二十三 因式分解
【A层 基础夯实】
知识点1因式分解的概念
1.(2023·晋城期末)下列各式从左到右的变形中,属于因式分解的是 ( )
A.ax+bx+c=x(a+b)+c
B.2x(x-3y)=2x2-6xy
C.(x+2)2=x2+4x+4
D.x2-4y2=(x+2y)(x-2y)
2.下列变形:①x(x-2y)=x2-2xy,②x2+2xy+y2=x2+y(2x+y),③x2-9=(x+3)(x-3),
④x2y=x·x·y,其中是因式分解的有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
3.(2023·天津期末)下列等式从左到右的变形,是因式分解的是 ( )
A.a(x-y)=ax-ay
B.x2-2x-3=x(x-2)-3
C.x2-1=(x+1)(x-1)
D.x2+1=x(x+)
知识点2因式分解与整式乘法
4.因式分解的结果为5(x+2)(2-x)的整式是 ( )
A.5x2-10 B.20-5x2
C.5x2-20 D.5x2-15
5.-(3x-1)(x+2y)是下列哪个多项式的分解结果 ( )
A.3x2+6xy-x-2y
B.3x2-6xy+x-2y
C.x+2y+3x2+6xy
D.x+2y-3x2-6xy
6.(2023·嘉兴、舟山中考)一个多项式,把它因式分解后有一个因式为(x+1),请你写出一个符合条件的多项式: .
7.已知多项式x2+px+q可分解为(x+3)(x-2),则p= ,q= .
8.若(3x-1)是多项式6x2+mx-1的一个因式,则m= .
9.因式分解x2+ax+b时,甲看错了a的值,分解的结果是(x+6)(x-1),乙看错了b的值,分解的结果为(x-2)(x+1),求a,b的值.
【B层 能力进阶】
10.如图,在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a>b).把余下的部分剪拼成一个长方形,通过计算阴影部分的面积,验证了一个等式,则这个等式是( )
A.a2-2ab+b2=(a-b)2
B.a2-ab=a(a-b)
C.a2-b2=(a-b)2
D.a2-b2=(a+b)(a-b)
11.下列等式从左到右是因式分解的是 ( )
A.a2+8a+16=(a+4)2
B.(a+4)2=a2+8a+16
C.a2+8a+16=a(a+8)+16
D.a2+8(a+2)=a2+8a+16
12.如图,将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块,其中有2块是边长为a厘米的大正方形,2块是边长为b厘米的小正方形,5块是长为a厘米,宽为b厘米的相同的小长方形,且a>b.观察图形,可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以分解为
.
13.下列从左到右的变形中,哪些是因式分解 哪些不是
(1)24x2y=4x·6xy;
(2)(x+5)(x-5)=x2-25;
(3)x2+2x-3=(x+3)(x-1);
(4)9x2-6x+1=3x(3x-2)+1.
14.已知整式A=x(x+3)+5,整式B=ax-1.
(1)若A+B=(x-2)2,求a的值;
(2)若A-B可以分解为(x-2)(x-3),求a的值.
【C层 创新挑战】(选做)
15.【活动材料】若干个如图1所示的长方形和正方形硬纸片.
【活动要求】用若干个这样的长方形和正方形硬纸片拼成一个新的长方形,通过不同的方法计算面积,探求相应的等式.
例如,由图2,我们可以得到a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b),或(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2.
【问题解决】
(1)选取正方形、长方形硬纸片共8个,拼出如图3的长方形,直接写出相应的等式 ;
(2)尝试借助拼图的方法,把二次三项式2a2+3ab+b2因式分解,并把所拼的图形画在图4的虚线方框内.
