七 线段的垂直平分线(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1线段垂直平分线的性质
1.(2023·西安质检)如图,在△ABC中,AC=5,AB的垂直平分线分别交AB,AC于点E,D.若△BCD的周长为8,则BC的长为 (C)
A.1 B.2 C.3 D.4
2.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线DE与边AB,AC分别交于点D,E,已知△ABC与△BCE的周长分别为18 cm和10 cm,则BD的长为 (B)
A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm
3.(2023·丽水中考)如图,在△ABC中,AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E,∠B=∠ADB.若AB=4,则DC的长是 4 .
4.(2023·重庆期中)如图,在△ABC中,已知AC=20,AB边的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,若△BCE的周长为35,则BC的长为 15 .
5.在△ABC中,∠C=90°,DE垂直平分斜边AB,分别交AB,BC于D,E.若∠CAB=∠B+30°,求∠AEB.
【解析】∵DE垂直平分斜边AB,∴AE=BE,
∴∠EAB=∠B.
∵∠CAB=∠B+30°,∠CAB=∠CAE+∠EAB,∴∠CAE=30°.
∵∠C=90°,∴∠AEC=60°,∴∠AEB=120°.
知识点2垂直平分线的判定
6.如图,电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔.按照设计要求,发射塔到两个城镇M,N的距离必须相等,则发射塔应该建在 (C)
A.A处 B.B处 C.C处 D.D处
7.如图,点E,F,G,Q,H在一条直线上,且EF=GH,我们知道按如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线.下列说法正确的是 (A)
A.l是线段EH的垂直平分线
B.l是线段EQ的垂直平分线
C.l是线段FH的垂直平分线
D.EH是l的垂直平分线
8.(2023·渭南一模)如图,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,求证:AD垂直平分EF.
【证明】略
【B层 能力进阶】
9.(2023·济南市中区质检)如图,在△ABC中,∠A=70°,点O是AB,AC垂直平分线的交点,则∠BCO的度数为 (A)
A.20° B.30° C.25° D.35°
10.如图,在锐角△ABC中,直线l为BC的垂直平分线,直线m为∠ABC的平分线,l与m相交于P点.若∠BAC=60°,∠ACP=24°,则∠ABP= (C)
A.24° B.30° C.32° D.36°
11.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,ED是AC的垂直平分线,交AC于点D,交BC于点E,∠BAE=10°,则∠C的度数是 40° .
12.如图,在△ABC中,AC=4,∠A=60°,∠B=45°,BC边的垂直平分线DE交AB于点D,交BC于点E,连接CD,则AB的长为 2+2 .
13.如图,已知AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分别为点C和点D,AC与BD交于点O,AC=BD,点E是AB的中点,连接OE.
(1)求证:BC=AD;
(2)求证:线段OE所在的直线是AB的垂直平分线.
【证明】(1)∵AC⊥BC,BD⊥AD,
∴∠D=∠C=90°,
∵BD=AC,AB=BA,
∴Rt△ADB≌Rt△BCA(HL),
∴BC=AD;
(2)∵∠D=∠C=90°,∠AOD=∠BOC,AD=BC,∴△ADO≌△BCO(AAS),
∴AO=BO,
∴点O在AB的垂直平分线上,
∵点E是AB的中点,∴AE=BE,
∴点E在AB的垂直平分线上,
∴线段OE所在的直线是AB的垂直平分线.
【C层 创新挑战】(选做)
14.如图,在△ABC中,AF平分∠BAC,AC的垂直平分线DE交BC于点E,交AC于点D.若DE=2 cm,∠B=70°,∠FAE=10°,求∠C的度数和CE的长度.
【解析】∵DE是AC的垂直平分线,∠B=70°,∠FAE=10°,
∴EA=EC,∴∠EAC=∠C,
∴∠FAC=∠EAC+10°=∠C+10°,
∵AF平分∠BAC,∴∠FAB=∠EAC+10°=∠C+10°,
∵∠B+∠BAC+∠C=180°,
∴70°+2(∠C+10°)+∠C=180°,
解得∠C=30°,
∵DE⊥AC,DE=2 cm,
∴CE=2DE=4 cm.八 线段的垂直平分线(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1三角形三边垂直平分线的交点
1.如图,有A,B,C三个居民小区的位置成三角形,现决定在三个小区之间修建一个购物超市,使超市到三个小区的距离相等,则超市应建在 ( )
A.△ABC三条边的垂直平分线的交点处
B.△ABC三条角平分线的交点处
C.△ABC三条高线的交点处
D.△ABC三条中线的交点处
2.如图,点P是AC,BC的垂直平分线的交点,则点P AB的垂直平分线上.(填“在”或“不在”)
3.如图,在△ABC中,AC的垂直平分线PD与BC的垂直平分线PE交于点P,垂足分别为D,E,连接PA,PB,PC,若∠PAD=45°,则∠ABC= °.
4.(2023·周口质检)如图,在△ABC中,DM,EN分别垂直平分边AC和边BC,交边AB于M,N两点,DM与EN相交于点F.
