二十四 提公因式法
【A层 基础夯实】
知识点1确定公因式
1.下列代数式中,没有公因式的是 ( )
A.ab与b B.x与6x2
C.a+b与a2-b2 D.a+b与a2+b2
2.(2023·永州中考)2a2与4ab的公因式为 .
知识点2提公因式法
3.把多项式a2-4a因式分解,结果正确的是 ( )
A.a(a-4) B.(a+2)(a-2)
C.a(a+2)(a-2) D.(a-2)2-4
4.因式分解:3x2yz+15xz2-9xy2z= .
5.因式分解:
(1)8abc-2bc2;
(2)2x(x+y)-6(x+y).
知识点3提公因式法的巧妙求值
6.已知a+b=3,ab=1,则多项式a2b+ab2的值为 ( )
A.1 B.3 C.4 D.6
7.下列关于2300+(-2)301的计算结果正确的是 ( )
A.2300+(-2)301=2300-2301=2300-2×2300=-2300
B.2300+(-2)301=2300-2301=2-1
C.2300+(-2)301=(-2)300+(-2)301=(-2)601
D.2300+(-2)301=2300+2301=2601
8.(2023·凉山州中考)已知x2-2x-1=0,则3x3-10x2+5x+2 027的值等于 .
9.先化简再求值:a(a-b)2-b(b-a)2,其中a=2,b=.
【B层 能力进阶】
10.(-8)2 024+(-8)2 023能被下列哪个数整除 ( )
A.3 B.5 C.7 D.9
11.把多项式(x-2)2-4x+8因式分解,哪一步开始出现了错误 ( )
解:原式=(x-2)2-(4x-8)…①
=(x-2)2-4(x-2)…②
=(x-2)(x-2+4)…③
=(x-2)(x+2)…④
A.① B.② C.③ D.④
12.(2023·绥化中考)因式分解:x2+xy-xz-yz= .
13.先因式分解,再求值:3(x-2)2(x-7)+11(2-x)·(7-x),其中x=1.
14.(易错警示题)如果x2+3x-3=0,求代数式x3+5x2+3x-10的值.
15.如图,用四块完全相同的小长方形拼成一个“回形”正方形.
(1)用不同代数式表示图中的阴影部分的面积,你能得到怎样的等式 试用乘法公式说明这个等式成立;
(2)利用(1)中的结论计算:已知a+b=2,ab=,求a2b-ab2的值.
【C层 创新挑战】(选做)
16.观察等式,回答问题:
1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]
=(1+x)2(1+x)
=(1+x)3
(1)上述因式分解的方法是 ,共应用了 次;
(2)若因式分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2 015,则需应用上述方法 次,结果是 ;
(3)因式分解:1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n.二十四 提公因式法
【A层 基础夯实】
知识点1确定公因式
1.下列代数式中,没有公因式的是 (D)
A.ab与b B.x与6x2
C.a+b与a2-b2 D.a+b与a2+b2
2.(2023·永州中考)2a2与4ab的公因式为 2a .
知识点2提公因式法
3.把多项式a2-4a因式分解,结果正确的是 (A)
A.a(a-4) B.(a+2)(a-2)
C.a(a+2)(a-2) D.(a-2)2-4
4.因式分解:3x2yz+15xz2-9xy2z= 3xz(xy+5z-3y2) .
5.因式分解:
(1)8abc-2bc2;
(2)2x(x+y)-6(x+y).
【解析】(1)原式=2bc(4a-c);
(2)原式=2(x+y)(x-3).
知识点3提公因式法的巧妙求值
6.已知a+b=3,ab=1,则多项式a2b+ab2的值为 (B)
A.1 B.3 C.4 D.6
7.下列关于2300+(-2)301的计算结果正确的是 (A)
A.2300+(-2)301=2300-2301=2300-2×2300=-2300
B.2300+(-2)301=2300-2301=2-1
C.2300+(-2)301=(-2)300+(-2)301=(-2)601
D.2300+(-2)301=2300+2301=2601
8.(2023·凉山州中考)已知x2-2x-1=0,则3x3-10x2+5x+2 027的值等于 2 023 .
9.先化简再求值:a(a-b)2-b(b-a)2,其中a=2,b=.
【解析】a(a-b)2-b(b-a)2
=a(a-b)2-b(a-b)2
=(a-b)2(a-b)
=(a-b)3,
将a=2,b=代入可得,原式=(2-)3=()3=.
【B层 能力进阶】
10.(-8)2 024+(-8)2 023能被下列哪个数整除 (C)
A.3 B.5 C.7 D.9
11.把多项式(x-2)2-4x+8因式分解,哪一步开始出现了错误 (C)
解:原式=(x-2)2-(4x-8)…①
=(x-2)2-4(x-2)…②
=(x-2)(x-2+4)…③
=(x-2)(x+2)…④
A.① B.② C.③ D.④
12.(2023·绥化中考)因式分解:x2+xy-xz-yz= (x+y)(x-z) .
13.先因式分解,再求值:3(x-2)2(x-7)+11(2-x)·(7-x),其中x=1.
【解析】3(x-2)2(x-7)+11(2-x)(7-x)
=3(x-2)2(x-7)+11(x-2)(x-7)
=(x-2)(x-7)[3(x-2)+11]
=(x-2)(x-7)(3x+5),
当x=1时,原式=(1-2)×(1-7)×(3+5)=(-1)×(-6)×8=48.
14.(易错警示题)如果x2+3x-3=0,求代数式x3+5x2+3x-10的值.
【解析】∵x2+3x-3=0,∴x2+3x=3,
∴x3+5x2+3x-10
=x3+3x2+2x2+3x-10
=x(x2+3x)+2x2+3x-10
=3x+2x2+3x-10
=2(x2+3x)-10
=2×3-10
=-4.
15.如图,用四块完全相同的小长方形拼成一个“回形”正方形.
(1)用不同代数式表示图中的阴影部分的面积,你能得到怎样的等式 试用乘法公式说明这个等式成立;
(2)利用(1)中的结论计算:已知a+b=2,ab=,求a2b-ab2的值.
【解析】(1)阴影部分的面积的两种计算方法:
①其等于四个长为a,宽为b的长方形面积之和,即为4ab,
②其等于大正方形(边长为a+b)的面积减去小正方形(边长为a-b)的面积,即(a+b)2-(a-b)2,所以得到的等式为(a+b)2-(a-b)2=4ab,
用乘法公式说明成立的过程如下:
(a+b)2-(a-b)2
=
=(a+b+a-b)(a+b-a+b)=2a·2b=4ab;
(2)∵a+b=2,ab=,(a+b)2-(a-b)2=4ab,
∴22-(a-b)2=4×,∴(a-b)2=1,
解得a-b=±1,
当a-b=1时,a2b-ab2=ab(a-b)=×1=;
当a-b=-1时,a2b-ab2=ab(a-b)=×(-1)=-;
综上,a2b-ab2的值为±.
【C层 创新挑战】(选做)
16.观察等式,回答问题:
1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]
=(1+x)2(1+x)
=(1+x)3
(1)上述因式分解的方法是 ,共应用了 次;
(2)若因式分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2 015,则需应用上述方法 次,结果是 ;
(3)因式分解:1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n.
【解析】(1)1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]=(1+x)2(1+x)=(1+x)3,
上述因式分解的方法是提取公因式法,共应用了2次;
答案:提取公因式法 2
(2)1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2015=(1+x)[1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2014]=(1+x)2[1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2 013]……=(1+x)2 016,
则需应用上述方法2 015次,结果是(1+x)2 016;
答案:2 015 (1+x)2 016
(3)略
