十 角平分线(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点 三角形中三条角平分线的性质
1.如图,AE与BF交于点O,点O在CG上,根据尺规作图的痕迹,判断下列说法不正确的是 (C)
A.AE,BF是△ABC的角平分线
B.CG是△ABC的一条角平分线
C.AO=BO=CO
D.点O到△ABC三边的距离相等
2.如图,在△ABC中,点O是△ABC内一点,且点O到△ABC三边的距离相等,若∠A=70°,则∠BOC的度数为 (A)
A.125° B.135° C.105° D.155°
3.如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,O为△ABC角平分线的交点,若△ABO的面积为30,则△ACO的面积为 (D)
A.18 B.20 C.22 D.24
4.如图,有三条公路两两相交,要选择一地点建一座加油站,若要使加油站到三条公路的距离相等,则加油站的位置有几种选择 (D)
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
5.如图,已知△ABC的周长是21,OB,OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于点D,且OD=4,则△ABC的面积是 (A)
A.42 B.43 C.44 D.45
6.如图,在△ABC中,∠BAC和∠ABC的平分线AE,BF相交于点O,AE交BC于E,BF交AC于F,过点O作OD⊥BC于D,若AB=8,OD=1,则△AOB的面积为 4 .
7.已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,AD,CE是角平分线,AD与CE相交于点F,FM⊥AB,FN⊥BC,垂足分别为点M,N.
求证:FE=FD.
【证明】略
8.如图,点I是△ABC三条角平分线的交点,△ABI的面积记为S1,△ACI的面积记为S2,△BCI的面积记为S3,请说明S1+S2与S3的大小关系.
【解析】∵点I是△ABC三条角平分线的交点,
∴△ABI,△BIC和△AIC的高相等,设为h.
∵△ABI的面积记为S1,△ACI的面积记为S2,△BCI的面积记为S3,∴S1+S2=AB·h+AC·h=(AB+AC)·h,S3=BC·h,
由△ABC的三边关系得AB+AC>BC,
∴S1+S2>S3.
【B层 能力进阶】
9.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,点I为△ABC各内角平分线的交点,过I点作AC的垂线,垂足为点H,若BC=6,AB=8,AC=10,那么IH的值为 (A)
A.2 B.3 C.4 D.5
10.如图,在∠AOB的边OA,OB上取点M,N,连接MN,MP平分∠AMN,NP平分
∠MNB,若MN=2,△PMN的面积是2,△OMN的面积是8,则OM+ON的长
是 10 .
11.如图,CO,BO是△ABC的两个外角∠PCB,∠QBC的平分线,OM⊥AP,ON⊥AQ,且OM=ON.下列结论中正确的有 3 个.
①∠PAO=∠QAO;②∠AOB=∠ACB;
③2∠COB=180°+∠CAB;
④∠PAQ+2∠COB=180°.
12.如图,已知AC∥BD,AE,BE分别平分∠CAB和∠DBA,点E在线段CD上.
(1)求∠AEB的度数;
(2)求证:CE=DE.
【解析】(1)∵AC∥BD,∴∠CAB+∠ABD=180°,
∵AE平分∠CAB,∴∠EAB=∠CAB,
同理可得∠EBA=∠ABD,
∴∠EAB+∠EBA=90°,
∴∠AEB=90°;
(2)如图,在AB上截取AF=AC,连接EF,
在△ACE和△AFE中,,
∴△ACE≌△AFE(SAS),
∴CE=FE,∠CEA=∠FEA,
∵∠CEA+∠DEB=90°,∠FEA+∠FEB=90°,∴∠DEB=∠FEB,
在△DEB和△FEB中,,
∴△DEB≌△FEB(ASA),
∴ED=EF,∴ED=CE.
【C层 创新挑战】(选做)
13.在△ABC中,AF,BE分别平分∠BAC和∠ABC,AF和BE相交于点D.
(1)如图1,若∠ADB=110°,求∠C的度数;
(2)如图2,连接CD,求证:CD平分∠ACB;
(3)如图3,若2∠BAF+3∠ABE=180°,求证:BE-BF=AB-AE.
【解析】略九 角平分线(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1角平分线的性质
1.如图,OC平分∠AOB,CP⊥OB于点P,CP=3,点Q在OA上,OQ=6,则△OCQ的面积为( )
A. B.6
C.9 D.18
2.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,AD是∠CAB的平分线,设△ACD,△ABD的面积分别是S1,S2,则S1∶S2等于 ( )
A.3∶4 B.4∶5
C.3∶7 D.3∶5
3.(2023·湘潭中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,按以下步骤作图:①以点A为圆心,以小于AC长为半径作弧,分别交AC,AB于点M,N;②分别以M,N为圆心,以大于MN的长为半径作弧,在∠BAC内两弧交于点O;③作射线AO,交BC于点D.若点D到AB的距离为1,则CD的长为 .
