第21-23章 旋转 复习卷 （含详解） 2024-2025学年人教版数学九年级上册

第21-23章复习卷-2024-2025学年数学九年级上册人教版
一．选择题（共9小题）
1．（2024秋 临潼区期中）下列字母既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024秋 崂山区期中）若一元二次方程3x2＝5x+2的二次项系数是3，则它的常数项是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．5
3．（2024秋 新会区校级月考）方程（x+1）（x﹣1）＝0的根是（　　）
A．x1＝x2＝1 B．x1＝1，x2＝﹣1
C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝0
4．（2024秋 青山区期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有81个人患了流感，设平均每轮每人传染x个人，则下列等式成立的是（　　）
A．1+x+x2＝81 B．1+x+x（x+1）＝81
C．1+x+（1+x）2＝81 D．1+（1+x）2＝81
5．（2024秋 大兴区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C逆时针方向旋转58°得到△A1B1C．若点A1恰好落在AB边上，则∠B1度数为（　　）
A．29° B．32° C．58° D．61°
6．（2024秋 铁西区校级月考）如图，直线a∥b，△AOB的边OB在直线b上，∠AOB＝55°，将△AOB绕点O顺时针旋转75°至△A1OB1，边A1O交直线a于点C，则∠1为（　　）
A．50° B．55° C．60° D．75°
7．（2024秋 信阳期中）关于x的二次函数y＝（a+1）x2+ax+2a2﹣2的图象过原点，则a的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．±1 D．0
8．（2024秋 开鲁县校级期中）关于二次函数的图象与性质，下列结论错误的是（　　）
A．图象开口向下
B．当x＝3时，y有最大值﹣2
C．当x＞3时，y随x的增大而减小
D．图象的顶点坐标为（﹣3，﹣2）
9．（2024秋 南开区期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向下，与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线，有下列结论：①abc＞0；
②3a+c＞0；
③当x＜0时，y随x的增大而增大；
④对于任意非零实数m，若x1，x2（x1＜x2）为方程a（x+3）（x﹣2）+m2＝0的两个根，则x1＜﹣3且x2＞2．
其中，正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共9小题）
10．（2024秋 朝阳区校级期中）若m、n是一元二次方程3x2﹣kx+2＝0的两个根，则mn＝ 　 　．
11．（2024秋 大兴区期中）在平面直角坐标系xOy中，点（﹣2，3）关于原点的对称点坐标为 　 　．
12．（2024秋 蓬江区校级期中）将含有30°角的直角三角板OAB如图放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若AB＝2，将三角板绕原点O逆时针旋转60°，则点A的对应点A′的坐标为 　 　．
13．（2024秋 南开区期中）如图，Rt△ABC中，AB＝8，BC＝2，∠BCA＝90°，将Rt△ABC绕着点A顺时针旋转，得到Rt△AB′C′，点B，C的对应点分别为B′，C′，连接CC′，交AB于点M，点M恰为AB边中点．
（Ⅰ）△AMC的面积为 　 　；
（Ⅱ）线段C′M的长为 　 　．
14．（2024秋 建邺区期中）若关于x的方程x2﹣6x+m+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 　 　．
15．（2024秋 大兴区期中）某校生物学科老师在组织学生进行野外实践活动时，学生发现自然界的植物生长具有神奇的规律．比如某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，设这种植物每个支干长出的小分支个数为x，则可列方程为 　 　．
16．（2024秋 大兴区期中）已知抛物线y＝x2﹣4x+c与x轴没有交点，则实数c的取值范围是 　 　．
17．（2024秋 崂山区期中）在正常情况下，10米跳台跳水运动员必须在距水面不小于5m时完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误．假设运动员距离水面的高度h（m）和运动员起跳后的运动时间t（s）之间满足关系：h＝10+2.5t﹣5t2，则当h＝5时，10+2.5t﹣5t2＝5即2t2﹣t﹣2＝0．
