第一章 三角形的证明(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.用反证法证明“若a≥b>0,则a2≥b2”,应先假设 ( )
A.a2.下列各组数中,能构成直角三角形的是 ( )
A.4,5,7 B.1,2,
C.6,8,11 D.5,12,23
3.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是点E,F,则下列结论错误的是 ( )
A.∠ADC=90° B.DE=DF
C.AD=BC D.BD=CD
4.如图,已知∠ABC=60°,点D为BA边上一点,BD=10,点O为线段BD的中点,以点O为圆心,线段OB长为半径作弧,交BC于点E,连接DE,则BE的长是 ( )
A.5 B.5
C.5 D.5
5.(2024·黄石中考)如图,在△ABC中,分别以A,C为圆心,大于AC长为半径作弧,两弧分别相交于M,N两点,作直线MN,分别交线段BC,AC于点D,E,
若AE=2 cm,△ABD的周长为11 cm,则△ABC的周长为 ( )
A.13 cm B.14 cm
C.15 cm D.16 cm
6.(2024·海南中考)如图,在△ABC中,AB=AC,以点B为圆心,适当长为半径画弧,交BA于点M,交BC于点N,分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧在∠ABC的内部相交于点P,画射线BP,交AC于点D,若AD=BD,则∠A的度数是( )
A.36° B.54° C.72° D.108°
7.如图,∠AOE=15°,OE平分∠AOB,DE∥OB,ED交OA于点D,EC⊥OB,垂足为C.若EC=2,则OD的长为 ( )
A.2 B.2 C.4 D.4+2
8.(2023·本溪中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,以点A为圆心,适当长为半径作弧,分别交AB,AC于点E,F,分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径作弧,两弧在∠BAC的内部相交于点G,作射线AG,交BC于点D,则BD的长为 ( )
A. B. C. D.
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.如图,已知在Rt△ABC中,∠A=90°,EF∥BC,若∠1=50°,则∠C的度数为 .
10.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠ACB=1∶2∶3,CD⊥AB于点D,AB=a,
则DB等于 .
11.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=20°,分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧分别相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则∠CAD的度数为 .
12.(2024·株洲中考)如图所示,点O在一块直角三角板ABC上(其中∠ABC=30°),OM⊥AB于点M,ON⊥BC于点N,若OM=ON,则∠ABO= 度.
13.等边三角形ABC中,D是边BC上的一点,BD=2CD,以AD为边作等边三角形ADE,连接CE.若CE=2,则等边三角形ABC的边长为 .
14. (2023·通辽中考)如图,等边三角形ABC的边长为6 cm,动点P从点A出发以
2 cm/s的速度沿AB向点B匀速运动,过点P作PQ⊥AB,交边AC于点Q,以PQ为边作等边三角形PQD,使点A,D在PQ异侧,当点D落在BC边上时,点P需移动 s.
三、解答题(共52分)
15.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,D是BC边上的一点,以AD为直角边作等腰Rt△ADE,其中∠DAE=90°,连接CE.
(1)求证:△ABD≌△ACE;
(2)若∠BAD=22.5°,求BD的长.
16.(8分)(2023·广西中考)如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=90°.
(1)在斜边AC上求作线段AO,使AO=BC,连接OB;(要求:尺规作图并保留作图痕迹,不写作法,标明字母)
(2)若OB=2,求AB的长.
17.(8分)(2024·温州中考)如图,BD是△ABC的角平分线,DE∥BC,交AB于点E.
(1)求证:∠EBD=∠EDB.
(2)当AB=AC时,请判断CD与ED的大小关系,并说明理由.
18.(8分)(2024·怀化中考)如图,在等边三角形ABC中,点M为AB边上任意一点,延长BC至点N,使CN=AM,连接MN交AC于点P,MH⊥AC于点H.
(1)求证:MP=NP;
(2)若AB=a,求线段PH的长(结果用含a的代数式表示).
19.(10分)如图,在△ABC中,∠ABC=70°,AB=AC=16,D为BC中点,点N在线段AD上,NM∥AC交AB于点M,BN=6.
(1)求∠CAD的度数;
(2)求△BMN的周长.
