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北京课改版（2024）八上期中复习
一．试题（共33小题）
1．如图，小明家仿古家具的一块三角形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC，提供下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（ ）
A．AB，BC，CA B．AB，BC，∠B C．AB，AC，∠B D．∠A，∠B，BC
2．“一座姑苏城，半卷江南诗．”2023年苏州市文旅行业势头强劲，经综合测算，国庆长假期间，我市累计接待游客1781.5万人次，按可比口径较2019年增长43.3%．近似数1781.5万精确到（ ）
A．十分位 B．百位 C．千位 D．千分位
3．将分式中的x，y的值同时扩大到原来的2倍，则分式的值（ ）
A．扩大到原来的2倍 B．缩小到原来的
C．保持不变 D．无法确定
4．下列说法正确的是（ ）
A．﹣81的平方根是﹣9
B．平方根等于它本身的数是1和0
C．的平方根是±9
D．立方根等于它本身的数是±1和0
5．下列条件中能判断△ABC是直角三角形的有（ ）
①AB2﹣BC2＝AC2；
②∠C＝2∠A＝2∠B；
③BC：AC：AB＝32：42：52；
④∠A+∠B＝∠C；
⑤∠A：∠B：∠C＝3：4：5；
⑥BC＝5，AC＝12，AB＝13．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
6．如图，已知△ABC（AB＜BC＜AC），用尺规在AC上确定一点P，使PB+PC＝AC，则下列选项中，一定符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为7和13，则b的面积为（ ）
A．20 B． C．91 D．
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD，则BC的长为（ ）
A．1 B．1 C．1 D．1
9．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝90°，若P是AC上的一个动点，则AP+BP+CP的最小值是（ ）
A．14.8 B．15 C．15.2 D．16
10．如图所示，将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度h cm，则h的取值范围是（ ）
A．h≤17cm B．h≥8cm
C．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm
11．已知直角三角形的两边长为5和12，则其斜边上的中线为 ．
12．若等腰△ABC的一个外角等于130°，则该三角形的顶角等于 ．
13．已知a、b为两个连续的整数，且，则a+b＝ ．
14．如图，△ABC的周长是12，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，则△ABC的面积是 ．
15．如图，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是 ．
16．若关于x的分式方程有增根，则m的值是 ．
17．若分式方程的解为负数，则a取值范围为 ．
18．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点C与A重合，点D落在点G处．若长方形的长BC为8，宽AB为4，则阴影部分的面积为 ．
19．如图，已知：四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠DCB＝117°，∠ABC＝50°，∠BAD+∠CAD＝180°，那么∠DAC的度数为 度．
20．定义：如果三角形有两个内角的差为60°，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”．已知△ABC是“准等边三角形”，其中∠A＝35°，∠C＞90°．则∠B＝ ．
21．计算：
（1）|2﹣π|；
（2）．
22．求下面各式中的x的值：
（1）5x2＝125；
（2）2（x﹣1）3+128＝0．
23．解方程：
（1）；
（2）．
24．先化简，再求值：（x+1），其中x满足x2+7x＝0．
25．在△ABC中，AB＝AC，直线l经过点A，且与BC平行．请用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，不写作法）
（1）如图①，在直线l上作出一点P，使得BP⊥AC；
（2）如图②，在直线l上作出所有的点Q，使得．
26．2021年是中国共产党建党100周年，大街小巷挂满了彩旗．如图所示，长方形彩旗完全展平时的尺寸图（单位：cm）．其中长方形ABCD是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分DCEF为长方形绸缎旗面，将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上．旗杆从旗顶到地面的高度为220cm，在无风的天气里，彩旗自然下垂．求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h．
27．如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．
（1）判断∠D是否是直角，并说明理由．
（2）求四边形ABCD的面积．
28．如图，点D是△ABC中∠BAC的平分线和边BC的垂直平分线DE的交点，DG⊥AB于点G，DH⊥AC交AC的延长线于点H，求证：BG＝CH．
29．列分式方程解应用题：某工程队准备修建一条长3000m的盲道，由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加25%，结果提前2天完成这一任务，原计划每天修建盲道多少米？
30．“书香润泽生命，阅读陪伴成长”，某学校为了开展学生阅读活动，计划网购甲、乙两种图书．已知甲种图书的单价是乙种图书单价的倍，且用1600元购买甲种图书比用900元购买乙种图书可多买20本．
（1）（列分式方程解应用题）乙种图书的单价是多少？
（2）根据学校实际情况，需一次性网购甲、乙两种图书共300本，购买时得知：一次性购买甲乙两种图书超过100本时，甲种图书可按九折优惠（九折优惠指实际出售单价是原来单价的0.9倍），乙种图书可按八折优惠．若该校此次用于购买甲、乙两种图书的总费用不超过4800元，则学校最多购进甲种图书多少本？
31．我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”．
如分式A，B，A﹣B2，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2．
（1）已知分式C，D，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅中值”；
（2）已知分式P，Q，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，x为整数，且“雅中式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值之和．
32．已知△ABC中，∠B＝90°，BC＝6cm，AB＝8cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动且速度为每秒2cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，在BC边上的运动速度是每秒3cm，在AC边上的运动速度是每秒5cm，它们同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止，设运动时间为t秒．