t 1.1 1.2 1.3 1.4
2t2﹣t﹣2 ﹣0.68 ﹣0.32 0.08 0.52
根据表格中的对应值，可判断运动员完成动作的时间最多不超过 　 　s．（精确到0.1）
18．（2024秋 信阳期中）定义：由a，b构造的二次函数y＝ax2+（a﹣b）x﹣b叫作一次函数y＝ax﹣b的“滋生函数”，一次函数y＝ax﹣b叫作二次函数y＝ax2+（a﹣b）x﹣b的“本源函数”（a，b为常数，且a≠0）．若一次函数y＝ax﹣b的“滋生函数”是y＝ax2﹣4x+a+2，则二次函数y＝ax2﹣4x+a+2的“本源函数”是 　 　．
三．解答题（共8小题）
19．（2024秋 昂仁县期中）解方程：
（1）x2﹣4x+3＝0；
（2）1﹣8x+16x2＝2﹣8x；
（3）（x﹣2）2+x（x﹣2）＝0．
20．（2024秋 建邺区期中）关于x的一元二次方程mx2+nx+2＝0．
（1）求证：当n＝m+2时，此方程必有实数根；
（2）若方程有两个相等的整数根，写出满足条件的一组m，n的值，并求此时方程的根．
21．（2024秋 浦北县期中）如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）将△ABC向x轴正方向平移5个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）在（1）的条件下，以点O为中心，将△A1B1C1旋转180°得△A2B2C2，画出△A2B2C2．
22．（2024秋 崂山区期中）面向日益严峻的气候变化形势，以发展新能源汽车推动道路交通领域零碳转型已成为全球共识．我国政府不断加大对新能源汽车的支持和推动，新能源汽车的市场需求正在不断增加．如表是一款某品牌新能源热门车型7月份和9月份的全国销量情况：
月份 7月 9月
销量/万辆 2.5 3.6
（1）求该款车销量的月平均增长率．
（2）青岛一个该品牌4S店购进一批该款车型进行销售，已知进价为每辆6万元．经试销发现：当该款汽车售价为7.5万元时，平均每月销量为150辆；而当售价每降低0.1万元时，平均每月就能多售出15辆．为了扩大销量，该4S店决定降价促销，若该4S店想要维持利润不变，该款车的售价应为每辆多少万元？
23．（2024秋 安定区期中）已知抛物线y＝x2+bx+c过（0，8），（6，8）两点．
（1）求出该抛物线的解析式；
（2）求出抛物线与x轴的交点坐标；
（3）当y＜0时，写出x的取值范围．
24．（2024秋 大兴区期中）已知，△ABC是等腰三角形，∠BAC＝60°，O是△ABC内的任意一点，连接OA，OB，OC．
（1）如图1，∠AOC＝90°，∠BOC＝120°，将△BOC绕点C顺时针旋转60°得到△ADC．点D恰好落在BO所在的直线上，用等式表示线段OA，OB，OC之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，设∠AOC＝α，∠BOC＝β．当α＝ 　 　°，β＝ 　 　°时，OA+OB+OC有最小值．
25．（2024秋 宝山区校级期中）如图，抛物线y＝﹣x2+mx+3（m＞0）与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C．联结CB交对称轴于点E，点D为抛物线的顶点．
（1）联结AC、CD，若∠CED＝45°
①求抛物线解析式；
②线段BC上一点F，∠ACB＝∠FAB，联结FD，求tan∠FDE．
（2）平移抛物线，使新抛物线顶点D′在射线CD上，新抛物线与y轴交于点C′．若C′D平分∠CDE，且CD′＝2CC′，求新抛物线的解析式．
26．（2024秋 琼山区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和C（3，0），与y轴交于点B（0，3），P是抛物线上的一动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点D（2，3）向下平移8个单位长度，向右平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝﹣x2+bx+c的图象上，求m的值；
（3）连接BC，当∠CAP＝∠ACB时，求点P的坐标．
第21-23章复习卷-2024-2025学年数学九年级上册人教版
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．（2024秋 临潼区期中）下列字母既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A．“H”既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．“S”不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．“A”是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．“Q”既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
