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北京课改版（2024）八上轴对称性和勾股定理综合提优训练
一．选择题（共3小题）
1．到三角形三个顶点距离相等的点是（ ）
A．三边高线的交点
B．三边垂直平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条内角平分线的交点
2．如图，在△ABC中，∠ABC＝52°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB、BC于点M，N，若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为（ ）
A．115° B．116° C．117° D．118°
3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是BC边上的高，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．9.6 D．12
二．填空题（共5小题）
4．若一个等腰三角形的两边长分别为2cm和5cm，则这个等腰三角形周长为 cm．
5．如图，AO⊥OM，OA＝8，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB，AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，PB的长度是 ．
6．如图，△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，BC＝6，点D是边AC上的动点，连接DB，以DB为边在DB的左下方作等边△DBE，连接CE，则点D在运动过程中，线段CE长度的最小值是 ．
7．如图，E为正方形ABCD边AB上一点，BE＝3，AE＝1，P为对角线BD上一个动点，则PA+PE的最小值是 ．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，D、E分别是AB和CB边上的点，把△BDE沿着直线DE折叠，若点B落在边AC上，则CE的取值范围是 ．
三．解答题（共13小题）
9．同学们都玩过荡秋千吧？如图，已知秋千顶端O离地面的距离为2.4m，秋千静止时座位离地面的距离是0.4m．当秋千荡到最高处，此时座位离地面的距离恰为0.8m．你能求出秋千荡出的水平距离BC是多少吗？
10．已知：如图，∠ABC及射线BC上的一点D．
（1）求作：等腰△BDE，使线段BD为等腰△BDE的底边，点E在∠ABC内部，且点E到∠ABC两边的距离相等（请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若DE⊥AB，则∠ABC＝ °．
11．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF．
（1）求证：BE＝BF．
（2）若AB＝4，AD＝8，求△BEF的面积．
12．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒4cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；
（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值．
13．问题背景：如图①，在四边形ADBC中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，探究线段AC、BC、CD之间的数量关系．
小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D逆时针旋转90°到△AED处，点B、C分别落在点A、E处（如图②），易证点C、A、E在同一条直线上，并且ACDE是等腰直角三角形，所以CECD，从而得出结论：AC+BCCD．
方法应用：
（1）在图①中，若AC＝1，BC＝2，则CD＝ ；
（2）在图③中，在四边形PACB中，AC＝CB，∠APC＝∠BPC＝30°，∠ACB＝120°，PC＝2，PB＝2，求PA的长；
拓展延伸：
（3）如图④，将边长为2的等边△ABC，沿其BC边所在直线折叠，得四边形ACGB，有个60°的∠ECF在四边形内部运动，边CE、CF分别交四边形ACGB的边AB、BG于点E、F．
①试探究在∠ECF运动过程中，四边形BECF的面积是否发生变化，如果不变，求出这个值，如果发生变化，请求出四边形BECF面积的取值范围；
②连结EF，请直接写出△BEF的周长的最小值为 ．
14．（1）问题发现
如图1，把一块三角板（AB＝BC，∠ABC＝90°）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点A、B、C分别在槽的两壁及底边上滑动，已知∠D＝∠E＝90°，在滑动过程中，发现与∠DAB始终相等的角是 ，与线段AD相等的线段是 ；
（2）拓展探究
如图2，在△ABC中，点D在边BC上，并且DA＝DE，∠B＝∠ADE＝∠C．求证：△ADB≌△DEC．
（3）能力提升
如图3，在等边△DEF中，A，C分别为DE、DF边上的点，AE＝4，连接AC，以AC为边在△DEF内作等边△ABC，连接BF，当∠CFB＝30°时，请直接写出CD的长度．
15．如图1，△ABC中，CD⊥AB于点D，且BD：AD：CD＝2：3：4．
（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）已知S△ABC＝90cm2，如图2，动点P从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点Q从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点P运动的时间为t（秒），
①若△DPQ的边与BC平行，求t的值；
②若点E是边AC的中点，问在点P运动的过程中，△PDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
16．自定义：在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”．
（1）如图1，已知△ABC，AC≠BC，过点C能否画出△ABC的一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法，若不能，请说明理由．
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，EF垂直平分AD，垂足为F，交BC于点E，已知AB＝3，BC＝8，CD＝5．求证：直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”；
（3）如图3，在△ABC中，AB＝BC＝6，AC＝8，请你作出△ABC的一条“等分积周线”EF（要求：直线EF不过△ABC的顶点，交边AC于点F，交边BC于点E），并说明理由．
17．在长方形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝5，BC＝AD＝4．
（1）如图1，P为BC边上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△APQ的位置，其中点Q是点B的对称点，当点Q落在CD边上时，请你直接写出DQ的长为 ．
（2）如图2，点E是AB边上一动点，过点E作EF⊥DE交BC边于点F，将△BEF沿直线EF翻折得△B'EF，连接DB'，当△DEB'是以DE为腰的等腰三角形时，求AE的长；
（3）如图3，点M是射线AB上的一个动点，将△ADM沿DM翻折，其中点A的对称点为A'，当A′，M，C三点在同一直线上时，请直接写出AM的长．
18．如图1所示，在边长为12的等边△ABC中，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动设点P的运动时间为t（s），t＞0．
（1）当t＝ 时，△PAC是直角三角形；
（2）如图2．若另一动点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，且动点P，Q均以2cm/s的速度同时出发，那么当t＝ 时，△PAQ是直角三角形；
（3）如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动，且动点P，Q均以2cm/s的速度同时出发．当点P到达终点B时，点Q也随之停止运动，连接PQ交AC于点D，过点P作PE⊥AC于E，试问线段DE的长度是否变化？若变化，请说明如何变化；若不变，请求出DE的长度．
19．【初步探索】
截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．
（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系；
【灵活运用】
（2）如图2，△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为BC边上一点，∠ADE交直线a于点E，且∠ADE＝60°．求证：CD+CE＝CA；
【延伸拓展】
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD．若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足EF＝BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．
20．我们知道，长方形的对边相等，对边平行，四个角都是直角，即长方形ABCD中，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，AB∥CD．
学完轴对称的性质，周老师设计如下三个问题，带领大家研究长方形纸片的折叠问题．
请你运用所学知识，解决下面的问题．
问题（1）：如图（1），有一张长方形纸片ABCD，AB＝12，AD＝16，将纸片折叠，使AB落在对角线AC上，折痕为AE（点E在边BC上），点B落在点B′处，求线段CE的长度；
问题（2）：如图（2），点G在一张长方形纸片ABCD的边AD上，将纸片折叠，使AB落在CG所在直线上，设折痕为EF（点E，F分别在边BC、AD上），利用直尺和圆规画出折痕EF（不写作法，保留作图痕迹）；
问题（3）：如图（3），有一张长方形纸片ABCD，AB＝12，AD＝27，F为AD边上一点，AF＝7，E为BC上一点．将纸片折叠，使点B恰好落在线段ED上的B′处，折痕为EF，点A落在点A′处．求线段B′D的长度．
21．【发现】如图1，在等腰直角△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点B在直线l上，过A作AD⊥l于D，过C作CE⊥l 于E．小明通过探索发现：AD+CE＝DE，请证明这个结论；
