雅礼教育集团2024年下学期期中检测试题
高二数学
一、单项选择题：
1. B
2. D
3. D
4. B
5. A
6. C
7. C
8. D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. BCD
10. BD
11. AB
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
12.
13. 100
14. .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
（1）
（2）-57
【解析】
根据等差数列的通项公式和前n项和公式列方程组求出即可得，
（2）由通项公式可求得当时，，从而可得当时，取到最小值，进而可求出其最小值
设数列的公差为d，
则，解得，所以
【2】
令，解得，所以当时，.
故当时，取到最小值，为.
16.
（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设出公差，利用题意得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式；
（2），利用分组求和，结合等差数列和等比数列求和公式得到答案.
【小问1详解】
根据为等差数列，设公差为.
，即①，
，，成等比数列
∴，②，
由①②解得：，
数列的通项公式为.
【小问2详解】
由，
数列的前n项和
.
17.
【解析】
【分析】（1）取中点，连接，，通过证明四边形为平行四边形，即可证明结论；
（2）由直线与平面所成的角为，可得，建立以为原点的空间直角坐标系，利用向量方法可得答案.
【小问1详解】
取中点，连接，，
为的中点，，，
又，，，，
四边形为平行四边形，，
平面，平面，
平面；
【小问2详解】
平面平面，平面平面平面，
平面，
取中点，连接，则平面，
，
，又，
如图以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
，
，设平面的一个法向量，，
则，取，则，
平面的一个法向量可取，
设平面与平面所成锐二面角为，
，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值.
18.
【解析】
【分析】（1）利用抛物线的定义得，计算出得抛物线方程；
（2）直线方程与抛物线方程联立方程组，求出两点坐标，利用求出点坐标，求出点到直线l的距离和弦长，可求的面积；
（3）设，，，过点Q的直线为，与抛物线方程联立方程组，利用韦达定理表示出，求出算式的值与无关的条件，可得为定值的常数.
【小问1详解】
由拋物线的定义得，解得，.
抛物线的方程为.
【小问2详解】
设，，由（1）知点，
直线l的方程为.
由可得，则，，
，
则不妨取，，则点A，B的坐标分别为，.
设点M的坐标为，则，，
则，
解得.即，
又点M到直线l的距离，故，
故的面积；
【小问3详解】
设，，，过点Q的直线为，
联立消去y得：，
时，，，
联立消去得：，，，
要使与k无关，
则且，，，
存在此时为定值.
19.
【解析】
【分析】（1）建立平面直角坐标系，根据双曲线定义可得双曲线方程；
（2）假设存在符合条件的圆，依据条件，可得四边形为菱形，设直线的斜率分别为，将直线分别与双曲线方程联立求得，通过计算O到直线PQ的距离可得定圆的方程.
【小问1详解】
以AB所在直线为x轴，以AB的中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系.
则.由折纸方法可知：，所以.
根据双曲线的定义，C是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线，
设其方程为则，所以.
故C的方程为.
【小问2详解】
（i）假设存在符合条件圆O，如图所示：
由可得，根据切线的性质可知，,
所以，即.
（ii）分别作关于原点的对称点，则均在C上，且四边形为菱形，所以均与O相切，所以与M重合，与N重合，所以四边形为菱形.
显然，直线的斜率均存在且不为0.设直线的斜率分别为，则直线的方程为，直线的方程为.
设，则由，得，
所以，且，所以，且.
同理可得：，且.
所以四边形PQNM的面积.
设，故.
设，则，所以.
因为在单调递增，在单调递减，所以.
所以.
所以四边形的面积的取值范围是.雅礼教育集团2024年下学期期中检测试题
高二数学
时量：120分钟分值：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1已知等差数列满足，则等于（）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
2. 若圆的半径为2，则实数的值为（）
A. -9 B. -8 C. 9 D. 8
3. 若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（）
A. B. C. D.
4. 空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为、、、、和六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”六个等级．如图是某市2月1日至14日连续14天的空气质量指数趋势图，则下面说法中正确的是（）．
A. 这14天中有5天空气质量为“中度污染”
B. 从2日到5日空气质量越来越好
C. 这14天中空气质量指数的中位数是214
D. 连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日
5. 已知双曲线C ：-=1焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为
A. -=1 B. -=1 C. -=1 D. -=1
6. 定义行列式，若函数，则下列表述正确是（）
A. 的图象关于点中心对称 B. 的图象关于直线对称
C. 在区间上单调递增 D. 是最小正周期为的奇函数
7. 已知中，，，，D为BC的中点，则（）
A25 B. 19 C. D.
8. 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，是上一点，且轴，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为（）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 设i为虚数单位，下列关于复数z的命题正确的有（）
A.
B. 若，互为共轭复数，则
C. 若，则z的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆
D. 若复数为纯虚数，则
10. 如图，正方体的棱长为1，E是棱CD上的动点（含端点）.则下列结论正确的是（）
A. 三棱锥的体积为定值
B.
C. 存在某个点E，使直线与平面ABCD所成角为
D. 二面角的平面角的大小为
11. 数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美 对称美 和谐美的产物，曲线为四叶玫瑰线，下列结论正确的有（ ）
A. 方程，表示的曲线在第二和第四象限；
B. 曲线上任一点到坐标原点距离都不超过；
C. 曲线构成的四叶玫瑰线面积大于；
D. 曲线上有个整点（横 纵坐标均为整数的点）.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
12. 圆与圆的交点为A，B，则公共弦AB所在的直线的方程是________.
13. 若数列满足（，d为常数），则称数列为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是________.
14. 如图，在四棱锥中，顶点P在底面的投影恰为正方形ABCD的中心且，设点M，N分别为线段PD，PO上的动点，已知当取得最小值时，动点M恰为PD的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列是等差数列，是的前n项和，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求的最小值.
16. 已知公差不为零的等差数列的前n项和为，若，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
17. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，且，分别为，的中点，
（1）证明：平面；
（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
18. 已知抛物线上一点到焦点F的距离为9.
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点，点M为抛物线C准线上一点，且，求的面积.
（3）过点的动直线l与抛物线相交于C，D两点，是否存在定点T，使得为常数？若存在，求出点T的坐标及该常数；若不存在，说明理由.
19. “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张纸片，按如下步骤折纸：
步骤1：在纸上画一个圆，并在圆外取一定点；
步骤2：把纸片折叠，使得点折叠后与圆上某一点重合；
步骤3：把纸片展开，并得到一条折痕；
步骤4：不断重复步骤2和3，得到越来越多的折痕.
你会发现，当折痕足够密时，这些折痕会呈现出一个双曲线的轮廓.
若取一张足够大的纸，画一个半径为2的圆，并在圆外取一定点，按照上述方法折纸，点折叠后与圆上的点重合，折痕与直线交于点的轨迹为曲线.
（1）以所在直线为轴建立适当的坐标系，求的方程；
（2）设的中点为，若存在一个定圆，使得当的弦与圆相切时，上存在异于的点使得，且直线均与圆相切.
（i）求证：；
（ii）求四边形面积的取值范围.