20.(10分)如图,在△ABC中,AB=20 cm,BC=16 cm,点D为线段AB的中点,动点P以2 cm/s的速度从B点出发在射线BC上运动,同时点Q以a cm/s的速度从C点出发在线段CA上运动,设运动时间为t(s).
(1)若AB=AC,P在线段BC上,求当a为何值时,能够使△BPD和△CQP全等
(2)若∠B=60°,求点P出发多长时间后,△BDP为直角三角形 第一章 三角形的证明(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.用反证法证明“若a≥b>0,则a2≥b2”,应先假设 (C)
A.a2.下列各组数中,能构成直角三角形的是 (B)
A.4,5,7 B.1,2,
C.6,8,11 D.5,12,23
3.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是点E,F,则下列结论错误的是 (C)
A.∠ADC=90° B.DE=DF
C.AD=BC D.BD=CD
4.如图,已知∠ABC=60°,点D为BA边上一点,BD=10,点O为线段BD的中点,以点O为圆心,线段OB长为半径作弧,交BC于点E,连接DE,则BE的长是 (A)
A.5 B.5
C.5 D.5
5.(2024·黄石中考)如图,在△ABC中,分别以A,C为圆心,大于AC长为半径作弧,两弧分别相交于M,N两点,作直线MN,分别交线段BC,AC于点D,E,
若AE=2 cm,△ABD的周长为11 cm,则△ABC的周长为 (C)
A.13 cm B.14 cm
C.15 cm D.16 cm
6.(2024·海南中考)如图,在△ABC中,AB=AC,以点B为圆心,适当长为半径画弧,交BA于点M,交BC于点N,分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧在∠ABC的内部相交于点P,画射线BP,交AC于点D,若AD=BD,则∠A的度数是(A)
A.36° B.54° C.72° D.108°
7.如图,∠AOE=15°,OE平分∠AOB,DE∥OB,ED交OA于点D,EC⊥OB,垂足为C.若EC=2,则OD的长为 (C)
A.2 B.2 C.4 D.4+2
8.(2023·本溪中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,以点A为圆心,适当长为半径作弧,分别交AB,AC于点E,F,分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径作弧,两弧在∠BAC的内部相交于点G,作射线AG,交BC于点D,则BD的长为 (D)
A. B. C. D.
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.如图,已知在Rt△ABC中,∠A=90°,EF∥BC,若∠1=50°,则∠C的度数为 40° .
10.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠ACB=1∶2∶3,CD⊥AB于点D,AB=a,
则DB等于 .
11.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=20°,分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧分别相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则∠CAD的度数为 50° .
12.(2024·株洲中考)如图所示,点O在一块直角三角板ABC上(其中∠ABC=30°),OM⊥AB于点M,ON⊥BC于点N,若OM=ON,则∠ABO= 15 度.
13.等边三角形ABC中,D是边BC上的一点,BD=2CD,以AD为边作等边三角形ADE,连接CE.若CE=2,则等边三角形ABC的边长为 3 .
14. (2023·通辽中考)如图,等边三角形ABC的边长为6 cm,动点P从点A出发以
2 cm/s的速度沿AB向点B匀速运动,过点P作PQ⊥AB,交边AC于点Q,以PQ为边作等边三角形PQD,使点A,D在PQ异侧,当点D落在BC边上时,点P需移动 1 s.
三、解答题(共52分)
15.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,D是BC边上的一点,以AD为直角边作等腰Rt△ADE,其中∠DAE=90°,连接CE.
(1)求证:△ABD≌△ACE;
(2)若∠BAD=22.5°,求BD的长.
【解析】(1)∵∠BAC=90°=∠DAE,∴∠BAD=∠CAE,
在△ABD和△ACE中,,
∴△ABD≌△ACE(SAS);
(2)∵∠BAC=90°,AB=AC=1,
∴BC=,∠B=∠ACB=45°,
∵∠BAD=22.5°,∴∠ADC=67.5°=∠CAD,
∴AC=CD=1,∴BD=-1.
16.(8分)(2023·广西中考)如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=90°.
(1)在斜边AC上求作线段AO,使AO=BC,连接OB;(要求:尺规作图并保留作图痕迹,不写作法,标明字母)
(2)若OB=2,求AB的长.