（1）当t＝1时，S△BPQ＝ ；
（2）若△ABQ的面积是△ABC面积的，求t的值；
（3）若PQ将△ABC周长分为5：7两部分，求t的值．
33．如图1，在长方形ABCD中，F是DA延长线上一点，CF交AB于点E，G是CF上一点．给出下列三个关系．
①∠GAF＝∠F，②AC＝AG，③∠ACB＝3∠BCE．
（1）选择其中两个作为条件，一个作为结论构成一个真命题，并说明理由；
（2）在 （1）的情况下，若∠BCE＝22.5°，AD＝1，求点G到直线AF的距离；
（3）规定：一个三角形中有两个内角α、β满足2α+β＝90°，则称这个三角形为“完美三角形”．如图2，在Rt△OPQ中，∠POQ＝90°，OP＝3，OQ＝4．在线段OQ上是否存在点M，使得△PQM是“完美三角形”，若存在，请求出OM的值；若不存在，请说明理由．
二．作业题（共23小题）
34．下列各数中π，﹣9，，，3.1415，2.010010001…，无理数有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
35．以下列各组数为边长能组成直角三角形的是（ ）
A．2、3、4 B．、、 C．32、42、52 D．6、8、10
36．下列说法中正确的是（ ）
A．9的算术平方根是±3 B．0的平方根是0
C．27的平方根是有理数 D．8的立方根是±2
37．下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
38．估计运算结果在（ ）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
39．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
40．的平方根是 ．
41．等腰三角形的两边长分别为5cm和2cm，则它的周长为 ．
42．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，DCAD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于 ．
43．如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝ cm．
44．如图，数轴上点C、D分别表示 1、﹣1，BC垂直于数轴，且长为1，以D为圆心、BD为半径作弧交数轴于点A，则点A表示的实数是 ．
45．若关于x的分式方程的解为正数，那么字母a的取值范围是 ．
46．如图，在△ABC中，AC＝BC，以点A为圆心，AB长为半径作弧交BC于点D，交AC于点E．再分别以点C，D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点．作直线FG，若直线FG经过点E，则∠AEG的度数为 °．
47．如图，一支铅笔放在圆柱形的笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高为12cm．若铅笔的长为20cm，则这只铅笔露在笔筒外面的长度最小是 cm．
48．求下列各式中的x：
（1）（x﹣2）2＝36；
（2）（2x﹣1）3+8＝0．
49．解方程：
（1）0；
（2）．
50．先化简，再求值：，其中x2﹣x﹣6＝0．
51．先化简，再求值：（），其中x＝3．
52．分式方程应用题：近日，北京教育考试院发布了《北京市义务教育体育与健康考核评价现场考试项目评分准（试行）》，2024年中考中对于体育现场考试项目中的男生1000米和女生800米的考核标准调整为“达到良好即满分”，即达到3分55秒即可得到满分．在一次计时跑步中，某班一名女生和一名男生的平均速度相同，且这名女生跑完800米所用时间比这名男生跑完1000米所用时间少56秒，按照中考考核标准来看，这名女生能否能拿到满分？
53．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节，某校八年级（1）班的小明学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE（如图1），进行了如下操作：①牵线放风筝的小明手抓线的地方与地面的距离AB为1.5米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线CB的长为17米；③测得小明手抓线的地方与风筝的水平距离BD的长为8米．
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）如图2，小明想让风筝沿CD方向下降9米到点M处，则他应该往回收线多少米？
54．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）求∠DAE的度数．
（2）求证：DE平分∠ADC；
（3）若AB＝8，AD＝6，CD＝8，三角形ACD的面积是18，求△ABE的面积．
55．已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．
（1）当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时（如图1），易证S△DEF+S△CEFS△ABC；
（2）当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
56．如图，已知△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，动点P从点C出发，沿着△ABC的三条边逆时针走一圈回到C点，速度为2cm/s，设运动时间为t秒．
（1）t为何值时，AP平分∠CAB？
（2）求当t为何值时，△ACP为等腰三角形？
（3）若P出发时，同时另有一点Q，从点C开始，按顺时针方向运动一圈回到点C，且速度为每秒1cm．当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．是否存在某一时刻，直线PQ将△ABC的周长分成相等的两部分？若存在，求t的值，若不存在，说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台
北京课改版（2024）八上期中复习
一．试题（共33小题）
1．如图，小明家仿古家具的一块三角形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC，提供下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（ ）
A．AB，BC，CA B．AB，BC，∠B C．AB，AC，∠B D．∠A，∠B，BC
【思路点拔】直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案．
【解答】解：A．利用三角形三边对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；
B．利用三角形两边、且夹角对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；
C．AB，AC，∠B，无法确定三角形的形状，故此选项符合题意；
D．根据∠A，∠B，BC，三角形形状确定，故此选项不合题意；
故选：C．
2．“一座姑苏城，半卷江南诗．”2023年苏州市文旅行业势头强劲，经综合测算，国庆长假期间，我市累计接待游客1781.5万人次，按可比口径较2019年增长43.3%．近似数1781.5万精确到（ ）
A．十分位 B．百位 C．千位 D．千分位
【思路点拔】根据近似数和有效数字的方法进行解题即可．
【解答】解：近似数1781.5万精确到千位．
故选：C．
3．将分式中的x，y的值同时扩大到原来的2倍，则分式的值（ ）
