2024-2025学年上海市徐汇区南洋中学高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市徐汇区南洋中学高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题4分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设甲是乙的充分而不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要而不充分条件，则丁是甲的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.如图，是全集，、、是它的子集，则阴影部分表示对集合是( )
A. B. C. D.
3.如果，那么下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
4.设集合，，若，则对应的实数对有( )
A. 对 B. 对 C. 对 D. 对
二、填空题：本题共12小题，共40分。
5.，或，则 ______．
6.用反证法证明：若梯形的对角线不相等，则该梯形不是等腰梯形，应假设______．
7.不等式的解集为______．
8.不等式的解集是______．
9.方程有两个实根，则实数的取值范围是______．
10.已知，，则的值为______．
11.使不等式中等号成立的的取值范围是______．
12.已知集合，且，则实数的值为______．
13.不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是______．
14.若集合，，若集合满足，则这样的集合的个数是______．
15.设，是方程的两根，则 ______．
16.记表示，，中最小的数设，，则的最大值为______．
三、解答题：本题共5小题，共44分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知，，用，表示．
18.本小题分
设，证明：“”不是“”的必要条件．
19.本小题分
解关于的不等式：．
20.本小题分
王老师和高老师一起去粮店打酱油共三次，王老师每次打元酱油，高老师每次打斤酱油，由于酱油市场瞬息万变，每次打的酱油价格都不相同，一斤的价格分别为元、元、元，则三次后两人所打酱油的平均价格较低是哪位老师？请说明理由即提炼关键不等式，并证明
21.本小题分
设，都是正数．
证明：；
若，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.该梯形是等腰梯形
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.
16.
17.解：因为，又，，
所以．
18.解：假设是的必要条件，
那么集合是集合的子集，
列不等式组得，此不等式组无解，这与假设矛盾，
所以“”不是“”的必要条件．
19.解：由，得，等价于且，
当时，解得或，
当时，解得，
当时，，
当时，，
当时，，
综上所述，当时，原不等式解集为或，
当时，原不等式解集为，
当时，原不等式解集为，
当时，原不等式解集为，
当时，原不等式解集为．
20.解：王老师，理由如下：
王老师的平均价格为，
高老师的平均价格为，
所以，
因为，，互不相等，
所以，
即，
所以王老师的平均价格更低．
21.证明：由，，
得
，
当且仅当，即时，等号成立，
故；
解：若，
则
，
当且仅当，即时，等号成立．
故的最小值为．
第1页，共1页