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直线与圆的位置关系 解答题专项练习
一．解答题（共10小题）
1．如图，AB为⊙O直径，点C为⊙O上一点，AC平分∠HAB，AH⊥CH，垂足为H，垂足为H，AH 交⊙O 于点D．
（1）求证：直线HC是⊙O的切线；
（2）若HC＝8，DH＝4，求⊙O的直径．
【思路点拔】（1）连接OC，则OC＝OA，所以∠BAC＝∠OCA，由切线的性质得CH⊥OC，AH∥OC，而AH⊥CH，从而得到CH⊥OC，
OC是⊙O的半径，直线HC是⊙O的切线；
（2）作OI⊥AH于点I，由垂径定理得AI＝DI，再证明四边形OCHI是矩形，得IH＝OC＝OA，OI＝HC＝8，则AI＝DI＝OA﹣4，由勾股定理得（OA﹣4）2+82＝OA2，求得OA＝10，所以⊙O的直径长为20．
【解答】（1）证明：连接OC，则OC＝OA，
∴∠BAC＝∠OCA，
∵AC平分∠HAB．
∴∠HAC＝∠BAC，
∴∠HAC＝∠OCA，
∴AH∥OC，
∵AH⊥CH，
∴CH⊥OC，
∵OC是⊙O的半径，
∴直线HC是⊙O的切线；
（2）解：作OI⊥AH于点I，则AI＝DI，
∵∠OCH＝∠CHI＝∠OIH＝90°，HC＝8，DH＝4，
∴四边形OCHI是矩形，
∴IH＝OC＝OA，OI＝HC＝8，
∴AI＝DI＝IH﹣DH＝OA﹣4，
∵∠OIA＝90°，
∴（OA﹣4）2+82＝OA2，
解得OA＝10，
∴AB＝2OA＝20，
∴⊙O的直径长为20．
2．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且CF＝EF．
（1）求证：CF为⊙O的切线；
（2）连接BD．若CF＝4，BF＝2，求BD的长．
【思路点拔】（1）如图，连接OC，OD．证明∠OCF＝90°即可；
（2）设OA＝OD＝OC＝OB＝r，则OF＝r+2，在Rt△COF中，42+r2＝（r+2）2，可得r＝3，再根据勾股定理可解决问题．
【解答】（1）如图，连接OC，OD，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵CF＝EF，
∴∠FCE＝∠FEC，
∵∠OED＝∠FEC，
∴∠OED＝∠FCE，
∵AB是直径，D是的中点，
∴∠DOE＝90°，
∴∠OED+∠ODC＝90°，
∴∠FCE+∠OCD＝90°，即∠OCF＝90°，
∵OC是半径，
∴CF是⊙O的切线．
（2）设OA＝OD＝OC＝OB＝r，则OF＝r+2，
在Rt△COF中，OC2+CF2＝OF2
∴42+r2＝（r+2）2，
解得r＝3，
∴OB＝OD＝3，
∵∠DOB＝90°，
∴BD2＝OD2+OB2，
∴．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为边AC上的点，以AD为直径作⊙O，交AB于点F．连接BD并延长交⊙O于点E，连接CE，CE＝BC．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若CD＝2，，则⊙O的半径是 2 ．
【思路点拔】（1）如图，连接OE，根据等边对等角得到∠OED＝∠ODE，则可证明∠CDB+∠CBD＝90°，再证明∠CED＝∠CBD，即可证明∠OEC＝90°，进而可证明CE是⊙O的切线；
（2）根据CD＝2得到OC＝OD+2，再由，在Rt△OCE利用勾股定理建立方程求出半径即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OE，
∵OE＝OD，
∴∠OED＝∠ODE，
∵∠CDB＝∠ODE，
∴∠OED＝∠CDB，
∵∠CDB+∠CBD＝90°，
∴∠OED+∠CBD＝90°，
∵CE＝BC，
∴∠CED＝∠CBD，
∴∠OED+∠CED＝90°，
∴∠OEC＝90°，
∵OE是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：∵CD＝2，
∴OC＝OD+CD＝OD+2，
在Rt△OCE中，根据勾股定理得：OC2＝OE2+CE2，
∴，
∴OD＝2，即⊙O的半径是2，
故答案为：2．
4．如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C，D为OB上一点，延长CD交⊙O于点E，延长OB至F，使DF＝FE，连接EF．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）若OD＝1且BD＝BF，求⊙O的半径．
【思路点拔】（1）连接OE，根据等边对等角结合对等角相等即可推出结论；
（2）设⊙O的半径EO＝BO＝r，则BD＝BF＝r﹣1，FE＝2BD＝2（r﹣1），在Rt△FEO中，由勾股定理得得出方程求解即可．
【解答】解：（1）证明：如图，连接OE，
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE，
∵DF＝FE，
∴∠FED＝∠FDE，
∵∠FDE＝∠CDO，∠CDO+∠OCD＝90°，
∴∠FED+∠OEC＝90°，
即∠FEO＝90°，
∴OE⊥FE，
∵OE是半径，
∴EF为⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径EO＝BO＝r，则BD＝BF＝r﹣1，
∴FE＝2BD＝2（r﹣1），