【应用】①如图2，在△ABC中，∠ACB为钝角，把边AC绕点A沿逆时针方向旋转90°得AD，把边BC绕点B沿顺时针方向旋转90°得BE，作DM⊥AB于点M，EN⊥AB于点N，若DM＝3，EN＝2，则AB＝ ；
②如图3，△ABC是等边三角形纸片，将△ABC纸片折叠，使得点A的对应点D落在BC上，折痕为EF．若BE＝CD，求∠AEF的度数；
【拓展】如图4，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，D、E两点分别是边AB、AC上的动点，且CE＝2AD，将线段DE绕点D顺时针旋转30°得到线段DF，连接CF，若BC＝2，则线段CF长度的最小值为 ．
八上轴对称性和勾股定理综合提优
参考答案与试题解析
一．选择题（共3小题）
1．到三角形三个顶点距离相等的点是（ ）
A．三边高线的交点
B．三边垂直平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条内角平分线的交点
【分析】根据线段垂直平分线的性质判断即可．
【解答】解：到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点，
故选：B．
2．如图，在△ABC中，∠ABC＝52°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB、BC于点M，N，若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为（ ）
A．115° B．116° C．117° D．118°
【分析】根据三角形的内角和得到∠BMN+∠BNM＝128°，根据线段的垂直平分线的性质得到AM＝PM，PN＝CN，由等腰三角形的性质得到∠MAP＝∠MPA，∠CPN＝∠PCN，由“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”得∠BMN＝∠MAP+∠MPA，∠BNM＝∠CPN+∠PCN，可得∠MPA∠BMN，∠CPN∠BNM，推出∠MPA+∠CPN∠BMN∠BNM128°＝64°，从而由平角定义得到结论．
【解答】解：∵∠ABC＝52°，
∴∠BMN+∠BNM＝128°．
∵M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，
∴AM＝PM，PN＝CN．
∴∠MAP＝∠MPA，∠CPN＝∠PCN．
∵∠BMN＝∠MAP+∠MPA，∠BNM＝∠CPN+∠PCN，
∴∠MPA∠BMN，∠CPN∠BNM．
∴∠MPA+∠CPN（∠BMN+∠BNM）128°＝64°．
∴∠APC＝180°﹣64°＝116°．
故选：B．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是BC边上的高，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．9.6 D．12
【分析】由等腰三角形的三线合一可得出AD垂直平分BC，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，在△ABC中，利用面积法可求出BQ的长度，此题得解．
【解答】解：如图所示，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值．
∵AB＝AC，AD是BC边上的高，
∴AD垂直平分BC，
∴BP＝CP，
此时PC+PQ最小值为BQ的长．
∵S△ABCBC ADAC BQ，
∴BQ9.6，
∴PC+PQ的最小值是9.6．
故选：C．
二．填空题（共5小题）
4．若一个等腰三角形的两边长分别为2cm和5cm，则这个等腰三角形周长为 12 cm．
【分析】题中没有指明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行分析．
【解答】解：当腰长为2cm时，2+2＝4＜5，不符合三角形三边关系，故舍去；
当腰长为5cm时，符合三边关系，其周长为2+5+5＝12（cm），
故该三角形的周长为12cm．
故答案为：12．
5．如图，AO⊥OM，OA＝8，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB，AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，PB的长度是 4 ．
【分析】作辅助线，首先证明△ABO≌△BEN，得到BO＝ME；进而证明△BPF≌△MPE，即可解决问题．
【解答】解：如图，过点E作EN⊥BM，垂足为点N，
∵∠AOB＝∠ABE＝∠BNE＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝∠ABO+∠NBE＝90°，
∴∠BAO＝∠NBE，
∵△ABE、△BFO均为等腰直角三角形，
∴AB＝BE，BF＝BO；
在△ABO与△BEN中，
，
∴△ABO≌△BEN（AAS），
∴BO＝NE，BN＝AO；
∵BO＝BF，
∴BF＝NE，
在△BPF与△NPE中，
，
∴△BPF≌△NPE（AAS），
∴BP＝NPBN；而BN＝AO，
∴BPAO4，
故答案为：4．
6．如图，△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，BC＝6，点D是边AC上的动点，连接DB，以DB为边在DB的左下方作等边△DBE，连接CE，则点D在运动过程中，线段CE长度的最小值是 3 ．
【分析】取AB的中点Q，连接CQ，DQ．由“SAS”可证△EBC≌△DBQ，推出EC＝DQ，推出当QD⊥AC时，EC的值最小．
【解答】解：如图，取AB的中点Q，连接CQ，DQ．则BQ＝AQ＝6，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠CBQ＝60°，
∵BQ＝AQ＝6，
∴CQ＝BQ＝AQ＝6，
∴△BCQ是等边三角形，
∴BC＝BQ，
∵∠DBQ＝∠CBQ＝60°，
∴∠EBC＝∠DBQ，
在△EBC和△DBQ中，
，
∴△EBC≌△DBQ（SAS），
∴EC＝DQ，
∴当QD⊥AC时，EC的值最小，
在Rt△AQD中，AQ＝6，∠A＝30°，
∴DQAQ＝3，
∴CE的最小值为3，
故答案为：3．
7．如图，E为正方形ABCD边AB上一点，BE＝3，AE＝1，P为对角线BD上一个动点，则PA+PE的最小值是 5 ．
【分析】连接EC交BD于点P，此时PA+PE最小，在RT△EBC中求出EC即可解决问题．
【解答】解：连接EC交BD于点P，此时PA+PE最小．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴A、C关于直线BD对称，
∴PA+PE＝PC+PE＝EC，
∴此时PA+PE最小（两点之间线段最短），
PA+PE最小值＝EC5．
故答案为5．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，D、E分别是AB和CB边上的点，把△BDE沿着直线DE折叠，若点B落在边AC上，则CE的取值范围是 CE≤2 ．
【分析】需要分情况讨论点B落在点A或者点C处时CE的长．
【解答】解：当点B折叠后落在点C上时，此时CE最长为2，
当点B折叠后落在点A上时，此时CE最短，连接AE，如图，
此时DE垂直平分AB，AE＝BE，设CE＝x，则BE＝AE＝4﹣x，
在Rt△ACE中，AC2+CE2＝AE2，
∴32+x2＝（4﹣x）2，
解得x，
故答案为：CE≤2．
三．解答题（共13小题）
9．同学们都玩过荡秋千吧？如图，已知秋千顶端O离地面的距离为2.4m，秋千静止时座位离地面的距离是0.4m．当秋千荡到最高处，此时座位离地面的距离恰为0.8m．你能求出秋千荡出的水平距离BC是多少吗？
【分析】过B点作BC⊥OA于C，BE⊥地面于E，则CD＝BE＝0.8m，求出AC＝CD﹣AD＝0.4（m），OC＝OA﹣AC＝1.6（m），再根据勾股定理求出BC的长即可．
【解答】解：能求出秋千荡出的水平距离BC的长，理由如下：
由题意得：秋千最低点为A，最高点为B，OD＝2.4m，AD＝0.4m，
则OA＝OB＝OD﹣AD＝2（m），
过B点作BC⊥OA于C，BE⊥地面于E，
则CD＝BE＝0.8m，
∴AC＝CD﹣AD＝0.8﹣0.4＝0.4（m），
∴OC＝OA﹣AC＝2﹣0.4＝1.6（m），
在Rt△OBC中，由勾股定理得：BC（m）＝1.2m，
即秋千荡出的水平距离BC是1.2m．
10．已知：如图，∠ABC及射线BC上的一点D．
（1）求作：等腰△BDE，使线段BD为等腰△BDE的底边，点E在∠ABC内部，且点E到∠ABC两边的距离相等（请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若DE⊥AB，则∠ABC＝ 60 °．
【分析】（1）作∠ABC的平分线BK，线段BD的垂直平分线MN，射线BK与直线MN的交点E即为所求；
（2）根据垂直的定义，角平分线的定义与线段垂直平分线的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）点E是∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线的交点，如图点E即为所求；
（2）∵DE⊥AB，
∴∠ABC+∠BDE＝90°，
∵点E是∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线的交点，
∴∠ABE＝∠DBE＝∠BDE，
∴∠ABE＝∠DBE＝∠BDE＝30°，
∴∠ABC＝60°．
故答案为：60．
11．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF．
（1）求证：BE＝BF．
（2）若AB＝4，AD＝8，求△BEF的面积．
【分析】（1）根据翻折变换的性质，结合矩形的性质证明∠BEF＝∠BFE即可解决问题．
（2）根据勾股定理列出关于线段AE的方程即可解决问题．
【解答】（1）证明：由题意得：∠BEF＝∠DEF，
∵四边形ABCD为长方形，
∴DE∥BF，
∴∠BFE＝∠DEF，
∴∠BEF＝∠BFE，
∴BE＝BF；
（2）解：由题意知：BE＝DE，
设AE＝x，则BE＝DE＝8﹣x，
由勾股定理得：（8﹣x）2＝42+x2，
解得：x＝3，
∴BF＝BE＝8﹣3＝5，
∴S△BEF4×5＝10．
12．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒4cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；
（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值．
【分析】（1）连接BP，根据勾股定理求出AC，再根据勾股定理列方程计算，得到答案；
（2）作PG⊥AB于G，根据角平分线的性质得到CP＝GP，根据全等三角形的性质求出BG，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）如图1，连接BP，