A．扩大到原来的2倍 B．缩小到原来的
C．保持不变 D．无法确定
【思路点拔】根据题意把x，y的值均扩大为原来的2倍，然后约分化简与原式进行比较即可．
【解答】解：由题意得：，扩大到原来的2倍，
故选：A．
4．下列说法正确的是（ ）
A．﹣81的平方根是﹣9
B．平方根等于它本身的数是1和0
C．的平方根是±9
D．立方根等于它本身的数是±1和0
【思路点拔】根据负数没有平方根可判断A，根据平方根，算术平方根的含义可判断B，C，根据立方根的含义可判断D，从而可得答案．
【解答】解：A、﹣81没有平方根，不符合题意；
B、平方根等于它本身的数是0，不符合题意；
C、的平方根是±3，不符合题意；
D、立方根等于它本身的数是±1和0，符合题意．
故选：D．
5．下列条件中能判断△ABC是直角三角形的有（ ）
①AB2﹣BC2＝AC2；
②∠C＝2∠A＝2∠B；
③BC：AC：AB＝32：42：52；
④∠A+∠B＝∠C；
⑤∠A：∠B：∠C＝3：4：5；
⑥BC＝5，AC＝12，AB＝13．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【思路点拔】由勾股定理的逆定理、三角形内角和定理以及三角形的三边关系分别对各个条件进行判断即可．
【解答】解：①∵AB2﹣BC2＝AC2，
∴AB2＝BC2+AC2，
∴△ABC是直角三角形；
②∵∠C＝2∠A＝2∠B，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴A＝∠B＝45°，∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
③∵BC：AC；AB＝32：42：52，
∴BC+AC＝AB，不能构成三角形；
④∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
⑤∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴最大角∠C180°＝75°，
∴△ABC不是直角三角形；
⑥∵BC＝5，AC＝12，AB＝13，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形；
∴能判断△ABC是直角三角形的有4个，
故选：B．
6．如图，已知△ABC（AB＜BC＜AC），用尺规在AC上确定一点P，使PB+PC＝AC，则下列选项中，一定符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】由题意可得，PA＝PB，则P在线段AB垂直平分线上，由此即可得到答案．
【解答】解：∵点P在线段AC上，
∴PA+PC＝AC，
∵PB+PC＝AC，
∴PA＝PB，
∴P在线段AB垂直平分线上，
结合选项可知，C选项的作图为线段AB垂直平分线，符合题意，
故选：C．
7．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为7和13，则b的面积为（ ）
A．20 B． C．91 D．
【思路点拔】运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解即可
【解答】解：由于a、b、c都是正方形，所以AC＝CD，∠ACD＝90°；
∵∠ACB+∠DCE＝∠ACB+∠BAC＝90°，即∠BAC＝∠DCE，
∠ABC＝∠CED＝90°，AC＝CD，
∴△ACB≌△CDE，
∴AB＝CE，BC＝DE；
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝AB2+CD2，
即Sb＝Sa+Sc＝13+7＝20，
故选：A．
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD，则BC的长为（ ）
A．1 B．1 C．1 D．1
【思路点拔】根据∠ADC＝2∠B，∠ADC＝∠B+∠BAD判断出DB＝DA，根据勾股定理求出DC的长，从而求出BC的长．
【解答】解：∵∠ADC＝2∠B，∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴∠B＝∠DAB，
∴DB＝DA，
在Rt△ADC中，
DC1，
∴BC1．
故选：D．
9．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝90°，若P是AC上的一个动点，则AP+BP+CP的最小值是（ ）
A．14.8 B．15 C．15.2 D．16
【思路点拔】利用勾股定理求出AC，根据垂线段最短，求出BP的最小值即可解决问题．
【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC10，
∵AP+BP+PC＝BP+AC＝BP+10，
根据垂线段最短可知，当BP⊥AC时，BP的值最小，最小值BP4.8，
∴AP+BP+CP的最小值＝10+4.8＝14.8，
故选：A．
10．如图所示，将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度h cm，则h的取值范围是（ ）
A．h≤17cm B．h≥8cm
C．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm
【思路点拔】当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件以及根据勾股定理即可求出h的取值范围．
【解答】解：如图1所示，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，
∴h最大＝24﹣8＝16（cm），
如图2所示，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在Rt△ABD中，AD＝15cm，BD＝8cm，
∴AB17（cm），
∴此时h最小＝24﹣17＝7（cm），
∴h的取值范围是7cm≤h≤16cm．
故选：D．
11．已知直角三角形的两边长为5和12，则其斜边上的中线为 6.5或6． ．
【思路点拔】分12为斜边长与直角边长两种情况求解即可．
【解答】解：当12为斜边长时，则其斜边上的中线为；
当12为直角边长时，斜边长，
则其斜边上的中线为，
综上所述，则其斜边上的中线为6.5或6，
故答案为：6.5或6．
12．若等腰△ABC的一个外角等于130°，则该三角形的顶角等于 50°或80° ．
【思路点拔】根据等腰三角形的一个外角等于130°，进行讨论可能是底角的外角是130°，也有可能顶角的外角是130°，从而求出答案．
【解答】解：①当130°的外角是底角的外角时，底角为：180°﹣130°＝50°，
∴顶角度数是180°﹣50°﹣50°＝80°；
②当130°的外角是顶角的外角时，顶角为：180°﹣130°＝50°，
∴顶角为50°或80°．
故答案为：50°或80°．
13．已知a、b为两个连续的整数，且，则a+b＝ 11 ．
【思路点拔】先求出，得出a＝5，b＝6，代入求出即可．
【解答】解：∵
∴
∵ab，且a、b为两个连续的整数
∴a＝5，b＝6
∴a+b＝5+6＝11，
故答案为11．
14．如图，△ABC的周长是12，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，则△ABC的面积是 18 ．
【思路点拔】过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OE＝OD＝OF，然后根据三角形的面积列式计算即可得解．
【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥AC于F，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OE＝OD＝OF＝3，