4.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB,垂足为点E,若BC=4,DE=1.6,则BD的长为 .
5.如图所示,D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点.DE⊥AC,DF⊥CG,垂足分别为E,F.求证:CE=CF.
知识点2角平分线的判定定理
6.在正方形网格中,M,N,P,Q均是格点,∠AOB的位置如图所示,则到∠AOB的两边距离相等的格点是 ( )
A.点M B.点N
C.点P D.点Q
7.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,连接BD,∠ABD=35°,BD⊥CD,过点D作DP⊥BC于点P,若AD=DP,则∠C的度数为 ( )
A.55° B.35° C.60° D.80°
8.已知∠DAB=∠CBE=90°,点E是线段AB的中点,CE平分∠DCB且与DA的延长线相交于点F.求证:DE平分∠FDC.
【B层 能力进阶】
9.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB于点E.若AB=2,DB=2,则△ACD的周长为 ( )
A.3 B.2+
C.3+ D.4
10.(2023·随州中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,D为AC上一点,若BD是∠ABC的平分线,则AD= .
11.如图,在△ABC中,CD是AB边上的高,BE平分∠ABC,交CD于点E,
已知,BC=8,DE=2,则△BCE的面积等于 .
12.如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,BD为角平分线,延长BC到点E,使CE=CD,作DH⊥BE,垂足为点H.
(1)求证:点H为BE的中点;
(2)探究∠A为多少度时,AD=HC.
13.(2023·西安质检)如图,点P是∠MON中一点,PA⊥OM于点A,PB⊥ON于点B,连接AB,∠PAB=∠PBA.
(1)求证:OP平分∠MON;
(2)若∠MON=60°,OA=2,求△PAB的面积.
【C层 创新挑战】(选做)
14.如图,在△ABC中,点D在BC边上,∠BAD=100°,∠ABC的平分线交AC于点E,过点E作EF⊥AB,垂足为点F,且∠AEF=50°,连接DE.
(1)求∠CAD的度数;
(2)求证:DE平分∠ADC;
(3)若AB=7,AD=4,CD=8,且S△ACD=15,求△ABE的面积.十 角平分线(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点 三角形中三条角平分线的性质
1.如图,AE与BF交于点O,点O在CG上,根据尺规作图的痕迹,判断下列说法不正确的是 ( )
A.AE,BF是△ABC的角平分线
B.CG是△ABC的一条角平分线
C.AO=BO=CO
D.点O到△ABC三边的距离相等
2.如图,在△ABC中,点O是△ABC内一点,且点O到△ABC三边的距离相等,若∠A=70°,则∠BOC的度数为 ( )
A.125° B.135° C.105° D.155°
3.如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,O为△ABC角平分线的交点,若△ABO的面积为30,则△ACO的面积为 ( )
A.18 B.20 C.22 D.24
4.如图,有三条公路两两相交,要选择一地点建一座加油站,若要使加油站到三条公路的距离相等,则加油站的位置有几种选择 ( )
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
5.如图,已知△ABC的周长是21,OB,OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于点D,且OD=4,则△ABC的面积是 ( )
A.42 B.43 C.44 D.45
6.如图,在△ABC中,∠BAC和∠ABC的平分线AE,BF相交于点O,AE交BC于E,BF交AC于F,过点O作OD⊥BC于D,若AB=8,OD=1,则△AOB的面积为 .
7.已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,AD,CE是角平分线,AD与CE相交于点F,FM⊥AB,FN⊥BC,垂足分别为点M,N.
求证:FE=FD.
8.如图,点I是△ABC三条角平分线的交点,△ABI的面积记为S1,△ACI的面积记为S2,△BCI的面积记为S3,请说明S1+S2与S3的大小关系.
【B层 能力进阶】
9.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,点I为△ABC各内角平分线的交点,过I点作AC的垂线,垂足为点H,若BC=6,AB=8,AC=10,那么IH的值为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
10.如图,在∠AOB的边OA,OB上取点M,N,连接MN,MP平分∠AMN,NP平分
∠MNB,若MN=2,△PMN的面积是2,△OMN的面积是8,则OM+ON的长
是 .
11.如图,CO,BO是△ABC的两个外角∠PCB,∠QBC的平分线,OM⊥AP,ON⊥AQ,且OM=ON.下列结论中正确的有 个.
①∠PAO=∠QAO;②∠AOB=∠ACB;
③2∠COB=180°+∠CAB;
④∠PAQ+2∠COB=180°.
