六 直角三角形(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1用“HL”证直角三角形全等
1.如图,点E,F在线段AC上,AE=CF,AD⊥DF,CB⊥BE,要根据“HL”
证明Rt△ADF≌Rt△CBE,则还需添加的一个条件是 ( )
A.AF=CE B.∠A=∠C
C.AD=CB D.AD∥BC
2.如图所示,已知在△ABC中,∠C=90°,AD=AC,DE⊥AB交BC于点E,若∠B=28°,则∠AEC= ( )
A.28° B.59° C.60° D.62°
3.如图,已知AD⊥BE,垂足C是BE的中点,AB=DE.求证:Rt△ABC≌Rt△DEC.
4.已知:如图,点E,F在线段BD上,AF⊥BD,CE⊥BD,AD=CB,DE=BF,求证:AF=CE.
知识点2直角三角形全等的判定
5.如图,∠A=∠D=90°,AC∥DB,则△ABC≌△DCB的依据是 ( )
A.HL B.ASA
C.AAS D.SAS
6.如图,AD=BC,∠C=∠D=90°,下列结论中不成立的是 ( )
A.∠DAE=∠CBE
B.CE=DE
C.△DAE与△CBE不一定全等
D.∠1=∠2
7.Rt△ABC和Rt△DEF如图放置,其中∠ACB=∠DFE=90°,AB=DE且AB⊥DE.若AC=6,EF=4,CF=3,则BD的长为 .
【B层 能力进阶】
8.如图,用纸板挡住部分直角三角形后,能画出与此直角三角形全等的三角形,其全等的依据是( )
A.ASA B.AAS
C.SAS D.HL
9.如图所示,BE⊥AC,CF⊥AB,垂足分别是E,F,若BE=CF,则图中全等三角形有( )
A.1对 B.2对
C.3对 D.4对
10.如图,AD是△ABC的高,AD=BD,BE=AC,∠BAC=70°,则∠ABE= .
11.如图,MN∥PQ,AB⊥PQ,点A,D,B,C分别在直线MN与PQ上,点E在AB上,AD+BC=7,AD=EB,DE=EC,则AB= .
12.(易错警示题)如图,∠C=90°,AC=10,BC=5,AX⊥AC,点P和点Q从A点出发,分别在线段AC和射线AX上运动,且AB=PQ,当点P运动到AP= ,△ABC与△APQ全等.
13.如图,在四边形ABCD中,AD⊥CD,CD=BC,AB=AC.求证:∠1=∠BAC.
【C层 创新挑战】(选做)
14.如图,∠A=∠B=90°,E是AB上的一点,且AE=BC,∠1=∠2.
(1)求证:△ADE≌△BEC;
(2)若M是线段DC的中点,连接EM,请写出线段EM与AD,BC之间的数量关系,并说明理由.六 直角三角形(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1用“HL”证直角三角形全等
1.如图,点E,F在线段AC上,AE=CF,AD⊥DF,CB⊥BE,要根据“HL”
证明Rt△ADF≌Rt△CBE,则还需添加的一个条件是 (C)
A.AF=CE B.∠A=∠C
C.AD=CB D.AD∥BC
2.如图所示,已知在△ABC中,∠C=90°,AD=AC,DE⊥AB交BC于点E,若∠B=28°,则∠AEC= (B)
A.28° B.59° C.60° D.62°
3.如图,已知AD⊥BE,垂足C是BE的中点,AB=DE.求证:Rt△ABC≌Rt△DEC.
【证明】∵AD⊥BE,
∴∠ACB=∠DCE=90°,
∵C是BE中点,
∴BC=EC,
在Rt△ABC和Rt△DEC中,,
∴Rt△ABC≌Rt△DEC(HL).
4.已知:如图,点E,F在线段BD上,AF⊥BD,CE⊥BD,AD=CB,DE=BF,求证:AF=CE.
【证明】∵DE=BF,∴DE+EF=BF+EF,
∴DF=BE,
在Rt△ADF和Rt△CBE中,,
∴Rt△ADF≌Rt△CBE(HL),∴AF=CE.
