2024-2025学年广东省佛山市S6高质量发展联盟高二上学期期中联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省佛山市S6高质量发展联盟高二上学期期中联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.经过，两点的直线的方向向量可以为( )
A. B. C. D.
2.某人打靶时连续射击两次，下列事件与事件“至多一次中靶”互为对立的是( )
A. 至少一次中靶 B. 两次都中靶 C. 只有一次中靶 D. 两次都没有中靶
3.若点关于平面和轴对称的点分别为，，则( )
A. B. C. D.
4.如图，四面体中，点为中点，为中点，为中点，设，，，若可用，，表示为( )
A. B. C. D.
5.已知直线与垂直，则实数的值是( )
A. 或 B. C. 或 D.
6.已知二面角的棱上两点，，线段与分别在这个二面角内的两个半平面内，并且都垂直于棱若，，，则这两个平面的夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.由甲、乙、丙组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由其中一人猜一个成语，已知甲猜对乙未猜对的概率为，乙猜对丙未猜对的概率为，丙猜对甲也猜对的概率为，在每轮活动中，三人猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则乙、丙都猜对的概率是( )
A. B. C. D.
8.在空间直角坐标系中，定义：经过点且一个方向向量为的直线方程为，经过点且法向量为的平面方程为，已知：在空间直角坐标系中，经过点的直线方程为，经过点的平面的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，，则事件，相互独立与，互斥不能同时成立
C. 为坐标原点，向量，，其中线段的中点的坐标为
D. 已知为任意实数，当变化时，方程表示过点的所有直线方程
10.伯努利试验是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是每次试验只有两种可能结果若连续抛掷一枚质地均匀的硬币次，记录这次实验的结果，设事件表示“次实验结果中，既出现正面又出现反面”，事件表示“次实验结果中，最多只出现一次反面”，则下列结论正确的是
A. 若，则与不互斥 B. 若，则与不相互独立
C. 若，则与相互独立 D. 若，则与互斥
11.数学探究课上，小王从世界名画记忆的永恒中获得灵感，创作出了如图所示的垂直时光已知垂直时光是由两块半圆形钟组件和三根指针组成的，它如同一个标准的圆形钟沿着直径折成了直二面角其中对应钟上数字对应钟上数字设的中点为，若长度为的时针指向了钟上数字，长度为的分针指向了钟上数字现在小王准备安装长度为的秒针安装完秒针后，不考虑时针与分针可能产生的偏移，不考虑三根指针的粗细，则下列说法正确的是( )
A. 若秒针指向了钟上数字，如图，则
B. 若秒针指向了钟上数字，如图，则平面
C. 若秒针指向了钟上数字，如图，则与所成角的余弦值为
D. 若秒针指向了钟上数字，如图，则四面体的外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从编号为，，，的张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为 ．
13.已知平面内一点，点在平面外，若的一个法向量为，则点到平面的距离为 ．
14.设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
柜子里有双不同的鞋，分别用，，，，，表示只鞋．如果从中随机地取出只，那么
写出试验的样本空间；
设事件“取出的鞋不成双”；“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，求出与．
16.本小题分
已知向量，，．
当时，若向量与垂直，求实数和的值；
若向量与向量，共面，求实数的值．
17.本小题分
如图所示，面积为的平行四边形，为坐标原点，坐标为，、均在第一象限．
求直线的方程；
若，求点的坐标．
18.本小题分
新高考数学试卷出现多项选择题，即每小题的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得分，部分选对得部分分，有选错的得分．若正确答案为两项，每对一项得分；若正确答案为三项，每对一项得分；
学生甲在作答某题时，对四个选项作出正确判断、判断不了不选和错误判断的概率如下表：
选项 作出正确判断 判断不了不选 作出错误判断
若此题的正确选项为求学生甲答此题得分的概率；
某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为现有一道多选题，学生乙完全不会，此时他有两种答题方案：Ⅰ随机选一个选项；Ⅱ随机选两个选项．
若，且学生乙选择方案Ⅰ，求学生乙本题得分的概率．
若，且学生乙选择方案Ⅱ，求学生乙本题得分的概率．
19.本小题分
如图，已知正方形的边长为，分别为，的中点，将正方形沿折成如图所示的二面角，且二面角的大小为，点在线段上包含端点运动，连接．
若为的中点，直线与平面的交点为，试确定点的位置，并证明直线平面．
是否存在点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求此时平面与平面的夹角的余弦值；若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：
从只鞋中任取只，共有种等可能的结果，
样本空间为．
【小问详解】
因为，
所以．
因为，所以．

16.解：
由，得，解得，
向量，，则，
由向量与垂直，得，则，
当时，有，矛盾；当时，有，解得，
所以实数和的值分别为和．
由向量与向量，共面，设，
则，即，解得
所以实数的值为．

17.解：
因为是平行四边形，所以，所以，
设直线的方程为，即．
因为四边形的面积为，，
所以与的距离为，即点到的距离为，
于是，所以，由图知，，
所以，直线的方程为．
设坐标为，因为，所以．
所以，解得，或，．
所以点的坐标为或．

18.解：
设事件表示“学生答此题得分”，即对于选项A、作出正确的判断，且对于选项B、作出正确的判断或判断不了，
所以；
【小问详解】
记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，
对于方案，若正确答案是两个选项，选错的概率是，若正确答案是三个选项，选错的概率是，则
．
记事件为 “学生乙本题得分”，
对于方案Ⅱ：应该正确答案是三个选项里选对两题，假设为正确项．
故而所有可能为：，，，，，共种，满足条件的有，，
，有种．
则．

19.解：因为直线平面，故点在平面内，也在平面内，
所以点在平面与平面的交线即直线上，延长，交于点，
连接，如图所示．
因为，为的中点，所以，
所以，．
故点在的延长线上且与点间的距离为
连接，交于点，因为四边形为矩形，
所以是的中点．
连接，则为的中位线，所以，
又平面，平面，所以直线平面
如图，由已知可得，，又，所以平面，
由于平面，所以平面平面．
易知为等边三角形，取的中点，连接，则，根据面面垂直的性质定理可知：平面．
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，
设，则．
设平面的法向量为，
则，即
取，则为平面的一个法向量．
要使直线与平面所成的角为，
则，
即，解得或．
所以存在点，使得直线与平面所成的角为．
取的中点，连接，则为平面的一个法向量，，，所以．
所以可取平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
当时，，
，
当时，，
，
综上，平面与平面的夹角的余弦值为．

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