∴△ABC的面积12×3＝18．
故答案为：18．
15．如图，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是 ．
【思路点拔】直接利用勾股定理得出OC的长，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：连接OC，
由题意可得：OB＝2，BC＝1，
则OC，
故点M对应的数是：．
故答案为：．
16．若关于x的分式方程有增根，则m的值是 2 ．
【思路点拔】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣1＝0，得到x＝1，然后代入化为整式方程的方程算出未知字母的值．
【解答】解：
mx＝2﹣（x﹣1），
解得x，
∵方程有增根，
∴x﹣1＝0，即增根为x＝1，
将x＝1代入得：1，
解得：m＝2
故答案为：2．
17．若分式方程的解为负数，则a取值范围为 a＜2且a≠﹣1 ．
【思路点拔】先求出分式方程的解，再令其小于零，最后解不等式即可解答．
【解答】解：，
x﹣a＝﹣2（x+1），
x﹣a＝﹣2x﹣2，
3x＝a﹣2，
，
检验：当时，x+1≠0，即：，即a≠﹣1；
∵分式方程的解为负数，
∴，解得：a＜2．
综上，a＜2且a≠﹣1．
故答案为：a＜2且a≠﹣1．
18．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点C与A重合，点D落在点G处．若长方形的长BC为8，宽AB为4，则阴影部分的面积为 ．
【思路点拔】设DE＝GE＝x，则AE＝8﹣x，依据勾股定理列方程，即可得到AE和DE的长；过G作GM⊥AD于M，依据面积法即可得到GM的长，进而得出阴影部分的面积．
【解答】解：由长方形与折叠可得DE＝GE，AG＝CD＝AB＝4，BC＝AD＝8，∠AGE＝∠C＝90°，
设DE＝GE＝x，则AE＝8﹣x，
∵在Rt△AEG中，AG2+GE2＝AE2，
∴42+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴DE＝3，AE＝5；
如图所示，过G作GM⊥AD于M，
∵GE＝DE＝3，AE＝5，AG＝4，且，
∴，
∴，
即阴影部分的面积为．
故答案为：．
19．如图，已知：四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠DCB＝117°，∠ABC＝50°，∠BAD+∠CAD＝180°，那么∠DAC的度数为 52 度．
【思路点拔】延长BA和BC，过D点作DE⊥BA于E点，过D点作DF⊥BC于F点，过D点作DG⊥AC于G点，判定AD为∠EAC的平分线，CD为∠ACF的平分线，即可得出∠DAC的度数．
【解答】解：如图，延长BA和BC，过D点作DE⊥BA于E点，过D点作DF⊥BC于F点，过D点作DG⊥AC于G点，
又∵BD是∠ABC的平分线，
∴DE＝DF，
又∵∠BAD+∠CAD＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°，
∴∠CAD＝∠EAD，
∴AD为∠EAC的平分线，
∴DE＝DG，
∴DG＝DF．
∴CD为∠ACF的平分线，
∵∠DCB＝117°，
∴∠DCF＝63°，
∴∠ACF＝126°，
∴∠BAC＝∠ACF﹣∠ABC＝126°﹣50°＝76°，
∴∠CAE＝104°，
∴∠CAD104°＝52°，
故答案为：52．
20．定义：如果三角形有两个内角的差为60°，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”．已知△ABC是“准等边三角形”，其中∠A＝35°，∠C＞90°．则∠B＝ 50°或42.5° ．
【思路点拔】由△ABC是“准等边三角形”，∠A＝35°，∠C＞90°，得到∠B＜55°，分两种情况：当∠C﹣∠A＝60°时；当∠C﹣∠B＝60°时；然后分别进行计算即可求解．
【解答】解：∵△ABC是“准等边三角形”，∠A＝35°，∠C＞90°，
∴∠B+∠A＜90°，
∴∠B＜55°，
当∠C﹣∠A＝60°时，
∴∠C＝∠A+60°＝95°，
∴∠B＝180°﹣∠C﹣∠A＝50°；
当∠C﹣∠B＝60°时，
∵∠A＝35°，
∴∠C+∠B＝180°﹣∠A＝145°，
∴∠B＝42.5°；
综上所述：∠B的度数为50°或42.5°；
故答案为：50°或42.5°．
21．计算：
（1）|2﹣π|；
（2）．
【思路点拔】（1）先计算有理数的乘方，化简绝对值，计算立方根，平方根，最后计算加减即可；
（2）先根据平方差公式计算，再计算乘法即可．
【解答】解：（1）
＝3+π﹣2﹣2
＝π﹣1；
（2）
．
22．求下面各式中的x的值：
（1）5x2＝125；
（2）2（x﹣1）3+128＝0．
【思路点拔】（1）先将方程两边同时除以5，再开方即可；
（2）先移项，再在方程两边同时除以2，最后两边同时开立方，即可求解．
【解答】解：（1）5x2＝125，
两边同时除以5，得：x2＝25，
两边同时开方得：x＝±5；
（2）2（x﹣1）3+128＝0，
移项，得：2（x﹣1）3＝﹣128，
两边同时除以2，得：（x﹣1）3＝﹣64，
两边同时开立方，得：x﹣1＝﹣4，
移项，得：x＝﹣3．
23．解方程：
（1）；
（2）．
【思路点拔】方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：（1）；
去分母，方程两边同时乘以（x+2）（x﹣2），得：（1分）
x﹣2＝2（x+2），（2分）
x＝﹣6，（3分）
检验：当x＝﹣6时，（x+2）（x﹣2）≠0，
∴x＝﹣6是原方程的解；（4分）
（2），
整理得：，（1分）
去分母，方程两边同时乘以2（x﹣2），得：
2（1+x）+4（x﹣2）＝6，
x＝2，（3分）
检验：当x＝2时，2（x﹣2）＝0，
∴x＝2不是原方程的解，原方程无实数解．（4分）
24．先化简，再求值：（x+1），其中x满足x2+7x＝0．
【思路点拔】由x满足x2+7x＝0，求出x的值．注意x的取值需使分式有意义．化简多项式后，代入求值．
【解答】解：原式（）
∵x2+7x＝0
x（x+7）＝0
∴x1＝0，x2＝﹣7
当x＝0时，除式（x+1）＝0，所以x不能为0，
所以x＝﹣7．
当x＝﹣7时，
原式
25．在△ABC中，AB＝AC，直线l经过点A，且与BC平行．请用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，不写作法）
（1）如图①，在直线l上作出一点P，使得BP⊥AC；
（2）如图②，在直线l上作出所有的点Q，使得．
【思路点拔】（1）根据“过直线外一点作已知直线的垂线的基本作法”作图；
（2）以A点为圆心，AC为半径画弧交直线l于Q1，再以C点为圆心，CQ1为半径画弧交直线l于Q2，则∠CAQ2＝∠AQ1C+∠ACQ1，所以∠AQ1C∠ACB，易得∠AQ2C＝∠AQ1C∠ACB．
【解答】解：（1）如图①：点P即为所求；
（2）如图②：点Q1、Q2即为所求．
26．2021年是中国共产党建党100周年，大街小巷挂满了彩旗．如图所示，长方形彩旗完全展平时的尺寸图（单位：cm）．其中长方形ABCD是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分DCEF为长方形绸缎旗面，将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上．旗杆从旗顶到地面的高度为220cm，在无风的天气里，彩旗自然下垂．求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h．
【思路点拔】如图，连接DE，在Rt△DCF中，CD＝90cm，CE＝120cm，根据勾股定理可以求出DE的长度，也就求出了在无风的天气里，彩旗自然下垂时最长的长度，然后用220减去这个长度即可求出结果．
