第三章 图形的平移与旋转(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1. (2023·宜昌中考)我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响.下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中,中心对称图形是 (D)
2.将小鱼图案绕着头部某点顺时针旋转90°后可以得到的图案是(B)
3.如图,将△ABC沿BC方向平移1 cm得到对应的△A'B'C'.若B'C=2 cm,则BC'的长是 (C)
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm
4.如图,Rt△ABC向右翻滚,下列说法正确的有 (C)
(1)①→②是旋转; (2)①→③是平移;
(3)①→④是平移; (4)②→③是旋转.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.如图,将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB'C',点B'恰好落在CA的延长线上,∠B=30°,∠C=90°,则∠BAC'为 (B)
A.90° B.60° C.45° D.30°
6.(2024·青岛中考)如图,将△ABC先向右平移3个单位,再绕原点O旋转180°,得到△A'B'C',则点A的对应点A'的坐标是 (C)
A.(2,0) B.(-2,-3)
C.(-1,-3) D.(-3,-1)
7.规定:在平面内,将一个图形绕着某一点旋转一定的角度(小于周角)后能和自身重合,则称此图形为旋转对称图形.下列图形是旋转对称图形,且有一个旋转角为60°的是 (C)
A.正三角形 B.正方形
C.正六边形 D.正十边形
8.如图,在平面直角坐标系中,边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合,AB∥x轴,交y轴于点P.将△OAP绕点O顺时针旋转,每次旋转90°,则第2 022次旋转结束时,点A的坐标为 (B)
A.(,-1) B.(-1,-)
C.(-,-1) D.(1,)
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.(2023·张家界中考)如图,AO为∠BAC的平分线,且∠BAC=50°,将四边形ABOC绕点A逆时针方向旋转后,得到四边形AB'O'C',且∠OAC'=100°,则四边形ABOC旋转的角度是 75° .
10.(2023·北京东城区期中)如图,在宽为20 m,长为30 m的长方形花园中,要修建4条同样宽的长方形道路,余下部分进行绿化.根据图中数据,计算绿化部分的面积为 504 m2.
11.如图,直线a∥b,△AOB的边OB在直线b上,∠AOB=55°,将△AOB绕点O顺时针旋转75°至△A1OB1,边A1O交直线a于点C,则∠1= 50 °.
12.如图,在平面直角坐标系中,△OAB为等腰三角形,OA=AB=5,点B到x轴的距离为4,若将△OAB绕点O逆时针旋转90°,得到△OA'B',则点B'的坐标为 (-4,8) .
13. (2024·金华中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2 cm.把△ABC沿AB方向平移1 cm,得到△A'B'C',连接CC',则四边形AB'C'C的周长为
8+2 cm.
14.如图,点P是正三角形ABC内的一点,且PA=6,PB=8,PC=10.若将△PAC绕点A逆时针旋转后,得到△MAB,则点P与点M之间的距离为 6 ,∠APB= 150 °.
三、解答题(共52分)
15.(8分)(2023·宁波中考)在4×4的方格纸中,请按下列要求画出格点三角形(顶点均在格点上).
(1)在图1中先画出一个以格点P为顶点的等腰三角形PAB,再画出该三角形向右平移2个单位后的△P'A'B'.
(2)将图2中的格点△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°,画出经旋转后的△A'B'C.
【解析】(1)如图1,△PAB,△P'A'B'即为所求;(答案不唯一)
(2)如图2,△A'B'C即为所求.
16.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3 cm,AC=4 cm,将△ABC沿BC方向平移1 cm,得到△A'B'C'.求四边形ABC'A'的面积.
【解析】∵△ABC沿BC方向平移1 cm,得到△A'B'C',
∴AA'=CC'=1 cm,
∴BC'=BC+CC'=3+1=4(cm),
∵∠C'=90°,
∴四边形ABC'A'是梯形且A'C'是梯形的高,
∴四边形ABC'A'的面积=×(1+4)×4=10(cm2).
17.(8分)(2024·牡丹江中考)如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,△ABC与△DEF关于点O成中心对称,△ABC与△DEF的顶点均在格点上,请按要求完成下列各题.
