2024-2025学年湖南省长沙市百强校(YZ)高一上期中考试数学试题（含答案）

2024-2025学年湖南省长沙市百强校(YZ)高一上期中考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.函数的定义域为( )
A. 且 B. 且
C. D. 且
3.已知则( )
A. B. C. D.
4.设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.若实数，满足，则的最大值是 ( )
A. B. C. D.
7.已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
8.幂函数在区间上单调递增，且，则的值( )
A. 恒小于 B. 恒大于 C. 等于 D. 无法判断
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. B. 集合
C. 集合 D. 集合
10.已知的解集是，则下列说法正确的是( )
A.
B. 不等式的解集是
C. 的最小值是
D. 当时，，的值域是，则的取值范围是
11.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论正确的是( )
A.
B. 的单调递增区间为，
C. 当时，
D. 的解集为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，则 填“”或“”
13.已知，且，则 ．
14.定义若函数，且在区间上的值域为，则区间长度的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
计算：
已知，求的值．
16.本小题分
若关于的不等式的解集是．
求的值
设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．
17.本小题分
函数是定义在区间上的奇函数，且．
确定的解析式，并用定义证明在区间上的单调性
解关于的不等式．
18.本小题分
某机床厂今年年初用万元购入一台数控机床，并立即投入生产使用已知该机床在使用过程中所需要的各种支出费用总和单位：万元与使用时间，单位：年之间满足函数关系式为：该机床每年的生产总收入为万元设使用年后数控机床的盈利额为万元盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用
写出与之间的函数关系式
从第几年开始，该机床开始盈利盈利额为正值
该机床使用过程中，已知年平均折旧率为固定资产使用年后，价值的损耗与前一年价值的比率现对该机床的处理方案有两种：
第一方案：当盈利额达到最大值时，再将该机床卖出
第二方案：当年平均盈利额达到最大值时，再将该机床卖出．
研究一下哪种处理方案较为合理请说明理由．
参考数据：，，，
19.本小题分
定义：对于定义在区间上的函数和正数，若存在正数，使不等式对任意，恒成立，则称函数在区间上满足阶李普希兹条件．
判断函数，在上是否满足阶李普希兹条件
证明函数在区间上满足阶李普希兹条件，并求出的取值范围
若函数在区间上满足阶李普希兹条件，求的范围．
参考答案
1.
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14.
15.解：原式．
，
，
．
16.解：由题意，方程的两根为，且，
故；
由题意，由于，故B不为空集，
则，解得，
实数的取值范围是．
17.解：根据题意，函数是定义在上的奇函数，
则，
解可得；
又由，则有，解可得则；
设，
则
，
又由，
则，，，，
则，即，
则函数在上为增函数；
由知为奇函数且在上为增函数．
解可得：，即不等式的解集为．
18.解：由题意，使用过程中所需要的各种支出费用总和与使用时间之间的函数关系式为，
且该机床每年的生产总收入为万元，
设使用年后数控机床的盈利额为万元，
可得与之间的函数关系式，
由知：，，
令，可得，解得，
因为，所以，．
因为，所以且，故从第年开始盈利．
由知，，
因为，
所以当或时，营利额达到最大值，为万元，
使用年后机床剩余价值为：万元，
所以按第一方案处理，总获利为万元
又由，
可求得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
当时，年平均盈利为万元，当时，年平均盈利为万元，
又，
所以当第年时，年平均盈利额达到最大值，此时机床剩余价值为：万元，
所以按第二方案处理，总获利为万元．
由于，则选第一方案较为合理．
19.解：满足阶李普希兹条件，不满足阶李普希兹条件．
理由：对于，
，，所以存在正数，对任意，使，成立，
所以满足阶李普希兹条件；
对于，
，不妨设，则，
易得，
所以不满足阶李普希兹条件．
证明：不妨设，，，故时，对，，
均有．
首先证明时不成立，假设函数在区间上满足阶李普希兹条件，
则有，令，则有，即取，则，则，矛盾，所以假设不成立．
然后证明时成立，不妨设时显然成立，令，
，．
要证函数在区间上满足阶李普希兹条件，
只需证存在正数使得不等式成立，
即证，又，
当时，，所以
当时，，所以
当时，，
故取，不等式即可成立综上，的取值范围为
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