2.1 等式性质与不等式性质（第一课时）(共17张PPT)

(共17张PPT)
2.1 等式性质与不等式性质
（第一课时）
教学目标：
1.能够根据题意将不等关系用不等式表示出来.
2.能够利用作差法判断两个数（式）的大小关系.
教学重点：
能够利用作差法判断两个数（式）的大小关系.
教学难点：
能在在实际情景中建立不等式(组).
情境引入
在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等．类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等．相等用等式表示，不等用不等式表示．
用不等号（如> 、<、 ≥ 、≤）连接的式子就是不等式。
新知探索
问题1 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗
（1）某路段限速40km/h；
（2）某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f 应不少于 2.5%， 蛋白质的含量p应不少于2.3%；
（3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；
（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短．
对于（1），设在该路段行驶的汽车的速度为v km/h，
“限速40km/h”就是v的大小不能超过40，于是
0< v ≤ 40．
新知探索
问题1 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗
（1）某路段限速40km/h；
（2）某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f 应不少于 2.5%， 蛋白质的含量p应不少于2.3%；
（3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；
（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短．
对于（2），由题意，得
新知探索
问题1 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗
（1）某路段限速40km/h；
（2）某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f 应不少于 2.5%， 蛋白质的含量p应不少于2.3%；
（3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；
（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短．
对于（3），设△ABC的三条边为a，b，c，则
a+b > c，a－b < c．
新知探索
问题1 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗
（1）某路段限速40km/h；
（2）某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f 应不少于 2.5%， 蛋白质的含量p应不少于2.3%；
（3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；
（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短．
对于（4），设C是直线AB外任意一点，CD垂直于AB，垂足为D，E是直线AB上不同于D的任意一点，则CDC
A E D B
新知探索
问题2 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗
某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元
设提价后杂志的定价为x元，则销售的总收入为 万元，
那么不等关系“销售的收入不低于20万元”用不等式可以表示为：
①
求出不等式①的解集，就能知道满足条件的杂志的定价范围。
新知探索
如何解上述不等式呢？与解方程要用等式的性质一样，解不等式要用不等式的性质．为此，我们需要先研究不等式的性质．
在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质．那么，这些性质为什么是正确的？还有其他不等式的性质吗？
回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实．
新知探索
关于实数a,b大小的比较，有以下基本事实：
如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于0，那么a=b；如果a－b是负数，那么a这个基本事实可以表示为：
从上述基本事实可知：要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与0的大小．
例题精讲
例1.比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小．
解：∵(x+2)(x+3)-(x+1)(x+4)
=(x2+5x+6)-(x2+5x+4)
= 2 > 0，
∴(x+2)(x+3)>(x+1)(x+4)．
这里，我们借助多项式减法运算，得出一个明显大于0的数（式）．
这是解决不等式问题的常用方法．这种方法叫做作差法，其过程分为
四个步骤：作差、变形、判号、结论。
作差
变形
判号
结论
新知探索
作差法比较大小的基本步骤：
（1）作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差；
（2）变形：对差进行变形(通常方法有因式分解、通分、配方等，注意变形要到位才行)；
（3）判断符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；
（4）作出结论．
课堂练习
已知a>b且ab>0,证明
证明：
探究
如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．
你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？
探究
把上图的“风车”抽象成右图,
正方形ABCD中有4个全等的直角
三角形.
设直角三角形的两直角边的长分别
为 a，b.那么正方形的边长为 ，
这样4个直角三角形的面积和为 ，正方形
的面积为 ，由于正方形的面积大于
4个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式：
当且仅当E、F、G、H四点重合即a=b时，
四个直角三角形面积和等于正方形面积，
即：
D
A
B
C
a
b
E(FGH)
探究
重要不等式:
一般地， a, b∈R，有
a2+b2 ≥ 2ab
当且仅当a=b时，等号成立
另证：∵a2+b2－2ab =(a－b)2 ≥ 0 ,
∴a2+b2 ≥ 2ab.
（当且仅当a=b时，等号成立）
课堂小结
1．不等式与不等关系：
用不等式表示不等关系，注意文字语言与符号语言之间的转化．
2．比较两个实数大小关系的依据：
3．作差比较法：
作差 → 变形 → 判断符号 → 作出结论
课后练习
1.比较2x2+3与x+2的大小.