2．（2024秋 崂山区期中）若一元二次方程3x2＝5x+2的二次项系数是3，则它的常数项是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．5
【解答】解：方程3x2＝5x+2，
整理得：3x2﹣5x﹣2＝0，
则常数项是﹣2．
故选：A．
3．（2024秋 新会区校级月考）方程（x+1）（x﹣1）＝0的根是（　　）
A．x1＝x2＝1 B．x1＝1，x2＝﹣1
C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝0
【解答】解：∵（x+1）（x﹣1）＝0，
∴x﹣1＝0或x+1＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣1，
故选：B．
4．（2024秋 青山区期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有81个人患了流感，设平均每轮每人传染x个人，则下列等式成立的是（　　）
A．1+x+x2＝81 B．1+x+x（x+1）＝81
C．1+x+（1+x）2＝81 D．1+（1+x）2＝81
【解答】解：依题意得1+x+x（x+1）＝81．
故选：B．
5．（2024秋 大兴区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C逆时针方向旋转58°得到△A1B1C．若点A1恰好落在AB边上，则∠B1度数为（　　）
A．29° B．32° C．58° D．61°
【解答】解：∵将△ABC绕点C逆时针方向旋转58°得到△A1B1C．若点A1恰好落在AB边上，
∴AC＝A1C，∠ACA1＝58°，∠B＝∠B1，
∴∠A＝∠AA1C＝（180°﹣58°）＝61°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣61°＝29°，
∴∠B1＝∠B＝29°，
故选：A．
6．（2024秋 铁西区校级月考）如图，直线a∥b，△AOB的边OB在直线b上，∠AOB＝55°，将△AOB绕点O顺时针旋转75°至△A1OB1，边A1O交直线a于点C，则∠1为（　　）
A．50° B．55° C．60° D．75°
【解答】解：如图：
由题意可得：∠A1OB1＝∠AOB＝55°，∠AOA1＝75°，
∴∠A1OD＝180°﹣55°﹣75°＝50°，
∵直线a∥b，
∴∠1＝∠A1OD＝50°，
故选：A．
7．（2024秋 信阳期中）关于x的二次函数y＝（a+1）x2+ax+2a2﹣2的图象过原点，则a的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．±1 D．0
【解答】解：把（0，0）代入y＝（a+1）x2+3x+a2﹣1得a2﹣1＝0，
解得a＝1或a＝﹣1，
而a+1≠0，
所以a的值为1．
故选：B．
8．（2024秋 开鲁县校级期中）关于二次函数的图象与性质，下列结论错误的是（　　）
A．图象开口向下
B．当x＝3时，y有最大值﹣2
C．当x＞3时，y随x的增大而减小
D．图象的顶点坐标为（﹣3，﹣2）
【解答】解：∵二次函数，a＝＜0，
∴开口向下，顶点坐标为（3，﹣2）；当x＝3时，y有最大值﹣2；当x＞3时，y随x的增大而减小；图象的顶点坐标为（3，﹣2）；
∴D选项错误，符合题意，
故选：D．
9．（2024秋 南开区期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向下，与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线，有下列结论：①abc＞0；
②3a+c＞0；
③当x＜0时，y随x的增大而增大；
④对于任意非零实数m，若x1，x2（x1＜x2）为方程a（x+3）（x﹣2）+m2＝0的两个根，则x1＜﹣3且x2＞2．
其中，正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与x轴交于点（﹣3，0），对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），
∴抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∵﹣＝﹣，
∴a＝b，
∴abc＞0，故①正确；
∵抛物线解析式为y＝ax2+ax+c经过（﹣3，0），
∴9a﹣3a+c＝0，
∴6a+c＝0，
∴3a+3a+c＝0，
∵3a＜0，
∴3a+c＞0，故②正确；
∵当x＞﹣时，y随x的增大而减小，故③错误；
由题意x1，x2（x1＜x2）是抛物线y＝a（x+3）（x﹣2）与直线y＝﹣m2交点的横坐标，
∴x1＜﹣3，x2＞2，故④正确．
故选：C．
二．填空题（共9小题）
