2024-2025学年湖南省长沙市百强校(SD)高一上期中考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年湖南省长沙市百强校(SD)高一上期中考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 49.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-08 18:58:03 | ||
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文档简介
2024-2025学年湖南省长沙市百强校(SD)高一上期中考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，或，则图中的阴影部分表示的集合为
A. B. C. D.
2.若集合，则
A. B. C. D.
3.设，，则“”是“”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知函数的定义域是，则函数的定义域是
A. B. C. D.
5.已知函数且对任意，都有，则的取值范围是
A. B. C. D.
6.已知，，，，则下列不等式成立的是
A. B. C. D.
7.已知函数对任意，，，总有若存在使得不等式成立，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
8.已知函数是定义在上的增函数，当时，若，其中，则
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知甲、乙两城相距，两个旅行者分别骑自行车和摩托车从甲城到乙城，他们所行驶的路程和时间的函数关系如图所示，有人根据此图，提出了如下观点，其中正确的观点有
A. 骑自行车者和骑摩托车者都是变速运动
B. 骑自行车者比骑摩托车者早出发，晚到
C. 骑摩托车者在出发后追上了骑自行车者
D. 骑摩托车者在出发后与骑自行车者速度一样
10.已知幂函数的图象经过点，下列结论正确的有
A.
B.
C. 是偶函数
D. 若，则
11.用表示不超过的最大整数，例如，，已知，则
A.
B. 为奇函数
C. ，都有
D. 与图象所有交点的横坐标之和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.________．
13.已知两个正实数，，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是________．
14.已知函数为上的奇函数，函数，若在上的值域为，则在上的值域为________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，．
求集合；
设，若中恰好有个元素，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数是定义在区间上的奇函数，且．
求，；
判断在区间上的单调性，并用定义证明；
解关于的不等式．
17.本小题分
已知函数，．
当时，求在区间上的最小值；
若，总存在，使得，求实数的取值范围．
18.本小题分
对个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度含污物体的清洁度定义为：为，要求清洗完后的清洁度为有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：分两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是，用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是，其中是该物体初次清洗后的清洁度．
分别求出方案甲以及时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；
若采用方案乙，当为某固定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最小？
19.本小题分
我们知道，奇函数的图象关于原点对称．类比奇函数的定义，我们可以定义中心对称函数：设函数的定义域为，若对，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心．比如，函数就是中心对称函数，其对称中心为且中心对称函数具有如下性质：若为函数的对称中心，则函数为奇函数．
已知定义在上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，求，的值．
已知函数为中心对称函数，有唯一的对称中心，请写出对称中心并证明；
求数组的个数，其中，，，，且为中心对称函数．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：．
当，即时，由得或，或．
当，即时，恒成立，．
当，即时，由得或，或．
综上，当时，或
当时，
当时，或．
当时，，中恰好有个元素，，，
当时，，，不合题意
当时，，中恰好有个元素，，．
综上，．
16.解：由函数是定义在上的奇函数知，
解得，
经检验，时，，所以是上的奇函数，满足题意，
又，
解得 ，故，；
在上为增函数
证明：在任取且，
则，
因为，，，，
所以，
即，
所以在上为增函数；
因为为奇函数所以，
不等式可化为，即，
又在上是增函数，所以，解得，
所以关于的不等式解集为．
17.解：当时，，
令，则由，可知的取值范围为，
故原函数可化为，
由对勾函数性质，可知在上单调递增，
因此在时取到最小值，此时，
所以当时，在上取到最小值．
依题意，，
故当时，，．
因为，总存在，使得，
设在上取值的集合为集合，则有A.
当时，显然有在区间上单调递增，
此时，，
由，可知，解得
当时，由基本不等式，，因此有，
因为时，，故时，在上单调递增，
此时，，
由此可得无解．
综上，实数的取值范围为．
18.解：设方案甲与方案乙的用水量分别为与，由题设有 ，
解得．
由得方案乙初次用水量为，第二次用水量满足方程： ，
解得，故．
即两种方案的用水量分别为与．
因为当时，，
即，
故方案乙的用水量较少．
设初次与第二次清洗的用水量分别为与，类似得
，
于是
，
当为定值时， ，
当且仅当 时等号成立．
此时 不合题意，舍去或，，
将 代入式得 ，．
故 时总用水量最少，
此时第一次与第二次用水量分别为 与，
最少总用水量是．
19.解：由已知，，令，得，又，故，
令，得，故．
对称中心为，
证明：函数的定义域为且，关于点对称，
由已知
，
故对称中心为．
先证明对实数，若函数为中心对称函数，则，且对称中心为，事实上，一方面，由为中心对称函数知，其定义域也必然对称，故对称中心必为，且，
另一方面，
，
故命题得证．
由已知为中心对称函数，及，，，，
若对称中心为，则必有，且，
故，，共个数组符合题意
若对称中心为，则必有，且，
故，，共个数组符合题意
若对称中心为，则必有，且，，
故，，，共个数组符合题意
若对称中心为，则必有，，，故或，检验均不符合题意
若对称中心为，则必有，且，，
从而，，，故共有个数组符合题意．
综上，共有个数组符合题意．
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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，或，则图中的阴影部分表示的集合为
