三十二 分式方程(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1工程问题
1.(2023·内江中考)用计算机处理数据,为了防止数据输入出错,某研究室安排两名程序操作员各输入一遍,比较两人的输入是否一致,本次操作需输入2 640个数据,已知甲的输入速度是乙的2倍,结果甲比乙少用2小时输完.这两名操作员每分钟各能输入多少个数据 设乙每分钟能输入x个数据,根据题意得方程正确的是 (D)
A.=+2
B.=-2
C.=+2×60
D.=-2×60
2.某校英语考试采取网上阅卷的形式,已知该校甲、乙两名教师各阅卷400张,甲教师的阅卷速度是乙教师的2倍,结果甲教师比乙教师提前2个小时完成阅卷工作.求甲、乙两名教师每小时批阅学生试卷的张数.
【解析】设乙教师每小时批阅x张学生试卷,则甲教师每小时批阅2x张学生试卷,
根据题意得:-=2,
解得x=100,
经检验,x=100是所列分式方程的解,且符合题意,
∴2x=2×100=200.
答:甲教师每小时批阅200张学生试卷,乙教师每小时批阅100张学生试卷.
知识点2行程问题
3.(2023·湘潭中考)某校组织九年级学生赴韶山开展研学活动,已知学校离韶山50千米.师生乘大巴车前往,某老师因有事情,推迟了10分钟出发,自驾小车以大巴车速度的1.2倍前往,结果同时到达.设大巴车的平均速度为x千米/时,则可列方程为
(A)
A.=+ B.+10=
C.=+10 D.+=
4.A, B两地相距120 km,甲骑摩托车,乙驾驶小汽车,同时从A地出发去B地.已知小汽车的速度是摩托车速度的1.6倍,乙中途休息了0.5 h还比甲早到0.4 h,则小汽车的速度为 80 km/h.
5.(2023·长春质检)轮船在顺水中航行80千米所需的时间和在逆水中航行60千米所需的时间相同.已知轮船在静水中的速度是21千米/时,求水流的速度.
【解析】设水流速度为x千米/时,
则根据题意,得=,
解得x=3.
经检验x=3是原方程的解.
答:水流速度为3千米/时.
知识点3销售问题
6.(2023·十堰中考)为了落实“双减”政策,进一步丰富文体活动,学校准备购进一批篮球和足球.已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元,用1 500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个.如果设每个足球的价格为x元,那么可列方程为 (A)
A.-=5 B.-=5
C.-=5 D.-=5
7.(2023·张家界中考)《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作.该著作记载了“买椽多少”问题:“六贯二百一十钱,倩人去买几株椽.每株脚钱三文足,无钱准与一株椽.”大意是:现请人代买一批椽,这批椽的总售价为6 210文.如果每株椽的运费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱,试问6 210文能买多少株椽 设6 210文购买椽的数量为x株,则符合题意的方程是 (C)
A.3(x-1)= B.3(x-1)=6 210
C.3(x-1)= D.=3x
【B层 能力进阶】
8.《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一,其中记录了一道驿站送信的题目,大意为:一份文件,若用慢马送到900里远的城市,所需时间比规定时间多1天;若改为快马派送,则所需时间比规定时间少3天.已知快马的速度是慢马的2倍,求规定时间.设规定时间为x天,则可列出正确的方程为 (B)
A.2×= B.2×=
C.=2× D.=2×
9.(2023·深圳期中)甲、乙两个服装厂加工一批校服,甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的1.5倍,两厂各加工600套校服,甲厂比乙厂少用2天,则乙厂每天加工 100 套校服.
10.山西省忻州市宁武县被命名为“中国高原莜麦之乡”.莜麦是世界公认的营养价值很高的粮种之一,对预防和治疗高血压、糖尿病等多种疾病,促进新陈代谢有明显功效.某莜麦标准化种植基地在改良前种植总产量可以达到12 600 kg,经过改良后,平均每亩产量是原来的1.5倍.若改良后种植总产量不变,但种植亩数减少25亩,求改良前平均每亩的产量.若设改良前平均每亩的产量为x kg,则可列方程为 -=25 .