【解答】解：如图，连接DE，在Rt△DCE中，∵CD＝90cm，CE＝120cm，
∴DE150（cm），
∴在无风的天气里，彩旗自然下垂．求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h＝220﹣150＝70（cm）．
27．如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．
（1）判断∠D是否是直角，并说明理由．
（2）求四边形ABCD的面积．
【思路点拔】（1）连接AC，根据勾股定理可知AC2＝BA2+BC2，再根据AC2＝DA2+DC2即可得出结论；
（2）根据S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC即可得出结论．
【解答】（1）解：∠D是直角．
理由：连接AC，
∵∠B＝90°，
∴AC2＝BA2+BC2＝400+225＝625，
∵DA2+CD2＝242+72＝625，
∴AC2＝DA2+DC2，
∴△ADC是直角三角形，即∠D是直角；
（2）解：∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC，
∴S四边形ABCDAB BCAD CD，
，
＝234．
28．如图，点D是△ABC中∠BAC的平分线和边BC的垂直平分线DE的交点，DG⊥AB于点G，DH⊥AC交AC的延长线于点H，求证：BG＝CH．
【思路点拔】连接BD、CD，根据线段垂直平分线的性质可得DB＝DC；依据角平分线的性质可得DG＝DH；依据HL定理可判断出Rt△BDG≌Rt△CDH，根据全等三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：如图，连接BD、CD，
∵D是线段BC垂直平分线上的点，
∴BD＝DC，
∵D是∠BAC平分线上的点，DG⊥AB，DH⊥AC
∴DG＝DH，∠DGB＝∠H＝90°，
∴Rt△BDG≌Rt△CDH，
∴BG＝CH．
29．列分式方程解应用题：某工程队准备修建一条长3000m的盲道，由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加25%，结果提前2天完成这一任务，原计划每天修建盲道多少米？
【思路点拔】求的是工效，工作总量是3000m，则是根据工作时间来列等量关系．关键描述语是提前2天完成，等量关系为：原计划时间﹣实际用时＝2，根据等量关系列出方程．
【解答】解：设原计划每天修建盲道x m，
则2，
解得x＝300，
经检验，x＝300是所列方程的解，
答：原计划每天修建盲道300米．
30．“书香润泽生命，阅读陪伴成长”，某学校为了开展学生阅读活动，计划网购甲、乙两种图书．已知甲种图书的单价是乙种图书单价的倍，且用1600元购买甲种图书比用900元购买乙种图书可多买20本．
（1）（列分式方程解应用题）乙种图书的单价是多少？
（2）根据学校实际情况，需一次性网购甲、乙两种图书共300本，购买时得知：一次性购买甲乙两种图书超过100本时，甲种图书可按九折优惠（九折优惠指实际出售单价是原来单价的0.9倍），乙种图书可按八折优惠．若该校此次用于购买甲、乙两种图书的总费用不超过4800元，则学校最多购进甲种图书多少本？
【思路点拔】（1）设乙种图书的价格是x元，则甲种图书的价格是x元，根据用1600元购买甲种图书比用900元购买乙种图书可多买20本．列出分式方程，解方程即可；
（2）设学校购进甲种图书m本，则购进乙种图书（300﹣m）本，根据该校此次用于购买甲、乙两种图书的总费用不超过4800元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设乙种图书的价格是x元，则甲种图书的价格是x元，
由题意得：20，
解得：x＝15，
经检验，x＝15是原分式方程的解，且符合题意，
答：乙种图书的价格是15元；
（2）由（1）可知，15＝20（元），
设学校购进甲种图书m本，则购进乙种图书（300﹣m）本，
由题意得：20×0.9m+15×0.8（300﹣m）≤4800，
解得：m≤200，
答：学校最多购进甲种图书200本．
31．我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”．
如分式A，B，A﹣B2，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2．
（1）已知分式C，D，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅中值”；
（2）已知分式P，Q，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，x为整数，且“雅中式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值之和．
【思路点拔】（1）先计算C﹣D，根据计算的结果及“雅中式”的定义即可得出答案；
（2）根据P﹣Q＝2得，由此得出E＝18﹣6x，进而得P，根据x，p均为整数得3﹣x的可能是±1，±2，±3，±6，由此解出x的值，再根据分式的意义得x≠±3，据此可得出x的值，进而即可得出结论．
【解答】解：（1）∵C，D，
∴C﹣D
，
∴C不是D的“雅中式”；
（2）P关于Q的“雅中值”是2，
∵P﹣Q＝2，
∴，
去分母，将等式两边同时乘以9﹣x2，得：E﹣2x（3+x）＝2（9﹣x2），
∴E＝18+6x，
∴P，
∵x为整数，且“雅中式”P的值也为整数，
∴3﹣x是6的因数，
∴3﹣x的值可能是：±1，±2，±3，±6，
由3﹣x＝1，解得：x＝2，
由3﹣x＝﹣1，解得：x＝4，
由3﹣x＝2，解得：x＝1，
由3﹣x＝﹣2，解得：x＝5，
由3﹣x＝3，解得：x＝0，
由3﹣x＝﹣3，解得：x＝6，
由3﹣x＝6，解得：x＝﹣3，
由3﹣x＝﹣6，解得：x＝9，
根据分式的意义可知：9﹣x2≠0，
∴x≠±3，
∴x的值为：2，4，1，5，0，6，9，
∴2+4+1+5+0+6+9＝27．
32．已知△ABC中，∠B＝90°，BC＝6cm，AB＝8cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动且速度为每秒2cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，在BC边上的运动速度是每秒3cm，在AC边上的运动速度是每秒5cm，它们同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止，设运动时间为t秒．
（1）当t＝1时，S△BPQ＝ 9cm2 ；
（2）若△ABQ的面积是△ABC面积的，求t的值；
（3）若PQ将△ABC周长分为5：7两部分，求t的值．
【思路点拔】（1）根据t＝1时，各线段长求△BPQ的面积即可；
（2）根据面积关系列出关于t的方程解出t值即可；
（3）根据题意，先计算出△ABC的周长，依据题意列出关于t的方程，分类讨论即可．
【解答】解：（1）当t＝1时，AP＝2，BQ＝3，则BP＝8﹣2＝6，
∴S△BPQBP×BQ6×3＝9（cm2），
故答案为：9cm2；
（2）S△ABCAB BC24，
∵S△ABQS△ABC，
∴S△ABQ6，
当Q在BC上时，
∴8×3t＝6，
t．
当Q在AC上时，
AB边上的高，
∴，AQ，
∴CQ＝10．
点Q在BC上运动2秒，在AC上运动时间为，
t＝2s
答：当ts或s时，△ABQ的面积是△ABC面积的．
（3）根据勾股定理得：AC10，
∴L△ABC的周长为＝AB+BC+AC＝8+6+10＝24，
∵PQ将△ABC周长分为5：7两部分，
当Q点在BC上时（t≤2时），分两种情况：
①PB+BQL△ABC的周长，或者②PB+BQL△ABC的周长，
当PB+BQL△ABC的周长时，