∵在Rt△ABC中，AB＝10cm，BC＝6cm，
∴，
∴PC＝8﹣PA，
在Rt△BCP中，由勾股定理得，PB2＝PC2+BC2，
当PA＝PB时，PA2＝（8﹣PA）2+62，
解得，
则；
（2）如图2，作PG⊥AB于G，
∵点P恰好在∠BAC的角平分线上，∠C＝90°，PG⊥AB，
∴CP＝GP，
又∵AP＝AP，
∴△ACP≌△AGP（HL），
∴AG＝AC＝8cm，
∴BG＝10﹣8＝2cm，
设CP＝x cm，则BP＝（6﹣x）cm，PG＝x cm，
∴Rt△BGP中，由勾股定理得：BG2+PG2＝BP2，即22+x2＝（6﹣x）2，
解得，
∴AC+CPcm，
∴，
当点P沿折线A﹣C﹣B﹣A运动到点A时，点P也在∠BAC的角平分线上，
此时，t＝（10+8+6）÷4＝6，
综上所述，若点P恰好在∠BAC的角平分线上，t的值为或6．
13．问题背景：如图①，在四边形ADBC中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，探究线段AC、BC、CD之间的数量关系．
小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D逆时针旋转90°到△AED处，点B、C分别落在点A、E处（如图②），易证点C、A、E在同一条直线上，并且ACDE是等腰直角三角形，所以CECD，从而得出结论：AC+BCCD．
方法应用：
（1）在图①中，若AC＝1，BC＝2，则CD＝ ；
（2）在图③中，在四边形PACB中，AC＝CB，∠APC＝∠BPC＝30°，∠ACB＝120°，PC＝2，PB＝2，求PA的长；
拓展延伸：
（3）如图④，将边长为2的等边△ABC，沿其BC边所在直线折叠，得四边形ACGB，有个60°的∠ECF在四边形内部运动，边CE、CF分别交四边形ACGB的边AB、BG于点E、F．
①试探究在∠ECF运动过程中，四边形BECF的面积是否发生变化，如果不变，求出这个值，如果发生变化，请求出四边形BECF面积的取值范围；
②连结EF，请直接写出△BEF的周长的最小值为 ．
【分析】（1）仿照题干的提示作出辅助线，构建等腰直角三角形可得答案；
（2）如图，把△PCB绕C逆时针旋转120°得到△CAQ，过C作CN⊥AQ于N，再结合旋转的性质，含30°的直角三角形的性质与勾股定理可得答案；
（3）①先证明△GCF≌△BCE，可得S△GCF＝S△BCE，可得四边形BECF的面积不变．如图，过C作CK⊥GB于K，再求解面积即可；②连接EF，由①得△GCF≌△BCE，证明△FCE为等边三角形，可得当CF⊥BG时，EF最小，周长最小，从而可得答案．
【解答】解：（1）将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，
∴∠EAD＝∠DBC，
∵∠ACB＝∠ADB＝90°，
∴∠DBC+∠DAC＝180°，
∴∠EAD+∠DAC＝180°，
∴E、A、C三点共线，
∴∠CAE为平角，由旋转知，AE＝BC，DE＝CD，∠CDE＝90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴，
∵CE＝AE+AC＝AC+BC，
∴，
∵AC＝1，BC＝2，
∴，
故答案为：；
（2）如图③，把△PCB绕C逆时针旋转120°得到△CAQ，过C作CN⊥AQ于N，
∵AC＝CB，∠APC＝∠BPC＝30°，∠ACB＝120°，
∴∠CAP+∠CBP＝180°，
由旋转可得：PB＝AQ＝2，，∠BPC＝∠AQC＝30°，∠QAC＝∠PBC，
∴∠CAP+∠CAQ＝180°，
∴Q，A，P三点共线，而，
∴，，
∵CQ＝CP，CN⊥AQ，
∴PQ＝2QN＝6，
∴PA＝QP﹣QA＝6﹣2＝4．
（3）①在∠ECF运动过程中，四边形BECF的面积不发生变化；理由如下：
∵边长为2的等边△ABC，结合对折，
∴AC＝CG＝GB＝AB＝BC＝2，∠CGB＝∠CBA＝∠GCB＝60°，
∵∠ECF＝60°，
∴∠GCF＝∠BCE，
∴△GCF≌△BCE，
∴S△GCF＝S△BCE，
∴S四边形BECF＝S△BCE+S△BCF＝S△GCF+S△BCF＝S△GCB，
∴四边形BECF的面积不变．
如图④，过C作CK⊥GB于K，
∴GK＝BK＝1，，
∴．
②连接EF，由①得△GCF≌△BCE，
∴GF＝BE，EC＝FC，
∴BE+BF＝BG＝2，
∵∠FCE＝60°，
∴△FCE为等边三角形，
当CF⊥BG时，EF最小，
此时EF，
∴△FCE的周长最小值为2，
故答案为：2．
14．（1）问题发现
如图1，把一块三角板（AB＝BC，∠ABC＝90°）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点A、B、C分别在槽的两壁及底边上滑动，已知∠D＝∠E＝90°，在滑动过程中，发现与∠DAB始终相等的角是 ∠EBC ，与线段AD相等的线段是 BE ；
（2）拓展探究
如图2，在△ABC中，点D在边BC上，并且DA＝DE，∠B＝∠ADE＝∠C．求证：△ADB≌△DEC．
（3）能力提升
如图3，在等边△DEF中，A，C分别为DE、DF边上的点，AE＝4，连接AC，以AC为边在△DEF内作等边△ABC，连接BF，当∠CFB＝30°时，请直接写出CD的长度．
【分析】（1）根据直角三角形的性质及平角的定义推出∠BAD＝∠EBC，利用AAS证明△ABD≌△BCE，根据全等三角形的性质得出AD＝BE；
（2）根据三角形外角性质推出∠CDE＝∠BAD，利用AAS即可证明△ADB≌△DEC；
（3）过点B作BM∥EF交DF于点M，根据等边三角形的性质推出DE＝DF，AC＝BC，∠D＝∠DFE＝∠ACB＝60°，根据平行线的性质及等腰三角形的判定推出BM＝FM，利用AAS证明△ACD≌△CBM，根据全等三角形的性质得出CD＝BM＝FM，AD＝CM，根据线段的和差求解即可．
【解答】（1）解：∵∠D＝∠ABC＝90°，
∴∠DAB+∠ABD＝90°，∠ABD+∠EBC＝90°，
∴∠BAD＝∠EBC，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（AAS），
∴AD＝BE，
故答案为：∠EBC；BE；
（2）证明：∵∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∠B＝∠ADE，
∴∠CDE＝∠BAD，
在△ADB和△DEC中，
，
∴△ADB≌△DEC（AAS）；
（3）解：如图3，过点B作BM∥EF交DF于点M，
∵△DEF、△ABC是等边三角形，
∴DE＝DF，AC＝BC，∠D＝∠DFE＝∠ACB＝60°，
∵∠CFB＝30°，BM∥EF，
∴∠BFE＝60°﹣30°＝30°＝∠MBF，
∴∠MBF＝∠CFB，∠CMB＝∠MBF+∠CFB＝60°，
∴BM＝FM，
∵∠D＝∠ACB＝60°，
∴∠DAC+∠ACD＝120°，∠ACD+∠BCM＝120°，
∴∠DAC＝∠BCM，
在△ACD和△CBM中，
，
∴△ACD≌△CBM（AAS），
∴CD＝BM＝FM，AD＝CM，
∴DF＝CD+CM+FM＝2CD+CM＝2CD+AD，
∵DE＝AD+AE＝DF，
∴AE＝2CD，
∵AE＝4，
∴CD＝2．
15．如图1，△ABC中，CD⊥AB于点D，且BD：AD：CD＝2：3：4．
（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）已知S△ABC＝90cm2，如图2，动点P从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点Q从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点P运动的时间为t（秒），
①若△DPQ的边与BC平行，求t的值；
②若点E是边AC的中点，问在点P运动的过程中，△PDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
【分析】（1）设BD＝2x，根据勾股定理求出AC，根据等腰三角形的概念证明结论；
（2）根据三角形的面积公式分别求出BD、AD、CD，分DQ∥BC、PQ∥BC两种情况，根据等腰三角形的性质解答；
（3）分点P与点A重合、DP＝DE、PD＝PE三种情况，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：（1）设BD＝2x，则AD＝3x，CD＝4x，
∴AB＝BD+AD＝5x，
由勾股定理得，AC5x，
∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形；
（2）∵S△ABC＝90cm2，
∴5x×4x＝90，
解得，x＝3，
∴BD＝6m，AD＝9m，CD＝12m，
由题意得，BP＝t，AQ＝t，
则AP＝15﹣t，
当DQ∥BC时，∠ADQ＝∠ABC，∠AQD＝∠ACB，
∴∠ADQ＝∠AQD，
∴AQ＝AD＝9，即t＝9，
当PQ∥BC时，∠APQ＝∠ABC，∠AQP＝∠ACB，
∴∠APQ＝∠AQP，
∴AP＝AQ，即15﹣t＝t，
解得，t＝7.5，
综上所述，当△DPQ的边与BC平行，t的值为9或7.5；
（3）在Rt△CDA中，点E是AC的中点，
∴DEAC＝AE＝7.5，
∴当点P与点A重合时，△PDE为等腰三角形，此时t＝15，
如图3，当DP＝DE＝7.5时，BP＝BD+DP＝13.5，此时t＝13.5，
如图4，当PD＝PE时，△PDE为等腰三角形，
作EH⊥AB于H，
∵ED＝EA，
∴DH＝HA＝4.5，
设DP＝EP＝x，
由勾股定理得，EH6，
∴PH＝x﹣6，
在Rt△EHP中，EP2＝EH2+PH2，即x2＝62+（x﹣4.5）2，
解得，x，
则BP＝6，
综上所述，当△PDE为等腰三角形时，t的值为15或13.5或．
16．自定义：在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”．
（1）如图1，已知△ABC，AC≠BC，过点C能否画出△ABC的一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法，若不能，请说明理由．
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，EF垂直平分AD，垂足为F，交BC于点E，已知AB＝3，BC＝8，CD＝5．求证：直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”；
（3）如图3，在△ABC中，AB＝BC＝6，AC＝8，请你作出△ABC的一条“等分积周线”EF（要求：直线EF不过△ABC的顶点，交边AC于点F，交边BC于点E），并说明理由．
【分析】（1）若直线CD平分△ABC的面积，那么S△ADC＝S△DBC，得出AC≠BC，进而得出答案；
（2）根据勾股定理可得出：AB2+BE2＝CE2+DC2，进而得出BE＝5，CE＝3，进而得出周长与面积分别相等得出答案即可；
