2024-2025学年山东省青岛市西海岸三校联考高二10月月考数学试题（含答案）

2024-2025学年山东省青岛市西海岸三校联考高二10月月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列的前项和为，则( )
A. B. C. D.
2.某学校高一年级有名男生，名女生，通过分层随机抽样的方法调查数学考试成绩，抽取总样本量为，男生平均成绩为分，女生平均成绩为分，那么可以推测高一年级学生的数学平均成绩约为( )
A. 分 B. 分 C. 分 D. 分
3.从名男生和名女生中任选人参加某项社会公益活动，则选出的人中至少有名女生的概率是( )
A. B. C. D.
4.已知等差数列的前项和为，，公差，，若取得最大值，则的值为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
5.在各项均为正数的等比数列中，若，则等于( )
A. B. C. D.
6.已知甲袋中有标号分别为的四个小球，乙袋中有标号分别为的四个小球，这些球除标号外完全相同，第一次从甲袋中取出一个小球，第二次从乙袋中取出一个小球，事件表示“第一次取出的小球标号为”，事件表示“第二次取出的小球标号为偶数”，事件表示“两次取出的小球标号之和为”，事件表示“两次取出的小球标号之和为偶数”，则( )
A. 与相互独立 B. 与是对立事件 C. 与是对立事件 D. 与相互独立
7.已知公差非零的等差数列满足，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 当时， D. 当时，
8.正项等比数列中，存在两项使得，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在新冠疫情的持续影响下，全国各地电影院等密闭式文娱场所停业近半年，电影行业面临巨大损失年每年上半年的票房走势如图所示，则下列说法不正确的是( )
A. 年以来，每年上半年的票房收入逐年增加
B. 自年以来，每年上半年的票房收入增速为负的有年
C. 年上半年的票房收入增速最大
D. 年上半年的票房收入增速最小
10.已知数列的前项和，，数列的前项和为，则下列命题正确的是( )
A. B. 当为奇数时，
C. D. 数列的最大项为第项
11.已知函数的前项和为，且满足，，则( ) 参考公式：公比的等比数列的前项和为．
A. 为等比数列 B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列满足，若，则的通项公式为 ．
13.若一组样本数据的平均数为，另一组样本数据的方差为，则两组样本数据合并为一组样本数据后的方差是 ．
14.已知数列满足，，数列的前项和为，设，表示不大于的最大整数．则 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
统计某班同学一次考试的数学成绩，得到如下频率分布直方图，已知该班学生数学成绩不低于分的频率为估计该班学生数学成绩的平均分和中位数；

已知事件，相互独立，试证明它们的对立事件，相互独立．
16.本小题分
已知数列各项均为正数，且，．
求的通项公式；
记数列前项的和为，求．
17.本小题分
某中学高二年级开设五门大学先修课程，其中属于数学学科的有两门，分别是线性代数和微积分，其余三门分别为大学物理，商务英语以及文学写作，年级要求每名学生只能选修其中一科，该校高二年级名学生各科选课人数统计如下表：
选修课程 线性代数 微积分 大学物理 啇务英语 文学写作 合计
选课人数
其中选修数学学科的人数所占频率为，为了了解学生成绩与选课情况之间的关系，用分层抽样的方法从这名学生中抽取人进行分析．
求和的取值以及抽取的人中选修商务英语的学生人数；
选出的名学生中恰好包含甲乙两名同学，其中甲同学选修的是线性代数，乙同学选修的是大学物理，现从线性代数和大学物理两个学科中随机抽取人，求这人中正好有甲乙两名同学的概率．
18.本小题分
已知数列的前项和为，，，且．
求的通项公式；
若，数列的前项和为，证明：．
19.本小题分
定义：从数列中随机抽取项按照项数从小到大的顺序依次记为，将它们组成一个项数为的新数列，其中，若数列为递增数列，则称数列是数列的“项递增衍生列”；
已知数列满足，数列是的“项递增衍生列”，写出所有满足条件的
已知数列是项数为的等比数列，其中，若数列为，，，求证：数列不是数列的“项递增衍生列”；
已知首项为的等差数列的项数为，且，数列是数列的“项递增衍生列”，其中若在数列中任意抽取项，且均不构成等差数列，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.由已知得，
则，
所以．
该班学生数学成绩的平均分的估计值为：
，
因为，
，
所以中位数在内，
故中位数为．
因为，
因为事件，相互独立，
所以，
所以，
则，
所以事件，相互独立．

16.
因为，
所以，
因为各项均为正数，，
所以，
所以数列是以首项为，公差为的等差数列，
故．
，
所以
．

17.
因为选修数学学科人数占总人数频率为，即，可得：，
又，所以，
则根据分层抽样法：选修商务英语的人数为：人；即抽到选修商务英语的人数为人．
抽取的人中选修线性代数的有人含甲同学，分别记为，，甲；选修大学物理的有人含乙同学，分别记为，乙；
从这人中任选人，有：
，，，，，，，，，共种结果．
满足条件的有：，，共计种结果．
这人中正好有甲乙两名同学的概率为：．

18.
将两边同时除以，
得．
所以是等差数列．
当时，，公差是，
得，则，
当时，，
，得，整理得，
则，
也符合，所以．
证明：由得，
所以，
因为，所以．

19.
由题意得，数列为，，，，，，
若是数列的“项递增衍生列”，且，
则为，，或，，或，，或，，
设等比数列的公比为．
假设数列是数列的 “项递增衍生列”，
则存在，使，
所以，则，
所以．
因为，所以为有理数，但为无理数，
所以式不可能成立．
综上，数列不是数列的“项递增衍生列”．
设等差数列的公差为．
由，又，所以，
故数列为，，，，，，
令，因为数列中各项均为正整数，故
若，则，成等差数列
同理，且，所以，
同理，且，所以，
这与已知条件矛盾，所以，
此时可以构造数列为，，，，，，，，其中任意三项均不构成等差数列．
综上所述，的最大值为．

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