【解析】(1)所作线段AO如图所示:
(2)因为∠A=30°,∠ABC=90°,∴AC=2BC,
∵AO=BC,∴AC=2AO,
∴OC=AO,即点O为AC的中点,
∵OB=2,∴AC=2OB=4,
∴BC=2,∴AB==2.
17.(8分)(2024·温州中考)如图,BD是△ABC的角平分线,DE∥BC,交AB于点E.
(1)求证:∠EBD=∠EDB.
(2)当AB=AC时,请判断CD与ED的大小关系,并说明理由.
【解析】(1)∵BD是△ABC的角平分线,∴∠CBD=∠EBD,
∵DE∥BC,∴∠CBD=∠EDB,∴∠EBD=∠EDB.
(2)CD=ED,理由如下:∵AB=AC,∴∠C=∠ABC,
∵DE∥BC,∴∠ADE=∠C,∠AED=∠ABC,
∴∠ADE=∠AED,∴AD=AE,∴CD=BE,
由(1)得,∠EBD=∠EDB,∴BE=DE,∴CD=ED.
18.(8分)(2024·怀化中考)如图,在等边三角形ABC中,点M为AB边上任意一点,延长BC至点N,使CN=AM,连接MN交AC于点P,MH⊥AC于点H.
(1)求证:MP=NP;
(2)若AB=a,求线段PH的长(结果用含a的代数式表示).
【解析】(1)过点M作MQ∥BC,交AC于点Q,如图所示,
在等边△ABC中,∠A=∠B=∠ACB=60°,
∵MQ∥BC,∴∠AMQ=∠B=60°,∠AQM=∠ACB=60°,∠QMP=∠N,∴△AMQ是等边三角形,∴AM=QM,
∵AM=CN,∴QM=CN,
在△QMP和△CNP中,,
∴△QMP≌△CNP(AAS),
∴MP=NP;
(2)∵△AMQ是等边三角形,且MH⊥AC,∴AH=HQ,
∵△QMP≌△CNP,∴QP=CP,∴PH=HQ+QP=AC,
∵AB=a,AB=AC,∴PH=a.
19.(10分)如图,在△ABC中,∠ABC=70°,AB=AC=16,D为BC中点,点N在线段AD上,NM∥AC交AB于点M,BN=6.
(1)求∠CAD的度数;
(2)求△BMN的周长.
【解析】(1)∵AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形,
∵∠ABC=70°,
∴∠BAC=180°-70°×2=40°,
∵D为BC的中点,
∴AD平分∠BAC,
∴∠CAD=∠BAD=∠BAC=×40°=20°,
故∠CAD的度数为20°;
(2)∵NM∥AC,
∴∠ANM=∠CAD,
∵∠CAD=∠BAD,
∴∠ANM=∠BAD,
∴AM=NM,
∴△BMN的周长为MB+BN+NM=AB+BN,
∵AB=16,BN=6,
∴△BMN的周长为16+6=22.
20.(10分)如图,在△ABC中,AB=20 cm,BC=16 cm,点D为线段AB的中点,动点P以2 cm/s的速度从B点出发在射线BC上运动,同时点Q以a cm/s的速度从C点出发在线段CA上运动,设运动时间为t(s).
(1)若AB=AC,P在线段BC上,求当a为何值时,能够使△BPD和△CQP全等
(2)若∠B=60°,求点P出发多长时间后,△BDP为直角三角形
【解析】(1)由题意得BP=2t cm,CQ=at cm,则CP=(16-2t)cm,
∵AB=AC,∴∠B=∠C,
当△BPD≌△CQP,
即BP=CQ时,则2t=at,∴a=2;
当△BPD≌△CPQ,即BP=CP,BD=CQ时,
∵D是AB的中点,∴BD=10 cm,
∴,∴a=,
综上所述,当a=2或a=时,能够使△BPD和△CQP全等;
(2)如图1所示,当∠BPD=90°时,
∵∠B=60°,∴∠BDP=30°,∴BD=2BP,
∴4t=10,∴t=2.5;
如图2所示,当∠BDP=90°时,同理可得∠BPD=30°,
∴BP=2BD,∴2t=20,∴t=10,
∴点P出发2.5 s或10 s后,△BDP为直角三角形.
