第四章 因式分解(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.(2024·永州中考)下列因式分解正确的是 ( )
A.ax+ay=a(x+y)+1 B.3a+3b=3(a+b)
C.a2+4a+4=(a+4)2 D.a2+b=a(a+b)
2.下列各组代数式中,没有公因式的是 ( )
A.5m(a-b)和b-a B.(a+b)2和-a-b
C.2x+y和x+y D.-a2+ab和a2b-ab2
3.多项式2x3-4x2+2x因式分解为 ( )
A.2x(x-1)2 B.2x(x+1)2
C.x(2x-1)2 D.x(2x+1)2
4.因式分解(x-1)2-9的结果是 ( )
A.(x+8)(x+1) B.(x+2)(x-4)
C.(x-2)(x+4) D.(x-10)(x+8)
5.已知m2-3m的值为5,那么代数式2 030-2m2+6m的值是 ( )
A.2 030 B.2 020
C.2 010 D.2 000
6.多项式2an-1-4an+1的公因式是M,则M等于 ( )
A.2an-1 B.-2an
C.2an+1 D.-2an+1
7.如图,边长为a,b的长方形的周长为18,面积为12,则a3b+ab3的值为 ( )
A.216 B.108
C.140 D.684
8.三角形的三边a,b,c满足a2(b-c)+b2c-b3=0,则这个三角形的形状是 ( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.(2024·百色中考)因式分解:ax+ay= .
10.(2024·张家界中考)因式分解:a2-25= .
11.若a-b=2,则3a2+3b2-6ab的值为 .
12.已知(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)可分解因式为(3x+a)(x+b),其中a,b均为整数,则a+3b的值为 .
13.若4x2-(k-1)x+9能用完全平方公式因式分解,则k的值为 .
14.已知a=20x+21,b=20x+22,c=20x+23,则a2+b2+c2-ab-ac-bc= .
三、解答题(共52分)
15.(8分)因式分解:
(1)-2a3+12a2-18a;
(2)9a2(x-y)+4b2(y-x).
16.(8分)在学习对复杂多项式进行因式分解时,老师示范了如下例题:
例:因式分解:(x2+6x+5)(x2+6x-7)+36 解:设x2+6x=y 原式=(y+5)(y-7)+36第一步 =y2-2y+1第二步 =(y-1)2第三步 =(x2+6x-1)2第四步
完成下列任务:
(1)例题中第二步到第三步运用了因式分解的 ;(填序号)
①提取公因式;
②平方差公式;
③两数和的完全平方公式;
④两数差的完全平方公式.
(2)请你模仿以上例题因式分解:(a2-4a+2)(a2-4a+6)+4.
17.(8分)【发现】两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数,且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.
【验证】请你举例验证上述【发现】中的结论.
【探究】设【发现】中的两个已知正整数为m,n.
【解析】验证:取两个正整数为3,4,(3+4)2+(4-3)2=50,50是偶数,32+42=25=,满足条件.(不唯一),请论证【发现】中的结论正确.
18.(8分)【知识再现】在研究平方差公式时,我们在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形(如图1),把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形(如图2),根据图1、图2阴影部分的面积关系,可以得到一个关于a,b的等式① ;
【知识迁移】在棱长为a的正方体上挖去一个棱长为b的小正方体后,余下的部分(如图3)再切割拼成一个几何体(如图4),根据它们的体积关系得到关于a,b的等式为②a3-b3= ;(结果写成整式的积的形式)
【知识运用】已知a-b=4,ab=3,求a3-b3的值.
19.(10分)第一环节:自主阅读材料:
常用的因式分解方法有提公因式法、公式法等,但有的多项式只用上述方法无法分解,如x2-4y2+2x-4y,细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式,后两项可提取公因式,分解过程为:
x2-4y2+2x-4y
=(x2-4y2)+(2x-4y)…分组
=(x-2y)(x+2y)+2(x-2y)…组内分解因式
=(x-2y)(x+2y+2)…整体思想提公因式
这种因式分解的方法叫分组分解法.
第二环节:利用这种方法解决下列问题.
因式分解:x2y-4y-2x2+8.
第三环节:拓展运用.
已知a,b,c为△ABC的三边,且b2+2ab=c2+2ac,试判断△ABC的形状并说明理由.
20.(10分)阅读材料:若m2-2mn+2n2-8n+16=0,求m,n的值.
