2024-2025学年湖南省长沙市百强校(YZ)高二上期中考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年湖南省长沙市百强校(YZ)高二上期中考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 222.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-08 19:10:18 | ||
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文档简介
2024-2025学年湖南省长沙市百强校(YZ)高二上期中考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则在复平面对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.设直线：的倾斜角为，则
A. B. C. D.
3.如图，在平行六面体中，为与的交点．若 ，， ，则下列向量中与相等的是
A. B.
C. D.
4.已知数列为等差数列，，，，设甲：；乙：，则甲是乙的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽为，渠深为，水面距为，则截面图中水面的宽度约为参考数据：，，
A. B. C. D.
6.已知圆与圆外切，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.若函数在区间上只有一个零点，则的取值范围为
A. B. C. D.
8.已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上存在两点使得梯形的高为为该椭圆的半焦距，且，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是
A. 用简单随机抽样从含有个个体的总体中抽取一个容量为的样本，某个个体被抽到的概率是
B. 已知一组数据，，，，的平均数为，则这组数据的方差是
C. 数据，，，，，，，的分位数是
D. 若样本数据，，，的平均值为，则数据，，，的平均值为
10.下列四个命题中正确的是
A. 过定点，且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程为
B. 过定点的直线与以，为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围为或
C. 定点到圆上的点的最大距离为
D. 过定点且与圆相切的直线方程为或
11.在棱长为的正方体中，点满足，、，则( )
A. 当时，点到平面的距离为
B. 当时，点到平面的距离为
C. 当时，存在点，使得
D. 当时，存在点，使得平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.假设，，且与相互独立，则________．
13.斜率为的直线与椭圆相交于，两点，的中点为，则________．
14.已知公差不为的等差数列的前项和为，若，，，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的三个内角的对边分别为，且．
求角；
若，点满足，且，求的面积；
16.本小题分
在四棱锥中，底面是正方形，若，，．
求证：平面平面；
求平面与平面所成夹角的余弦值．
17.本小题分
已知双曲线：的左、右焦点分别为，，的一条渐近线方程为，且．
求的方程；
，为双曲线右支上两个不同的点，线段的中垂线过点，求直线的斜率的取值范围．
18.本小题分
已知是数列的前项和，若．
求证：数列为等差数列．
若，，数列的前项和为．
(ⅰ)求取最大值时的值；
(ⅱ)若是偶数，且，求．
19.本小题分
直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线．
若圆：是直线族的包络曲线，则，满足的关系式是什么？
若点不在直线族：的任意一条直线上，求的取值范围和直线族的包络曲线．
在的条件下，过曲线上，两点作曲线的切线，，其交点为若且，，不共线，探究是否成立？请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，
，
，
，又，
，，
，
．
由
，
，
，
，
．
16.证明：中，，，，
所以，所以
又，，
平面，平面，所以平面
又平面，所以平面平面．
解：取的中点，在平面内作，
，
，且，
又平面平面，平面，平面平面，
平面，
以所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，，
设平面的一个法向量为，
由，，
得即，
令，得，，所以
设平面的一个法向量为，
由，，
，即，
令，得，，所以
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
17.解：根据题意得，
整理方程组可得，
因此双曲线的方程为．
由题意可知直线斜率存在且斜率，
令：，，，令的中点为．
根据消去并整理得，，
所以，所以，
，，
，
因此点为，．
根据中垂线知，因此，解得：．
因此根据，在双曲线的右支上可得：
，
并且，
并且，
整理得，
所以或，
又因为，
即，
综上所述，，结合，
可得直线斜率的取值范围是．
18.解：证明：因为，
所以是以为首项，以为公差的等差数列，
所以，即，
所以，
由可得，即，
所以，，所以，
所以数列为等差数列．
由题意知在等差数列中，，
故可得，
当时，取最大值．
．
19.解：由定义可知，与相切，
则圆的圆心到直线的距离等于，
则，即．
点不在直线族的任意一条直线上，
所以无论取何值时，无解．
将整理成关于的一元二次方程：．
若该方程无解，则，即．
猜测直线族的包络曲线为．
证明：在上任取一点，在该点处的切线斜率为，
于是可以得到在点处的切线方程为：，即．
令直线族中，则直线为：，
所以该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线．
而对任意，都是抛物线在点处的切线．
所以直线族的包络曲线为．
法一：已知，设，，则，．
，．
由知，在点处的切线方程为
同理在点处的切线方程为．
，所以，
因此，
同理：，
所以，
，
即，所以成立．
法二：过，分别作准线的垂线，，连接，．
因为，．
显然．
又由抛物线定义得：，故为线段的中垂线，得到，
即．
同理可知，，
所以，即．
则．
所以成立．
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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则在复平面对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.设直线：的倾斜角为，则