(1)若AB=5,则△CMN的周长为 ;
(2)若∠MFN=70°,求∠MCN的度数.
知识点2线段垂直平分线的尺规作图
5.如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=52°,以点C为圆心,CA长为半径作弧交AB于点D,分别以点A和点D为圆心,大于AD的长为半径作弧,两弧相交于点E,作直线CE交AB于点F,则∠ACF的度数是 ( )
A.24° B.26° C.14° D.18°
6.(2023·苏州一模)如图,在△ABC中,∠B=45°,AC=2.分别以点B和点C为圆心,以大于BC的长为半径作弧,两弧相交于点M和N,作直线MN交边AB于点E.若BE=4,则AE的长为 .
7. (2023·广元中考)如图,a∥b,直线l与直线a,b分别交于B,A两点,分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于点E,F,作直线EF,分别交直线a,b于点C,D,连接AC,若∠CDA=34°,则∠CAB的度数为 .
【B层 能力进阶】
8.如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,以相同的长(大于AB)为半径作弧,两弧相交于点M和点N,作直线MN交AB于点D,交AC于点E,连接CD.若△CDB的面积为12,△ADE的面积为9,则四边形EDBC的面积为 ( )
A.15 B.16 C.18 D.20
9.如图,在△ABC中,AB=AC=5,观察尺规作图的痕迹,若BE=2,则BC的长是
.
10.如图,△ABC中,边AB,AC的垂直平分线相交于点O,过O作OD⊥BC,若OA=4,OD=3,则BC= .
11.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,AD平分∠BAC交BC于点D,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径作弧,两弧相交于点M和点N,作直线MN,交AD于点E,则DE的长为 .
12.已知△ABC,∠C=90°,AC=3,BC=8.
(1)试用直尺和圆规作AB的中垂线.(不写作法,保留痕迹)
(2)AB的中垂线交BC于点D,求△ACD的面积.
【C层 创新挑战】(选做)
13.(教材再开发·P26随堂练习拓展)
(2023·宿州质检)在△ABC中,DE垂直平分AB,分别交AB,BC于点D,E,MN垂直平分AC,分别交AC,BC于点M,N.
(1)如图1,若∠B=32°,∠C=36°,则∠EAN= °;
(2)如图1,若∠BAC=108°,求∠EAN的度数;
(3)如图2,若∠BAC=78°,求∠EAN的度数;
(4)通过以上的探索过程,直接写出∠EAN的度数与∠B,∠C的关系.八 线段的垂直平分线(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1三角形三边垂直平分线的交点
1.如图,有A,B,C三个居民小区的位置成三角形,现决定在三个小区之间修建一个购物超市,使超市到三个小区的距离相等,则超市应建在 (A)
A.△ABC三条边的垂直平分线的交点处
B.△ABC三条角平分线的交点处
C.△ABC三条高线的交点处
D.△ABC三条中线的交点处
2.如图,点P是AC,BC的垂直平分线的交点,则点P 在 AB的垂直平分线上.(填“在”或“不在”)
3.如图,在△ABC中,AC的垂直平分线PD与BC的垂直平分线PE交于点P,垂足分别为D,E,连接PA,PB,PC,若∠PAD=45°,则∠ABC= 45 °.
4.(2023·周口质检)如图,在△ABC中,DM,EN分别垂直平分边AC和边BC,交边AB于M,N两点,DM与EN相交于点F.
(1)若AB=5,则△CMN的周长为 ;
(2)若∠MFN=70°,求∠MCN的度数.
【解析】略
知识点2线段垂直平分线的尺规作图
5.如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=52°,以点C为圆心,CA长为半径作弧交AB于点D,分别以点A和点D为圆心,大于AD的长为半径作弧,两弧相交于点E,作直线CE交AB于点F,则∠ACF的度数是 (C)
A.24° B.26° C.14° D.18°
6.(2023·苏州一模)如图,在△ABC中,∠B=45°,AC=2.分别以点B和点C为圆心,以大于BC的长为半径作弧,两弧相交于点M和N,作直线MN交边AB于点E.若BE=4,则AE的长为 2 .
7. (2023·广元中考)如图,a∥b,直线l与直线a,b分别交于B,A两点,分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于点E,F,作直线EF,分别交直线a,b于点C,D,连接AC,若∠CDA=34°,则∠CAB的度数为 56° .
【B层 能力进阶】
8.如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,以相同的长(大于AB)为半径作弧,两弧相交于点M和点N,作直线MN交AB于点D,交AC于点E,连接CD.若△CDB的面积为12,△ADE的面积为9,则四边形EDBC的面积为 (A)
A.15 B.16 C.18 D.20
9.如图,在△ABC中,AB=AC=5,观察尺规作图的痕迹,若BE=2,则BC的长是
2 .
10.如图,△ABC中,边AB,AC的垂直平分线相交于点O,过O作OD⊥BC,若OA=4,OD=3,则BC= 2 .
