三十九 多边形的内角和与外角和
【A层 基础夯实】
知识点1多边形的内角和定理
1.十二边形的内角和为 (C)
A.180° B.360° C.1 800° D.无法计算
2.下列度数不可能是一个多边形的内角和的是(B)
A.360° B.450° C.900° D.1 800°
3.如图,将一张四边形纸片沿直线剪开,如果剪开后的两个图形的内角和相等,下列四种剪法中,符合要求的是 (B)
A.①② B.①③ C.②④ D.③④
4.某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星(A,B,C,D,E是正五角星的五个顶点),则图中∠A的度数是 36° .
5.如图,在五边形ABCDE中,点M,N分别在AB,AE的边上,∠1+∠2=120°,
则∠B+∠C+∠D+∠E= 480° .
6.(2023·铜仁期中)小明求得一个多边形的内角和为1 280°,小强很快发现小明所得的度数有误,后来小明复查时发现他重复加了一个内角.求出这个多边形的边数以及小明重复加的那个角的度数.
【解析】设这个多边形的边数是m,
由题意得:(m-2)×180<1 280<(m-2)×180+180,解得8∵m为整数,∴m=9,
∴重复加的那个角的度数是:1 280°-(9-2)×180°=20°.
答:这个多边形的边数是9,重复加的那个角的度数是20°.
知识点2多边形的外角和定理
7.如图,四边形ABCD中,∠1,∠2,∠3分别为∠BAD,∠ABC,∠BCD的外角.下列大小关系正确的是 (A)
A.∠1+∠3=∠ABC+∠D
B.∠1+∠3<∠ABC+∠D
C.∠1+∠2+∠3=360°
D.∠1+∠2+∠3>360°
8.(2023·扬州中考)如果一个多边形每一个外角都是60°,那么这个多边形的边数为 6 .
9.一个多边形的外角和是它的内角和的,求这个多边形的边数和内角和.
【解析】设这个多边形是n边形,
由题意,得×180°(n-2)=360°,
解得n=11.
故这个多边形的内角和是(11-2)×180°=1 620°,
∴这个多边形是十一边形,其内角和为1 620°.
【B层 能力进阶】
10.多边形每一个内角都等于150°,则从该多边形一个顶点出发可引出对角线的条数是 (C)
A.7条 B.8条
C.9条 D.10条
11.正五边形GHCDL按如图所示的方式叠放在正六边形ABCDEF上,CD边互相重合,延长LG交AF于点P,则∠APG的度数为 (B)
A.141° B.144° C.147° D.150°
12.(2023·济南质检)如图,在平面内,将边长相等的正三角形、正四边形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起,则∠3+∠1-∠2= 24° .
13.(2023·汉中质检)如图,在正五边形ABCDE中,连接AC,BD交于点F,则∠AFB的度数为 72 °.
14.如图,在四边形ABCD中,∠A+∠B=210°,作∠ADC,∠BCD的平分线交于点O1,再作∠O1DC,∠O1CD的平分线交于点O2,求∠O2的度数.
【解析】∵四边形的内角和是360°,∠A+∠B=210°,∴∠ADC+∠BCD=150°,
∵∠ADC,∠BCD的平分线交于点O1,∠O1DC,∠O1CD的平分线交于点O2,
∴∠CDO2=∠CDO1=∠ADC,
∠DCO2=∠DCO1=∠BCD,
∴∠CDO2+∠DCO2=(∠ADC+∠BCD)=37.5°,
∴∠O2=180°-37.5°=142.5°.
【C层 创新挑战】(选做)
15.“转化”是数学中的一种重要思想,即把陌生的问题转化成熟悉的问题,把复杂的问题转化成简单的问题,把抽象的问题转化为具体的问题.
(1)请你根据已经学过的知识求出下面星形图(1)中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数;
(2)若对图(1)中星形截去一个角,如图(2),请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数;
(3)若再对图(2)中的角进一步截去,你能由题(2)中所得的方法或规律,猜想图(3)中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度数吗 (只要写出结论,不需要写出解题过程)
【解析】(1)如图(1),∵∠1=∠2+∠D=∠B+∠E+∠D,∠1+∠A+∠C=180°,
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°;
(2)如图(2),∵∠1=∠2+∠F=∠B+∠E+∠F,∠1+∠A+∠C+∠D=360°,
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°;
(3)根据图中可得出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°,每截去一个角则会增加180°,
∴当截去5个角时增加了180°×5,
则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N=180°×5+180°=1 080°.三十九 多边形的内角和与外角和
【A层 基础夯实】
知识点1多边形的内角和定理
1.十二边形的内角和为 ( )
A.180° B.360° C.1 800° D.无法计算
2.下列度数不可能是一个多边形的内角和的是( )
A.360° B.450° C.900° D.1 800°
3.如图,将一张四边形纸片沿直线剪开,如果剪开后的两个图形的内角和相等,下列四种剪法中,符合要求的是 ( )
A.①② B.①③ C.②④ D.③④
4.某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星(A,B,C,D,E是正五角星的五个顶点),则图中∠A的度数是 .
5.如图,在五边形ABCDE中,点M,N分别在AB,AE的边上,∠1+∠2=120°,
则∠B+∠C+∠D+∠E= .
6.(2023·铜仁期中)小明求得一个多边形的内角和为1 280°,小强很快发现小明所得的度数有误,后来小明复查时发现他重复加了一个内角.求出这个多边形的边数以及小明重复加的那个角的度数.
知识点2多边形的外角和定理
7.如图,四边形ABCD中,∠1,∠2,∠3分别为∠BAD,∠ABC,∠BCD的外角.下列大小关系正确的是 ( )
A.∠1+∠3=∠ABC+∠D
B.∠1+∠3<∠ABC+∠D
C.∠1+∠2+∠3=360°
D.∠1+∠2+∠3>360°
8.(2023·扬州中考)如果一个多边形每一个外角都是60°,那么这个多边形的边数为 .
9.一个多边形的外角和是它的内角和的,求这个多边形的边数和内角和.
【B层 能力进阶】
10.多边形每一个内角都等于150°,则从该多边形一个顶点出发可引出对角线的条数是 ( )
A.7条 B.8条
C.9条 D.10条
11.正五边形GHCDL按如图所示的方式叠放在正六边形ABCDEF上,CD边互相重合,延长LG交AF于点P,则∠APG的度数为 ( )
A.141° B.144° C.147° D.150°
12.(2023·济南质检)如图,在平面内,将边长相等的正三角形、正四边形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起,则∠3+∠1-∠2= .
13.(2023·汉中质检)如图,在正五边形ABCDE中,连接AC,BD交于点F,则∠AFB的度数为 °.
14.如图,在四边形ABCD中,∠A+∠B=210°,作∠ADC,∠BCD的平分线交于点O1,再作∠O1DC,∠O1CD的平分线交于点O2,求∠O2的度数.
【C层 创新挑战】(选做)
15.“转化”是数学中的一种重要思想,即把陌生的问题转化成熟悉的问题,把复杂的问题转化成简单的问题,把抽象的问题转化为具体的问题.
(1)请你根据已经学过的知识求出下面星形图(1)中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数;
(2)若对图(1)中星形截去一个角,如图(2),请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数;
(3)若再对图(2)中的角进一步截去,你能由题(2)中所得的方法或规律,猜想图(3)中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度数吗 (只要写出结论,不需要写出解题过程)