(3)将2b2-3ab+a2因式分解: (直接写出结果,不需要画图). 二十三 因式分解
【A层 基础夯实】
知识点1因式分解的概念
1.(2023·晋城期末)下列各式从左到右的变形中,属于因式分解的是 (D)
A.ax+bx+c=x(a+b)+c
B.2x(x-3y)=2x2-6xy
C.(x+2)2=x2+4x+4
D.x2-4y2=(x+2y)(x-2y)
2.下列变形:①x(x-2y)=x2-2xy,②x2+2xy+y2=x2+y(2x+y),③x2-9=(x+3)(x-3),
④x2y=x·x·y,其中是因式分解的有 (A)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
3.(2023·天津期末)下列等式从左到右的变形,是因式分解的是 (C)
A.a(x-y)=ax-ay
B.x2-2x-3=x(x-2)-3
C.x2-1=(x+1)(x-1)
D.x2+1=x(x+)
知识点2因式分解与整式乘法
4.因式分解的结果为5(x+2)(2-x)的整式是 (B)
A.5x2-10 B.20-5x2
C.5x2-20 D.5x2-15
5.-(3x-1)(x+2y)是下列哪个多项式的分解结果 (D)
A.3x2+6xy-x-2y
B.3x2-6xy+x-2y
C.x+2y+3x2+6xy
D.x+2y-3x2-6xy
6.(2023·嘉兴、舟山中考)一个多项式,把它因式分解后有一个因式为(x+1),请你写出一个符合条件的多项式: x2-1(答案不唯一) .
7.已知多项式x2+px+q可分解为(x+3)(x-2),则p= 1 ,q= -6 .
8.若(3x-1)是多项式6x2+mx-1的一个因式,则m= 1 .
9.因式分解x2+ax+b时,甲看错了a的值,分解的结果是(x+6)(x-1),乙看错了b的值,分解的结果为(x-2)(x+1),求a,b的值.
【解析】由已知得,甲没有看错b的值,乙没有看错a的值.
∵(x+6)(x-1)=x2+5x-6=x2+ax+b,
∴b=-6.
∵(x-2)(x+1)=x2-x-2=x2+ax+b,
∴a=-1.
【B层 能力进阶】
10.如图,在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a>b).把余下的部分剪拼成一个长方形,通过计算阴影部分的面积,验证了一个等式,则这个等式是(D)
A.a2-2ab+b2=(a-b)2
B.a2-ab=a(a-b)
C.a2-b2=(a-b)2
D.a2-b2=(a+b)(a-b)
11.下列等式从左到右是因式分解的是 (A)
A.a2+8a+16=(a+4)2
B.(a+4)2=a2+8a+16
C.a2+8a+16=a(a+8)+16
D.a2+8(a+2)=a2+8a+16
12.如图,将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块,其中有2块是边长为a厘米的大正方形,2块是边长为b厘米的小正方形,5块是长为a厘米,宽为b厘米的相同的小长方形,且a>b.观察图形,可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以分解为
(2a+b)(a+2b) .
13.下列从左到右的变形中,哪些是因式分解 哪些不是
(1)24x2y=4x·6xy;
(2)(x+5)(x-5)=x2-25;
(3)x2+2x-3=(x+3)(x-1);
(4)9x2-6x+1=3x(3x-2)+1.
【解析】(1)因式分解是针对多项式来说的,24x2y不是多项式,不是因式分解;
(2)等号右边不是整式的积的形式,不是因式分解;
(3)是因式分解;
(4)等号右边不是整式的积的形式,不是因式分解.
14.已知整式A=x(x+3)+5,整式B=ax-1.
(1)若A+B=(x-2)2,求a的值;
(2)若A-B可以分解为(x-2)(x-3),求a的值.
【解析】(1)∵A=x(x+3)+5=x2+3x+5,B=ax-1,
∴A+B=x2+3x+5+ax-1=x2+(3+a)x+4,
∵A+B=(x-2)2,
∴x2-4x+4=x2+(3+a)x+4,
∴3+a=-4,
∴a=-7;
(2)∵A=x2+3x+5,B=ax-1,∴A-B=x2+3x+5-(ax-1)=x2+(3-a)x+6,
∵A-B可以分解为(x-2)(x-3),
∴x2+(3-a)x+6=(x-2)(x-3)=x2-5x+6,∴3-a=-5,
∴a=8.
【C层 创新挑战】(选做)
15.【活动材料】若干个如图1所示的长方形和正方形硬纸片.
【活动要求】用若干个这样的长方形和正方形硬纸片拼成一个新的长方形,通过不同的方法计算面积,探求相应的等式.
例如,由图2,我们可以得到a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b),或(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2.
【问题解决】
(1)选取正方形、长方形硬纸片共8个,拼出如图3的长方形,直接写出相应的等式 ;
(2)尝试借助拼图的方法,把二次三项式2a2+3ab+b2因式分解,并把所拼的图形画在图4的虚线方框内.
(3)将2b2-3ab+a2因式分解: (直接写出结果,不需要画图).
【解析】略