解:∵m2-2mn+2n2-8n+16=0,
∴(m2-2mn+n2)+(n2-8n+16)=0,
∴(m-n)2+(n-4)2=0,
∵(m-n)2≥0,(n-4)2≥0,
∴(m-n)2=0,(n-4)2=0,
∴n=4,m=4.
根据你的观察,探究下面的问题:
(1)a2+b2-4a+4=0,则a= ;b= .
(2)已知△ABC的三边a,b,c满足a2+2b2+c2-2ab-2bc=0,关于此三角形形状的以下命题:
①它是等边三角形;②它属于等腰三角形;③它属于锐角三角形;④它不是直角三角形.其中所有正确命题的序号为 .
(3)已知△ABC的三边长a,b,c都是正整数,且a2+b2-2a-6b+10=0,求△ABC的周长.第四章 因式分解(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.(2024·永州中考)下列因式分解正确的是 (B)
A.ax+ay=a(x+y)+1 B.3a+3b=3(a+b)
C.a2+4a+4=(a+4)2 D.a2+b=a(a+b)
2.下列各组代数式中,没有公因式的是 (C)
A.5m(a-b)和b-a B.(a+b)2和-a-b
C.2x+y和x+y D.-a2+ab和a2b-ab2
3.多项式2x3-4x2+2x因式分解为 (A)
A.2x(x-1)2 B.2x(x+1)2
C.x(2x-1)2 D.x(2x+1)2
4.因式分解(x-1)2-9的结果是 (B)
A.(x+8)(x+1) B.(x+2)(x-4)
C.(x-2)(x+4) D.(x-10)(x+8)
5.已知m2-3m的值为5,那么代数式2 030-2m2+6m的值是 (B)
A.2 030 B.2 020
C.2 010 D.2 000
6.多项式2an-1-4an+1的公因式是M,则M等于 (A)
A.2an-1 B.-2an
C.2an+1 D.-2an+1
7.如图,边长为a,b的长方形的周长为18,面积为12,则a3b+ab3的值为 (D)
A.216 B.108
C.140 D.684
8.三角形的三边a,b,c满足a2(b-c)+b2c-b3=0,则这个三角形的形状是 (A)
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.(2024·百色中考)因式分解:ax+ay= a(x+y) .
10.(2024·张家界中考)因式分解:a2-25= (a+5)(a-5) .
11.若a-b=2,则3a2+3b2-6ab的值为 12 .
12.已知(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)可分解因式为(3x+a)(x+b),其中a,b均为整数,则a+3b的值为 -31 .
13.若4x2-(k-1)x+9能用完全平方公式因式分解,则k的值为 13或-11 .
14.已知a=20x+21,b=20x+22,c=20x+23,则a2+b2+c2-ab-ac-bc= 3 .
三、解答题(共52分)
15.(8分)因式分解:
(1)-2a3+12a2-18a;
(2)9a2(x-y)+4b2(y-x).
【解析】(1)原式=-2a(a2-6a+9)=-2a(a-3)2;
(2)原式=(x-y)(9a2-4b2)=(x-y)(3a+2b)(3a-2b).
16.(8分)在学习对复杂多项式进行因式分解时,老师示范了如下例题:
例:因式分解:(x2+6x+5)(x2+6x-7)+36 解:设x2+6x=y 原式=(y+5)(y-7)+36第一步 =y2-2y+1第二步 =(y-1)2第三步 =(x2+6x-1)2第四步
完成下列任务:
(1)例题中第二步到第三步运用了因式分解的 ;(填序号)
①提取公因式;
②平方差公式;
③两数和的完全平方公式;
④两数差的完全平方公式.
(2)请你模仿以上例题因式分解:(a2-4a+2)(a2-4a+6)+4.
【解析】(1)例题中第二步到第三步运用了因式分解的两数差的完全平方公式.
答案:④
(2)(a2-4a+2)(a2-4a+6)+4
设a2-4a=x,
原式=(x+2)(x+6)+4
=x2+8x+16
=(x+4)2
=(a2-4a+4)2
=(a-2)4.
17.(8分)【发现】两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数,且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.
【验证】请你举例验证上述【发现】中的结论.
【探究】设【发现】中的两个已知正整数为m,n.
【解析】验证:取两个正整数为3,4,(3+4)2+(4-3)2=50,50是偶数,32+42=25=,满足条件.(不唯一),请论证【发现】中的结论正确.
【解析】【探究】两个已知正整数为m,n,求证:(m+n)2+(m-n)2是偶数,且该偶数的一半也可以表示为(m2+n2).
