三十八 三角形的中位线
【A层 基础夯实】
知识点1三角形中位线定理
1.(2023·随州质检)如图,D,E,F分别是△ABC三边的中点,若∠A=60°,∠B=45°,则∠EDF的度数为 (C)
A.45° B.60° C.75° D.80°
2.(2023·宿迁质检)如图,在△ABC中,点D,E分别为AB,AC的中点,若DE=2,则BC的长度为 (D)
A.1 B.2 C.3 D.4
3.如图,D,E分别为△ABC的边AB,AC的中点.连接DE,过点B作BF平分∠ABC,交DE于点F.若EF=4,AD=7,则BC的长为 (A)
A.22 B.20 C.18 D.16
4.如图,已知平行四边形对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是线段AO,BO的中点.若AC+BD=26,△OAB的周长是18,则EF= 2.5 .
知识点2中点多边形
5.如图,四边形ABCD中,E,F,G,H依次是各边中点,O是四边形内一点,若四边形AEOH、四边形BFOE、四边形CGOF的面积分别为5,6,7,则四边形DHOG的面积为 (B)
A.5 B.6 C.8 D.9
6.如图,D是△ABC内一点,BD⊥CD,AD=6,BD=8,CD=6,E,F,G,H分别是
AB,AC,CD,BD的中点,则四边形EFGH的周长是 16 .
7.如图,四边形ABCD中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,AD边的中点,试判断四边形EFGH的形状,并说明理由.
【解析】四边形EFGH是平行四边形,理由如下:
∵点E,F,G,H分别为四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,∴EF∥AC,EF=AC,GH∥AC,GH=AC,∴EF∥GH,EF=GH,
∴四边形EFGH为平行四边形.
【B层 能力进阶】
8.如图,四边形ABCD中,AD=BC,点P是对角线BD的中点,E,F分别是AB,CD的中点,若∠EPF=130°,则∠PEF的度数为 (A)
A.25° B.30° C.35° D.50°
9.如图,在△ABC中,CE是中线,CD是角平分线,AF⊥CD交CD的延长线于点F,AC=7,BC=4,则EF的长为 (A)
A.1.5 B.2 C.2.5 D.3
10.(2023·杭州质检)如图,已知四边形ABCD中,AC⊥BD,AC=6,BD=8,点E,F分别是边AD,BC的中点,连接EF,则EF的长是 5 .
11.如图,点A,B为定点,定直线l∥AB,P是直线l上一动点,点M,N分别为PA,PB的中点,对下列各值:
①线段MN的长;②△PAB的周长;
③∠APB的大小;④四边形ABNM的面积;
⑤直线MN,AB之间的距离,其中不会随点P的移动而变化的是 ①④⑤ (用序号填入).
12.(2023·汕尾质检)如图,四边形ABCD为平行四边形,E为AD上的一点,连接EB并延长,使BF=BE,连接EC并延长,使CG=CE,连接FG.H为FG的中点,连接DH.求证:四边形AFHD为平行四边形.
【证明】∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∵BF=BE,CG=CE,∴BC为△EFG的中位线,∴BC∥FG,BC=FG,
又∵H为FG的中点,∴FH=FG,∴FH∥AD,FH=AD,∴四边形AFHD为平行四边形.
13.如图,在△ABC中,AD是中线,AE是角平分线,点F在AE上,∠CFA=90°,试判断DF与AB的位置关系,并说明理由.
【解析】DF∥AB.理由如下:
如图,延长CF交AB于点G,
∵AE是角平分线,∴∠GAF=∠CAF,
在△AGF和△ACF中,,
∴△AGF≌△ACF(ASA),∴GF=CF,
即点F是GC的中点,∵AD是△ABC的中线,∴点D是BC的中点,
∴DF是△BCG的中位线,∴DF∥AB.
【C层 创新挑战】(选做)
14.在△ABC中,AE平分∠BAC,BE⊥AE于点E,点F是BC的中点.
(1)如图1,BE的延长线与AC边相交于点D,求证:EF=(AC-AB);
(2)如图2,△ABC中,AB=9,AC=5,求线段EF的长.
【解析】(1)在△AEB和△AED中,
,
∴△AEB≌△AED(ASA),
∴BE=ED,AD=AB,
∵BE=ED,BF=FC,
∴EF=CD=(AC-AD)=(AC-AB);
(2)略三十八 三角形的中位线
【A层 基础夯实】
知识点1三角形中位线定理
1.(2023·随州质检)如图,D,E,F分别是△ABC三边的中点,若∠A=60°,∠B=45°,则∠EDF的度数为 ( )
A.45° B.60° C.75° D.80°
2.(2023·宿迁质检)如图,在△ABC中,点D,E分别为AB,AC的中点,若DE=2,则BC的长度为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.如图,D,E分别为△ABC的边AB,AC的中点.连接DE,过点B作BF平分∠ABC,交DE于点F.若EF=4,AD=7,则BC的长为 ( )
A.22 B.20 C.18 D.16
4.如图,已知平行四边形对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是线段AO,BO的中点.若AC+BD=26,△OAB的周长是18,则EF= .
知识点2中点多边形
5.如图,四边形ABCD中,E,F,G,H依次是各边中点,O是四边形内一点,若四边形AEOH、四边形BFOE、四边形CGOF的面积分别为5,6,7,则四边形DHOG的面积为 ( )
A.5 B.6 C.8 D.9
6.如图,D是△ABC内一点,BD⊥CD,AD=6,BD=8,CD=6,E,F,G,H分别是
AB,AC,CD,BD的中点,则四边形EFGH的周长是 .
7.如图,四边形ABCD中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,AD边的中点,试判断四边形EFGH的形状,并说明理由.
【B层 能力进阶】
8.如图,四边形ABCD中,AD=BC,点P是对角线BD的中点,E,F分别是AB,CD的中点,若∠EPF=130°,则∠PEF的度数为 ( )
A.25° B.30° C.35° D.50°
9.如图,在△ABC中,CE是中线,CD是角平分线,AF⊥CD交CD的延长线于点F,AC=7,BC=4,则EF的长为 ( )
A.1.5 B.2 C.2.5 D.3
10.(2023·杭州质检)如图,已知四边形ABCD中,AC⊥BD,AC=6,BD=8,点E,F分别是边AD,BC的中点,连接EF,则EF的长是 .
11.如图,点A,B为定点,定直线l∥AB,P是直线l上一动点,点M,N分别为PA,PB的中点,对下列各值:
①线段MN的长;②△PAB的周长;
③∠APB的大小;④四边形ABNM的面积;
⑤直线MN,AB之间的距离,其中不会随点P的移动而变化的是 (用序号填入).
12.(2023·汕尾质检)如图,四边形ABCD为平行四边形,E为AD上的一点,连接EB并延长,使BF=BE,连接EC并延长,使CG=CE,连接FG.H为FG的中点,连接DH.求证:四边形AFHD为平行四边形.
13.如图,在△ABC中,AD是中线,AE是角平分线,点F在AE上,∠CFA=90°,试判断DF与AB的位置关系,并说明理由.
【C层 创新挑战】(选做)
14.在△ABC中,AE平分∠BAC,BE⊥AE于点E,点F是BC的中点.
(1)如图1,BE的延长线与AC边相交于点D,求证:EF=(AC-AB);
(2)如图2,△ABC中,AB=9,AC=5,求线段EF的长.