（8﹣2t）+3t24＝10，
t＝2，
当PB+BQL△ABC的周长时，
（8﹣2t）+3t14，
t＝6（此情况不符合题意），
当Q点在AC上时（2＜t≤4）分两种情况讨论，
8﹣2t+6+5（t﹣2）＝10，或8﹣2t+6+5（t﹣2）＝14，
解得t＝2（舍去），t
综上分析，t＝2或秒时PQ将△ABC周长分为5：7两部分．
33．如图1，在长方形ABCD中，F是DA延长线上一点，CF交AB于点E，G是CF上一点．给出下列三个关系．
①∠GAF＝∠F，②AC＝AG，③∠ACB＝3∠BCE．
（1）选择其中两个作为条件，一个作为结论构成一个真命题，并说明理由；
（2）在 （1）的情况下，若∠BCE＝22.5°，AD＝1，求点G到直线AF的距离；
（3）规定：一个三角形中有两个内角α、β满足2α+β＝90°，则称这个三角形为“完美三角形”．如图2，在Rt△OPQ中，∠POQ＝90°，OP＝3，OQ＝4．在线段OQ上是否存在点M，使得△PQM是“完美三角形”，若存在，请求出OM的值；若不存在，请说明理由．
【思路点拔】（1）选①②作为条件，③作为结论，由矩形的性质及等腰三角形的性质可得出结论；
（2）过点G作GH⊥AF于H，证明△ACB≌△FGH（AAS），由全等三角形的性质得出GH＝CB＝AD＝1；
（3）①作∠OPQ的角平分线，交OQ于点M，证明△OPM≌△MPO'（AAS），由全等三角形的性质得出OP＝PO'＝3，OM＝O'M，由勾股定理可得出答案；②当∠OPM＝∠OQP，则2∠MQP+∠MPQ＝90°，此时△MPQ也是“完美三角形”，如图3，延长PO到P'，使OP＝OP'＝3，连接QP'，证明△OPQ≌△OP'Q（SAS），由全等三角形的性质得出∠NQM＝∠N'QM＝∠OPM，求出NQ的长，过M作MN'⊥PQ于N'，证明△MQN≌△MQN'（AAS），由全等三角形的性质得出MN'＝MN，QN＝QN'，由勾股定理可得出答案．
【解答】解：（1）选①②作为条件，③作为结论；
理由如下：
∵在长方形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，BC＝AD，
∴∠F＝∠BCE，
∵AC＝AG，
∴∠ACG＝∠AGC，
∵∠GAF＝∠F，
∴∠ACG＝∠AGC＝2∠F，
∴∠ACB＝3∠BCE；
（2）解：∵∠BCE＝22.5°，
∴∠F＝∠BCE＝22.5°，∠ACB＝3∠BCE＝67.5°，
过点G作GH⊥AF于H，
则∠FGH＝90°﹣∠F＝67.5°＝∠ACB，
∵AC＝AG，
∴AC＝GF，
又∠ABC＝∠FHG＝90°，
∴△ACB≌△FGH（AAS），
∴GH＝CB＝AD＝1，
即点G到直线AF的距离是1；
（3）①如图2，作∠OPQ的角平分线，交OQ于点M，
∵∠O＝90°，
∴∠OPQ+∠Q＝90°，
∴2∠MPQ+∠Q＝90°，
∴△MPQ是“完美三角形”，
过点M作MO'⊥PQ于O'，
∵PM平分∠OPQ，
∴∠OPM＝∠MPO'，
在△OPM与△MPO'中，
，
∴△OPM≌△MPO'（AAS），
∴OP＝PO'＝3，OM＝O'M，
在Rt△OPQ中，∠O＝90°，OP＝3，OQ＝4．
∴QP5，
∴O'Q＝5﹣3＝2，
在Rt△MO'Q中，O'M2+O'Q2＝MQ2，
∴OM2+22＝（6﹣OM）2，
解得OM；
②当∠OPM＝∠OQP，则2∠MQP+∠MPQ＝90°，
此时△MPQ也是“完美三角形”，
如图3，延长PO到P'，使OP＝OP'＝3，连接QP'，
∵OQ＝OQ，∠QOP'＝∠QOP，OP＝OP'，
∴△OPQ≌△OP'Q（SAS），
∴∠NQM＝∠N'QM＝∠OPM，
又∵∠OMP＝∠NMQ，∠OMP+∠OPM＝90°，
∴∠NQM+∠NMQ＝90°，
即PN⊥P'Q，
∴S△PP'QP'Q×PN，
即5×PN，
解得PN，
在Rt△PNQ中，NQ，
过M作MN'⊥PQ于N'，
∵△OPQ≌△OP'Q，
∴∠PQO＝∠P'QO，
又∵∠MNQ＝∠MN'Q，MQ＝MQ，
∴△MQN≌△MQN'（AAS），
∴MN'＝MN，QN＝QN'，
在Rt△PMN'中，PM2＝MN'2+PN'2，
即，
解得PM，
在Rt△POM中，OM，
综上，MQ或．
二．作业题（共23小题）
34．下列各数中π，﹣9，，，3.1415，2.010010001…，无理数有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拔】无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可．
【解答】解：π，，2.010010001…是无限不循环小数，它们是无理数，共3个，
故选：C．
35．以下列各组数为边长能组成直角三角形的是（ ）
A．2、3、4 B．、、 C．32、42、52 D．6、8、10
【思路点拔】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、22+32≠42，故不能组成直角三角形；
B、（）2+（）2≠（）2，故不能组成直角三角形；
C、（32）2+（42）2≠（52）2，故不能组成直角三角形；
D、62+82＝102，故能组成直角三角形．
故选：D．
36．下列说法中正确的是（ ）
A．9的算术平方根是±3 B．0的平方根是0
C．27的平方根是有理数 D．8的立方根是±2
【思路点拔】根据算术平方根，平方根和立方根的定义即可进行解答．
【解答】解：A、9的算术平方根是3，故本选项不符合题意；
B、0的平方根是0，故本选项符合题意；
C、27的平方根是无理数，故本选项不符合题意；
D、8的立方根是2，故本选项不符合题意；
故选：B．
37．下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】结合最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．求解即可．
【解答】解：A、2x，不是最简分式，本选项错误；
B、，不是最简分式，本选项错误；
C、是最简分式，本选项正确；
D、1，不是最简分式，本选项错误．
故选：C．
38．估计运算结果在（ ）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
【思路点拔】利用实数的运算法则计算，估算．
【解答】解：∵，
∴12，
∴01＜1，
故选：A．
39．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】勾股定理有两条直角边，一条斜边，共三个量，根据勾股定理的概念即可判断．
【解答】解：在A选项中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积，
∴，
整理可得a2+b2＝c2，
∴A选项可以证明勾股定理，
在B选项中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
∴，
整理得a2+b2＝c2，
∴B选项可以证明勾股定理，
在C选项中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
∴，
整理得a2+b2＝c2，
∴C选项可以说明勾股定理，
在D选项中，大正方形的面积等于四个矩形的面积的和，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2，
以上公式为完全平方公式，
∴D选项不能说明勾股定理，
故选：D．
40．的平方根是 ±2 ．
【思路点拔】根据平方根、算术平方根的定义进行计算即可．
【解答】解：由于4，
所以的平方根是±2，
故答案为：±2．
41．等腰三角形的两边长分别为5cm和2cm，则它的周长为 12cm ．
【思路点拔】题目给出等腰三角形有两条边长为5cm和2cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：①5cm为腰，2cm为底，此时周长为12cm；