12.如图,已知AC∥BD,AE,BE分别平分∠CAB和∠DBA,点E在线段CD上.
(1)求∠AEB的度数;
(2)求证:CE=DE.
【C层 创新挑战】(选做)
13.在△ABC中,AF,BE分别平分∠BAC和∠ABC,AF和BE相交于点D.
(1)如图1,若∠ADB=110°,求∠C的度数;
(2)如图2,连接CD,求证:CD平分∠ACB;
(3)如图3,若2∠BAF+3∠ABE=180°,求证:BE-BF=AB-AE.九 角平分线(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1角平分线的性质
1.如图,OC平分∠AOB,CP⊥OB于点P,CP=3,点Q在OA上,OQ=6,则△OCQ的面积为(C)
A. B.6
C.9 D.18
2.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,AD是∠CAB的平分线,设△ACD,△ABD的面积分别是S1,S2,则S1∶S2等于 (D)
A.3∶4 B.4∶5
C.3∶7 D.3∶5
3.(2023·湘潭中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,按以下步骤作图:①以点A为圆心,以小于AC长为半径作弧,分别交AC,AB于点M,N;②分别以M,N为圆心,以大于MN的长为半径作弧,在∠BAC内两弧交于点O;③作射线AO,交BC于点D.若点D到AB的距离为1,则CD的长为 1 .
4.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB,垂足为点E,若BC=4,DE=1.6,则BD的长为 2.4 .
5.如图所示,D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点.DE⊥AC,DF⊥CG,垂足分别为E,F.求证:CE=CF.
【证明】略
知识点2角平分线的判定定理
6.在正方形网格中,M,N,P,Q均是格点,∠AOB的位置如图所示,则到∠AOB的两边距离相等的格点是 (A)
A.点M B.点N
C.点P D.点Q
7.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,连接BD,∠ABD=35°,BD⊥CD,过点D作DP⊥BC于点P,若AD=DP,则∠C的度数为 (A)
A.55° B.35° C.60° D.80°
8.已知∠DAB=∠CBE=90°,点E是线段AB的中点,CE平分∠DCB且与DA的延长线相交于点F.求证:DE平分∠FDC.
【证明】略
【B层 能力进阶】
9.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB于点E.若AB=2,DB=2,则△ACD的周长为 (C)
A.3 B.2+
C.3+ D.4
10.(2023·随州中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,D为AC上一点,若BD是∠ABC的平分线,则AD= 5 .
11.如图,在△ABC中,CD是AB边上的高,BE平分∠ABC,交CD于点E,
已知,BC=8,DE=2,则△BCE的面积等于 8 .
12.如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,BD为角平分线,延长BC到点E,使CE=CD,作DH⊥BE,垂足为点H.
(1)求证:点H为BE的中点;
(2)探究∠A为多少度时,AD=HC.
【解析】(1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠4,
∵BD平分∠ABC,∴∠1=∠2,∴∠4=2∠2,
∵CE=CD,∴∠3=∠E,
∴∠4=∠3+∠E=2∠E,∴∠2=∠E,
∴△BDE为等腰三角形,BD=ED,
∵DH⊥BE,∴点H为BE的中点;
(2)当∠A=90°时,AD=HC.
理由:∵BD为∠ABC的平分线,DH⊥BE,DA⊥BA,∴AD=DH,
∵AB=AC,∴△ABC为等腰直角三角形,
∴∠DCH=45°,
∵∠DHC=90°,∴△DHC为等腰直角三角形,
∴DH=HC,∴AD=HC.
13.(2023·西安质检)如图,点P是∠MON中一点,PA⊥OM于点A,PB⊥ON于点B,连接AB,∠PAB=∠PBA.
(1)求证:OP平分∠MON;
(2)若∠MON=60°,OA=2,求△PAB的面积.
【解析】(1)∵∠PAB=∠PBA,∴PA=PB.
∵PA⊥OM,PB⊥ON,∴OP平分∠MON.
(2)∵∠MON=60°,PA⊥OM,PB⊥ON,
∴∠AOP=30°.
∵OA=OB,∴△AOB是等边三角形,
∴△AOB的面积为,
∵OA=2,∴AP=,∴△AOP的面积=OA·PA=×2×=,
∴S△PAB=2S△AOP-S△AOB=-=.
【C层 创新挑战】(选做)
14.如图,在△ABC中,点D在BC边上,∠BAD=100°,∠ABC的平分线交AC于点E,过点E作EF⊥AB,垂足为点F,且∠AEF=50°,连接DE.
(1)求∠CAD的度数;
(2)求证:DE平分∠ADC;
(3)若AB=7,AD=4,CD=8,且S△ACD=15,求△ABE的面积.
【解析】略
