第四章 单元复习课
重点 题型 核心提炼 策略方法 对点评价
判断是否是因式分解 根据因式分解的定义进行判断 1
根据因式分解确定待定系数 利用因式分解与整式运算的关系解决 2,11
提公因式法分解因式 利用ab+ac=a(b+c)解决 3,5
公式法分解因式 利用平方差公式及完全平方公式来解决 7,8
因式分解求值 综合运用提公因式法及公式法解决 12,13
易错 易混 因式分解与整式乘法混淆 1
因式分解不彻底 9,10
思想 方法 整体思想
维度1基本概念、基础知识的应用
1.(2023·南京中考)下列等式从左到右的变形是因式分解的是 ( )
A.x2-x+1=x(x-1)+1
B.(2x+3y)(2x-3y)=4x2-9y2
C.x2+y2=(x+y)2-2xy
D.x2+6x+9=(x+3)2
2.(2023·枣庄中考)若x2+kx+25=(x-5)2,那么 ( )
A.k=10,从左到右是因式分解
B.k=-10,从左到右是因式分解
C.k=10,从左到右是乘法运算
D.k=-10,从左到右是乘法运算
维度2性质、定理、公式的应用
3.(2024·柳州中考)把多项式a2+2a分解因式得 ( )
A.a(a+2) B.a(a-2)
C.(a+2)2 D.(a+2)(a-2)
4.(2023·济宁中考)下列各式从左到右的变形,因式分解正确的是 ( )
A.(a+3)2=a2+6a+9
B.a2-4a+4=a(a-4)+4
C.5ax2-5ay2=5a(x+y)(x-y)
D.a2-2a-8=(a-2)(a+4)
5.(2023·成都中考)因式分解:m2-3m= .
6.(2024·邵阳中考)因式分解:x2-4y2= .
7.(2023·株洲中考)因式分解:x2-2x+1= .
8.(2024·绥化中考)因式分解:(m+n)2-6(m+n)+9= .
9.(2023·东营中考)因式分解:3ma2-6mab+3mb2= .
10.(2023·赤峰中考)因式分解:x3-9x= .
11.(2023·深圳中考)已知实数a,b,满足a+b=6,ab=7,则a2b+ab2的值为 .
12.先化简,再求值:(x+1)2-x(x+1),其中x=2 023.
13.先因式分解,再计算求值: ()2-()2,其中a=-,b=2.
14.(2024·安徽中考)观察以下等式:
第1个等式:(2×1+1)2=(2×2+1)2-(2×2)2,
第2个等式:(2×2+1)2=(3×4+1)2-(3×4)2,
第3个等式:(2×3+1)2=(4×6+1)2-(4×6)2,
第4个等式:(2×4+1)2=(5×8+1)2-(5×8)2,
……
按照以上规律.解决下列问题:
(1)写出第5个等式: ;
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示),并证明.
15.(2023·河北中考)有一电脑程序:每按一次按键,屏幕的A区就会自动加上a2,同时B区就会自动减去3a,且均显示化简后的结果.已知A,B两区初始显示的分别是25和-16,如图.
如,第一次按键后,A,B两区分别显示:
(1)从初始状态按2次后,分别求A,B两区显示的结果;
(2)从初始状态按4次后,计算A,B两区代数式的和,请判断这个和能为负数吗 说明理由.
维度3实际生活生产中的应用
16.如图,有三种规格的卡片共9张,其中边长为a的正方形卡片1张,边长为b的正方形卡片4张,长、宽分别为a,b的长方形卡片4张.现使用这9张卡片拼成一个大的正方形,则这个大正方形的边长为 ( )
A.a+2b B.4a+b
C.2a+b D.a+3b
17.如图,在一块半径为R的圆形板材上,剪去半径为r的四个小圆,小刚测得R=6.8 cm,r=1.6 cm,请利用因式分解求出剩余阴影部分的面积(π取3.14).第四章 单元复习课
重点 题型 核心提炼 策略方法 对点评价
判断是否是因式分解 根据因式分解的定义进行判断 1
根据因式分解确定待定系数 利用因式分解与整式运算的关系解决 2,11
提公因式法分解因式 利用ab+ac=a(b+c)解决 3,5
公式法分解因式 利用平方差公式及完全平方公式来解决 7,8
因式分解求值 综合运用提公因式法及公式法解决 12,13
易错 易混 因式分解与整式乘法混淆 1
因式分解不彻底 9,10
思想 方法 整体思想
维度1基本概念、基础知识的应用
1.(2023·南京中考)下列等式从左到右的变形是因式分解的是 (D)
A.x2-x+1=x(x-1)+1
B.(2x+3y)(2x-3y)=4x2-9y2
C.x2+y2=(x+y)2-2xy
D.x2+6x+9=(x+3)2
2.(2023·枣庄中考)若x2+kx+25=(x-5)2,那么 (B)
A.k=10,从左到右是因式分解
B.k=-10,从左到右是因式分解
C.k=10,从左到右是乘法运算
D.k=-10,从左到右是乘法运算
维度2性质、定理、公式的应用
3.(2024·柳州中考)把多项式a2+2a分解因式得 (A)
A.a(a+2) B.a(a-2)
C.(a+2)2 D.(a+2)(a-2)
4.(2023·济宁中考)下列各式从左到右的变形,因式分解正确的是 (C)
A.(a+3)2=a2+6a+9
B.a2-4a+4=a(a-4)+4
C.5ax2-5ay2=5a(x+y)(x-y)
D.a2-2a-8=(a-2)(a+4)
5.(2023·成都中考)因式分解:m2-3m= m(m-3) .