11.星期天,小明与妈妈到离家16 km的洞庭湖博物馆参观.小明从家骑自行车先走,1 h后妈妈开车从家出发,沿相同路线前往博物馆,结果他们同时到达.已知妈妈开车的平均速度是小明骑自行车平均速度的4倍,求妈妈开车的平均速度.
【解析】设小明骑自行车的平均速度为x km/h,则妈妈开车的平均速度为
4x km/h,
根据题意,得-=1,解得x=12,
经检验,x=12是原方程的解,且符合题意,
∴4x=48.
答:妈妈开车的平均速度为48 km/h.
12.(2023·常德中考)“六一”儿童节将至,张老板计划购买A型玩具和B型玩具进行销售,若用1 200元购买A型玩具的数量比用1 500元购买B型玩具的数量多20个,且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍.
(1)求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少;
(2)若A型玩具的售价为12元/个,B型玩具的售价为20元/个,张老板购进A,B型玩具共75个,要使总利润不低于300元,则A型玩具最多购进多少个
【解析】(1)设A型玩具的进价为x元/个,则B型玩具的进价是1.5x元/个.
由题意得:-=20,
解得x=10,
经检验,x=10是原方程的解,
∴B型玩具的进价为10×1.5=15(元/个),
答:A型玩具的进价是10元/个,B型玩具的进价是15元/个.
(2)设购进A型玩具m个,则购进B型玩具(75-m)个.
根据题意得,(12-10)m+(20-15)(75-m)≥300,解得m≤25,
答:最多可购进A型玩具25个.
【C层 创新挑战】(选做)
13.甲、乙两个工厂需加工生产550台某种机器,已知甲工厂每天加工生产的机器台数是乙工厂每天加工生产的机器台数的1.5倍,并且加工生产240台这种机器甲工厂需要的时间比乙工厂需要的时间少4天.
(1)求甲、乙两个工厂每天分别可以加工生产多少台这种机器.
(2)若甲工厂每天加工的生产成本是3万元,乙工厂每天加工的生产成本是2.4万元,要使得加工生产这批机器的总成本不得高于60万元,至少应该安排甲工厂生产多少天
【解析】(1)设乙工厂每天加工生产的机器台数为x,则甲工厂每天加工生产的机器台数为1.5x,根据题意,得=-4,
解得x=20,经检验,x=20是原方程的解.
1.5x=1.5×20=30.
答:甲、乙两个工厂每天分别可以加工生产30台和20台这种机器.
(2)设应该安排甲工厂生产m天,
根据题意,得3m+2.4×≤60,
解得m≥10.
答:至少应该安排甲工厂生产10天.三十二 分式方程(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1工程问题
1.(2023·内江中考)用计算机处理数据,为了防止数据输入出错,某研究室安排两名程序操作员各输入一遍,比较两人的输入是否一致,本次操作需输入2 640个数据,已知甲的输入速度是乙的2倍,结果甲比乙少用2小时输完.这两名操作员每分钟各能输入多少个数据 设乙每分钟能输入x个数据,根据题意得方程正确的是 ( )
A.=+2
B.=-2
C.=+2×60
D.=-2×60
2.某校英语考试采取网上阅卷的形式,已知该校甲、乙两名教师各阅卷400张,甲教师的阅卷速度是乙教师的2倍,结果甲教师比乙教师提前2个小时完成阅卷工作.求甲、乙两名教师每小时批阅学生试卷的张数.
知识点2行程问题
3.(2023·湘潭中考)某校组织九年级学生赴韶山开展研学活动,已知学校离韶山50千米.师生乘大巴车前往,某老师因有事情,推迟了10分钟出发,自驾小车以大巴车速度的1.2倍前往,结果同时到达.设大巴车的平均速度为x千米/时,则可列方程为
( )
A.=+ B.+10=
C.=+10 D.+=
4.A, B两地相距120 km,甲骑摩托车,乙驾驶小汽车,同时从A地出发去B地.已知小汽车的速度是摩托车速度的1.6倍,乙中途休息了0.5 h还比甲早到0.4 h,则小汽车的速度为 km/h.