(1)在图中画出点O的位置.
(2)将△ABC先向右平移4个单位长度,再向下平移2个单位长度,得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1.
(3)在网格中画出格点M,使A1M平分∠B1A1C1.
【解析】(1)如图所示,点O即为所求.
(2)如图所示,△A1B1C1即为所求.
(3)如图所示,点M即为所求.
18.(8分)如图,已知△ABC是等边三角形,在△ABC外有一点D,连接AD,BD,CD,将△ACD绕点A按顺时针方向旋转60°得到△ABE,AD与BE交于点F,∠BFD=97°.
(1)求∠ADC的大小;
(2)若∠BDC=7°,BD=2,BE=4,求AD的长.
【解析】(1)∵将△ACD绕点A按顺时针方向旋转60°得到△ABE,
∴AB=AC,∠ADC=∠E,∠CAB=∠DAE=60°,
∵∠BFD=97°=∠AFE,
∴∠E=180°-97°-60°=23°,
∴∠ADC=∠E=23°;
(2)如图,连接DE,
∵AD=AE,∠DAE=60°,
∴△AED是等边三角形,
∴∠ADE=60°,AD=DE,
∵将△ACD绕点A按顺时针方向旋转60°得到△ABE,
∴△ACD≌△ABE,∴CD=BE=4,
∵∠BDC=7°,∠ADC=23°,∠ADE=60°,
∴∠BDE=90°,
∴DE===2,
∴AD=DE=2.
19.(10分)如图,△ABC中,BC=4 cm,将△ABC以0.2 cm/s的速度沿BC所在直线向右平移,所得图形对应为△DEF,设运动时间为t秒.
(1)若∠ADE=60°,求∠B的度数;
(2)当t为何值时,EC=1 cm.
【解析】(1)∵△ABC沿BC所在直线向右平移,所得图形对应为△DEF,
∴∠B=∠DEF,AD∥BF,
∴∠DEF=∠ADE=60°,
∴∠B=60°.
(2)∵△ABC以0.2 cm/s的速度沿BC所在直线向右平移,所得图形对应为△DEF,
∴BE=0.2t cm,
当E点在线段BC上时,
∵BE+CE=BC,
∴0.2t+1=4,
解得t=15,
当E点在BC的延长线上时,
∵BE=BC+CE,
∴0.2t=4+1,
解得t=25,
综上所述,当t=15或25s时,EC=1 cm.
20.(10分)在△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一动点(不与B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转∠BAC的度数,得到线段AE,连接CE,设∠BAC=α,∠BCE=β.
(1)如图1,当点D在线段BC上时,用等式表示α与β之间的数量关系,并证明;
(2)如图2,当点D在线段CB的延长线上时,补全图形,用等式表示α与β之间的数量关系,并证明.
【解析】(1)α+β=180°.
∵∠BAC=∠DAE=α,
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE,
又AB=AC,AD=AE,∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠B=∠ACE,
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB,
∴∠B+∠ACB=β,
∵α+∠B+∠ACB=180°,∴α+β=180°;
(2)当点D在线段CB的延长线上时,α=β.