知识点2直角三角形全等的判定
5.如图,∠A=∠D=90°,AC∥DB,则△ABC≌△DCB的依据是 (C)
A.HL B.ASA
C.AAS D.SAS
6.如图,AD=BC,∠C=∠D=90°,下列结论中不成立的是 (C)
A.∠DAE=∠CBE
B.CE=DE
C.△DAE与△CBE不一定全等
D.∠1=∠2
7.Rt△ABC和Rt△DEF如图放置,其中∠ACB=∠DFE=90°,AB=DE且AB⊥DE.若AC=6,EF=4,CF=3,则BD的长为 7 .
【B层 能力进阶】
8.如图,用纸板挡住部分直角三角形后,能画出与此直角三角形全等的三角形,其全等的依据是(A)
A.ASA B.AAS
C.SAS D.HL
9.如图所示,BE⊥AC,CF⊥AB,垂足分别是E,F,若BE=CF,则图中全等三角形有(C)
A.1对 B.2对
C.3对 D.4对
10.如图,AD是△ABC的高,AD=BD,BE=AC,∠BAC=70°,则∠ABE= 20° .
11.如图,MN∥PQ,AB⊥PQ,点A,D,B,C分别在直线MN与PQ上,点E在AB上,AD+BC=7,AD=EB,DE=EC,则AB= 7 .
12.(易错警示题)如图,∠C=90°,AC=10,BC=5,AX⊥AC,点P和点Q从A点出发,分别在线段AC和射线AX上运动,且AB=PQ,当点P运动到AP= 5或10 ,△ABC与△APQ全等.
13.如图,在四边形ABCD中,AD⊥CD,CD=BC,AB=AC.求证:∠1=∠BAC.
【证明】作AF⊥BC于点F,
∵AB=AC,AF⊥BC,∴BF=CF=BC,∠BAF=∠CAF=∠BAC,
又∵CD=BC,∴CF=CD,
在Rt△AFC和Rt△ADC中,,
∴Rt△AFC≌Rt△ADC(HL),
∴∠1=∠CAF=∠BAC.
【C层 创新挑战】(选做)
14.如图,∠A=∠B=90°,E是AB上的一点,且AE=BC,∠1=∠2.
(1)求证:△ADE≌△BEC;
(2)若M是线段DC的中点,连接EM,请写出线段EM与AD,BC之间的数量关系,并说明理由.
【解析】略五 直角三角形(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1直角三角形的性质
1.如图,在Rt△ABC中,∠A=60°,∠C=90°,点B在直线b上,直线a∥b,若∠1=105°,则∠2的度数为 (A)
A.45° B.40°
C.35° D.30°
2.如图,点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=3,BE=4,则阴影部分的面积是(A)
A.19 B.15
C.12 D.6
3.(2023·东营中考)一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30 km至B港,然后再沿北偏西30°方向航行40 km至C港,则A,C两港之间的距离为 50 km.
知识点2直角三角形的判定
4.(2023·长沙质检)三角形三边长为a,b,c,满足|a-4|++(c-3)2=0,则这个三角形是 (D)
A.等边三角形 B.钝角三角形
C.锐角三角形 D.直角三角形
5.如图,在四边形ABCD中,AB=BC=2,CD=3,DA=1,且∠B=90°,则∠DAB= (C)
A.120° B.110°
C.135° D.150°
6.如图,在△ABC中,BC=6,AC=8,DE⊥AB,DE=7,△ABE的面积为35.
(1)求AB的长;
(2)求△ACB的面积.
【解析】(1)∵S△ABE=35,DE=7,DE⊥AB,
∴AB×7=35,解得AB=10;
(2)在△ABC中,AB2=102=100,BC2+AC2=62+82=100,则AB2=AC2+BC2,
∴∠C=90°,
∴S△ABC=AC·BC=×8×6=24.
知识点3互逆命题与互逆定理
7.下列定理中有逆定理的是 (D)
A.直角都相等
B.全等三角形的面积相等
C.对顶角相等
D.内错角相等,两直线平行
8.命题“如果a=b,那么3a=3b”的逆命题是 如果3a=3b,那么a=b ,该逆命题是 真 (填“真”或“假”)命题.