5.(2023·长春质检)轮船在顺水中航行80千米所需的时间和在逆水中航行60千米所需的时间相同.已知轮船在静水中的速度是21千米/时,求水流的速度.
知识点3销售问题
6.(2023·十堰中考)为了落实“双减”政策,进一步丰富文体活动,学校准备购进一批篮球和足球.已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元,用1 500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个.如果设每个足球的价格为x元,那么可列方程为 ( )
A.-=5 B.-=5
C.-=5 D.-=5
7.(2023·张家界中考)《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作.该著作记载了“买椽多少”问题:“六贯二百一十钱,倩人去买几株椽.每株脚钱三文足,无钱准与一株椽.”大意是:现请人代买一批椽,这批椽的总售价为6 210文.如果每株椽的运费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱,试问6 210文能买多少株椽 设6 210文购买椽的数量为x株,则符合题意的方程是 ( )
A.3(x-1)= B.3(x-1)=6 210
C.3(x-1)= D.=3x
【B层 能力进阶】
8.《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一,其中记录了一道驿站送信的题目,大意为:一份文件,若用慢马送到900里远的城市,所需时间比规定时间多1天;若改为快马派送,则所需时间比规定时间少3天.已知快马的速度是慢马的2倍,求规定时间.设规定时间为x天,则可列出正确的方程为 ( )
A.2×= B.2×=
C.=2× D.=2×
9.(2023·深圳期中)甲、乙两个服装厂加工一批校服,甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的1.5倍,两厂各加工600套校服,甲厂比乙厂少用2天,则乙厂每天加工 套校服.
10.山西省忻州市宁武县被命名为“中国高原莜麦之乡”.莜麦是世界公认的营养价值很高的粮种之一,对预防和治疗高血压、糖尿病等多种疾病,促进新陈代谢有明显功效.某莜麦标准化种植基地在改良前种植总产量可以达到12 600 kg,经过改良后,平均每亩产量是原来的1.5倍.若改良后种植总产量不变,但种植亩数减少25亩,求改良前平均每亩的产量.若设改良前平均每亩的产量为x kg,则可列方程为 .
11.星期天,小明与妈妈到离家16 km的洞庭湖博物馆参观.小明从家骑自行车先走,1 h后妈妈开车从家出发,沿相同路线前往博物馆,结果他们同时到达.已知妈妈开车的平均速度是小明骑自行车平均速度的4倍,求妈妈开车的平均速度.
12.(2023·常德中考)“六一”儿童节将至,张老板计划购买A型玩具和B型玩具进行销售,若用1 200元购买A型玩具的数量比用1 500元购买B型玩具的数量多20个,且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍.
(1)求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少;
(2)若A型玩具的售价为12元/个,B型玩具的售价为20元/个,张老板购进A,B型玩具共75个,要使总利润不低于300元,则A型玩具最多购进多少个
【C层 创新挑战】(选做)
13.甲、乙两个工厂需加工生产550台某种机器,已知甲工厂每天加工生产的机器台数是乙工厂每天加工生产的机器台数的1.5倍,并且加工生产240台这种机器甲工厂需要的时间比乙工厂需要的时间少4天.
(1)求甲、乙两个工厂每天分别可以加工生产多少台这种机器.
(2)若甲工厂每天加工的生产成本是3万元,乙工厂每天加工的生产成本是2.4万元,要使得加工生产这批机器的总成本不得高于60万元,至少应该安排甲工厂生产多少天 三十一 分式方程(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1分式方程的识别
1.已知方程:①=0,②+=1,③x+=2+,④(x+)(x-6)=-1.这四个方程中,分式方程的个数是 (C)
A.4 B.3 C.2 D.1
2.下列方程中,哪些是分式方程 哪些是整式方程
(1)=; (2)=;
(3)=x; (4)=;
(5)-3=; (6)2x=1.