10．（2024秋 朝阳区校级期中）若m、n是一元二次方程3x2﹣kx+2＝0的两个根，则mn＝ 　　．
【解答】解：∵m、n是一元二次方程3x2﹣kx+2＝0的根，
∴mn＝．
故答案为：．
11．（2024秋 大兴区期中）在平面直角坐标系xOy中，点（﹣2，3）关于原点的对称点坐标为 　（2，﹣3）　．
【解答】解：点（﹣2，3）关于原点O对称的点的坐标是：（2，﹣3）．
故答案为：（2，﹣3）．
12．（2024秋 蓬江区校级期中）将含有30°角的直角三角板OAB如图放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若AB＝2，将三角板绕原点O逆时针旋转60°，则点A的对应点A′的坐标为 　（0）　．
【解答】解：由题意得，将三角板绕原点O逆时针旋转60°，点A的对应点A′落在y轴的正半轴上．
在Rt△AOB中，∠AOB＝30°，AB＝2，
∴OA＝＝＝，
∴OA'＝OA＝，
∴点A′的坐标为（0）．
故答案为：（0）．
13．（2024秋 南开区期中）如图，Rt△ABC中，AB＝8，BC＝2，∠BCA＝90°，将Rt△ABC绕着点A顺时针旋转，得到Rt△AB′C′，点B，C的对应点分别为B′，C′，连接CC′，交AB于点M，点M恰为AB边中点．
（Ⅰ）△AMC的面积为 　　；
（Ⅱ）线段C′M的长为 　11　．
【解答】解：（1）∵AB＝8，BC＝2，∠BCA＝90°，
∴AC＝＝＝，
∴S△ABC＝＝＝．
∵点M为AB边中点，
∴＝．
故答案为：．
（2）过点A作AD⊥CC'于点D，
由旋转得，AC＝AC'，
∴△ACC'为等腰三角形，
∴CD＝C'D．
∵点M为AB边中点，∠BCA＝90°，
∴CM＝＝AM＝4，
∴∠ACM＝∠CAM．
∵cos∠CAB＝＝，
∴cos∠ACM＝＝，
∴CD＝，
∴CC'＝2CD＝15，
∴C'M＝CC'﹣CM＝15﹣4＝11．
故答案为：11．
14．（2024秋 建邺区期中）若关于x的方程x2﹣6x+m+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 　m＜8　．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣6）2﹣4×1×（m+1）＞0，
解得m＜8．
故答案为：m＜8．
15．（2024秋 大兴区期中）某校生物学科老师在组织学生进行野外实践活动时，学生发现自然界的植物生长具有神奇的规律．比如某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，设这种植物每个支干长出的小分支个数为x，则可列方程为 　x2+x+1＝43　．
【解答】解：根据题意列方程得：x2+x+1＝43．
故答案为：x2+x+1＝43．
16．（2024秋 大兴区期中）已知抛物线y＝x2﹣4x+c与x轴没有交点，则实数c的取值范围是 　c＞4　．
【解答】解：若抛物线y＝x2﹣4x+c与x轴没有交点，则Δ＝（﹣4）2﹣4c＜0，
解得c＞4．
故答案为：c＞4．
17．（2024秋 崂山区期中）在正常情况下，10米跳台跳水运动员必须在距水面不小于5m时完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误．假设运动员距离水面的高度h（m）和运动员起跳后的运动时间t（s）之间满足关系：h＝10+2.5t﹣5t2，则当h＝5时，10+2.5t﹣5t2＝5即2t2﹣t﹣2＝0．
t 1.1 1.2 1.3 1.4
2t2﹣t﹣2 ﹣0.68 ﹣0.32 0.08 0.52
根据表格中的对应值，可判断运动员完成动作的时间最多不超过 　1.3　s．（精确到0.1）
【解答】解：根据表格中的对应值，可判断运动员完成动作的时间最多不超过1.3s，
故答案为：1.3．
18．（2024秋 信阳期中）定义：由a，b构造的二次函数y＝ax2+（a﹣b）x﹣b叫作一次函数y＝ax﹣b的“滋生函数”，一次函数y＝ax﹣b叫作二次函数y＝ax2+（a﹣b）x﹣b的“本源函数”（a，b为常数，且a≠0）．若一次函数y＝ax﹣b的“滋生函数”是y＝ax2﹣4x+a+2，则二次函数y＝ax2﹣4x+a+2的“本源函数”是 　y＝﹣3x﹣1　．
【解答】解：∵y＝ax﹣b的“滋生函数”是y＝ax2﹣4x+a+2，
∴y＝ax2﹣4x+a+2＝ax2+（a﹣b）x﹣b，即，
解得，
∴y＝ax2﹣4x+a+2的“本源函数”是y＝﹣3x﹣1，
故答案为：y＝﹣3x﹣1．
三．解答题（共8小题）
19．（2024秋 昂仁县期中）解方程：
（1）x2﹣4x+3＝0；
（2）1﹣8x+16x2＝2﹣8x；
（3）（x﹣2）2+x（x﹣2）＝0．
【解答】解：（1）∵x2﹣4x+3＝0，
∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝1，x2＝3；
（2）1﹣8x+16x2＝2﹣8x，
移项及合并同类项，得：16x2＝1，
系数化为1，得：，
∴；