（3）在AC上取一点F，使得FC＝AB＝6，在BC上取一点E，使得BE＝2，作直线EF，则EF是△ABC的等分积周线，结合全等三角形的判定与性质得出答案．
【解答】解：（1）不能，
理由：如答图1，若直线CD平分△ABC的面积，那么S△ADC＝S△DBC，
∴AD＝BD，
∵AC≠BC，
∴AD+AC≠BD+BC，
∴过点C不能画出一条“等分积周线”
（2）如答图2，连接AE、DE，设BE＝x，
∵EF垂直平分AD，∴AE＝DE，AF＝DF，S△AEF＝S△DEF，
∵∠B＝∠C＝90°，AB＝3，BC＝8，CD＝5，
∴Rt△ABE和Rt△DCE中，根据勾股定理可得出：
AB2+BE2＝CE2+DC2，即32+x2＝（8﹣x）2+52，
解得：x＝5，所以BE＝5，CE＝3，
∴AB+BE＝CE+DC，
S△ABE＝S△DCE，
∴S四边形ABEF＝S△ABE+S△AEF，
S四边形DCEF＝S△DEF+S△DCE，
∴S四边形ABEF＝S四边形DCEF，
AF+AB+BE＝DF+EC+DC，
∴直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”；
（3）如答图3，在AC上取一点F，使得FC＝AB＝6，在BC上取一点E，使得BE＝2，
作直线EF，则EF是△ABC的等分积周线，
理由：由作图可得：AF＝AC﹣FC＝8﹣6＝2，在CB上取一点G，使得CG＝AF＝2，则有AB+AF＝CF+CG，
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C，
在△ABF和△CFG中，
，
∴△ABF≌△CFG（SAS），
∴S△ABF＝S△CFG，
又易得BE＝EG＝2，
∴S△BFE＝S△EFG，
∴S△EFC＝S四边形ABEF，
AF+AB+BE＝CE+CF＝10，
∴EF是△ABC的等分积周线，
若如答图4，当BM＝2cm，AN＝6cm时，直线MN也是△ABC的等分积周线．（其实是同一条），
另外本问的说理也可以通过作高，进行相关计算说明）．
17．在长方形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝5，BC＝AD＝4．
（1）如图1，P为BC边上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△APQ的位置，其中点Q是点B的对称点，当点Q落在CD边上时，请你直接写出DQ的长为 3 ．
（2）如图2，点E是AB边上一动点，过点E作EF⊥DE交BC边于点F，将△BEF沿直线EF翻折得△B'EF，连接DB'，当△DEB'是以DE为腰的等腰三角形时，求AE的长；
（3）如图3，点M是射线AB上的一个动点，将△ADM沿DM翻折，其中点A的对称点为A'，当A′，M，C三点在同一直线上时，请直接写出AM的长．
【分析】（1）利用翻折变换的性质以及勾股定理求解即可；
（2）分两种情形：如图2﹣1中，当DE＝DB′，过点D作DJ⊥EB′于点J．证明BE＝2AE，可得结论．如图2﹣2中，当DE＝EB′时，利用勾股定理，构建方程求解即可；
（3）分两种情形：如图3﹣1中，当点M在线段AB上时，证明CD＝CM，求出BM即可．如图3﹣2中，当点M在AB的延长线上时，同法可证CD＝CM＝5，再求出BM即可．
【解答】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
由翻折变换的性质可知AB＝AQ＝5，
∵AD＝4，
∴DQ3，
故答案为：3；
（2）如图2﹣1中，当DE＝DB′，过点D作DJ⊥EB′于点J．
∵DE＝DB′，DJ⊥EB′，
∴EJ＝JB′，
∵DE⊥EF，
∴∠BEF+∠DEA＝90°，∠FEB′+∠DEB′＝90°，
∵∠BEF＝∠BEF′，
∴∠DEJ＝∠DEA，
∵∠A＝∠DJE＝90°，DE＝DE，
∴△DEA≌△DEJ（AAS），
∴AE＝EJ＝JB′，
∵EB＝EB′，
∴BE＝2AE，
∵AB＝5，
∴AEAB；
如图2﹣2中，当DE＝EB′时，
设BE＝EB′＝DE＝x，则x2＝42+（5﹣x）2，
∴x，
∴AE＝AB﹣BE＝5．
综上所述，AE的长为或；
（3）如图3﹣1中，当点M在线段AB上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠CDM＝∠AMD，
∵∠AMD＝∠A′MD，
∴∠CDM＝∠CMD，
∴CD＝CM＝5，
∵∠CBM＝90°，
∴BM3，
∴AM＝AB﹣BM＝5﹣3＝2．
如图3﹣2中，当点M在AB的延长线上时，同法可证CD＝CM＝5，
∵∠CBM＝90°，CB＝4，
∴BM3，
∴AM＝AB+BM＝5+3＝8．
综上所述，满足条件的AM的长为2或8．
18．如图1所示，在边长为12的等边△ABC中，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动设点P的运动时间为t（s），t＞0．
（1）当t＝ 3 时，△PAC是直角三角形；
（2）如图2．若另一动点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，且动点P，Q均以2cm/s的速度同时出发，那么当t＝ 2或4 时，△PAQ是直角三角形；
（3）如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动，且动点P，Q均以2cm/s的速度同时出发．当点P到达终点B时，点Q也随之停止运动，连接PQ交AC于点D，过点P作PE⊥AC于E，试问线段DE的长度是否变化？若变化，请说明如何变化；若不变，请求出DE的长度．
【分析】（1）根据等边三角形的性质，当CP⊥AB，即P为AB的中点时，△PAC是直角三角形，据此求解即可；
（2）分①当QP⊥AB时，②当QP⊥AC时，根据含30度角的直角三角形的性质，建立一元一次方程求解即可；
（3）过P作PF∥BC，进而证明AE＝EF，CD＝DF，可得，问题得解．
【解答】解：（1）依题意，AP＝2t，
当△PAC是直角三角形时，CP⊥AB，
∵△ABC是等边三角形，
则此时P为AB的中点，
∴，
∴t＝6÷2＝3，
故答案为：3；
（2）依题意，AP＝2t，CQ＝2t，
①当QP⊥AB时，如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，AC＝AB＝BC＝12，
∵AP＝CQ＝2t，则AQ＝12﹣2t，
在Rt△APQ中，∠A＝60°，
∴∠AQP＝30°，
∴，
即，
解得t＝2；
②当QP⊥AC时，如图，
同理可得，
即，
解得t＝4；
综上所述，当t为2或4时，△PAQ是直角三角形；
（3）线段DE长度不变，理由如下：
如图，过点P作PF∥BC，交AC于点F，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°＝∠B，
∵PF∥BC，
∴∠APF＝∠B＝60°，
∴△APF是等边三角形，
∴PA＝PF，
∵PE⊥AF，
∴AE＝EF，
∵PF∥BC，
∴∠PFD＝∠QCD，∠FPD＝∠CQD，
∵P，Q的速度相等，
∴AP＝CQ，
∴PF＝CQ，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴CD＝DF，
∵AE＝EF，CD＝DF，
∴．
19．【初步探索】
截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．
（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系；
【灵活运用】
（2）如图2，△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为BC边上一点，∠ADE交直线a于点E，且∠ADE＝60°．求证：CD+CE＝CA；
【延伸拓展】
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD．若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足EF＝BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．
【分析】（1）由等边三角形知AB＝AC，∠BAC＝60°，结合∠BDC＝120°知∠ABD+∠ACD＝180°，由∠ACE+∠ACD＝180°知∠ABD＝∠ACE，证△ABD≌△ACE得AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，再证△ADE是等边三角形得DA＝DE＝DC+CE＝DC+DB；
（2）首先在AC上截取CM＝CD，由△ABC为等边三角形，易得△CDM是等边三角形，继而可证得△ADM≌△EDC，即可得AM＝EC，则可证得CD+CE＝CA；
（3）在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，先判定△ADG≌△ABE，再判定△AEF≌△AGF，得出∠FAE＝∠FAG，最后根据∠FAE+∠FAG+∠GAE＝360°，进而推导得到2∠FAE+∠DAB＝360°，即可得出结论．
【解答】（1）解：如图1，延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵∠BDC＝120°，
∴∠ABD+∠ACD＝180°，
又∵∠ACE+∠ACD＝180°，
∴∠ABD＝∠ACE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
∵∠BAC＝60°，即∠BAD+∠DAC＝60°，
∴∠DAC+∠CAE＝60°，
即∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DA＝DE＝DC+CE＝DC+DB，
即DA＝DC+DB；
（2）证明：在AC上截取CM＝CD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴△CDM是等边三角形，
∴MD＝CD＝CM，∠CMD＝∠CDM＝60°，
∴∠AMD＝120°，
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADE＝∠MDC，
∴∠ADM＝∠EDC，
∵直线a∥AB，
∴∠ACE＝∠BAC＝60°，
∴∠DCE＝120°＝∠AMD，
在△ADM和△EDC中，
，
∴△ADM≌△EDC（ASA），
∴AM＝EC，
∴CA＝CM+AM＝CD+CE；
即CD+CE＝CA．
（3）解：∠EAF；
证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，
∴∠ADC＝∠ABE，
又∵AB＝AD，
∴△ADG≌△ABE（SAS），
∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，
∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠FAE＝∠FAG，
