沪科版数学九年级上册相似型培优提尖之折叠问题
一、选择题
1．（2024·拱墅模拟）如图，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点的对称点落在边AB上，点的对称点为点F，EF交AD于点，连接CG交PQ于点，连接，下列说法错误的是（ ）
A． B．当时，
C．当时，或3 D．
2．（2024八下·苏州月考）如图，在纸片中，，点分别在上，连结，将沿翻折，使点A的对应点F落在的延长线上，若平分，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024七下·顺河期末）如图，在中，，翻折，使点落在直角边上某一点处，折痕为，点、分别在边、上，若与相似，则的长为（ ）
A． B． C．或 D．或
二、填空题
4．（2024九下·商水模拟）如图，在矩形中，，点E，F分别在边和上，将沿着折叠得到将 沿着折叠得到（点 在矩形内部），且三点共线；连接，当为等腰三角形时，的长为 ．
5．（2024九下·福州模拟）如图，在菱形中，，点是边上任意两点，将菱形沿翻折，点恰巧落在对角线上的点处，下列结论：
①；②若，则；③若菱形边长为4，是的中点，连接，则；④若，则，其中正确结论是 ．
6．（2024九上·奉贤月考）如图，在中，，，，点E、F分别在边，上，沿直线将翻折，点B落在点P处，如果且，则 ．
7．（2024八下·威海经济技术开发期末）如图，在等腰直角中，，M为边上任意一点，连接，将沿翻折得到，连接并延长交于点N，若点N为的中点，则的长为 ．
8．（2024九下·历城模拟）如图， 正方形中，，点E为上一动点，将三角形沿折叠，点A落在点F处，连接并延长，与边交于点G，若点G为中点，则 ．
三、解答题
9．（2024九上·鄞州月考）（1）如图1，矩形中，，，交于点E，则的值是 ．
（2）如图2，中，，，，D为边上一点，连接，，交于点E，若，求的长．
（3）如图3，在矩形中，，点F，G分别在，上，以为折痕，将四边形翻折，使顶点A落在上的点E处，且，连接，设的面积为，的面积为，的面积为，若，请求出的值．
10．（2024九下·温州模拟）【模型搭建】（1）如图1，是等边三角形的边上一点，现将折叠，使点与点重合，折痕为，点分别在和上．
①若，则______．
②若，与的周长分别为，则______，______．
【灵活应用】（2）如图2，在中，，，点分别在边上将沿向下翻折至，连结平分．若，，求的长．
四、实践探究题
11．（2024九下·东营模拟）综合与实践
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．在矩形中，E为射线上一动点，连接．
（1）当点E在边上时，将沿翻折，使点B恰好落在对角线上点F处，交于点G．
基础探究：
①如图1，若，则的度数为___________．
深入探究：
②如图2，当，且时，求的长．
拓展探究：
（2）在②所得矩形中，将矩形沿进行翻折，点C的对应点为，当点E，，D三点共线时，请直接写出的长．
12．（2024九上·蓬溪期末）
（1）【初步探究】把矩形纸片如图①折叠，当点B的对应点在的中点时，填空： （“”或“”）．
（2）【类比探究】
如图②，当点B的对应点为上的任意一点时，请判断（1）中结论是否成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由．
（3）【问题解决】