（3）∵（x﹣2）2+x（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（x﹣2+x）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣2+x＝0，
解得x1＝2，x2＝1．
20．（2024秋 建邺区期中）关于x的一元二次方程mx2+nx+2＝0．
（1）求证：当n＝m+2时，此方程必有实数根；
（2）若方程有两个相等的整数根，写出满足条件的一组m，n的值，并求此时方程的根．
【解答】解：（1）∵Δ＝n2﹣8m，
当n＝m+2时，Δ＝（m+2）2﹣8m＝（m﹣2）2≥0，
∴方程必有实数根；
（2）∵方程有两个相等的整数根，
∴Δ＝n2﹣8m＝0，
若n＝4，m＝2，
则方程变形为2x2+4x+2＝0，
解得x1＝x2＝﹣1．
21．（2024秋 浦北县期中）如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）将△ABC向x轴正方向平移5个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）在（1）的条件下，以点O为中心，将△A1B1C1旋转180°得△A2B2C2，画出△A2B2C2．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
22．（2024秋 崂山区期中）面向日益严峻的气候变化形势，以发展新能源汽车推动道路交通领域零碳转型已成为全球共识．我国政府不断加大对新能源汽车的支持和推动，新能源汽车的市场需求正在不断增加．如表是一款某品牌新能源热门车型7月份和9月份的全国销量情况：
月份 7月 9月
销量/万辆 2.5 3.6
（1）求该款车销量的月平均增长率．
（2）青岛一个该品牌4S店购进一批该款车型进行销售，已知进价为每辆6万元．经试销发现：当该款汽车售价为7.5万元时，平均每月销量为150辆；而当售价每降低0.1万元时，平均每月就能多售出15辆．为了扩大销量，该4S店决定降价促销，若该4S店想要维持利润不变，该款车的售价应为每辆多少万元？
【解答】解：（1）设该款车销量的月平均增长率为x，
根据题意得：2.5（1+x）2＝3.6，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．
答：该款车销量的月平均增长率为20%；
（2）设该款车的售价为每辆y万元，则每辆的销售利润为（y﹣6）万元，平均每月可售出150+×15＝（1275﹣150y）辆，
根据题意得：（y﹣6）（1275﹣150y）＝（7.5﹣6）×150，
整理得：2y2﹣29y+105＝0，
解得：y1＝7，y2＝7.5（不符合题意，舍去）．
答：该款车的售价应为每辆7万元．
23．（2024秋 安定区期中）已知抛物线y＝x2+bx+c过（0，8），（6，8）两点．
（1）求出该抛物线的解析式；
（2）求出抛物线与x轴的交点坐标；
（3）当y＜0时，写出x的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c过（0，8），（6，8）两点，
∴
解得：
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+8；
（2）将y＝0代入y＝x2﹣6x+8，得x2﹣6x+8＝0
解得：x1＝2，x2＝4
∴抛物线与x轴的交点坐标为（2，0）和（4，0）；
（3）∵y＝x2+bx+c中，a＝1＞0，其图象大致如下
由图象可知：当y＜0时，2＜x＜4．
24．（2024秋 大兴区期中）已知，△ABC是等腰三角形，∠BAC＝60°，O是△ABC内的任意一点，连接OA，OB，OC．
（1）如图1，∠AOC＝90°，∠BOC＝120°，将△BOC绕点C顺时针旋转60°得到△ADC．点D恰好落在BO所在的直线上，用等式表示线段OA，OB，OC之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，设∠AOC＝α，∠BOC＝β．当α＝ 　120　°，β＝ 　120　°时，OA+OB+OC有最小值．
【解答】解：（1）∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴△ADC≌△BOC，∠OCD＝60°．
∴CD＝OC，∠ADC＝∠BOC＝120°，AD＝OB．
∴△OCD是等边三角形，
∴OC＝OD＝CD，∠COD＝∠CDO＝60°，
∵∠AOB＝150°，∠BOC＝120°，
∴∠AOC＝90°，
∴∠AOD＝30°，∠ADO＝60°．
∴∠DAO＝90°．
在Rt△ADO中，∠DAO＝90°，
∴OA2+AD2＝OD2．
∴OA2+OB2＝OC2．
（2）如图2，当α＝β＝120°时，OA+OB+OC有最小值．理由如下：
作图如图2，
将△AOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△A′O′C，连接OO′．