【解析】∵分母中含有未知数的方程是分式方程,∴(1)(3)(4)(5)是分式方程,(2)(6)是整式方程.
知识点2解分式方程
3.(2023·大连中考)将方程+3=去分母,两边同乘(x-1)后的式子为 (B)
A.1+3=3x(1-x) B.1+3(x-1)=-3x
C.x-1+3=-3x D.1+3(x-1)=3x
4.(2023·邵阳中考)分式方程-=0的解是 x=4 .
5.解方程:(1)=;
(2)+2=.
【解析】(1)去分母,得5(2x+1)=x-1,
去括号,得10x+5=x-1,移项,合并同类项得9x=-6,系数化为1,得x=-,
检验:把x=-代入(x-1)(2x+1)≠0,
所以x=-是原方程的解;
(2)去分母得1+2(x-2)=x-1,
去括号,得1+2x-4=x-1,
移项,合并同类项得x=2,检验:把x=2代入得x-2=0,所以此方程无解.
知识点3已知分式方程根的情况求待定字母的值
6.已知x=3是分式方程-=2的解,那么实数k的值为 (D)
A.-1 B.0 C.1 D.2
7.(2023·巴中中考)关于x的分式方程+=3有增根,则m= -1 .
8.关于x的分式方程-2m=无解,求m的值.
【解析】分式方程两边同时乘x-3,
得,x-2m(x-3)=m,(2m-1)x=5m,
①2m-1=0,则m=;
②2m≠1,解得x=,由方程增根为x=3,得=3,解得m=3,
综上,m=或m=3.
9.已知关于x的分式方程-=1.
(1)若分式方程的根是x=5,求a的值;
(2)若分式方程有增根,求a的值;
(3)若分式方程无解,求a的值.
【解析】(1)去分母得,x(x+a)-5(x-2)=x(x-2),
整理得(a-3)x+10=0,
把x=5代入(a-3)x+10=0得,5(a-3)+10=0,
∴a=1.
(2)由分式方程有增根,得到x(x-2)=0,
解得x=2或x=0.
把x=2代入整式方程(a-3)x+10=0得a=-2;
把x=0代入整式方程(a-3)x+10=0得a的值不存在.∴分式方程有增根时,a=-2.
(3)略
【B层 能力进阶】
10.方程:①=8+,②=x,③=,④x-=0.是分式方程的有(C)
A.①和② B.②和③
C.③和④ D.①和④
11.(2023·南阳质检)在正数范围内定义一种运算“※”,其规定则为a※b=+,
如2※4=+,根据这个规则,方程3※(x-1)=1的解为 (C)
A.x= B.x=-1
C.x= D.x=-3
12.若关于x的分式方程+=1无解,则m的值是 (A)
A.m=2或m=6 B.m=2
C.m=6 D.m=2或m=-6
13.(2023·聊城中考)若关于x的分式方程+1=的解为非负数,则m的取值范围是(A)
A.m≤1且m≠-1 B.m≥-1且m≠1
C.m<1且m≠-1 D.m>-1且m≠1
14.(2023·新乡质检)小丽解分式方程1-=时,出现了错误,她的解题过程如下:
解:去分母得:2x+2-(x-3)=3x……第一步;
解得:x=……第二步;
∴原分式方程的解是x=……第三步.
(1)小丽解答过程从第 步开始出错,这一步的正确结果是
,这一步的依据是 .
(2)小丽解答过程缺少的步骤是 .
(3)请写出正确的解题过程.
【解析】(1)小丽解答过程从第一步开始出错,这一步的正确结果是2x+2-(x-3)=6x,
这一步的依据是等式的基本性质.
答案:一 2x+2-(x-3)=6x 等式的基本性质
(2)小丽解答过程缺少的步骤是检验.