∵∠FAE+∠FAG+∠GAE＝360°，
∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）＝360°，
∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）＝360°，
即2∠FAE+∠DAB＝360°，
∴∠EAF．
20．我们知道，长方形的对边相等，对边平行，四个角都是直角，即长方形ABCD中，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，AB∥CD．
学完轴对称的性质，周老师设计如下三个问题，带领大家研究长方形纸片的折叠问题．
请你运用所学知识，解决下面的问题．
问题（1）：如图（1），有一张长方形纸片ABCD，AB＝12，AD＝16，将纸片折叠，使AB落在对角线AC上，折痕为AE（点E在边BC上），点B落在点B′处，求线段CE的长度；
问题（2）：如图（2），点G在一张长方形纸片ABCD的边AD上，将纸片折叠，使AB落在CG所在直线上，设折痕为EF（点E，F分别在边BC、AD上），利用直尺和圆规画出折痕EF（不写作法，保留作图痕迹）；
问题（3）：如图（3），有一张长方形纸片ABCD，AB＝12，AD＝27，F为AD边上一点，AF＝7，E为BC上一点．将纸片折叠，使点B恰好落在线段ED上的B′处，折痕为EF，点A落在点A′处．求线段B′D的长度．
【分析】问题（1）：设CE＝x，根据折叠的性质表示B'E＝BE＝16﹣x，由勾股定理计算AC＝20，则CB'＝8，最后根据勾股定理列方程可得答案；
问题（2）：如图（2）中，延长BA交直线CG交于点H，作∠BHC的角平分线交AD于F，交BC于E，直线EF即为所求；
问题（3）：首先求出FD＝20，由矩形的性质得出AD∥BC，BC＝AD＝27，由平行线的性质得出∠DFE＝∠BEF，由翻折不变性可知，∠BEF＝∠DEF，证出∠DFE＝∠DEF，由等腰三角形的判定定理证出DF＝DE＝20，再由勾股定理求出CE，可得BE，再利用翻折不变性，可知EB′＝EB，由此即可解决问题．
【解答】解：问题（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，BC＝AD＝16，
∵AB＝12，
由勾股定理得：AC20，
由折叠得：∠AB'E＝∠B＝90°，AB'＝AB＝12，BE＝B'E，
∴∠CB'E＝90°，
设CE＝x，则B'E＝BE＝16﹣x，
由勾股定理得：CE2＝B'E2+B'C2，
即x2＝（16﹣x）2+（20﹣12）2，
解得：x＝10，
∴CE＝10；
问题（2）如图（2）所示：EF即为所求；
问题（3）∵AF＝7，AD＝27，
∴FD＝20，
∵将纸片折叠，使点B恰好落在线段ED上的B′处，
∴∠BEF＝∠B'EF，BE＝B'E，
∵AD∥BC，
∴∠DFE＝∠BEF，
∴DE＝DF＝20，
∴CE16，
∴BE＝BC﹣CE＝11，
∴B'E＝11，
∴B'D＝DE﹣B'E＝20﹣11＝9．
21．【发现】如图1，在等腰直角△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点B在直线l上，过A作AD⊥l于D，过C作CE⊥l 于E．小明通过探索发现：AD+CE＝DE，请证明这个结论；
【应用】①如图2，在△ABC中，∠ACB为钝角，把边AC绕点A沿逆时针方向旋转90°得AD，把边BC绕点B沿顺时针方向旋转90°得BE，作DM⊥AB于点M，EN⊥AB于点N，若DM＝3，EN＝2，则AB＝ 5 ；
②如图3，△ABC是等边三角形纸片，将△ABC纸片折叠，使得点A的对应点D落在BC上，折痕为EF．若BE＝CD，求∠AEF的度数；
【拓展】如图4，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，D、E两点分别是边AB、AC上的动点，且CE＝2AD，将线段DE绕点D顺时针旋转30°得到线段DF，连接CF，若BC＝2，则线段CF长度的最小值为 ．
【分析】【发现】根据∠ABC＝90°推出∠ABD+∠DAB＝90°，继而推出判定△ADB≌△BEC的条件，判定全等后得到AD＝BE，CE＝BD，即可证明结论；
【应用】①过点C作CF⊥MN于F，根据条件推出判定△DMA≌△AFC，△CFB≌△BNE的条件后根据全等三角形的性质得到AF＝DM，AM＝CF，BF＝EN，CF＝BN，根据已知条件即可求出AB的长；
②根据△ABC为等边三角形，△DEF由△AEF翻折得到∠A＝∠B＝∠C＝∠EDF＝60°，∠BED+∠EDB＝120°，∠EDB+∠FDC＝120°推出∠BED＝∠FDC，再根据BE＝CD判定△EBD≌△DCF，得到DE＝DF，从而判定△DEF为等边三角形，即可求出∠AEF的度数；
【拓展】在BD上截取DG＝AE，连接FG，根据∠A＝30°，∠EDF＝30°推出∠AED+∠ADE＝∠ADE+∠FDG＝150°，得到∠AED＝∠FDG，再加上DE＝DF，DG＝AE，
用SAS判定△ADE≌△GFD，根据全等三角形的性质得到AD＝GF，当CF⊥BF时，CF最小，根据勾股定理即可求出CF的最小值．
【解答】【发现】证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠DAB＝90°，
又∵∠ABD+∠CBE＝90°，
∴∠DAB＝∠CBE，
∵AD⊥l，CE⊥l，
∴∠ADB＝∠CEB＝90°，
又∵AB＝BC，∠DAB＝∠CBE，
∴△ADB≌△BEC（AAS），
∴AD＝BE，CE＝BD，
∵DE＝BD+BE＝DE，
∴AD+CE＝DE；
【应用】①解：如图2，过点C作CF⊥MN于F，
∴∠CFA＝∠CFB＝90°，∠DAC＝∠CBE＝90°，
∴∠DAM+∠CAF＝90°，
∠CBF+∠EBN＝90°，
∵DM⊥AB，EN⊥AB，
∴∠ADM+∠DAM＝90°，
∠EBN+∠BEN＝90°，
∴∠ADM＝∠CAF，∠CBF＝∠BEN，
∵AD＝AC，BC＝BE，
∴△DMA≌△AFC（AAS），△CFB≌△BNE（AAS），
∴AF＝DM，AM＝CF，BF＝EN，CF＝BN，
∵DM＝3，EN＝2，AB＝AF+BF，
∴AB＝DM+EN＝3+2＝5；
②解：∵△ABC为等边三角形，△DEF由△AEF翻折得到，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠EDF＝60°，
∴∠BED+∠EDB＝120°，∠EDB+∠FDC＝120°，
∴∠BED＝∠FDC，
又∵BE＝CD，
∴△EBD≌△DCF（ASA），
∴DE＝DF，
又∵∠EDF＝60°，
∴△DEF为等边三角形，
∴∠AEF＝∠DEF＝60°，
【拓展】解：在BD上截取DG＝AE，连接FG，
∵∠A＝30°，∠EDF＝30°，
∴∠AED+∠ADE＝∠ADE+∠FDG＝150°，
∴∠AED＝∠FDG，
又∵DE＝DF，DG＝AE，
∴△ADE≌△GFD（SAS），
∴AD＝GF，
∵AB＝AC，DG＝AE，
∴CE＝AD+BG，
∵CE＝2AD，
∴AD+BG＝2AD，
∴BG＝AD，
∴BG＝GF，
∵△ADE≌△GFD，
∴∠FGD＝∠A＝30°，
∵∠GBF为定值，
∴点F在BF所在直线上运动，
当CF⊥BF时，CF最小，
∵∠A＝30°，AB＝AC，
∴∠ABC（180°﹣30°）＝75°，∠CBF＝75°﹣15°＝60°，
∴∠FCB＝30°，
∵BC＝2，
∴BFBC＝1，CF，
∴CF长度的最小值为．中小学教育资源及组卷应用平台
北京课改版（2024）八上轴对称性和勾股定理综合提优训练
一．选择题（共3小题）
1．到三角形三个顶点距离相等的点是（ ）
A．三边高线的交点
B．三边垂直平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条内角平分线的交点
【思路点拔】根据线段垂直平分线的性质判断即可．
【解答】解：到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点，
故选：B．
2．如图，在△ABC中，∠ABC＝52°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB、BC于点M，N，若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为（ ）
A．115° B．116° C．117° D．118°
【思路点拔】根据三角形的内角和得到∠BMN+∠BNM＝128°，根据线段的垂直平分线的性质得到AM＝PM，PN＝CN，由等腰三角形的性质得到∠MAP＝∠MPA，∠CPN＝∠PCN，由“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”得∠BMN＝∠MAP+∠MPA，∠BNM＝∠CPN+∠PCN，可得∠MPA∠BMN，∠CPN∠BNM，推出∠MPA+∠CPN∠BMN∠BNM128°＝64°，从而由平角定义得到结论．
【解答】解：∵∠ABC＝52°，
∴∠BMN+∠BNM＝128°．
∵M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，
∴AM＝PM，PN＝CN．
∴∠MAP＝∠MPA，∠CPN＝∠PCN．
∵∠BMN＝∠MAP+∠MPA，∠BNM＝∠CPN+∠PCN，
∴∠MPA∠BMN，∠CPN∠BNM．
∴∠MPA+∠CPN（∠BMN+∠BNM）128°＝64°．
∴∠APC＝180°﹣64°＝116°．
故选：B．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是BC边上的高，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．9.6 D．12
【思路点拔】由等腰三角形的三线合一可得出AD垂直平分BC，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，在△ABC中，利用面积法可求出BQ的长度，此题得解．
【解答】解：如图所示，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值．
∵AB＝AC，AD是BC边上的高，
∴AD垂直平分BC，
∴BP＝CP，
此时PC+PQ最小值为BQ的长．
∵S△ABCBC ADAC BQ，
∴BQ9.6，
∴PC+PQ的最小值是9.6．
故选：C．
二．填空题（共5小题）
4．若一个等腰三角形的两边长分别为2cm和5cm，则这个等腰三角形周长为 12 cm．
【思路点拔】题中没有指明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行分析．
【解答】解：当腰长为2cm时，2+2＝4＜5，不符合三角形三边关系，故舍去；
当腰长为5cm时，符合三边关系，其周长为2+5+5＝12（cm），
故该三角形的周长为12cm．
故答案为：12．