在Rt△FEO中，由勾股定理得，
FE2+OE2＝OF2，
∴（2r﹣2）2+r2＝（2r﹣1）2，
解得r＝3，或r＝1（舍去），
∴⊙O的半径为3．
5．如图，以△ABC的边AB为直径的半圆O分别交BC，AC于点D，E，已知，过点D作DF⊥AC于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，BC＝12，求DF和AE的长．
【思路点拔】（1）连接OC，由题意易得∠ADB＝∠ADC＝90°，然后可得OC是△ABC的中位线，进而根据平行线的性质可进行求证；
（2）由（1）知，则根据勾股定理可得AD＝8，然后根据等积法可得，进而可得△CDE∽△CAB，则根据相似三角形的性质可进行求解．
【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴∠B＝∠C，
∴AC＝AB，
∴DC＝DB，
∵OA＝OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知，
在△ABD中，由勾股定理得，，
由得，；
∵∠DCE＝∠ACB，∠CED＝∠CBA，
∴△CDE∽△CAB，
∴，
∴，
∴，
∴．
6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，，过点A作AD∥BC交⊙O于点D，连接CD，延长DA到点E，连接CE，∠D＝∠E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若CE＝8，AE＝5，求⊙O半径的长．
【思路点拔】（1）连接OC，利用平行线的性质，同圆的半径相等，平行线的判定和圆的切线的判定定理解答即可；
（2）连接OC，OB，OC交AB于点F，利用（1）的结论判定四边形ABCE为平行四边形，利用垂径定理和勾股定理求得CF，设⊙O半径的长为r，则OF＝OC﹣CF＝r﹣3，利用勾股定理列出方程，解方程即可求解．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵AD∥BC，
∴∠B＝∠DAB．
∵∠B＝∠D，
∴∠DAB＝∠D．
∵∠D＝∠E，
∴∠DAB＝∠E，
∴AB∥EC．
∵，
∴OC⊥AB，
∴OC⊥EC．
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：连接OC，OB，OC交AB于点F，如图，
由（1）知：AB∥EC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCE为平行四边形，
∴BC＝AE＝5，AB＝EC＝8．
∵OC⊥AB，
∴AF＝BFAB＝4．
∴FC3．
设⊙O半径的长为r，则OF＝OC﹣CF＝r﹣3，
∵OF2+BF2＝OB2，
∴（r﹣3）2+42＝r2，
解得：r．
∴⊙O半径的长为．
7．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是直径，C是的中点，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若BC＝6，AC＝8，求DE的长．
【思路点拔】（1）根据等腰三角形的性质以及圆心角、弦、弧之间的关系可得∠CAE＝∠OCA，进而得到OC∥AE，再根据平行线的性质得出OC⊥EC即可；
（2）利用相似三角形的性质，勾股定理以及圆心角、弧、弦之间的关系进行计算即可求出DE的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵C是的中点，
∴∠OAC＝∠CAE，
∴∠CAE＝∠OCA，
∴OC∥AE，
∵AE⊥CE，
∴OC⊥CE，
∵OC是半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BC＝6，AC＝8，
∴AB10，
又∵∠BAC＝∠CAE，∠AEC＝∠ACB＝90°，
∴△AEC∽△ACB，
∴，
即，
∴CE，
∵点C是的中点，
∴，
∴CD＝BC＝6，
∴DE．
8．如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，点C在OP上，满足∠CBP＝∠ADB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若OA＝2，AB＝1，求线段BP的长．
【思路点拔】（1）连接OB，如图，根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，再根据等腰三角形的性质和已知条件证出∠OBC＝90°，即可得出结论；
（2）证明△AOP∽△ABD，然后利用相似比求BP的长．
【解答】（1）证明：连接OB，如图，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠A+∠ADB＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA，
∵∠CBP＝∠ADB，
∴∠OBA+∠CBP＝90°，
∴∠OBC＝180°﹣90°＝90°，
∴BC⊥OB，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵OA＝2，
∴AD＝2OA＝4，
∵OP⊥AD，
∴∠POA＝90°，
∴∠P+∠A＝90°，
∴∠P＝∠D，
∵∠A＝∠A，