在矩形中，，点E为中点，点P为线段上一个动点，连接，将沿折叠得到，连接，当为直角三角形时，的长为 ．
五、综合题
13．（2024八下·荆州期末）如图，已知，，，为线段上一动点将沿翻折至，延长交射线于点
（1）如图，当为的中点时，求出的长．
（2）如图，延长交于点，连接，求证：．
14．（2024八下·济南期末） 如图1，在正方形中，点E、F分别在上，且分别与交于点G、H，过点G作，垂足为M，交于点N．
（1）求证：；
（2）若，求证：；
（3）如图2，过点G作，垂足为Q，交于点P．若，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰直角三角形；母子相似模型（公共边公共角）
【解析】【解答】解：A、由折叠可知：∠D=∠F=90°，∠PEF=∠BCD=90°
∴∠BEP+∠BPE=90°，∠BEP+∠AEG=90°
∴∠BEP=∠AGE=∠FGQ∵∠B=∠F=90°，
∴，故A正确
B、设BP=x，则EP=CP=6-x，
在Rt△EBP中，
则
∴BP=，EP=
由A知：∠BEP=∠AGE=∠FGQ
∴tan∠BEP=tan∠AGE=tan∠FGQ
∴
∴
∴AG=3，EG=5，FG=6-5=1
∴FQ=
由折叠可知：DQ=FQ=，故B错误
C、设EB=x，BP=y，EP=CP=6-y，由B可知：
∴
由B可知：tan∠BEP=tan∠AGE
∴
∴
∵
∵
∴或3
故C正确
D、如图所示：过点C作CM⊥EG于M，连接DH，MH，HE
由折叠可知；PQ垂直平分CB，∠DCE=∠MEC
∴EH=HC
∵AB∥CD
∴∠DCE=∠BEC
∴∠MEC=∠BEC
∵∠B=∠EMC=90°，EC=EC
∴△BEC≌△MEC(AAS)
∴∠BCE=∠MCE，CB=CD
∵CG=CG
∴Rt△CMG≌Rt△CDG(HL)
∴∠MCG=∠DCG
∴∠ECH=45°
∴△ECH为等腰直角三角形
∴∠EHG=90°，∠HCE=∠HEC=45°
∴
∵PQ垂直平分CB，
∴∠CHP=∠EHP=45°
又∵∠EMC=∠EHC=90°
∴E，C，H，M四点共圆
∴∠HMC=∠HEC=45°
∵CH=CH，∠MCG=∠DCG，CM=CD
∴△MCH≌△DCH(SAS)
∴∠CDH=∠CMH=45°
∴∠HDG=90°-45°=45°
∵∠CHP=∠GHQ=45°
∴∠GHQ=∠HDG
∵∠DGH=∠DGH
∴△GHQ∽△GDH
∴
∴
∵
∴
故D正确
故答案为：B.
【分析】
A、由折叠得出∠D=∠F=90°，再根据等角的余角相等和对顶角相等得出∠BEP=∠FGQ，即可推出；
B、先BP=x，在Rt△EBP中利用勾股定理求出BP，EP的值，再根据A知：tan∠BEP=tan∠AGE=tan∠FGQ，即，可求出AG，EG，这样就可以求出FG，再根据正切值，求出FQ即可；
C、设设EB=x，BP=y，EP=CP=6-y，在Rt△EBP中利用勾股定理得到x，y的关系，再根据tan∠BEP=tan∠AGE，求出AG的值，最后在Rt△AEG中利用勾股定理，得到关于x的方程，解出x即可；
D、先过点C作CM⊥EG于M，连接DH，MH，HE，构造出直角三角形EMC，再通过证明两次全等△BEC≌△MEC(AAS)，Rt△CMG≌Rt△CDG(HL)得出∠ECH=45°，从而△ECH为等腰直角三角形，可得：，再证明四点E，C，H，M共圆以及△MCH≌△DCH推出∠CDH=∠CMH=45°，从而得出∠GDH=45°，最后通过证明母子型△GHQ∽△GDH，根据对应边成比例，得出即可.