②5cm为底，2cm为腰，则两边和小于第三边无法构成三角形，故舍去．
所以其周长是12cm．
故答案为12cm．
42．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，DCAD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于 2 ．
【思路点拔】由题意可求DC的长，由角平分线的性质可求解．
【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB，垂足为H，
∵AC＝8，DCAD，
∴DC＝2，
∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，DH⊥AB，
∴CD＝DH＝2，
∴点D到AB的距离等于2，
故答案为2．
43．如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝ 3 cm．
【思路点拔】根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出CD的长．
【解答】解：由图可得，
∠ACB＝90°，AB＝7﹣1＝6（cm），点D为线段AB的中点，
∴CDAB＝3cm，
故答案为：3．
44．如图，数轴上点C、D分别表示 1、﹣1，BC垂直于数轴，且长为1，以D为圆心、BD为半径作弧交数轴于点A，则点A表示的实数是 1 ．
【思路点拔】首先利用勾股定理求得BD的长度，从而可得AD的长度，再根据实数与数轴的关系即可求得答案．
【解答】解：∵BC＝1，CD＝1﹣（﹣1）＝2，∠BCD＝90°，
∴AD＝BD，
∵点D表示的数为﹣1，
∴点A在数轴上表示的数为：1，
故答案为：1．
45．若关于x的分式方程的解为正数，那么字母a的取值范围是 a＞﹣1且a ．
【思路点拔】先化分式方程为整式方程，再根据方程的解是正数，列不等式组求解．
【解答】解：方程两边同乘以（x﹣2）得：
ax+1＝2﹣x，
∴（a+1）x＝1，
∵关于x的分式方程的解为正数，
∴x0，且，
解得：a＞﹣1且a，
故答案为：a＞﹣1且a．
46．如图，在△ABC中，AC＝BC，以点A为圆心，AB长为半径作弧交BC于点D，交AC于点E．再分别以点C，D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点．作直线FG，若直线FG经过点E，则∠AEG的度数为 126 °．
【思路点拔】连接AD、DE，如图，设∠C＝α，利用基本作图得到ED＝EC，则∠EDC＝∠C＝α，所以∠AED＝2α，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠B＝90°α，接着利用AB＝AD得到∠ADB＝∠B＝90°α，则根据∠ADB+∠ADE+∠EDC＝180°求出α＝36°，然后利用三角形外角性质计算∠AEG的度数．
【解答】解：连接AD、DE，如图，设∠C＝α，
由作法得EF垂直平分CD，
∴ED＝EC，
∴∠EDC＝∠C＝α，
∴∠AED＝∠EDC+∠C＝2α，
∵CA＝CB，
∴∠B（180°﹣∠C）＝90°α，
∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠B＝90°α，
∵∠ADB+∠ADE+∠EDC＝180°，
∴90°α+2α+α＝180°，
解得α＝36°，
∴∠AEG＝90°+∠C＝90°+36°＝126°．
故答案为126．
47．如图，一支铅笔放在圆柱形的笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高为12cm．若铅笔的长为20cm，则这只铅笔露在笔筒外面的长度最小是 5 cm．
【思路点拔】当铅笔不垂直于底面放置时，利用勾股定理可求得铅笔露出笔筒部分的最小长度；考虑当铅笔垂直于笔筒底面放置时，铅笔在笔筒外面部分的长度是露出的最大长度；从而可确定答案．
【解答】解：当铅笔不垂直于底面放置时，由勾股定理得15（cm），
则铅笔在笔筒外部分的最小长度为：20﹣15＝5（cm）；
故答案为：5．
48．求下列各式中的x：
（1）（x﹣2）2＝36；
（2）（2x﹣1）3+8＝0．
【思路点拔】（1）利用平方根的定义解方程即可；
（2）将原方程整理后利用立方根的定义解方程即可．
【解答】解：（1）由原方程可得x﹣2＝±6，
则x﹣2＝6或x﹣2＝﹣6，
解得：x＝8或﹣4；
（2）原方程整理得：（2x﹣1）3＝﹣8，
则2x﹣1＝﹣2，
解得：x．
49．解方程：
（1）0；
（2）．
【思路点拔】（1）先去分母，再解方程．
（2）先去分母，转化成整式方程求解．
【解答】解：（1）两边同乘x（x﹣1）得：3x﹣x+3＝0．
∴x．
检验：当x时，x（x﹣1）0．
∴原方程得解为：x．
（2）两边同乘（x﹣1）（x+1）得：3（x﹣1）﹣2（x+1）＝4，
∴3x﹣3﹣2x﹣2＝4，
∴x＝9．
检验：当x＝9时，（x﹣1）（x+1）＝80≠0．
∴原方程的解为：x＝9．
50．先化简，再求值：，其中x2﹣x﹣6＝0．
【思路点拔】先根据分式的减法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，解一元二次方程求出x，最后代入求出答案即可．
【解答】解：
，
∵x2﹣x﹣6＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝3，
∵要使分式有意义，x≠2且x≠3且x≠﹣3，
∴取x＝﹣2，
当x＝﹣2时，原式．
51．先化简，再求值：（），其中x＝3．
【思路点拔】先根据分式的加减法则算括号里面的，同时把除法变成乘法，再进行约分，最后把x＝3代入求出即可．
【解答】解：原式＝[]，
，
，
，
当x＝3时，原式1．
52．分式方程应用题：近日，北京教育考试院发布了《北京市义务教育体育与健康考核评价现场考试项目评分准（试行）》，2024年中考中对于体育现场考试项目中的男生1000米和女生800米的考核标准调整为“达到良好即满分”，即达到3分55秒即可得到满分．在一次计时跑步中，某班一名女生和一名男生的平均速度相同，且这名女生跑完800米所用时间比这名男生跑完1000米所用时间少56秒，按照中考考核标准来看，这名女生能否能拿到满分？
【思路点拔】设女生所用的时间为x秒，则男生所用时间为（x+56）秒，根据两人的平均速度相同，列出方程求解即可．
【解答】解：设女生所用的时间为x秒，则男生所用时间为（x+56）秒，由题意，得：
，
解得：x＝224，
经检验x＝224是原方程的解；
∵3分55秒＝235秒，224＜235，
∴这名女生能拿到满分．
53．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节，某校八年级（1）班的小明学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE（如图1），进行了如下操作：①牵线放风筝的小明手抓线的地方与地面的距离AB为1.5米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线CB的长为17米；③测得小明手抓线的地方与风筝的水平距离BD的长为8米．
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）如图2，小明想让风筝沿CD方向下降9米到点M处，则他应该往回收线多少米？
【思路点拔】（1）利用勾股定理求出CD的长，即可解决问题；
（2）根据勾股定理求出BM的长，即可得到结论．
【解答】解：（1）在Rt△CDB中，由勾股定理得：CD15（米），
∵DE＝AB＝1.5米，
∴CE＝CD+DE＝15+1.5＝16.5（米），
答：风筝的高度CE为16.5米；
（2）由题意得，CM＝9米，