A. B. C. D.
3.如图，在平行六面体中，为与的交点．若 ，， ，则下列向量中与相等的是
A. B.
C. D.
4.已知数列为等差数列，，，，设甲：；乙：，则甲是乙的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽为，渠深为，水面距为，则截面图中水面的宽度约为参考数据：，，
A. B. C. D.
6.已知圆与圆外切，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.若函数在区间上只有一个零点，则的取值范围为
A. B. C. D.
8.已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上存在两点使得梯形的高为为该椭圆的半焦距，且，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是
A. 用简单随机抽样从含有个个体的总体中抽取一个容量为的样本，某个个体被抽到的概率是
B. 已知一组数据，，，，的平均数为，则这组数据的方差是
C. 数据，，，，，，，的分位数是
D. 若样本数据，，，的平均值为，则数据，，，的平均值为
10.下列四个命题中正确的是
A. 过定点，且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程为
B. 过定点的直线与以，为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围为或
C. 定点到圆上的点的最大距离为
D. 过定点且与圆相切的直线方程为或
11.在棱长为的正方体中，点满足，、，则( )
A. 当时，点到平面的距离为
B. 当时，点到平面的距离为
C. 当时，存在点，使得
D. 当时，存在点，使得平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.假设，，且与相互独立，则________．
13.斜率为的直线与椭圆相交于，两点，的中点为，则________．
14.已知公差不为的等差数列的前项和为，若，，，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的三个内角的对边分别为，且．
求角；
若，点满足，且，求的面积；
16.本小题分
在四棱锥中，底面是正方形，若，，．
求证：平面平面；
求平面与平面所成夹角的余弦值．
17.本小题分
已知双曲线：的左、右焦点分别为，，的一条渐近线方程为，且．
求的方程；
，为双曲线右支上两个不同的点，线段的中垂线过点，求直线的斜率的取值范围．
18.本小题分
已知是数列的前项和，若．
求证：数列为等差数列．
若，，数列的前项和为．
(ⅰ)求取最大值时的值；
(ⅱ)若是偶数，且，求．
19.本小题分
直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线．
若圆：是直线族的包络曲线，则，满足的关系式是什么？
若点不在直线族：的任意一条直线上，求的取值范围和直线族的包络曲线．
在的条件下，过曲线上，两点作曲线的切线，，其交点为若且，，不共线，探究是否成立？请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
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9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，
，
，
，又，
，，
，
．
由
，
，
，
，
．
16.证明：中，，，，
所以，所以
又，，
平面，平面，所以平面
又平面，所以平面平面．
解：取的中点，在平面内作，
，
，且，
又平面平面，平面，平面平面，
平面，
以所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，，
设平面的一个法向量为，
由，，
得即，
令，得，，所以
设平面的一个法向量为，
由，，
，即，
令，得，，所以
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
17.解：根据题意得，
整理方程组可得，
因此双曲线的方程为．
由题意可知直线斜率存在且斜率，
令：，，，令的中点为．
根据消去并整理得，，
所以，所以，
，，
，
因此点为，．
根据中垂线知，因此，解得：．
因此根据，在双曲线的右支上可得：
，
并且，
并且，
整理得，
所以或，
又因为，
即，
综上所述，，结合，
可得直线斜率的取值范围是．
18.解：证明：因为，
所以是以为首项，以为公差的等差数列，
所以，即，
所以，
由可得，即，
所以，，所以，
所以数列为等差数列．
由题意知在等差数列中，，
故可得，
当时，取最大值．
．
19.解：由定义可知，与相切，
则圆的圆心到直线的距离等于，
则，即．
点不在直线族的任意一条直线上，
所以无论取何值时，无解．
将整理成关于的一元二次方程：．
若该方程无解，则，即．
猜测直线族的包络曲线为．
证明：在上任取一点，在该点处的切线斜率为，
于是可以得到在点处的切线方程为：，即．
令直线族中，则直线为：，
所以该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线．
而对任意，都是抛物线在点处的切线．
所以直线族的包络曲线为．
法一：已知，设，，则，．
，．
由知，在点处的切线方程为
同理在点处的切线方程为．
，所以，
因此，
同理：，
所以，
，
即，所以成立．
法二：过，分别作准线的垂线，，连接，．
因为，．
显然．
又由抛物线定义得：，故为线段的中垂线，得到，
即．
同理可知，，
所以，即．
则．
所以成立．
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