2．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
3．【答案】D
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
4．【答案】1或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
5．【答案】①②④
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
6．【答案】13
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
7．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；等腰三角形的概念
8．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程；矩形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
9．【答案】（1）；（2）10；（3）
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；一元二次方程的应用-几何问题
10．【答案】（1）①，②，；或
【知识点】因式分解法解一元二次方程；等边三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
11．【答案】(1) ①；②；
(2) 的长为或．
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
12．【答案】（1）
（2）解：（1）中结论成立，理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，
∵矩形纸片如图①折叠，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）或1
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵四边形是矩形，
∴，
∵矩形纸片如图①折叠，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（3）如图所示，当时，是直角三角形，
由折叠可得，，
∴，即点P，B'，D在一条直线上，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，解得：，
∴；
如图所示，当时，是直角三角形，过作于H，作于Q，则，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵沿折叠得到，
∴，
∴，
解得，
∴，
设，则，
在中，，
∴，解得：，
∴．
综上所述，的长为或1．
【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质得到，进而根据相似三角形的判定即可求解；
（2）根据（1）的方法结合题意证明即可求解；
（3）根据题意分类讨论：当时，当时，根据三角形全等的判定与性质结合勾股定理，相似三角形的性质与判定即可求解。
13．【答案】（1）解：如图，连接PD，
，，
，
沿翻折至，
，，，
，
当为的中点，
，
，
≌，
，
，
，
，
∽，
，
，
；
（2）证明：如图，过作交的延长线于点，
，
四边形是矩形，
，
矩形是正方形，
，
沿翻折至，
，，，
，，
≌，
，
，
．
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）如图1，利用平行线及折叠的性质得到∠A=∠B=90°，∠CEP=∠B=90°，PB=PE，∠BPC=∠EPC，由全等三角形可得∠APD=∠EPD，进而可证△APD∽△BCP，根据三角形相似的性质即可解决问题；
（2）过C作CG⊥AF交AF的延长线于G，可证四边形ABCG是矩形，再根据AB=BC可得矩形ABCG是正方形，可得CG=CB，利用折叠的性质可得∠CEP=∠B=90°，BC=CE，∠BCP=∠ECP，再根据全等三角形的性质即可得到结论。
14．【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：证明：如图1，连接，
在正方形中，，
∴，
∴，
在正方形中，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：由（1）知，，
∵，
∴，
设，，
∵，
∴，，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，解得，
∵，
∴，
∴，
∴的值为．
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据SAS证△ABE≌△ADF，得∠BAE=∠DAF，再证∠GAN=∠GNA得AG=GN，又AG=AH得证结论即可；
（2）连接AC，证△ABG∽△ACF即可得证结论；
（3）设AQ=NQ=a，MN=b，则AN=2a，GM=4b，GN=5b，证△GNO∽△ANM得，再证△APQ∽△GPM，根据线段比例关系即可得出的值。
1 / 1沪科版数学九年级上册相似型培优提尖之折叠问题
一、选择题
1．（2024·拱墅模拟）如图，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点的对称点落在边AB上，点的对称点为点F，EF交AD于点，连接CG交PQ于点，连接，下列说法错误的是（ ）
A． B．当时，
C．当时，或3 D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰直角三角形；母子相似模型（公共边公共角）
【解析】【解答】解：A、由折叠可知：∠D=∠F=90°，∠PEF=∠BCD=90°
∴∠BEP+∠BPE=90°，∠BEP+∠AEG=90°
∴∠BEP=∠AGE=∠FGQ∵∠B=∠F=90°，
∴，故A正确
B、设BP=x，则EP=CP=6-x，
在Rt△EBP中，
则
∴BP=，EP=
由A知：∠BEP=∠AGE=∠FGQ
∴tan∠BEP=tan∠AGE=tan∠FGQ
∴
∴
∴AG=3，EG=5，FG=6-5=1
∴FQ=
由折叠可知：DQ=FQ=，故B错误
C、设EB=x，BP=y，EP=CP=6-y，由B可知：
∴
由B可知：tan∠BEP=tan∠AGE
∴
∴
∵
∵
∴或3
故C正确
D、如图所示：过点C作CM⊥EG于M，连接DH，MH，HE
由折叠可知；PQ垂直平分CB，∠DCE=∠MEC
∴EH=HC
∵AB∥CD
∴∠DCE=∠BEC
∴∠MEC=∠BEC
∵∠B=∠EMC=90°，EC=EC
∴△BEC≌△MEC(AAS)
∴∠BCE=∠MCE，CB=CD
∵CG=CG
∴Rt△CMG≌Rt△CDG(HL)
∴∠MCG=∠DCG
∴∠ECH=45°
∴△ECH为等腰直角三角形
∴∠EHG=90°，∠HCE=∠HEC=45°
∴
∵PQ垂直平分CB，
∴∠CHP=∠EHP=45°
又∵∠EMC=∠EHC=90°
∴E，C，H，M四点共圆
∴∠HMC=∠HEC=45°
∵CH=CH，∠MCG=∠DCG，CM=CD
∴△MCH≌△DCH(SAS)
∴∠CDH=∠CMH=45°
∴∠HDG=90°-45°=45°
∵∠CHP=∠GHQ=45°
∴∠GHQ=∠HDG
∵∠DGH=∠DGH
∴△GHQ∽△GDH
∴
∴
∵
∴
故D正确
故答案为：B.