11.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,AD平分∠BAC交BC于点D,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径作弧,两弧相交于点M和点N,作直线MN,交AD于点E,则DE的长为 .
12.已知△ABC,∠C=90°,AC=3,BC=8.
(1)试用直尺和圆规作AB的中垂线.(不写作法,保留痕迹)
(2)AB的中垂线交BC于点D,求△ACD的面积.
【解析】(1)如图,直线MN即为所求.
(2)连接AD,
∵直线MN为线段AB的垂直平分线,
∴AD=BD,
设CD=x,则BD=AD=8-x,
在Rt△ACD中,
由勾股定理得,(8-x)2=x2+32,解得x=,∴△ACD的面积为CD·AC=××3=.
【C层 创新挑战】(选做)
13.(教材再开发·P26随堂练习拓展)
(2023·宿州质检)在△ABC中,DE垂直平分AB,分别交AB,BC于点D,E,MN垂直平分AC,分别交AC,BC于点M,N.
(1)如图1,若∠B=32°,∠C=36°,则∠EAN= °;
(2)如图1,若∠BAC=108°,求∠EAN的度数;
(3)如图2,若∠BAC=78°,求∠EAN的度数;
(4)通过以上的探索过程,直接写出∠EAN的度数与∠B,∠C的关系.
【解析】(1)∵DE垂直平分AB,∴EA=EB,
∴∠B=∠EAB,同理∠C=∠CAN,
∴∠EAB+∠CAN=∠B+∠C=32°+36°=68°,
∵∠BAC=180°-(∠B+∠C)=180°-68°=112°,∴∠EAN=∠BAC-(∠EAB+∠CAN)=112°-68°=44°.
答案:44
(2)∵DE垂直平分AB,∴EA=EB,
∴∠B=∠EAB,同理∠C=∠CAN,∴∠EAB+∠CAN=∠B+∠C=180°-∠BAC,∴∠EAN=∠BAC-(180°-∠BAC)=2∠BAC-180°=2×108°-180°=36°;
(3)∵DE垂直平分AB,∴EA=EB,
∴∠B=∠EAB,同理∠C=∠CAN,∴∠EAB+∠CAN=∠B+∠C=180°-∠BAC,
∴∠EAN=∠EAB+∠CAN-∠BAC=180°-2∠BAC=180°-2×78°=24°;
(4)略七 线段的垂直平分线(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1线段垂直平分线的性质
1.(2023·西安质检)如图,在△ABC中,AC=5,AB的垂直平分线分别交AB,AC于点E,D.若△BCD的周长为8,则BC的长为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线DE与边AB,AC分别交于点D,E,已知△ABC与△BCE的周长分别为18 cm和10 cm,则BD的长为 ( )
A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm
3.(2023·丽水中考)如图,在△ABC中,AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E,∠B=∠ADB.若AB=4,则DC的长是 .
4.(2023·重庆期中)如图,在△ABC中,已知AC=20,AB边的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,若△BCE的周长为35,则BC的长为 .
5.在△ABC中,∠C=90°,DE垂直平分斜边AB,分别交AB,BC于D,E.若∠CAB=∠B+30°,求∠AEB.
知识点2垂直平分线的判定
6.如图,电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔.按照设计要求,发射塔到两个城镇M,N的距离必须相等,则发射塔应该建在 ( )
A.A处 B.B处 C.C处 D.D处
7.如图,点E,F,G,Q,H在一条直线上,且EF=GH,我们知道按如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线.下列说法正确的是 ( )
A.l是线段EH的垂直平分线
B.l是线段EQ的垂直平分线
C.l是线段FH的垂直平分线
D.EH是l的垂直平分线
8.(2023·渭南一模)如图,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,求证:AD垂直平分EF.
【B层 能力进阶】
9.(2023·济南市中区质检)如图,在△ABC中,∠A=70°,点O是AB,AC垂直平分线的交点,则∠BCO的度数为 ( )
A.20° B.30° C.25° D.35°
10.如图,在锐角△ABC中,直线l为BC的垂直平分线,直线m为∠ABC的平分线,l与m相交于P点.若∠BAC=60°,∠ACP=24°,则∠ABP= ( )
A.24° B.30° C.32° D.36°
11.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,ED是AC的垂直平分线,交AC于点D,交BC于点E,∠BAE=10°,则∠C的度数是 .
12.如图,在△ABC中,AC=4,∠A=60°,∠B=45°,BC边的垂直平分线DE交AB于点D,交BC于点E,连接CD,则AB的长为 .
13.如图,已知AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分别为点C和点D,AC与BD交于点O,AC=BD,点E是AB的中点,连接OE.
(1)求证:BC=AD;
(2)求证:线段OE所在的直线是AB的垂直平分线.
【C层 创新挑战】(选做)
14.如图,在△ABC中,AF平分∠BAC,AC的垂直平分线DE交BC于点E,交AC于点D.若DE=2 cm,∠B=70°,∠FAE=10°,求∠C的度数和CE的长度.
