2024-2025学年湖南省常德市沅澧共同体高一上学期期中考试数学试题卷（含答案）

2024-2025学年湖南省常德市沅澧共同体高一上学期期中考试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，则( )
A. B.
C. D.
2.函数为幂函数，则该函数为( )
A. 增函数 B. 减函数 C. 奇函数 D. 偶函数
3.下列各组的两个函数中，表示同一个函数的是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
4.已知，则( )
A. B.
C. D.
5.设集合，那么下面的个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有( )
A. B. C. D.
6.已知的定义域为则的定义域为( )
A. B. C. D.
7.已知偶函数在上单调递减，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
8.已知定义在上的函数满足，对任意的，且恒成立，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于不等式的解集为或，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
10.下列说法正确的是( )
A. 已知，则的最小值为
B. 当时，的最小值为
C. 设，则“”是“”成立的充分不必要条件
D. 命题：，是真命题，则实数
11.已知函数的定义域为，对任意实数满足且，当时，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 为增函数 D. 为奇函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，是偶函数，则实数的值为 ．
13.已知是二次函数，且，若，则的解析式为 ．
14.若函数的定义域和值域均为，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知奇函数
求实数的值；并作出的图象；
若函数在区间上单调递减，求的取值范围．
16.本小题分
记全集，集合，或．
若，求；
若，求的取值范围；
若，求的取值范围．
17.本小题分
中共中央政治局会议中明确提出支持新能源汽车加快发展．发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略举措．年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产百辆，需另投入成本万元，且，由市场调研知，若每辆车售价万元，则当年内生产的车辆能在当年全部销售完．
求出年的利润万元关于年产量百辆的函数关系式；
当年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
18.本小题分
已知
当，解关于的不等式；
若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
若，判断在上的单调性，并用定义法证明；
若存在，使得成立，求实数的取值范围；
若对任意的，任意的恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：
设，则，，
函数是奇函数，，
；
如下图：

由图象可知，，
，
故的取值范围为：．

16.解：
当时，，则或，
因此或或或．
若，则，解得，
故的取值范围为．
若，则，
当时，，解得，
当时，，或
解得，或，
综上知，的取值范围为．

17.解：
由题意知利润收入总成本，
所以利润
故年的利润万元关于年产量百辆的函数关系式为
．
当时，，
故当时，，
当时，，
当且仅当，即时取得等号
综上所述，当产量为百辆时，取得最大利润，最大利润为万元．

18.解：若即，原不等式为，解得，
即原不等式的解集为；
若即，方程的解为和，
当时，，原不等式的解集为或；
当时，，原不等式的解集为；
当即时，，原不等式的解集为．
综上，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为．
由，得，
对于方程，，
所以在上恒成立，故，
令，则，得可变形为，即，
对于对勾函数，在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得最小值，为，
所以在上的最大值为，
得．
综上，的取值范围为．

19.解：
证明：当时，，
任取、，且，
则，，，，
所以，，所以，函数在单调递增．
由题，因为，则，
所以，，即，
由知，函数在单调递增，
所以，当时，函数取最大值，即，
所以，，则，
因此，实数的取值范围是．
对任意的，任意的恒成立，
即，
令，
因为时，，
则，
所以，对任意的恒成立，
令，则，解得，
所以，实数的取值范围是．

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