【B层 能力进阶】
9.如图,在△ABC中,点D是AB上一点,连接CD,AC=2,BC=2,DB=1,CD=,则AB的长为 (B)
A.5 B.4 C.3 D.2
10.(易错警示题)(2023·重庆江津区期中)已知直角三角形两条边的长为6,8,则这个直角三角形的第三边长为 2或10 .
11.已知等腰△ABC的底边BC=5,D是腰AB上一点,且CD=4,BD=3,则AD的长为 .
12.命题“如果a>0,b>0,那么ab>0”的逆命题是 假 命题.(填“真”或“假”)
13.(传统文化成就)(2024·永州中考)我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”,极富创新意识地给出了勾股定理的证明.如图所示,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,则AE= 3 .
【C层 创新挑战】(选做)
14.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=6,若点P是边AB上的一个动点,以每秒3个单位的速度按照从A→B→A运动,同时点Q从B→C以每秒1个单位的速度运动,当一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动.在运动过程中,设运动时间为t,若△BPQ为直角三角形,求t的值.
【解析】①如图(1),当∠BQP=90°时,则∠BPQ=30°,BP=2BQ,
∵BP=12-3t,BQ=t,
∴12-3t=2t,
解得t=;
②如图(2),当∠QPB=90°时,
∵∠B=60°,
∴∠BQP=30°,
∴BQ=2BP,
若0t=,
若4t=.
综上,t的值为,,.五 直角三角形(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1直角三角形的性质
1.如图,在Rt△ABC中,∠A=60°,∠C=90°,点B在直线b上,直线a∥b,若∠1=105°,则∠2的度数为 ( )
A.45° B.40°
C.35° D.30°
2.如图,点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=3,BE=4,则阴影部分的面积是( )
A.19 B.15
C.12 D.6
3.(2023·东营中考)一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30 km至B港,然后再沿北偏西30°方向航行40 km至C港,则A,C两港之间的距离为 km.
知识点2直角三角形的判定
4.(2023·长沙质检)三角形三边长为a,b,c,满足|a-4|++(c-3)2=0,则这个三角形是 ( )
A.等边三角形 B.钝角三角形
C.锐角三角形 D.直角三角形
5.如图,在四边形ABCD中,AB=BC=2,CD=3,DA=1,且∠B=90°,则∠DAB= ( )
A.120° B.110°
C.135° D.150°
6.如图,在△ABC中,BC=6,AC=8,DE⊥AB,DE=7,△ABE的面积为35.
(1)求AB的长;
(2)求△ACB的面积.
知识点3互逆命题与互逆定理
7.下列定理中有逆定理的是 ( )
A.直角都相等
B.全等三角形的面积相等
C.对顶角相等
D.内错角相等,两直线平行
8.命题“如果a=b,那么3a=3b”的逆命题是 ,该逆命题是 (填“真”或“假”)命题.
【B层 能力进阶】
9.如图,在△ABC中,点D是AB上一点,连接CD,AC=2,BC=2,DB=1,CD=,则AB的长为 ( )
A.5 B.4 C.3 D.2
10.(易错警示题)(2023·重庆江津区期中)已知直角三角形两条边的长为6,8,则这个直角三角形的第三边长为 .
11.已知等腰△ABC的底边BC=5,D是腰AB上一点,且CD=4,BD=3,则AD的长为 .
12.命题“如果a>0,b>0,那么ab>0”的逆命题是 命题.(填“真”或“假”)
13.(传统文化成就)(2024·永州中考)我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”,极富创新意识地给出了勾股定理的证明.如图所示,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,则AE= .
【C层 创新挑战】(选做)
14.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=6,若点P是边AB上的一个动点,以每秒3个单位的速度按照从A→B→A运动,同时点Q从B→C以每秒1个单位的速度运动,当一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动.在运动过程中,设运动时间为t,若△BPQ为直角三角形,求t的值.