5．如图，AO⊥OM，OA＝8，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB，AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，PB的长度是 4 ．
【思路点拔】作辅助线，首先证明△ABO≌△BEN，得到BO＝ME；进而证明△BPF≌△MPE，即可解决问题．
【解答】解：如图，过点E作EN⊥BM，垂足为点N，
∵∠AOB＝∠ABE＝∠BNE＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝∠ABO+∠NBE＝90°，
∴∠BAO＝∠NBE，
∵△ABE、△BFO均为等腰直角三角形，
∴AB＝BE，BF＝BO；
在△ABO与△BEN中，
，
∴△ABO≌△BEN（AAS），
∴BO＝NE，BN＝AO；
∵BO＝BF，
∴BF＝NE，
在△BPF与△NPE中，
，
∴△BPF≌△NPE（AAS），
∴BP＝NPBN；而BN＝AO，
∴BPAO4，
故答案为：4．
6．如图，△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，BC＝6，点D是边AC上的动点，连接DB，以DB为边在DB的左下方作等边△DBE，连接CE，则点D在运动过程中，线段CE长度的最小值是 3 ．
【思路点拔】取AB的中点Q，连接CQ，DQ．由“SAS”可证△EBC≌△DBQ，推出EC＝DQ，推出当QD⊥AC时，EC的值最小．
【解答】解：如图，取AB的中点Q，连接CQ，DQ．则BQ＝AQ＝6，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠CBQ＝60°，
∵BQ＝AQ＝6，
∴CQ＝BQ＝AQ＝6，
∴△BCQ是等边三角形，
∴BC＝BQ，
∵∠DBQ＝∠CBQ＝60°，
∴∠EBC＝∠DBQ，
在△EBC和△DBQ中，
，
∴△EBC≌△DBQ（SAS），
∴EC＝DQ，
∴当QD⊥AC时，EC的值最小，
在Rt△AQD中，AQ＝6，∠A＝30°，
∴DQAQ＝3，
∴CE的最小值为3，
故答案为：3．
7．如图，E为正方形ABCD边AB上一点，BE＝3，AE＝1，P为对角线BD上一个动点，则PA+PE的最小值是 5 ．
【思路点拔】连接EC交BD于点P，此时PA+PE最小，在RT△EBC中求出EC即可解决问题．
【解答】解：连接EC交BD于点P，此时PA+PE最小．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴A、C关于直线BD对称，
∴PA+PE＝PC+PE＝EC，
∴此时PA+PE最小（两点之间线段最短），
PA+PE最小值＝EC5．
故答案为5．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，D、E分别是AB和CB边上的点，把△BDE沿着直线DE折叠，若点B落在边AC上，则CE的取值范围是 CE≤2 ．
【思路点拔】需要分情况讨论点B落在点A或者点C处时CE的长．
【解答】解：当点B折叠后落在点C上时，此时CE最长为2，
当点B折叠后落在点A上时，此时CE最短，连接AE，如图，
此时DE垂直平分AB，AE＝BE，设CE＝x，则BE＝AE＝4﹣x，
在Rt△ACE中，AC2+CE2＝AE2，
∴32+x2＝（4﹣x）2，
解得x，
故答案为：CE≤2．
三．解答题（共13小题）
9．同学们都玩过荡秋千吧？如图，已知秋千顶端O离地面的距离为2.4m，秋千静止时座位离地面的距离是0.4m．当秋千荡到最高处，此时座位离地面的距离恰为0.8m．你能求出秋千荡出的水平距离BC是多少吗？
【思路点拔】过B点作BC⊥OA于C，BE⊥地面于E，则CD＝BE＝0.8m，求出AC＝CD﹣AD＝0.4（m），OC＝OA﹣AC＝1.6（m），再根据勾股定理求出BC的长即可．
【解答】解：能求出秋千荡出的水平距离BC的长，理由如下：
由题意得：秋千最低点为A，最高点为B，OD＝2.4m，AD＝0.4m，
则OA＝OB＝OD﹣AD＝2（m），
过B点作BC⊥OA于C，BE⊥地面于E，
则CD＝BE＝0.8m，
∴AC＝CD﹣AD＝0.8﹣0.4＝0.4（m），
∴OC＝OA﹣AC＝2﹣0.4＝1.6（m），
在Rt△OBC中，由勾股定理得：BC（m）＝1.2m，
即秋千荡出的水平距离BC是1.2m．
10．已知：如图，∠ABC及射线BC上的一点D．
（1）求作：等腰△BDE，使线段BD为等腰△BDE的底边，点E在∠ABC内部，且点E到∠ABC两边的距离相等（请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若DE⊥AB，则∠ABC＝ 60 °．
【思路点拔】（1）作∠ABC的平分线BK，线段BD的垂直平分线MN，射线BK与直线MN的交点E即为所求；
（2）根据垂直的定义，角平分线的定义与线段垂直平分线的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）点E是∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线的交点，如图点E即为所求；
（2）∵DE⊥AB，
∴∠ABC+∠BDE＝90°，
∵点E是∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线的交点，
∴∠ABE＝∠DBE＝∠BDE，
∴∠ABE＝∠DBE＝∠BDE＝30°，
∴∠ABC＝60°．
故答案为：60．
11．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF．
（1）求证：BE＝BF．
（2）若AB＝4，AD＝8，求△BEF的面积．
【思路点拔】（1）根据翻折变换的性质，结合矩形的性质证明∠BEF＝∠BFE即可解决问题．
（2）根据勾股定理列出关于线段AE的方程即可解决问题．
【解答】（1）证明：由题意得：∠BEF＝∠DEF，
∵四边形ABCD为长方形，
∴DE∥BF，
∴∠BFE＝∠DEF，
∴∠BEF＝∠BFE，
∴BE＝BF；
（2）解：由题意知：BE＝DE，
设AE＝x，则BE＝DE＝8﹣x，
由勾股定理得：（8﹣x）2＝42+x2，
解得：x＝3，
∴BF＝BE＝8﹣3＝5，
∴S△BEF4×5＝10．
12．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒4cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；
（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值．
【思路点拔】（1）连接BP，根据勾股定理求出AC，再根据勾股定理列方程计算，得到答案；
（2）作PG⊥AB于G，根据角平分线的性质得到CP＝GP，根据全等三角形的性质求出BG，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）如图1，连接BP，
∵在Rt△ABC中，AB＝10cm，BC＝6cm，
∴，
∴PC＝8﹣PA，
在Rt△BCP中，由勾股定理得，PB2＝PC2+BC2，
当PA＝PB时，PA2＝（8﹣PA）2+62，
解得，
则；
（2）如图2，作PG⊥AB于G，
∵点P恰好在∠BAC的角平分线上，∠C＝90°，PG⊥AB，
∴CP＝GP，
又∵AP＝AP，
∴△ACP≌△AGP（HL），
∴AG＝AC＝8cm，
∴BG＝10﹣8＝2cm，
设CP＝x cm，则BP＝（6﹣x）cm，PG＝x cm，
∴Rt△BGP中，由勾股定理得：BG2+PG2＝BP2，即22+x2＝（6﹣x）2，
解得，
∴AC+CPcm，
∴，
当点P沿折线A﹣C﹣B﹣A运动到点A时，点P也在∠BAC的角平分线上，
此时，t＝（10+8+6）÷4＝6，
综上所述，若点P恰好在∠BAC的角平分线上，t的值为或6．
13．问题背景：如图①，在四边形ADBC中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，探究线段AC、BC、CD之间的数量关系．
小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D逆时针旋转90°到△AED处，点B、C分别落在点A、E处（如图②），易证点C、A、E在同一条直线上，并且ACDE是等腰直角三角形，所以CECD，从而得出结论：AC+BCCD．
方法应用：
（1）在图①中，若AC＝1，BC＝2，则CD＝ ；
（2）在图③中，在四边形PACB中，AC＝CB，∠APC＝∠BPC＝30°，∠ACB＝120°，PC＝2，PB＝2，求PA的长；
拓展延伸：
（3）如图④，将边长为2的等边△ABC，沿其BC边所在直线折叠，得四边形ACGB，有个60°的∠ECF在四边形内部运动，边CE、CF分别交四边形ACGB的边AB、BG于点E、F．
①试探究在∠ECF运动过程中，四边形BECF的面积是否发生变化，如果不变，求出这个值，如果发生变化，请求出四边形BECF面积的取值范围；
②连结EF，请直接写出△BEF的周长的最小值为 ．
【思路点拔】（1）仿照题干的提示作出辅助线，构建等腰直角三角形可得答案；
（2）如图，把△PCB绕C逆时针旋转120°得到△CAQ，过C作CN⊥AQ于N，再结合旋转的性质，含30°的直角三角形的性质与勾股定理可得答案；
（3）①先证明△GCF≌△BCE，可得S△GCF＝S△BCE，可得四边形BECF的面积不变．如图，过C作CK⊥GB于K，再求解面积即可；②连接EF，由①得△GCF≌△BCE，证明△FCE为等边三角形，可得当CF⊥BG时，EF最小，周长最小，从而可得答案．
【解答】解：（1）将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，
∴∠EAD＝∠DBC，
∵∠ACB＝∠ADB＝90°，
∴∠DBC+∠DAC＝180°，
∴∠EAD+∠DAC＝180°，
∴E、A、C三点共线，
∴∠CAE为平角，由旋转知，AE＝BC，DE＝CD，∠CDE＝90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴，
∵CE＝AE+AC＝AC+BC，
∴，
∵AC＝1，BC＝2，
∴，
故答案为：；
（2）如图③，把△PCB绕C逆时针旋转120°得到△CAQ，过C作CN⊥AQ于N，
∵AC＝CB，∠APC＝∠BPC＝30°，∠ACB＝120°，
∴∠CAP+∠CBP＝180°，
由旋转可得：PB＝AQ＝2，，∠BPC＝∠AQC＝30°，∠QAC＝∠PBC，
∴∠CAP+∠CAQ＝180°，
∴Q，A，P三点共线，而，
∴，，
∵CQ＝CP，CN⊥AQ，
∴PQ＝2QN＝6，
∴PA＝QP﹣QA＝6﹣2＝4．
（3）①在∠ECF运动过程中，四边形BECF的面积不发生变化；理由如下：
∵边长为2的等边△ABC，结合对折，
∴AC＝CG＝GB＝AB＝BC＝2，∠CGB＝∠CBA＝∠GCB＝60°，
∵∠ECF＝60°，
∴∠GCF＝∠BCE，
∴△GCF≌△BCE，
∴S△GCF＝S△BCE，
∴S四边形BECF＝S△BCE+S△BCF＝S△GCF+S△BCF＝S△GCB，
