2024-2025学年广东省广州市天天向上联盟高一上学期期中考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省广州市天天向上联盟高一上学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是
A. B. C. D.
4.给定数集，，，满足方程，下列对应关系为函数的是( )
A. ：， B. ：，
C. ：， D. ：，
5.“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
6.已知，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若对均有成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若且，则下列不等式正确的是( )
A. B. C. D.
10.我们知道，如果集合，那么的子集的补集为且，类似地，对于集合我们把集合且，叫作集合和的差集，记作，例如：，则有，下列解答正确的是( )
A. 已知，则
B. 已知或，则或
C. 如果，那么
D. 已知全集、集合、集合关系如上图中所示，则
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A.
B. 关于的方程有个不同的解
C. 在上单调递减
D. 当时，恒成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的定义域为 ．
13.已知幂函数单调递减，则实数 ．
14.已知，若对一切实数，均有，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
集合，．
求，；
若集合，，求的取值范围．
16.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．
求出当时，的解析式；
如图，请补出函数的完整图象，根据图象直接写出函数的单调递减区间；
结合函数图象，求当时，函数的值域．
17.本小题分
已知函数为奇函数，其中为常数．
求的解析式和定义域；
若不等式成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
党的二十大报告强调，要加快建设交通强国、数字中国．专家称数字交通让出行更智能、安全、舒适．研究某市场交通中，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为，为道路密度，为车辆密度，已知当道路密度时，交通流量，其中．
求的值；
若交通流量，求道路密度的取值范围；
求车辆密度的最大值．
19.本小题分
若存在常数，使得函数与在给定区间上的任意实数都有，则称是与的隔离直线函数．已知函数，．
证明：函数在区间上单调递增．
当时，与是否存在隔离直线函数？若存在，请求出隔离直线函数解析式；若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：，或，
所以或，
又或，
所以或或；
当时，，即，此时，
当时，，
解得，
综上，，
所以的取值范围是．
16.
依题意，设，则，
于是，
因为为上的奇函数，因此，
所以当时，的解析式．
由已知及得函数的图象如下：
观察图象，得函数的单调递减区间为：．
当时，由，知，函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，有最小值，
当时，有最大值，
而当时，有，
所以，当时，函数的值域为

17.解：因为函数为奇函数，，
所以，
解得，所以．
由，得，所以函数的定义域为，
当时，，且当增大时，增大，减小，所以减小，
即在上单调递减，
又，且，所以，
即，，解得，
所以实数的取值范围为．
18.解：依题意，，即，故正数，所以，的值为．
当时，单调递减，
此时，故F的解集为空集；
当时，由，解得，即；
所以道路密度的取值范围为．
依题意，
所以，当时，；
当时，，
由于，所以，当时，取得最大值，
因为，
所以车辆密度的最大值为．
19.解：任取，，且，
则
，
由，得，
所以，由得，
所以，即，
所以函数在区间上单调递增；
令，即，
整理得：，即，
故，解得或舍去，
所以与有公共点，
设与存在隔离直线函数，
则点在直线上，代入得：，即，
则隔离直线函数为，若当时有，
即，
所以在上恒成立，解得，则，
下面证明，
令，
即，当且仅当时取得“”，
所以为函数与的隔离直线函数．
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