【分析】
A、由折叠得出∠D=∠F=90°，再根据等角的余角相等和对顶角相等得出∠BEP=∠FGQ，即可推出；
B、先BP=x，在Rt△EBP中利用勾股定理求出BP，EP的值，再根据A知：tan∠BEP=tan∠AGE=tan∠FGQ，即，可求出AG，EG，这样就可以求出FG，再根据正切值，求出FQ即可；
C、设设EB=x，BP=y，EP=CP=6-y，在Rt△EBP中利用勾股定理得到x，y的关系，再根据tan∠BEP=tan∠AGE，求出AG的值，最后在Rt△AEG中利用勾股定理，得到关于x的方程，解出x即可；
D、先过点C作CM⊥EG于M，连接DH，MH，HE，构造出直角三角形EMC，再通过证明两次全等△BEC≌△MEC(AAS)，Rt△CMG≌Rt△CDG(HL)得出∠ECH=45°，从而△ECH为等腰直角三角形，可得：，再证明四点E，C，H，M共圆以及△MCH≌△DCH推出∠CDH=∠CMH=45°，从而得出∠GDH=45°，最后通过证明母子型△GHQ∽△GDH，根据对应边成比例，得出即可.
2．（2024八下·苏州月考）如图，在纸片中，，点分别在上，连结，将沿翻折，使点A的对应点F落在的延长线上，若平分，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
3．（2024七下·顺河期末）如图，在中，，翻折，使点落在直角边上某一点处，折痕为，点、分别在边、上，若与相似，则的长为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
二、填空题
4．（2024九下·商水模拟）如图，在矩形中，，点E，F分别在边和上，将沿着折叠得到将 沿着折叠得到（点 在矩形内部），且三点共线；连接，当为等腰三角形时，的长为 ．
【答案】1或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
5．（2024九下·福州模拟）如图，在菱形中，，点是边上任意两点，将菱形沿翻折，点恰巧落在对角线上的点处，下列结论：
①；②若，则；③若菱形边长为4，是的中点，连接，则；④若，则，其中正确结论是 ．
【答案】①②④
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
6．（2024九上·奉贤月考）如图，在中，，，，点E、F分别在边，上，沿直线将翻折，点B落在点P处，如果且，则 ．
【答案】13
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
7．（2024八下·威海经济技术开发期末）如图，在等腰直角中，，M为边上任意一点，连接，将沿翻折得到，连接并延长交于点N，若点N为的中点，则的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；等腰三角形的概念
8．（2024九下·历城模拟）如图， 正方形中，，点E为上一动点，将三角形沿折叠，点A落在点F处，连接并延长，与边交于点G，若点G为中点，则 ．
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程；矩形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
三、解答题
9．（2024九上·鄞州月考）（1）如图1，矩形中，，，交于点E，则的值是 ．
（2）如图2，中，，，，D为边上一点，连接，，交于点E，若，求的长．
（3）如图3，在矩形中，，点F，G分别在，上，以为折痕，将四边形翻折，使顶点A落在上的点E处，且，连接，设的面积为，的面积为，的面积为，若，请求出的值．
【答案】（1）；（2）10；（3）
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；一元二次方程的应用-几何问题
10．（2024九下·温州模拟）【模型搭建】（1）如图1，是等边三角形的边上一点，现将折叠，使点与点重合，折痕为，点分别在和上．
①若，则______．
②若，与的周长分别为，则______，______．
【灵活应用】（2）如图2，在中，，，点分别在边上将沿向下翻折至，连结平分．若，，求的长．
【答案】（1）①，②，；或
【知识点】因式分解法解一元二次方程；等边三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
四、实践探究题
11．（2024九下·东营模拟）综合与实践
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．在矩形中，E为射线上一动点，连接．
（1）当点E在边上时，将沿翻折，使点B恰好落在对角线上点F处，交于点G．
基础探究：
①如图1，若，则的度数为___________．
深入探究：
②如图2，当，且时，求的长．
拓展探究：