∴△AOP∽△ABD，
∴，即，
解得：BP＝7．
9．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为，BD＝2，求CE的长．
【思路点拔】（1）连接OD，只需证EF⊥OD即可；
（2）连接AD，由△CDE∽△CAD即可求解．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵OB＝OD，
∴∠ABC＝∠ODB，
∴∠ACB＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
即EF⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：连接AD，
∵AB是⊙O直径，
∴AD⊥BC，
∵DE⊥AC，
∴∠ADC＝∠DEC，
∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAD，
∴，
∵AB＝AC，
∴DC＝DB＝2，
∵AC＝AB＝5，
∴，
∴．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E，F分别是边AB，BC，AC上的点，以AD为直径的半圆O经过点E，F，且AE平分∠CAB．
（1）求证：BC是半圆O的切线；
（2）若∠B＝30°，AB＝12，求CF的长．
【思路点拔】（1）连接OE，证明AC∥OE得到∠OEB＝90°即可得到证明；
（2）连接DF，先证DF∥BC得到∠B＝∠EDA＝30°，结合30°角所对直角边等于斜边一半得到AF，AC即可得到答案．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠DAE，
∵OA＝OE，
∴∠EAO＝∠AEO，
∴∠CAE＝∠AEO，
∴AC∥OE，
∵∠C＝90°，
∴∠OEB＝90°，
∵OE是⊙O的半径，
∴BC是半圆O的切线；
（2）解：∵∠C＝∠OEB＝90°，∠B＝30°，AB＝12，
∴，OB＝2OE，
∵OE＝OD，
∴OD＝BD，
∴OA＝OE＝OD＝BD＝4，
∴AD＝8，
∵AD是半圆O的直径，
∴∠C＝∠DFA＝90°，
∴DF∥BC，
∴∠B＝∠EDA＝30°，
∴，
∴CF＝AC﹣AF＝2，中小学教育资源及组卷应用平台
直线与圆的位置关系 解答题专项练习
1．如图，AB为⊙O直径，点C为⊙O上一点，AC平分∠HAB，AH⊥CH，垂足为H，垂足为H，AH 交⊙O 于点D．
（1）求证：直线HC是⊙O的切线；
（2）若HC＝8，DH＝4，求⊙O的直径．
2．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且CF＝EF．
（1）求证：CF为⊙O的切线；
（2）连接BD．若CF＝4，BF＝2，求BD的长．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为边AC上的点，以AD为直径作⊙O，交AB于点F．连接BD并延长交⊙O于点E，连接CE，CE＝BC．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若CD＝2，，则⊙O的半径是 ．
4．如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C，D为OB上一点，延长CD交⊙O于点E，延长OB至F，使DF＝FE，连接EF．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）若OD＝1且BD＝BF，求⊙O的半径．
5．如图，以△ABC的边AB为直径的半圆O分别交BC，AC于点D，E，已知，过点D作DF⊥AC于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，BC＝12，求DF和AE的长．
6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，，过点A作AD∥BC交⊙O于点D，连接CD，延长DA到点E，连接CE，∠D＝∠E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若CE＝8，AE＝5，求⊙O半径的长．
7．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是直径，C是的中点，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若BC＝6，AC＝8，求DE的长．
8．如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，点C在OP上，满足∠CBP＝∠ADB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若OA＝2，AB＝1，求线段BP的长．
9．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为，BD＝2，求CE的长．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E，F分别是边AB，BC，AC上的点，以AD为直径的半圆O经过点E，F，且AE平分∠CAB．
（1）求证：BC是半圆O的切线；
（2）若∠B＝30°，AB＝12，求CF的长．
