠A=65°,CE⊥BD于E,则∠BCE= 25° .
9.(2024·烟台中考)如图,在 ABCD中,DF平分∠ADC,交AB于点F,BE∥DF,交AD的延长线于点E.若∠A=40°,求∠ABE的度数.
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,∴∠A+∠ADC=180°,
∵∠A=40°,∴∠ADC=140°,
∵DF平分∠ADC,
∴∠CDF=∠ADC=70°,
∴∠AFD=∠CDF=70°,
∵DF∥BE,
∴∠ABE=∠AFD=70°.
【B层 能力进阶】
10.在 ABCD中,∠ADC的平分线与AB边所在直线交于点E.若AB=5,BE=1,则 ABCD的周长为 (C)
A.22 B.16
C.22或18 D.24或16
11.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列结论不一定正确的是 (D)
A.∠ABO=∠CDO B.∠BAD=∠BCD
C.AB=CD D.AC⊥BD
12.(2023·滁州质检)锐角为45°的两个平行四边形的位置如图所示,若∠1=α,
则∠2= (A)
A.α-45° B.90°-α
C.135°-α D.180°-2α
13.如图,在 ABCD中,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为点E,F.求证:AE=CF.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,∴∠DAE=∠BCF,
∵DE⊥AC,BF⊥AC,
∴∠DEA=∠BFC=90°,
在△DEA与△BFC中,,
∴△DEA≌△BFC(AAS),∴AE=CF.
14.如图,将 ABCD的边BC延长到点E,使BE=CD,连接AE交CD于点F.
(1)求证:AE平分∠BAD;
(2)已知BC=CE=3,EF=4,FG⊥AB,求FG的长.
【解析】(1)∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB=CD,AD∥BE,∴∠DAE=∠E,
∵BE=CD,∴AB=BE,
∴∠BAE=∠E,∴∠BAE=∠DAE,
∴AE平分∠BAD;
(2)∵BE=CD,AB=CD,
∴AB=BE,
∴△ABE为等腰三角形,
∵BC=CE=3,
∴AB=BE=6,
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BE,
∴∠D=∠DCE,∠DAF=∠CEF,
∵BC=CE,∴AD=EC,
∴△ADF≌△ECF(ASA),
∴AF=EF=4,∴BF⊥AE,
∵AB=BE=6,
∴BF==2,
∵S△ABF=AB·FG=AF·BF,
∴FG==.
【C层 创新挑战】(选做)
15.如图,在 ABCD中,AB>AD.
(1)尺规作图(保留作图痕迹,不写作法):
①在AB上截取AE,使得AE=AD;
②作∠BCD的平分线交AB于点F.
(2)连接DE交CF于点P,猜想△CDP的形状,并证明你的结论.
【解析】(1)如图,线段AE,射线CF即为所求;
(2)结论:△CDP是直角三角形.
理由:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,∴∠CDE=∠AED,
∵AE=AD,∴∠ADE=∠AED,
∴∠ADE=∠CDE,
∵CF平分∠BCD,
∴∠DCP=∠BCP,
∵AD∥CB,
∴∠ADC+∠BCD=180°,
∴2∠CDP+2∠DCP=180°,
∴∠CDP+∠DCP=90°,
∴∠CPD=90°,
∴△CDP是直角三角形.三十四 平行四边形的性质(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1平行四边形的性质——对角线
1.如图, ABCD的对角线AC,BD交于点O,已知AD=8,BD=12,AC=6,则△OBC的周长为( )
A.13 B.17 C.20 D.26
2.如图,在 ABCD中,BD=6,AC=10,BD⊥AB,则AD的长为 ( )
A.8 B. C.2 D.2
3.(2023·西安质检)如图,在 ABCD中,AD=5,对角线AC与BD相交于点O,AC+BD=12,则△BOC的周长为 ( )
A.10 B.11 C.12 D.14
4.(2023·汕头期中)如图,在 ABCD中,AC,BD相交于点O,若△BOC的面积为3,则 ABCD的面积为 .
5.已知:在 ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,且AE=CF,对角线AC,BD交于点O.求证: BE∥DF.
知识点2平行四边形性质的综合应用
6.(2023·临汾质检)如图,在 ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E.若BC=4,∠C=105°,∠BDC=45°,则AE的长为 ( )
A. B.1+
C.2+ D.2+2
7.如图,平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于O,过点O作OE⊥AC交AD于点E,若AE=4,DE=3,AB=5,则AC的长为 ( )
A.4 B.6 C.8 D.5
8. (2023·南充中考)如图,在 ABCD中,点E,F在对角线AC上,∠CBE=∠ADF.
求证:(1)AE=CF;
(2)BE∥DF.
【B层 能力进阶】
9.有下列说法:
①平行四边形具有四边形的所有性质;
②平行四边形是中心对称图形;
③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形;
④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形.
其中正确说法的序号是 ( )
A.①②④ B.①③④
C.①②③ D.①②③④
10.(2023·忻州期末)如图,在 ABCD中,AB=10,AD=7,四个角的平分线分别相交于点E,F,G,H,则四边形EFGH对角线EG的长为( )
A.3 B. C. D.
11.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E是边CD上一点,且BC=EC,CF⊥BE交AB于点F,P是EB延长线上一点,下列结论:①BE平分∠CBF;②CF平分∠DCB;③BC=FB;④PF=PC.其中正确结论的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
12.如图, ABCD中,AB=2 cm,AD=4 cm,AC⊥BC,则△DBC比△ABC的周长长
cm.
13.如图, ABCD中,对角线AC,BD交于O,若∠BOC=120°,AD=7,BD=10,则S ABCD= .
14.如图,已知:在 ABCD中,DH⊥AB,垂足为H,AD=HB,点E,F分别为HB,CB的中点,连接HF,EC相交于点G.
(1)求证:GE=GF;
(2)若DH=3,HE=2,求 ABCD的面积.
【C层 创新挑战】(选做)
15.在 ABCD中,BE平分∠ABC交AD于点E.
(1)如图1,若∠D=30°,AB=,求△ABE的面积;
(2)如图2,过点A作AF⊥DC,交DC的延长线于点F,分别交BE,BC于点G,H,且AB=AF.求证:ED-AG=FC.