∴DM＝CD﹣CM＝15﹣9＝6（米），
在Rt△BDM中，由勾股定理得：BM10（米），
∴BC﹣BM＝17﹣10＝7（米），
答：小明应该往回收线7米．
54．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）求∠DAE的度数．
（2）求证：DE平分∠ADC；
（3）若AB＝8，AD＝6，CD＝8，三角形ACD的面积是18，求△ABE的面积．
【思路点拔】（1）根据垂直得到∠AFE＝90°，利用三角形外角的性质得到∠BAE＝140°，再根据∠BAE＝∠BAD+∠CAD，即可求出∠CAD的度数；
（2）过点E作EG⊥AD，EH⊥BC，根据角平分线的性质得到EF＝EG，EF＝EH，进而得到EG＝EH，再根据角平分线的判定定理即可证明结论；
（3）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，即可求出△ABE的面积．
【解答】（1）解：∵EF⊥AB，
∴∠F＝90°，
∵∠AEF＝50°，
∴∠BAE＝∠F+∠AEF＝90°+50°＝140°，
∵∠BAE＝∠BAD+∠CAD，∠BAD＝100°，
∴∠CAD＝∠BAE﹣∠BAD＝140°﹣100°＝40°；
（2）证明：过点E作EG⊥AD交AD于点G，EH⊥BC交BC于点H，
∵∠F＝90°，∠AEF＝50°，
∴∠EAF＝90°﹣50°＝40°，
由（1）可知，∠CAD＝40°，
∴∠EAF＝∠CAD＝40°，
∴AE平分∠FAD，
∵EF⊥AF，EG⊥AD，
∴EF＝EG，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，
∴EF＝EH，
∴EG＝EH，
∵EG⊥AD，EH⊥BC，
∴DE平分∠ADC；
（3）解：∵S△ACD＝18，
∴S△ADE+S△CDE＝18，
∴，
∵AD＝6，CD＝8，EG＝EH，
∴，
∴，
∴，
∵AB＝8，
∴．
55．已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．
（1）当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时（如图1），易证S△DEF+S△CEFS△ABC；
（2）当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
【思路点拔】先作出恰当的辅助线，再利用全等三角形的性质进行解答．
【解答】解：（1）显然△AED，△DEF，△ECF，△BDF都为等腰直角三角形，且全等，
则S△DEF+S△CEFS△ABC；
（2）图2成立；图3不成立．
图2证明：过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，则∠DME＝∠DNF＝∠MDN＝90°，
又∵∠C＝90°，
∴DM∥BC，DN∥AC，
∵D为AB边的中点，
由中位线定理可知：DNAC，MDBC，
∵AC＝BC，
∴MD＝ND，
∵∠EDF＝90°，
∴∠MDE+∠EDN＝90°，∠NDF+∠EDN＝90°，
∴∠MDE＝∠NDF，
在△DME与△DNF中，
∵，
∴△DME≌△DNF（ASA），
∴S△DME＝S△DNF，
∴S四边形DMCN＝S四边形DECF＝S△DEF+S△CEF，
由以上可知S四边形DMCNS△ABC，
∴S△DEF+S△CEFS△ABC．
图3不成立，连接DC，
证明：△DEC≌△DBF（ASA，∠DCE＝∠DBF＝135°）
∴S△DEF＝S五边形DBFEC，
＝S△CFE+S△DBC，
＝S△CFE，
∴S△DEF﹣S△CFE．
故S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF﹣S△CEFS△ABC．
56．如图，已知△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，动点P从点C出发，沿着△ABC的三条边逆时针走一圈回到C点，速度为2cm/s，设运动时间为t秒．
（1）t为何值时，AP平分∠CAB？
（2）求当t为何值时，△ACP为等腰三角形？
（3）若P出发时，同时另有一点Q，从点C开始，按顺时针方向运动一圈回到点C，且速度为每秒1cm．当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．是否存在某一时刻，直线PQ将△ABC的周长分成相等的两部分？若存在，求t的值，若不存在，说明理由．
【思路点拔】（1）过点P作PD⊥AB于点D，根据勾股定理逆定理得出∠C＝90°，根据角平分线的性质得出PC＝PD，通过证明Rt△APC≌Rt△APD，得出AC＝AD＝6cm，根据PC＝PD＝2t，则PB＝8﹣2t，根据勾股定理列出方程求解即可；
（2）根据题意进行分类讨论①当点P在BC上时；②当点P在AB上时：Ⅰ、当AC＝AP＝6cm时；Ⅱ、当AC＝PC＝6cm时，过点C作CH⊥AB于点H；Ⅲ、当AP＝CP时，过点P作PG⊥AC于点G；即可解答；
（3）根据题意进行分类讨论①当0＜t≤4时，②当4＜t≤6时，③当6＜t≤9时，点P和点Q都在AB上，不符合题意；④当9＜t≤12时，即可解答．
【解答】解：（1）过点P作PD⊥AB于点D，如图1，
∵AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠C＝90°，
∵AP平分∠CAB，PD⊥AB，∠C＝90°，
∴PC＝PD，
∵AP＝AP，PC＝PD，
∴Rt△APC≌Rt△APD（HL），
∴AC＝AD＝6cm，
∴BD＝AB﹣AD＝4cm，
∵PC＝PD＝2t，
∴PB＝8﹣2t，
在Rt△PBD中，根据勾股定理可得：PD2+BD2＝PB2，
即（2t）2+42＝（8﹣2t）2，
解得：；
（2）①当点P在BC上时，AC＝PC，如图2，
∵AC＝PC＝6cm，
∴；
②当点P在AB上时，如图3，
Ⅰ、当AC＝AP＝6cm时，
∵AC＝AP＝6cm，AB＝10cm，
∴PB＝AB﹣AP＝4cm，
∵BC＝8cm，
∴PB+BC＝12cm，
∴；
Ⅱ、当AC＝PC＝6cm时，
过点C作CH⊥AB于点H，图4，
∵，
∴AC BC＝AB CH，即6×8＝10CH，
解得：，
根据勾股定理可得：，
∵CH⊥AB，AC＝PC，
∴，
∴，
∴，
∴；
Ⅲ、当AP＝CP时，
过点P作PG⊥AC于点G，图5，
∵AP＝CP，PG⊥AC，
∴∠APG＝∠CPG，
∵∠ACB＝90°，
∴PG∥BC，
∴∠APG＝∠B，∠CPG＝∠PCB，
∴∠B＝∠PCB，
∴CP＝BP，
∴，
∴PB+BC＝13cm，
∴；
综上：t＝3或t＝6或或；
（3）点P运动到点B需要时间，
点P运动到点A需要时间，
点P运动到点C需要时间，
点Q运动到点A需要时间，
点Q运动到点B需要时间，
①如图6，当0＜t≤4时，CQ＝t，AQ＝6﹣t，CP＝2t，BP＝8﹣2t，AB＝10cm，
∵直线PQ将△ABC的周长分成相等的两部分，
∴CQ+CP＝AQ+AB+BP，即t+2t＝6﹣t+10+8﹣2t，
解得：t＝4；
②如图7，当4＜t≤6时，CQ＝t，AQ＝6﹣t，BC+BP＝2t，BC＝8cm，AB＝10cm，
∴PB＝2t﹣8，AP＝AB﹣PB＝10﹣（2t﹣8）＝18﹣2t，
∵直线PQ将△ABC的周长分成相等的两部分，
∴CQ+BC+BP＝AQ+AP，即t+2t＝6﹣t+18﹣2t，
解得：t＝4（舍去），
③如图8，当6＜t≤9时，点P和点Q都在AB上，不符合题意；
④如图9，当9＜t≤12时，BC+AB+AP＝2t，AC+AQ＝t，
∴AQ＝t﹣6，AP＝2t﹣18，
∴PC＝6﹣（2t﹣18）＝24﹣2t，BQ＝10﹣（t﹣6）＝16﹣t，
∵直线PQ将△ABC的周长分成相等的两部分，
∴AP+AQ＝PC+BC+BQ，即2t﹣18+t﹣6＝24﹣2t+8+16﹣t，
解得：t＝12；
综上：t＝4或t＝12．