其理由如下:
类似(1)可证△DAB≌△EAC,
∴∠DBA=∠ECA,
又由三角形外角性质有∠DBA=α+∠DCA,而∠ACE=β+∠DCA,∴α=β.第三章 图形的平移与旋转(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1. (2023·宜昌中考)我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响.下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中,中心对称图形是 ( )
2.将小鱼图案绕着头部某点顺时针旋转90°后可以得到的图案是( )
3.如图,将△ABC沿BC方向平移1 cm得到对应的△A'B'C'.若B'C=2 cm,则BC'的长是 ( )
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm
4.如图,Rt△ABC向右翻滚,下列说法正确的有 ( )
(1)①→②是旋转; (2)①→③是平移;
(3)①→④是平移; (4)②→③是旋转.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.如图,将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB'C',点B'恰好落在CA的延长线上,∠B=30°,∠C=90°,则∠BAC'为 ( )
A.90° B.60° C.45° D.30°
6.(2024·青岛中考)如图,将△ABC先向右平移3个单位,再绕原点O旋转180°,得到△A'B'C',则点A的对应点A'的坐标是 ( )
A.(2,0) B.(-2,-3)
C.(-1,-3) D.(-3,-1)
7.规定:在平面内,将一个图形绕着某一点旋转一定的角度(小于周角)后能和自身重合,则称此图形为旋转对称图形.下列图形是旋转对称图形,且有一个旋转角为60°的是 ( )
A.正三角形 B.正方形
C.正六边形 D.正十边形
8.如图,在平面直角坐标系中,边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合,AB∥x轴,交y轴于点P.将△OAP绕点O顺时针旋转,每次旋转90°,则第2 022次旋转结束时,点A的坐标为 ( )
A.(,-1) B.(-1,-)
C.(-,-1) D.(1,)
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.(2023·张家界中考)如图,AO为∠BAC的平分线,且∠BAC=50°,将四边形ABOC绕点A逆时针方向旋转后,得到四边形AB'O'C',且∠OAC'=100°,则四边形ABOC旋转的角度是 .
10.(2023·北京东城区期中)如图,在宽为20 m,长为30 m的长方形花园中,要修建4条同样宽的长方形道路,余下部分进行绿化.根据图中数据,计算绿化部分的面积为 m2.
11.如图,直线a∥b,△AOB的边OB在直线b上,∠AOB=55°,将△AOB绕点O顺时针旋转75°至△A1OB1,边A1O交直线a于点C,则∠1= °.
12.如图,在平面直角坐标系中,△OAB为等腰三角形,OA=AB=5,点B到x轴的距离为4,若将△OAB绕点O逆时针旋转90°,得到△OA'B',则点B'的坐标为 .
13. (2024·金华中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2 cm.把△ABC沿AB方向平移1 cm,得到△A'B'C',连接CC',则四边形AB'C'C的周长为
cm.
14.如图,点P是正三角形ABC内的一点,且PA=6,PB=8,PC=10.若将△PAC绕点A逆时针旋转后,得到△MAB,则点P与点M之间的距离为 ,∠APB= °.
三、解答题(共52分)
15.(8分)(2023·宁波中考)在4×4的方格纸中,请按下列要求画出格点三角形(顶点均在格点上).
(1)在图1中先画出一个以格点P为顶点的等腰三角形PAB,再画出该三角形向右平移2个单位后的△P'A'B'.
(2)将图2中的格点△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°,画出经旋转后的△A'B'C.
16.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3 cm,AC=4 cm,将△ABC沿BC方向平移1 cm,得到△A'B'C'.求四边形ABC'A'的面积.
17.(8分)(2024·牡丹江中考)如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,△ABC与△DEF关于点O成中心对称,△ABC与△DEF的顶点均在格点上,请按要求完成下列各题.
(1)在图中画出点O的位置.
(2)将△ABC先向右平移4个单位长度,再向下平移2个单位长度,得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1.
(3)在网格中画出格点M,使A1M平分∠B1A1C1.
18.(8分)如图,已知△ABC是等边三角形,在△ABC外有一点D,连接AD,BD,CD,将△ACD绕点A按顺时针方向旋转60°得到△ABE,AD与BE交于点F,∠BFD=97°.
(1)求∠ADC的大小;
(2)若∠BDC=7°,BD=2,BE=4,求AD的长.
19.(10分)如图,△ABC中,BC=4 cm,将△ABC以0.2 cm/s的速度沿BC所在直线向右平移,所得图形对应为△DEF,设运动时间为t秒.
(1)若∠ADE=60°,求∠B的度数;
(2)当t为何值时,EC=1 cm.
20.(10分)在△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一动点(不与B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转∠BAC的度数,得到线段AE,连接CE,设∠BAC=α,∠BCE=β.
(1)如图1,当点D在线段BC上时,用等式表示α与β之间的数量关系,并证明;
(2)如图2,当点D在线段CB的延长线上时,补全图形,用等式表示α与β之间的数量关系,并证明.