∴四边形BECF的面积不变．
如图④，过C作CK⊥GB于K，
∴GK＝BK＝1，，
∴．
②连接EF，由①得△GCF≌△BCE，
∴GF＝BE，EC＝FC，
∴BE+BF＝BG＝2，
∵∠FCE＝60°，
∴△FCE为等边三角形，
当CF⊥BG时，EF最小，
此时EF，
∴△FCE的周长最小值为2，
故答案为：2．
14．（1）问题发现
如图1，把一块三角板（AB＝BC，∠ABC＝90°）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点A、B、C分别在槽的两壁及底边上滑动，已知∠D＝∠E＝90°，在滑动过程中，发现与∠DAB始终相等的角是 ∠EBC ，与线段AD相等的线段是 BE ；
（2）拓展探究
如图2，在△ABC中，点D在边BC上，并且DA＝DE，∠B＝∠ADE＝∠C．求证：△ADB≌△DEC．
（3）能力提升
如图3，在等边△DEF中，A，C分别为DE、DF边上的点，AE＝4，连接AC，以AC为边在△DEF内作等边△ABC，连接BF，当∠CFB＝30°时，请直接写出CD的长度．
【思路点拔】（1）根据直角三角形的性质及平角的定义推出∠BAD＝∠EBC，利用AAS证明△ABD≌△BCE，根据全等三角形的性质得出AD＝BE；
（2）根据三角形外角性质推出∠CDE＝∠BAD，利用AAS即可证明△ADB≌△DEC；
（3）过点B作BM∥EF交DF于点M，根据等边三角形的性质推出DE＝DF，AC＝BC，∠D＝∠DFE＝∠ACB＝60°，根据平行线的性质及等腰三角形的判定推出BM＝FM，利用AAS证明△ACD≌△CBM，根据全等三角形的性质得出CD＝BM＝FM，AD＝CM，根据线段的和差求解即可．
【解答】（1）解：∵∠D＝∠ABC＝90°，
∴∠DAB+∠ABD＝90°，∠ABD+∠EBC＝90°，
∴∠BAD＝∠EBC，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（AAS），
∴AD＝BE，
故答案为：∠EBC；BE；
（2）证明：∵∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∠B＝∠ADE，
∴∠CDE＝∠BAD，
在△ADB和△DEC中，
，
∴△ADB≌△DEC（AAS）；
（3）解：如图3，过点B作BM∥EF交DF于点M，
∵△DEF、△ABC是等边三角形，
∴DE＝DF，AC＝BC，∠D＝∠DFE＝∠ACB＝60°，
∵∠CFB＝30°，BM∥EF，
∴∠BFE＝60°﹣30°＝30°＝∠MBF，
∴∠MBF＝∠CFB，∠CMB＝∠MBF+∠CFB＝60°，
∴BM＝FM，
∵∠D＝∠ACB＝60°，
∴∠DAC+∠ACD＝120°，∠ACD+∠BCM＝120°，
∴∠DAC＝∠BCM，
在△ACD和△CBM中，
，
∴△ACD≌△CBM（AAS），
∴CD＝BM＝FM，AD＝CM，
∴DF＝CD+CM+FM＝2CD+CM＝2CD+AD，
∵DE＝AD+AE＝DF，
∴AE＝2CD，
∵AE＝4，
∴CD＝2．
15．如图1，△ABC中，CD⊥AB于点D，且BD：AD：CD＝2：3：4．
（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）已知S△ABC＝90cm2，如图2，动点P从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点Q从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点P运动的时间为t（秒），
①若△DPQ的边与BC平行，求t的值；
②若点E是边AC的中点，问在点P运动的过程中，△PDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
【思路点拔】（1）设BD＝2x，根据勾股定理求出AC，根据等腰三角形的概念证明结论；
（2）根据三角形的面积公式分别求出BD、AD、CD，分DQ∥BC、PQ∥BC两种情况，根据等腰三角形的性质解答；
（3）分点P与点A重合、DP＝DE、PD＝PE三种情况，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：（1）设BD＝2x，则AD＝3x，CD＝4x，
∴AB＝BD+AD＝5x，
由勾股定理得，AC5x，
∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形；
（2）∵S△ABC＝90cm2，
∴5x×4x＝90，
解得，x＝3，
∴BD＝6m，AD＝9m，CD＝12m，
由题意得，BP＝t，AQ＝t，
则AP＝15﹣t，
当DQ∥BC时，∠ADQ＝∠ABC，∠AQD＝∠ACB，
∴∠ADQ＝∠AQD，
∴AQ＝AD＝9，即t＝9，
当PQ∥BC时，∠APQ＝∠ABC，∠AQP＝∠ACB，
∴∠APQ＝∠AQP，
∴AP＝AQ，即15﹣t＝t，
解得，t＝7.5，
综上所述，当△DPQ的边与BC平行，t的值为9或7.5；
（3）在Rt△CDA中，点E是AC的中点，
∴DEAC＝AE＝7.5，
∴当点P与点A重合时，△PDE为等腰三角形，此时t＝15，
如图3，当DP＝DE＝7.5时，BP＝BD+DP＝13.5，此时t＝13.5，
如图4，当PD＝PE时，△PDE为等腰三角形，
作EH⊥AB于H，
∵ED＝EA，
∴DH＝HA＝4.5，
设DP＝EP＝x，
由勾股定理得，EH6，
∴PH＝x﹣6，
在Rt△EHP中，EP2＝EH2+PH2，即x2＝62+（x﹣4.5）2，
解得，x，
则BP＝6，
综上所述，当△PDE为等腰三角形时，t的值为15或13.5或．
16．自定义：在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”．
（1）如图1，已知△ABC，AC≠BC，过点C能否画出△ABC的一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法，若不能，请说明理由．
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，EF垂直平分AD，垂足为F，交BC于点E，已知AB＝3，BC＝8，CD＝5．求证：直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”；
（3）如图3，在△ABC中，AB＝BC＝6，AC＝8，请你作出△ABC的一条“等分积周线”EF（要求：直线EF不过△ABC的顶点，交边AC于点F，交边BC于点E），并说明理由．
【思路点拔】（1）若直线CD平分△ABC的面积，那么S△ADC＝S△DBC，得出AC≠BC，进而得出答案；
（2）根据勾股定理可得出：AB2+BE2＝CE2+DC2，进而得出BE＝5，CE＝3，进而得出周长与面积分别相等得出答案即可；
（3）在AC上取一点F，使得FC＝AB＝6，在BC上取一点E，使得BE＝2，作直线EF，则EF是△ABC的等分积周线，结合全等三角形的判定与性质得出答案．
【解答】解：（1）不能，
理由：如答图1，若直线CD平分△ABC的面积，那么S△ADC＝S△DBC，
∴AD＝BD，
∵AC≠BC，
∴AD+AC≠BD+BC，
∴过点C不能画出一条“等分积周线”
（2）如答图2，连接AE、DE，设BE＝x，
∵EF垂直平分AD，∴AE＝DE，AF＝DF，S△AEF＝S△DEF，
∵∠B＝∠C＝90°，AB＝3，BC＝8，CD＝5，
∴Rt△ABE和Rt△DCE中，根据勾股定理可得出：
AB2+BE2＝CE2+DC2，即32+x2＝（8﹣x）2+52，
解得：x＝5，所以BE＝5，CE＝3，
∴AB+BE＝CE+DC，
S△ABE＝S△DCE，
∴S四边形ABEF＝S△ABE+S△AEF，
S四边形DCEF＝S△DEF+S△DCE，
∴S四边形ABEF＝S四边形DCEF，
AF+AB+BE＝DF+EC+DC，
∴直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”；
（3）如答图3，在AC上取一点F，使得FC＝AB＝6，在BC上取一点E，使得BE＝2，
作直线EF，则EF是△ABC的等分积周线，
理由：由作图可得：AF＝AC﹣FC＝8﹣6＝2，在CB上取一点G，使得CG＝AF＝2，则有AB+AF＝CF+CG，
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C，
在△ABF和△CFG中，
，
∴△ABF≌△CFG（SAS），
∴S△ABF＝S△CFG，
又易得BE＝EG＝2，
∴S△BFE＝S△EFG，
∴S△EFC＝S四边形ABEF，
AF+AB+BE＝CE+CF＝10，
∴EF是△ABC的等分积周线，
若如答图4，当BM＝2cm，AN＝6cm时，直线MN也是△ABC的等分积周线．（其实是同一条），
另外本问的说理也可以通过作高，进行相关计算说明）．
17．在长方形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝5，BC＝AD＝4．
（1）如图1，P为BC边上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△APQ的位置，其中点Q是点B的对称点，当点Q落在CD边上时，请你直接写出DQ的长为 3 ．
（2）如图2，点E是AB边上一动点，过点E作EF⊥DE交BC边于点F，将△BEF沿直线EF翻折得△B'EF，连接DB'，当△DEB'是以DE为腰的等腰三角形时，求AE的长；
（3）如图3，点M是射线AB上的一个动点，将△ADM沿DM翻折，其中点A的对称点为A'，当A′，M，C三点在同一直线上时，请直接写出AM的长．
【思路点拔】（1）利用翻折变换的性质以及勾股定理求解即可；
（2）分两种情形：如图2﹣1中，当DE＝DB′，过点D作DJ⊥EB′于点J．证明BE＝2AE，可得结论．如图2﹣2中，当DE＝EB′时，利用勾股定理，构建方程求解即可；
（3）分两种情形：如图3﹣1中，当点M在线段AB上时，证明CD＝CM，求出BM即可．如图3﹣2中，当点M在AB的延长线上时，同法可证CD＝CM＝5，再求出BM即可．
【解答】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
由翻折变换的性质可知AB＝AQ＝5，
∵AD＝4，
∴DQ3，
故答案为：3；
（2）如图2﹣1中，当DE＝DB′，过点D作DJ⊥EB′于点J．
∵DE＝DB′，DJ⊥EB′，
∴EJ＝JB′，
∵DE⊥EF，
∴∠BEF+∠DEA＝90°，∠FEB′+∠DEB′＝90°，
∵∠BEF＝∠BEF′，
∴∠DEJ＝∠DEA，
∵∠A＝∠DJE＝90°，DE＝DE，
∴△DEA≌△DEJ（AAS），
∴AE＝EJ＝JB′，
∵EB＝EB′，
∴BE＝2AE，
∵AB＝5，
∴AEAB；
如图2﹣2中，当DE＝EB′时，
设BE＝EB′＝DE＝x，则x2＝42+（5﹣x）2，
∴x，
∴AE＝AB﹣BE＝5．
综上所述，AE的长为或；