（2）在②所得矩形中，将矩形沿进行翻折，点C的对应点为，当点E，，D三点共线时，请直接写出的长．
【答案】(1) ①；②；
(2) 的长为或．
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
12．（2024九上·蓬溪期末）
（1）【初步探究】把矩形纸片如图①折叠，当点B的对应点在的中点时，填空： （“”或“”）．
（2）【类比探究】
如图②，当点B的对应点为上的任意一点时，请判断（1）中结论是否成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由．
（3）【问题解决】
在矩形中，，点E为中点，点P为线段上一个动点，连接，将沿折叠得到，连接，当为直角三角形时，的长为 ．
【答案】（1）
（2）解：（1）中结论成立，理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，
∵矩形纸片如图①折叠，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）或1
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵四边形是矩形，
∴，
∵矩形纸片如图①折叠，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（3）如图所示，当时，是直角三角形，
由折叠可得，，
∴，即点P，B'，D在一条直线上，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，解得：，
∴；
如图所示，当时，是直角三角形，过作于H，作于Q，则，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵沿折叠得到，
∴，
∴，
解得，
∴，
设，则，
在中，，
∴，解得：，
∴．
综上所述，的长为或1．
【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质得到，进而根据相似三角形的判定即可求解；
（2）根据（1）的方法结合题意证明即可求解；
（3）根据题意分类讨论：当时，当时，根据三角形全等的判定与性质结合勾股定理，相似三角形的性质与判定即可求解。
五、综合题
13．（2024八下·荆州期末）如图，已知，，，为线段上一动点将沿翻折至，延长交射线于点
（1）如图，当为的中点时，求出的长．
（2）如图，延长交于点，连接，求证：．
【答案】（1）解：如图，连接PD，
，，
，
沿翻折至，
，，，
，
当为的中点，
，
，
≌，
，
，
，
，
∽，
，
，
；
（2）证明：如图，过作交的延长线于点，
，
四边形是矩形，
，
矩形是正方形，
，
沿翻折至，
，，，
，，
≌，
，
，
．
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）如图1，利用平行线及折叠的性质得到∠A=∠B=90°，∠CEP=∠B=90°，PB=PE，∠BPC=∠EPC，由全等三角形可得∠APD=∠EPD，进而可证△APD∽△BCP，根据三角形相似的性质即可解决问题；
（2）过C作CG⊥AF交AF的延长线于G，可证四边形ABCG是矩形，再根据AB=BC可得矩形ABCG是正方形，可得CG=CB，利用折叠的性质可得∠CEP=∠B=90°，BC=CE，∠BCP=∠ECP，再根据全等三角形的性质即可得到结论。
14．（2024八下·济南期末） 如图1，在正方形中，点E、F分别在上，且分别与交于点G、H，过点G作，垂足为M，交于点N．
（1）求证：；
（2）若，求证：；
（3）如图2，过点G作，垂足为Q，交于点P．若，求的值．
【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：证明：如图1，连接，
在正方形中，，
∴，
∴，
在正方形中，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：由（1）知，，
∵，
∴，
设，，
∵，
∴，，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，解得，
∵，
∴，
∴，
∴的值为．
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据SAS证△ABE≌△ADF，得∠BAE=∠DAF，再证∠GAN=∠GNA得AG=GN，又AG=AH得证结论即可；
（2）连接AC，证△ABG∽△ACF即可得证结论；
（3）设AQ=NQ=a，MN=b，则AN=2a，GM=4b，GN=5b，证△GNO∽△ANM得，再证△APQ∽△GPM，根据线段比例关系即可得出的值。
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