A. B. C. D.
2.若集合，则
A. B. C. D.
3.设，，则“”是“”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知函数的定义域是，则函数的定义域是
A. B. C. D.
5.已知函数且对任意，都有，则的取值范围是
A. B. C. D.
6.已知，，，，则下列不等式成立的是
A. B. C. D.
7.已知函数对任意，，，总有若存在使得不等式成立，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
8.已知函数是定义在上的增函数，当时，若，其中，则
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知甲、乙两城相距，两个旅行者分别骑自行车和摩托车从甲城到乙城，他们所行驶的路程和时间的函数关系如图所示，有人根据此图，提出了如下观点，其中正确的观点有
A. 骑自行车者和骑摩托车者都是变速运动
B. 骑自行车者比骑摩托车者早出发，晚到
C. 骑摩托车者在出发后追上了骑自行车者
D. 骑摩托车者在出发后与骑自行车者速度一样
10.已知幂函数的图象经过点，下列结论正确的有
A.
B.
C. 是偶函数
D. 若，则
11.用表示不超过的最大整数，例如，，已知，则
A.
B. 为奇函数
C. ，都有
D. 与图象所有交点的横坐标之和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.________．
13.已知两个正实数，，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是________．
14.已知函数为上的奇函数，函数，若在上的值域为，则在上的值域为________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，．
求集合；
设，若中恰好有个元素，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数是定义在区间上的奇函数，且．
求，；
判断在区间上的单调性，并用定义证明；
解关于的不等式．
17.本小题分
已知函数，．
当时，求在区间上的最小值；
若，总存在，使得，求实数的取值范围．
18.本小题分
对个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度含污物体的清洁度定义为：为，要求清洗完后的清洁度为有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：分两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是，用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是，其中是该物体初次清洗后的清洁度．
分别求出方案甲以及时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；
若采用方案乙，当为某固定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最小？
19.本小题分
我们知道，奇函数的图象关于原点对称．类比奇函数的定义，我们可以定义中心对称函数：设函数的定义域为，若对，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心．比如，函数就是中心对称函数，其对称中心为且中心对称函数具有如下性质：若为函数的对称中心，则函数为奇函数．
已知定义在上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，求，的值．
已知函数为中心对称函数，有唯一的对称中心，请写出对称中心并证明；
求数组的个数，其中，，，，且为中心对称函数．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：．
当，即时，由得或，或．
当，即时，恒成立，．
当，即时，由得或，或．
综上，当时，或
当时，
当时，或．
当时，，中恰好有个元素，，，
当时，，，不合题意
当时，，中恰好有个元素，，．
综上，．
16.解：由函数是定义在上的奇函数知，
解得，
经检验，时，，所以是上的奇函数，满足题意，
又，
解得 ，故，；
在上为增函数
证明：在任取且，
则，
因为，，，，
所以，
即，
所以在上为增函数；
因为为奇函数所以，
不等式可化为，即，
又在上是增函数，所以，解得，
所以关于的不等式解集为．
17.解：当时，，
令，则由，可知的取值范围为，
故原函数可化为，
由对勾函数性质，可知在上单调递增，
因此在时取到最小值，此时，
所以当时，在上取到最小值．
依题意，，
故当时，，．
因为，总存在，使得，
设在上取值的集合为集合，则有A.
当时，显然有在区间上单调递增，
此时，，
由，可知，解得
当时，由基本不等式，，因此有，
因为时，，故时，在上单调递增，
此时，，
由此可得无解．
综上，实数的取值范围为．
18.解：设方案甲与方案乙的用水量分别为与，由题设有 ，
解得．
由得方案乙初次用水量为，第二次用水量满足方程： ，
解得，故．
即两种方案的用水量分别为与．
因为当时，，
即，
故方案乙的用水量较少．
设初次与第二次清洗的用水量分别为与，类似得
，
于是
，
当为定值时， ，
当且仅当 时等号成立．
此时 不合题意，舍去或，，
将 代入式得 ，．
故 时总用水量最少，
此时第一次与第二次用水量分别为 与，
最少总用水量是．
19.解：由已知，，令，得，又，故，
令，得，故．
对称中心为，
证明：函数的定义域为且，关于点对称，
由已知
，
故对称中心为．
先证明对实数，若函数为中心对称函数，则，且对称中心为，事实上，一方面，由为中心对称函数知，其定义域也必然对称，故对称中心必为，且，
另一方面，
，
故命题得证．
由已知为中心对称函数，及，，，，
若对称中心为，则必有，且，
故，，共个数组符合题意
若对称中心为，则必有，且，
故，，共个数组符合题意
若对称中心为，则必有，且，，
故，，，共个数组符合题意
若对称中心为，则必有，，，故或，检验均不符合题意
若对称中心为，则必有，且，，
从而，，，故共有个数组符合题意．
综上，共有个数组符合题意．
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