2024-2025学年江苏省苏州市常熟市中学高二上学期10月月考数学试题（含答案）

2024-2025学年江苏省常熟市中学高二上学期10月月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数列，，，，的通项公式可以为( )
A. B. C. D.
2.已知直线过点，且倾斜角为，则( )
A. B. C. D.
3.在等比数列中，，，则( )
A. B. C. D.
4.已知等差数列中，其前项和为，若则 ( )
A. B. C. D.
5.如图所示，已知，，，，一束光线从点出发射到上的点经反射后，再经反射，落到线段上不含端点，则直线的斜率的取值范围是 ．
A. B. C. D.
6.设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.如图甲是第七届国际数学家大会简称的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的已知为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，令为数列的前项和，则( )
A.
B.
C.
D.
8.过定点的直线与过定点的直线交于点与不重合，则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于直线以下说法正确的有( )
A. 的充要条件是 B. 当时，
C. 直线一定经过点 D. 点到直线的距离的最大值为
10.已知数列满足，则( )
A. B. 的前项和为
C. 的前项和为 D. 的前项和为
11.已知数列的通项公式是，在和之间插入个数，使，，成等差数列；在和之间插入个数，，使，，，成等差数列；；在和之间插入个数，，，，使，，，，，成等差数列．这样得到新数列：，，，，，，，，，，，记数列的前项和为，则( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是公比为的等比数列，若，则 ．
13.若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为 ．
14.数列中，，且，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设公比为正的等比数列前项和为，，且，，成等差数列．
求的通项
若数列满足，，求数列的前项和．
16.本小题分
已知数列的前项和为，．
求数列的通项公式；
在与之间插入个实数，使这个数依次组成公差为的等差数列，求数列的前项和．
17.本小题分
已知中，顶点，边上的中线所在直线的方程是，边上的高所在直线的方程是．
求点关于直线的对称点的坐标；
求顶点、的坐标；
过作直线，使，两点到的距离相等，求直线的方程．
18.本小题分
如图，将一块等腰直角三角板置于平面直角坐标系中，已知，点是三角板内一点，现因三角板中部分内部，不含边界受损坏，要把损坏的部分锯掉，可用经过的任意一直线将其锯成．
求直线的斜率的取值范围；
若点满足，这样的直线是否存在，如不存在，请说明理由；若存在，求出此时直线的方程；
如何确定直线的斜率，才能使锯成的的面积取得最大值和最小值？并求出最值．
19.本小题分
已知数列满足，且．
设，证明：是等比数列；
求数列的通项公式；
设数列的前项和为，求使得不等式成立的的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：设的公比为，
因为，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以，
又因为，，成等差数列，
所以，
即，
得，所以；
因为，
所以，可得，，，，
累加得
因为，
所以，
所以，
所以．
16.解：
因为，
所以当时，，
又，所以．
当时，，
式减去式，得，
所以．
又，
所以对，都有，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以．
依题设得，
所以，所以．
所以，
所以，
式减去式，得
，
所以．

17.解：设点关于直线的对称点的坐标为，
则
解得：
点关于直线的对称点的坐标为．
边上的高所在直线的方程是，
其斜率为，
直线的斜率为，
直线的方程为，
即，
由得：，
设点的坐标为，
根据中点坐标公式，得出点坐标为，
分别代入和的方程，得：
解得：
点的坐标为；
直线与平行时，，
直线的方程为，即；
直线过的中点时，的中点坐标为，
直线的斜率为，
直线的方程为，即
故满足条件的直线方程为或．
18.解：依题意，得方程为：，即，
，，直线方程为：，直线方程为：，
联立，得．
联立，得．
所以，解得；
若，可得，解得，
所以直线的方程为，整理得
在中，由知：
．
设，设，
在是单调递增．当时，，即当时即时，
当时，，即当时即时，，
面积的取值范围．

19.解：由，得，，，
则，又，于是，解得，
又，则，解得，
因此，整理得，即，
由，得，则，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列．
由知，，即，，，
所以数列的通项公式是．
由知，，则，
，，因此数列是递增数列，
而，，
所以使得不等式成立的的最小值是．

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