2024-2025学年河北省唐山一中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年河北省唐山一中高二（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设、，是单位正交基底，已知向量在基底下的坐标为，其中，，，则向量在基底下的坐标是( )
A. B. C. D.
2.过点且方向向量为的直线方程为( )
A. B. C. D.
3.已知，，若点，在线段上，则最大值为 ( )
A. B. C. D.
4.已知，，，若不能构成空间的一个基底，则( )
A. B. C. D.
5.在棱长为的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
6.已知三条直线：，：，：，若，且，则( )
A. B. C. 或 D. 或
7.在空间直角坐标系中，四面体各顶点坐标分别为，，，，则该四面体外接球的表面积是( )
A. B. C. D.
8.数学家欧拉在年提的定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线称之为三角形的欧拉线．已知的顶点，，若家欧拉线方程为，则顶点的坐标是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法错误的是( )
A. 若，，，是空间任意四点，则有
B. 若，则存在唯一的实数，使得
C. 若共线，则
D. 对空间任意一点与不共线的三点，，，若其中，，，则，，，四点共面
10.已知点，，且点在直线：上，则( )
A. 存在点，使得 B. 存在点，使得
C. 的最小值为 D. 最大值为
11.在正方体中，，，分别为，的中点，是上的动点，则( )
A. 平面
B. 平面截正方体的截面面积为
C. 三棱锥的体积与点的位置有关
D. 过作正方体的外接球的截面，所得截面圆的面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若圆：上恰有个点到直线：的距离为，则实数的取值范围为______．
13.如图，二面角的棱长上有两个点，，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，，，若平面与平面的夹角为，则的长为______．
14.如图，棱长为的正方体的顶点在平面上，三条棱，，都在平面的同侧，若顶点，到平面的距离分别为，，则顶点到平面的距离是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线：，直线：．
求证：直线过定点；
当时，直线过与的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线的方程．
16.本小题分
在中，，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为．
求直线的方程；
求直线的方程及点的坐标．
17.本小题分
已知圆经过点和，且圆心在直线：上．
求圆的标准方程；
若过点作圆的切线，求该切线方程．
18.本小题分
在直三棱柱中，，，，是的重心，点在线段不包括两个端点上．
若为的中点，证明：平面；
若直线与平面所成的角正弦值为，求，
19.本小题分
如图，四棱锥中，，，，，，为线段中点，线段与平面交于点．
证明：平面平面；
求平面与平面夹角的余弦值；
求四棱锥的体积．
参考答案
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15.证明：直线：，化为，
因为，方程恒成立，可知，解得，直线恒过定点．
解：由，解得，即与的交点为．
当直线过原点时，直线的方程为；
当直线不过原点时，设的方程为，将代入得，
所以直线的方程为．
故满足条件的直线的方程为或．
16.解：与互相垂直，且的斜率为，
直线的斜率为，
结合，可得的点斜式方程：，
化简整理得：，
所以直线的方程为．
由和联解，得
由此可得直线方程为：，即，
，关于角平分线轴对称，
直线的方程为：，
直线方程为，
将、方程联解，得，，
因此，可得点的坐标为．
17.解：因为点和，所以线段的中点为，，
则线段的中垂线方程为，即 ，
由，解得，则圆心为，，
所以圆的方程为：；
当直线的斜率不存在时，直线方程为，
则圆心到直线的距离，符合题意；
当直线的斜率存在时，设过点直线的方程为，即，
因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，即，
解得，此时切线方程为：，即．
所以切线方程为；或．
18.证明：连接并延长，交于点，
则为的中点，连接，，
因为为直三棱柱，
所以平面平面，，，
又，分别为，的中点，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为平面平面，平面平面，
所以，因为平面，平面，
所以平面，同理可得平面，
因为，平面，且，
所以平面平面，
又平面，所以平面；
解：以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
设，则，，
，，，，
所以，，
由直三棱柱可得，为的中点，
所以，则，
设平面的一个法向量为，
由，可得，
取，则有，
因为直线与平面所成的角正弦值为，
所以，
整理得，解得或，
所以或．
19.解：证明：，且为线段中点，，
又，，
平面，又平面，
，，
取的中点，连接，，
，，，
，，又，
平面，又平面，
平面平面；
如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系：
则，
，
设平面与平面的法向量分别为，，
则，，
取，，
平面与平面夹角的余弦值为：
，；
设，
，，
，，，
解得，，，
，
又，
解得，即，
，
，
，，
为钝角，，
的面积为，
又，，
，
为锐角，，
的面积为，
四边形的面积为，
又点到平面的距离为，
四棱锥的体积为．
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