答案:检验
(3)1-=,
去分母得:2x+2-(x-3)=6x,解得:x=1,
经检验,x=1是原方程的解,
∴原分式方程的解是x=1.
【C层 创新挑战】(选做)
15.对于非零实数a,b,若关于x的分式的值为零,则解得x1=a,x2=b.又因为==x+-(a+b),所以关于x的方程x+=a+b的解为x1=a,x2=b.
(1)理解应用:方程=3+的解为x1= ,x2= ;
(2)知识迁移:若关于x的方程x+=5的解为x1=a,x2=b,求a2+b2的值;
(3)拓展提升:若关于x的方程=k-x的解为x1=t+1,x2=t2+2,求k2-4k+2t3的值.
【解析】(1)∵x+=a+b的解为x1=a,x2=b,∴=x+=3+的解为x1=3,x2=;
答案:3
(2)∵x+=5,∴a+b=5,ab=3,
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=25-6=19;
(3)略三十一 分式方程(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1分式方程的识别
1.已知方程:①=0,②+=1,③x+=2+,④(x+)(x-6)=-1.这四个方程中,分式方程的个数是 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
2.下列方程中,哪些是分式方程 哪些是整式方程
(1)=; (2)=;
(3)=x; (4)=;
(5)-3=; (6)2x=1.
知识点2解分式方程
3.(2023·大连中考)将方程+3=去分母,两边同乘(x-1)后的式子为 ( )
A.1+3=3x(1-x) B.1+3(x-1)=-3x
C.x-1+3=-3x D.1+3(x-1)=3x
4.(2023·邵阳中考)分式方程-=0的解是 .
5.解方程:(1)=;
(2)+2=.
知识点3已知分式方程根的情况求待定字母的值
6.已知x=3是分式方程-=2的解,那么实数k的值为 ( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
7.(2023·巴中中考)关于x的分式方程+=3有增根,则m= .
8.关于x的分式方程-2m=无解,求m的值.
9.已知关于x的分式方程-=1.
(1)若分式方程的根是x=5,求a的值;
(2)若分式方程有增根,求a的值;
(3)若分式方程无解,求a的值.
【B层 能力进阶】
10.方程:①=8+,②=x,③=,④x-=0.是分式方程的有( )
A.①和② B.②和③
C.③和④ D.①和④
11.(2023·南阳质检)在正数范围内定义一种运算“※”,其规定则为a※b=+,
如2※4=+,根据这个规则,方程3※(x-1)=1的解为 ( )
A.x= B.x=-1
C.x= D.x=-3
12.若关于x的分式方程+=1无解,则m的值是 ( )
A.m=2或m=6 B.m=2
C.m=6 D.m=2或m=-6
13.(2023·聊城中考)若关于x的分式方程+1=的解为非负数,则m的取值范围是( )
A.m≤1且m≠-1 B.m≥-1且m≠1
C.m<1且m≠-1 D.m>-1且m≠1
14.(2023·新乡质检)小丽解分式方程1-=时,出现了错误,她的解题过程如下:
解:去分母得:2x+2-(x-3)=3x……第一步;
解得:x=……第二步;
∴原分式方程的解是x=……第三步.
(1)小丽解答过程从第 步开始出错,这一步的正确结果是
,这一步的依据是 .
(2)小丽解答过程缺少的步骤是 .
(3)请写出正确的解题过程.
【C层 创新挑战】(选做)
15.对于非零实数a,b,若关于x的分式的值为零,则解得x1=a,x2=b.又因为==x+-(a+b),所以关于x的方程x+=a+b的解为x1=a,x2=b.
(1)理解应用:方程=3+的解为x1= ,x2= ;
(2)知识迁移:若关于x的方程x+=5的解为x1=a,x2=b,求a2+b2的值;
(3)拓展提升:若关于x的方程=k-x的解为x1=t+1,x2=t2+2,求k2-4k+2t3的值.
