二十五 公式法
【A层 基础夯实】
知识点1运用平方差公式因式分解
1.下列因式分解正确的是 (C)
A.a2-b2=(a-b)2
B.x2+4y2=(x+2y)2
C.2-8a2=2(1+2a)(1-2a)
D.x2-4y2=(x+4y)(x-4y)
2.一次数学课上,老师出了下面一道因式分解的题目:x4-1,请问正确的结果为 (C)
A.(x2-1)(x2+1)
B.(x2+1)(x2-1)
C.(x+1)(x-1)(x2+1)
D.(x-1)(x+1)3
3.已知a=2 022,b=2 023,请计算代数式a2-b2的值为 (D)
A.2 022 B.2 023
C.-4 044 D.-4 045
4.若整式x2+my2(m为常数,且m≠0)能在有理数范围内因式分解,则m的值可以
是 -1(答案不唯一) .(写一个即可)
知识点2运用完全平方公式因式分解
5.下列各式中,是完全平方式的是 (A)
A.4x2-12xy+9y2 B.2x2+4x
C.2x2+4xy+y2 D.x2-y2+2xy
6.若x2+2(m-3)x+16是完全平方式,则m的值等于 (D)
A.3 B.-5
C.-7或1 D.7或-1
7.已知x2+y2-4x+6y+13=0,求x2-6xy+9y2的值.
【解析】∵x2+y2-4x+6y+13=(x-2)2+(y+3)2=0,∴x-2=0,y+3=0,即x=2,y=-3.
∴原式=(x-3y)2==121.
知识点3综合运用提公因式法和公式法因式分解
8.(2023·日照中考)分解因式:a3b-ab= ab(a+1)(a-1) .
9.因式分解:
(1)x3y-12x2y+36xy;
(2)3ax2+6ax+3a.
【解析】(1)原式=xy(x2-12x+36)=xy(x-6)2;
(2)原式=3a(x2+2x+1)=3a(x+1)2.
【B层 能力进阶】
10.若a+b=1,则a2-b2+2b的值为 (B)
A.0 B.1 C.3 D.4
11.已知x2+y2-2x-6y=-10,那么x2 023y2的值为 (B)
A. B.9 C.1 D.2
12.已知a=3-,b=2+.则代数式(a2-6a+9)(b2-4b+4)的值是 (A)
A.4 B.8 C.16 D.20
13.(2023·邢台期末)因式分解:
(1)2abc+4a2b= 2ab(c+2a) ;
(2)-a4+16= -(a2+4)(a+2)(a-2) .
14.(易错警示题)已知x-y=0.5,x+5y=3.5,则代数式x2+4xy+4y2的值为 4 .
15.我们可以用以下方法求代数式x2+6x+5的最小值.
x2+6x+5=x2+2·x·3+32-32+5=(x+3)2-4,
∵(x+3)2≥0
∴(x+3)2-4≥-4,∴当x=-3时,x2+6x+5有最小值,最小值为-4.
请根据上述方法,解答下列问题.
(1)求代数式x2-4x+1的最小值;
(2)求证:无论x,y取任何实数,代数式2x2+10y2-6xy-6x-2y+11的值都是正数.
【解析】(1)x2-4x+1
=(x2-4x+4)-3
=(x-2)2-3,
∵(x-2)2≥0,
∴(x-2)2-3≥-3,
∴当x=2时,x2-4x+1有最小值,最小值为-3.
(2)∵2x2+10y2-6xy-6x-2y+11
=y2-2y+1+x2-6x+9+x2-6xy+9y2+1=(y-1)2+(x-3)2+(x-3y)2+1,
∵(y-1)2≥0,(x-3)2≥0,(x-3y)2≥0,
∴(y-1)2+(x-3)2+(x-3y)2+1≥1,
∴2x2+10y2-6xy-6x-2y+11≥1,
∴无论x,y取任何实数,代数式2x2+10y2-6xy-6x-2y+11的值都是正数.
【C层 创新挑战】(选做)
16.如果a,b,c是△ABC的三边,并且满足等式a2+b2+c2=ab+bc+ca,试确定△ABC的形状.
【解析】∵a2+b2+c2=ab+bc+ca,
∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0,
∴(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(a2-2ac+c2)=0,∴(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,
∴,∴a=b=c,
∴△ABC是等边三角形.二十五 公式法
【A层 基础夯实】
知识点1运用平方差公式因式分解
1.下列因式分解正确的是 ( )
A.a2-b2=(a-b)2
B.x2+4y2=(x+2y)2
C.2-8a2=2(1+2a)(1-2a)
D.x2-4y2=(x+4y)(x-4y)
2.一次数学课上,老师出了下面一道因式分解的题目:x4-1,请问正确的结果为 ( )
A.(x2-1)(x2+1)
B.(x2+1)(x2-1)
C.(x+1)(x-1)(x2+1)
D.(x-1)(x+1)3
3.已知a=2 022,b=2 023,请计算代数式a2-b2的值为 ( )
A.2 022 B.2 023
C.-4 044 D.-4 045
4.若整式x2+my2(m为常数,且m≠0)能在有理数范围内因式分解,则m的值可以
是 .(写一个即可)
知识点2运用完全平方公式因式分解
5.下列各式中,是完全平方式的是 ( )
A.4x2-12xy+9y2 B.2x2+4x
C.2x2+4xy+y2 D.x2-y2+2xy
6.若x2+2(m-3)x+16是完全平方式,则m的值等于 ( )
A.3 B.-5
C.-7或1 D.7或-1
7.已知x2+y2-4x+6y+13=0,求x2-6xy+9y2的值.
知识点3综合运用提公因式法和公式法因式分解
8.(2023·日照中考)分解因式:a3b-ab= .
9.因式分解:
(1)x3y-12x2y+36xy;
(2)3ax2+6ax+3a.
【B层 能力进阶】
10.若a+b=1,则a2-b2+2b的值为 ( )
A.0 B.1 C.3 D.4
11.已知x2+y2-2x-6y=-10,那么x2 023y2的值为 ( )
A. B.9 C.1 D.2
12.已知a=3-,b=2+.则代数式(a2-6a+9)(b2-4b+4)的值是 ( )
A.4 B.8 C.16 D.20
13.(2023·邢台期末)因式分解:
(1)2abc+4a2b= ;
(2)-a4+16= .
14.(易错警示题)已知x-y=0.5,x+5y=3.5,则代数式x2+4xy+4y2的值为 .
15.我们可以用以下方法求代数式x2+6x+5的最小值.
x2+6x+5=x2+2·x·3+32-32+5=(x+3)2-4,
∵(x+3)2≥0
∴(x+3)2-4≥-4,∴当x=-3时,x2+6x+5有最小值,最小值为-4.
请根据上述方法,解答下列问题.
(1)求代数式x2-4x+1的最小值;
(2)求证:无论x,y取任何实数,代数式2x2+10y2-6xy-6x-2y+11的值都是正数.
【C层 创新挑战】(选做)
16.如果a,b,c是△ABC的三边,并且满足等式a2+b2+c2=ab+bc+ca,试确定△ABC的形状.