∴△A′O′C≌△AOC，∠OCO′＝∠ACA′＝60°．
∴O′C＝OC，O′A′＝OA，A′C＝BC，∠A′O′C＝∠AOC．
∴△OC O′是等边三角形．
∴OC＝O′C＝OO′，∠COO′＝∠CO′O＝60°．
∵∠AOB＝∠BOC＝120°，
∴∠AOC＝∠A′O′C＝∠BOC＝120°．
∴四点B，O，O′，A′共线．
∴OA+OB+OC＝O′A′+OB+OO′＝BA′时值最小．
∴当α＝β＝120°时，OA+OB+OC有最小值，
故答案为：120，120．
25．（2024秋 宝山区校级期中）如图，抛物线y＝﹣x2+mx+3（m＞0）与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C．联结CB交对称轴于点E，点D为抛物线的顶点．
（1）联结AC、CD，若∠CED＝45°
①求抛物线解析式；
②线段BC上一点F，∠ACB＝∠FAB，联结FD，求tan∠FDE．
（2）平移抛物线，使新抛物线顶点D′在射线CD上，新抛物线与y轴交于点C′．若C′D平分∠CDE，且CD′＝2CC′，求新抛物线的解析式．
【解答】解：（1）①令x＝0，则 y＝3，
∴C（0，3），
∴OC＝3．
∵DE∥y轴，
∴∠OCB＝∠CED＝45°，
又∵∠BOC＝90°，
∴OB＝OC＝3，
∴点B（3，0），
把点B（3，0）代入 y＝﹣x2+mx+3（m＞0）中，
得：﹣9+3m+3＝0，
∴m＝2，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3．
②令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∵点A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4．
如图1所示，
在 Rt△BOC 中，．
∵∠FAB＝∠ACB，∠ABF＝∠CBA，
∴△BAF∽△BCA，
∴，
则 ．
过点F作FN⊥AB于点N，则△FNB 为等腰直角三角形，
∴，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4），对称轴为直线 x＝1，
∴FM＝BN﹣2＝﹣2＝，
如图1，作FM垂直于直线 x＝1于点M，
∴，
∴．
（2）如图2所示，
∵C′D平分∠CDE，
∴∠CDC′＝∠C′DE，
∵DE∥y轴，
∴∠CC'D＝∠C'DE＝∠CDC'，
∴CC′＝CD，
又∵CD'＝2CC'＝2CD，
∴D为 CD'的中点，
对抛物线配方得：，
可得其顶点坐标为：，
设 D'（xD，yD'），因为C（0，3），由中点坐标公式得：
，，
故 ．
∴新抛物线解析式为：
，
令x＝0，则 ，则 ，
又CD＝CC'，根据两点间距离公式有：
CD2＝CC'2，
即 ＝，
∴，
∵m＞0，m2＞0，
∴4m2＝4+m2，解得：，
∴新抛物线解析式为：
．
26．（2024秋 琼山区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和C（3，0），与y轴交于点B（0，3），P是抛物线上的一动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点D（2，3）向下平移8个单位长度，向右平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝﹣x2+bx+c的图象上，求m的值；
（3）连接BC，当∠CAP＝∠ACB时，求点P的坐标．
【解答】解：（1）由题意得：
y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3；
（2）由题意得，点D（2，3）平移后点的横坐标为D′（2+m，3﹣8），
∵D′（2+m，3﹣8）恰好落在y＝﹣（x+1）（x﹣3）的图象上，
∴﹣（2+m+1）（2+m﹣3）＝﹣5，
整理得：m2+2m﹣8＝0，
解得：m＝2或m＝﹣4（舍去），
∴m的值为2；
（3）过点A作AD∥BC交y轴于点D，连接AD交抛物线于点P，如图1，则∠CAP＝∠ACB，
∵点A（﹣1，0），点B（0，3），
∴OC＝OB＝3，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∴∠OAD＝∠ODA＝45°，
∵点A（﹣1，0），
∴OA＝OD＝1，
∴点D（0，﹣1），
设直线AD的解析式为y＝kx﹣1，将点A，点D的坐标代入得：
0＝﹣k﹣1，
解得：k＝﹣1，
∴直线AD的解析式为y＝﹣x﹣1，
联立得，
解得：或（与点A重合，舍去），
∴点P的坐标为（4，﹣5）；
作点D关于原点的对称点D′，连接AD′交抛物线于点P，如图2，则∠CAD′＝∠ACB，
则D′（0，1），同理求得直线AD′的解析式为y＝x+1，
联立得，
解得：或（与点A重合，舍去），
∴点P的坐标为（2，3）；
综上，点P的坐标为（2，3）或（4，﹣5）．