证明:(m+n)2+(m-n)2
=m2+2mn+n2+m2-2mn+n2
=2m2+2n2
=2(m2+n2),
故两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数,且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.
18.(8分)【知识再现】在研究平方差公式时,我们在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形(如图1),把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形(如图2),根据图1、图2阴影部分的面积关系,可以得到一个关于a,b的等式① ;
【知识迁移】在棱长为a的正方体上挖去一个棱长为b的小正方体后,余下的部分(如图3)再切割拼成一个几何体(如图4),根据它们的体积关系得到关于a,b的等式为②a3-b3= ;(结果写成整式的积的形式)
【知识运用】已知a-b=4,ab=3,求a3-b3的值.
【解析】【知识再现】①a2-b2=(a+b)(a-b).
答案:a2-b2=(a+b)(a-b)
【知识迁移】②a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).
答案:(a-b)(a2+ab+b2)
【知识运用】∵a-b=4,ab=3,
∴a2+b2=(a-b)2+2ab=16+6=22,
∴a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=4×(22+3)=100.
19.(10分)第一环节:自主阅读材料:
常用的因式分解方法有提公因式法、公式法等,但有的多项式只用上述方法无法分解,如x2-4y2+2x-4y,细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式,后两项可提取公因式,分解过程为:
x2-4y2+2x-4y
=(x2-4y2)+(2x-4y)…分组
=(x-2y)(x+2y)+2(x-2y)…组内分解因式
=(x-2y)(x+2y+2)…整体思想提公因式
这种因式分解的方法叫分组分解法.
第二环节:利用这种方法解决下列问题.
因式分解:x2y-4y-2x2+8.
第三环节:拓展运用.
已知a,b,c为△ABC的三边,且b2+2ab=c2+2ac,试判断△ABC的形状并说明理由.
【解析】第二环节:
x2y-4y-2x2+8
=y(x2-4)-2(x2-4)
=y(x-2)(x+2)-2(x-2)(x+2)
=(y-2)(x-2)(x+2);
第三环节:△ABC是等腰三角形,
理由:∵b2+2ab=c2+2ac,
∴b2-c2+2ab-2ac=0,
(b-c)(b+c)+2a(b-c)=0,
(2a+b+c)(b-c)=0,
∵2a+b+c≠0,
∴b-c=0,即b=c,
∴△ABC是等腰三角形.
20.(10分)阅读材料:若m2-2mn+2n2-8n+16=0,求m,n的值.
解:∵m2-2mn+2n2-8n+16=0,
∴(m2-2mn+n2)+(n2-8n+16)=0,
∴(m-n)2+(n-4)2=0,
∵(m-n)2≥0,(n-4)2≥0,
∴(m-n)2=0,(n-4)2=0,
∴n=4,m=4.
根据你的观察,探究下面的问题:
(1)a2+b2-4a+4=0,则a= ;b= .
(2)已知△ABC的三边a,b,c满足a2+2b2+c2-2ab-2bc=0,关于此三角形形状的以下命题:
①它是等边三角形;②它属于等腰三角形;③它属于锐角三角形;④它不是直角三角形.其中所有正确命题的序号为 .
(3)已知△ABC的三边长a,b,c都是正整数,且a2+b2-2a-6b+10=0,求△ABC的周长.
【解析】(1)∵a2+b2-4a+4=0,
∴(a2-4a+4)+b2=0,
∴(a-2)2+b2=0,
又∵(a-2)2≥0,b2≥0,∴a-2=0且b=0,
∴a=2且b=0.
答案:2 0
(2)∵a2+2b2+c2-2ab-2bc=0,
∴(a2-2ab+b2)+(c2-2bc+b2)=0,
∴(a-b)2+(c-b)2=0,
又∵(a-b)2≥0且(c-b)2≥0,
∴a=b,b=c,∴a=b=c,
∴△ABC是等边三角形.
答案:①②③④
(3)∵a2+b2-2a-6b+10=0,
∴(a2-2a+1)+(b2-6b+9)=0,
∴(a-1)2+(b-3)2=0,
又∵(a-1)2≥0,(b-3)2≥0,
∴a-1=0,b-3=0,
∴a=1,b=3,
在△ABC中,a,b,c分别为三角形的三边,
∵b-a∴2又∵c是正整数,∴c=3,
∴当c=3时,△ABC的周长为:a+b+c=1+3+3=7.