6.(2024·邵阳中考)因式分解:x2-4y2= (x+2y)(x-2y) .
7.(2023·株洲中考)因式分解:x2-2x+1= (x-1)2 .
8.(2024·绥化中考)因式分解:(m+n)2-6(m+n)+9= (m+n-3)2 .
9.(2023·东营中考)因式分解:3ma2-6mab+3mb2= 3m(a-b)2 .
10.(2023·赤峰中考)因式分解:x3-9x= x(x+3)(x-3) .
11.(2023·深圳中考)已知实数a,b,满足a+b=6,ab=7,则a2b+ab2的值为 42 .
12.先化简,再求值:(x+1)2-x(x+1),其中x=2 023.
【解析】(x+1)2-x(x+1)=(x+1)(x+1-x)=x+1,
当x=2 023时,
原式=2 023+1=2 024.
13.先因式分解,再计算求值: ()2-()2,其中a=-,b=2.
【解析】原式=(+)(-)=ab,
当a=-,b=2时,
原式=ab=-×2=-.
14.(2024·安徽中考)观察以下等式:
第1个等式:(2×1+1)2=(2×2+1)2-(2×2)2,
第2个等式:(2×2+1)2=(3×4+1)2-(3×4)2,
第3个等式:(2×3+1)2=(4×6+1)2-(4×6)2,
第4个等式:(2×4+1)2=(5×8+1)2-(5×8)2,
……
按照以上规律.解决下列问题:
(1)写出第5个等式: ;
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示),并证明.
【解析】(1)观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律,可知第5个等式为:(2×5+1)2=(6×10+1)2-(6×10)2.
答案:(2×5+1)2=(6×10+1)2-(6×10)2
(2)第n个等式为(2n+1)2=[(n+1)·2n+1]2-[(n+1)·2n]2,
证明如下:
等式左边:(2n+1)2=4n2+4n+1,
等式右边:-[(n+1)·2n]2=·
=×1
=4n2+4n+1,
故等式(2n+1)2=-成立.
15.(2023·河北中考)有一电脑程序:每按一次按键,屏幕的A区就会自动加上a2,同时B区就会自动减去3a,且均显示化简后的结果.已知A,B两区初始显示的分别是25和-16,如图.
如,第一次按键后,A,B两区分别显示:
(1)从初始状态按2次后,分别求A,B两区显示的结果;
(2)从初始状态按4次后,计算A,B两区代数式的和,请判断这个和能为负数吗 说明理由.
【解析】(1)A区显示的结果为25+a2+a2=25+2a2,
B区显示的结果为-16-3a-3a=-16-6a;
(2)和不能为负数.理由如下:初始状态按4次后A区显示为25+a2+a2+a2+a2=25+4a2,B区显示为-16-3a-3a-3a-3a=-16-12a,
∴A+B=25+4a2+(-16-12a)
=4a2-12a+9
=(2a-3)2.
∵(2a-3)2≥0恒成立,
∴和不能为负数.
维度3实际生活生产中的应用
16.如图,有三种规格的卡片共9张,其中边长为a的正方形卡片1张,边长为b的正方形卡片4张,长、宽分别为a,b的长方形卡片4张.现使用这9张卡片拼成一个大的正方形,则这个大正方形的边长为 (A)
A.a+2b B.4a+b
C.2a+b D.a+3b
17.如图,在一块半径为R的圆形板材上,剪去半径为r的四个小圆,小刚测得R=6.8 cm,r=1.6 cm,请利用因式分解求出剩余阴影部分的面积(π取3.14).
【解析】阴影部分面积=πR2-4πr2
=π(R2-4r2)
=π(R-2r)(R+2r);
∵R=6.8 cm,r=1.6 cm,π取3.14,
∴阴影部分面积=3.14×(6.8-2×1.6)×(6.8+2×1.6)=3.14×36=113.04(cm2).
