2024-2025学年四川省绵阳市高一上学期11月学生学业发展指导（文化学科）测评数学试题（含答案）

2024-2025学年四川省绵阳市高一上学期11月学生学业发展指导（文化学科）测评数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.若，则下列选项正确的是( )
A. B. C. D.
3.设函数则( )
A. B. C. D.
4.已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围为( )
A. B. C. 或 D.
5.下列函数中，是偶函数，且在上单调递增的是( )
A. B. C. D.
6.函数的图象不可能是( )
A. B.
C. D.
7.某公园有如图所示一块直角三角形空地，直角边现欲建一个如图的内接矩形花园，点在斜边上不包括端点，则花园的面积的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，对任意，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，下面有关结论正确的有( )
A. 定义域为 B. 函数在上的值域为
C. 在上单调递增 D. 函数的图象关于轴对称
10.下列叙述中正确的是( )
A. “”是“”的充分不必要条件
B. 命题“”的否定是“”
C. “”的一个必要不充分条件是“”
D. 集合中只有一个元素的充要条件是
11.高斯是著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：，已知函数，下列说法中正确的是( )
A. 若，则
B. 方程在区间上有个实数根
C. 函数在上单调递增
D. ，都有
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的定义域为 ．
13.已知是定义在上的奇函数，若，则 ．
14.若关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设集合．
若，求；
若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围．
16.本小题分
已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递增．
求的值及函数的解析式；
若，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知，且．
若，求的最小值及此时相应的值；
若，求的最小值，并求出此时的值．
18.本小题分
某文旅公司设计文创作品，批量生产并在旅游景区进行售卖．经市场调研发现，若在旅游季在文创作品的原材料上多投入万元，文创作品的销售量可增加千个，其中每千个的销售价格为万元，另外每生产千个产品还需要投入其他成本万元．
求该文旅公司在旅游季增加的利润与单位：万元之间的函数关系；
当为多少万元时，该公司在旅游季增加的利润最大？最大为多少万元？
19.本小题分
定义在上的函数满足：对任意，都存在唯一，使得，则称函数是“型函数”其中
判断是否为“型函数”？并说明理由；
是否存在实数，使得函数是“型函数”，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；
若函数是“型函数”，求实数的取值范围．
参考答案
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当时，，而，
故．
因为“”是“”的充分不必要条件，故是的真子集，
故，故．

16.
因为在上单调递增，故即，
而为整数，故，
因为幂函数的图象关于轴对称，
故为偶数，故，此时．
因为，故，
所以，所以或．

17.
因为，所以，
当或舍，故，当且等号成立，
故的最小值为，此时．
因为，
故，
又，故，
当且仅当时等号成立，
而，
故的最小值为，此时．

18.
本季度增加的利润，
当时，，
当时，，
所以该公司增加的利润与单位：万元之间的函数关系式为；
当时，，
当，即时，等号成立，
当时，是减函数，当时，取得最大值，
因为，所以当万元时，该公司在旅游季增加的利润最大，最大为万元．

19.
函数，当时，，当时，，
当时，，不存在，使，
所以不是“型函数”；
首先函数的定义域为，则，得，
由复合函数单调性可知，函数在单调递减，在区间单调递增，
所以只需对任意恒成立即可，
所以；
函数是“型函数”，
当时，在上单调递增，
而，要使存在且唯一，则有，解得：，
所以，
当时，在单调递减，在单调递增，所以
而，要使存在且唯一，则有，
设，即，解得，
解得：
所以．

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