（3）如图3﹣1中，当点M在线段AB上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠CDM＝∠AMD，
∵∠AMD＝∠A′MD，
∴∠CDM＝∠CMD，
∴CD＝CM＝5，
∵∠CBM＝90°，
∴BM3，
∴AM＝AB﹣BM＝5﹣3＝2．
如图3﹣2中，当点M在AB的延长线上时，同法可证CD＝CM＝5，
∵∠CBM＝90°，CB＝4，
∴BM3，
∴AM＝AB+BM＝5+3＝8．
综上所述，满足条件的AM的长为2或8．
18．如图1所示，在边长为12的等边△ABC中，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动设点P的运动时间为t（s），t＞0．
（1）当t＝ 3 时，△PAC是直角三角形；
（2）如图2．若另一动点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，且动点P，Q均以2cm/s的速度同时出发，那么当t＝ 2或4 时，△PAQ是直角三角形；
（3）如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动，且动点P，Q均以2cm/s的速度同时出发．当点P到达终点B时，点Q也随之停止运动，连接PQ交AC于点D，过点P作PE⊥AC于E，试问线段DE的长度是否变化？若变化，请说明如何变化；若不变，请求出DE的长度．
【思路点拔】（1）根据等边三角形的性质，当CP⊥AB，即P为AB的中点时，△PAC是直角三角形，据此求解即可；
（2）分①当QP⊥AB时，②当QP⊥AC时，根据含30度角的直角三角形的性质，建立一元一次方程求解即可；
（3）过P作PF∥BC，进而证明AE＝EF，CD＝DF，可得，问题得解．
【解答】解：（1）依题意，AP＝2t，
当△PAC是直角三角形时，CP⊥AB，
∵△ABC是等边三角形，
则此时P为AB的中点，
∴，
∴t＝6÷2＝3，
故答案为：3；
（2）依题意，AP＝2t，CQ＝2t，
①当QP⊥AB时，如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，AC＝AB＝BC＝12，
∵AP＝CQ＝2t，则AQ＝12﹣2t，
在Rt△APQ中，∠A＝60°，
∴∠AQP＝30°，
∴，
即，
解得t＝2；
②当QP⊥AC时，如图，
同理可得，
即，
解得t＝4；
综上所述，当t为2或4时，△PAQ是直角三角形；
（3）线段DE长度不变，理由如下：
如图，过点P作PF∥BC，交AC于点F，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°＝∠B，
∵PF∥BC，
∴∠APF＝∠B＝60°，
∴△APF是等边三角形，
∴PA＝PF，
∵PE⊥AF，
∴AE＝EF，
∵PF∥BC，
∴∠PFD＝∠QCD，∠FPD＝∠CQD，
∵P，Q的速度相等，
∴AP＝CQ，
∴PF＝CQ，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴CD＝DF，
∵AE＝EF，CD＝DF，
∴．
19．【初步探索】
截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．
（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系；
【灵活运用】
（2）如图2，△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为BC边上一点，∠ADE交直线a于点E，且∠ADE＝60°．求证：CD+CE＝CA；
【延伸拓展】
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD．若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足EF＝BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．
【思路点拔】（1）由等边三角形知AB＝AC，∠BAC＝60°，结合∠BDC＝120°知∠ABD+∠ACD＝180°，由∠ACE+∠ACD＝180°知∠ABD＝∠ACE，证△ABD≌△ACE得AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，再证△ADE是等边三角形得DA＝DE＝DC+CE＝DC+DB；
（2）首先在AC上截取CM＝CD，由△ABC为等边三角形，易得△CDM是等边三角形，继而可证得△ADM≌△EDC，即可得AM＝EC，则可证得CD+CE＝CA；
（3）在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，先判定△ADG≌△ABE，再判定△AEF≌△AGF，得出∠FAE＝∠FAG，最后根据∠FAE+∠FAG+∠GAE＝360°，进而推导得到2∠FAE+∠DAB＝360°，即可得出结论．
【解答】（1）解：如图1，延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵∠BDC＝120°，
∴∠ABD+∠ACD＝180°，
又∵∠ACE+∠ACD＝180°，
∴∠ABD＝∠ACE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
∵∠BAC＝60°，即∠BAD+∠DAC＝60°，
∴∠DAC+∠CAE＝60°，
即∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DA＝DE＝DC+CE＝DC+DB，
即DA＝DC+DB；
（2）证明：在AC上截取CM＝CD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴△CDM是等边三角形，
∴MD＝CD＝CM，∠CMD＝∠CDM＝60°，
∴∠AMD＝120°，
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADE＝∠MDC，
∴∠ADM＝∠EDC，
∵直线a∥AB，
∴∠ACE＝∠BAC＝60°，
∴∠DCE＝120°＝∠AMD，
在△ADM和△EDC中，
，
∴△ADM≌△EDC（ASA），
∴AM＝EC，
∴CA＝CM+AM＝CD+CE；
即CD+CE＝CA．
（3）解：∠EAF；
证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，
∴∠ADC＝∠ABE，
又∵AB＝AD，
∴△ADG≌△ABE（SAS），
∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，
∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠FAE＝∠FAG，
∵∠FAE+∠FAG+∠GAE＝360°，
∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）＝360°，
∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）＝360°，
即2∠FAE+∠DAB＝360°，
∴∠EAF．
20．我们知道，长方形的对边相等，对边平行，四个角都是直角，即长方形ABCD中，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，AB∥CD．
学完轴对称的性质，周老师设计如下三个问题，带领大家研究长方形纸片的折叠问题．
请你运用所学知识，解决下面的问题．
问题（1）：如图（1），有一张长方形纸片ABCD，AB＝12，AD＝16，将纸片折叠，使AB落在对角线AC上，折痕为AE（点E在边BC上），点B落在点B′处，求线段CE的长度；
问题（2）：如图（2），点G在一张长方形纸片ABCD的边AD上，将纸片折叠，使AB落在CG所在直线上，设折痕为EF（点E，F分别在边BC、AD上），利用直尺和圆规画出折痕EF（不写作法，保留作图痕迹）；
问题（3）：如图（3），有一张长方形纸片ABCD，AB＝12，AD＝27，F为AD边上一点，AF＝7，E为BC上一点．将纸片折叠，使点B恰好落在线段ED上的B′处，折痕为EF，点A落在点A′处．求线段B′D的长度．
【思路点拔】问题（1）：设CE＝x，根据折叠的性质表示B'E＝BE＝16﹣x，由勾股定理计算AC＝20，则CB'＝8，最后根据勾股定理列方程可得答案；
问题（2）：如图（2）中，延长BA交直线CG交于点H，作∠BHC的角平分线交AD于F，交BC于E，直线EF即为所求；
问题（3）：首先求出FD＝20，由矩形的性质得出AD∥BC，BC＝AD＝27，由平行线的性质得出∠DFE＝∠BEF，由翻折不变性可知，∠BEF＝∠DEF，证出∠DFE＝∠DEF，由等腰三角形的判定定理证出DF＝DE＝20，再由勾股定理求出CE，可得BE，再利用翻折不变性，可知EB′＝EB，由此即可解决问题．
【解答】解：问题（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，BC＝AD＝16，
∵AB＝12，
由勾股定理得：AC20，
由折叠得：∠AB'E＝∠B＝90°，AB'＝AB＝12，BE＝B'E，
∴∠CB'E＝90°，
设CE＝x，则B'E＝BE＝16﹣x，
由勾股定理得：CE2＝B'E2+B'C2，
即x2＝（16﹣x）2+（20﹣12）2，
解得：x＝10，
∴CE＝10；
问题（2）如图（2）所示：EF即为所求；
问题（3）∵AF＝7，AD＝27，
∴FD＝20，
∵将纸片折叠，使点B恰好落在线段ED上的B′处，
∴∠BEF＝∠B'EF，BE＝B'E，
∵AD∥BC，
∴∠DFE＝∠BEF，
∴DE＝DF＝20，
∴CE16，
∴BE＝BC﹣CE＝11，
∴B'E＝11，
∴B'D＝DE﹣B'E＝20﹣11＝9．
21．【发现】如图1，在等腰直角△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点B在直线l上，过A作AD⊥l于D，过C作CE⊥l 于E．小明通过探索发现：AD+CE＝DE，请证明这个结论；
【应用】①如图2，在△ABC中，∠ACB为钝角，把边AC绕点A沿逆时针方向旋转90°得AD，把边BC绕点B沿顺时针方向旋转90°得BE，作DM⊥AB于点M，EN⊥AB于点N，若DM＝3，EN＝2，则AB＝ 5 ；
②如图3，△ABC是等边三角形纸片，将△ABC纸片折叠，使得点A的对应点D落在BC上，折痕为EF．若BE＝CD，求∠AEF的度数；
【拓展】如图4，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，D、E两点分别是边AB、AC上的动点，且CE＝2AD，将线段DE绕点D顺时针旋转30°得到线段DF，连接CF，若BC＝2，则线段CF长度的最小值为 ．
【思路点拔】【发现】根据∠ABC＝90°推出∠ABD+∠DAB＝90°，继而推出判定△ADB≌△BEC的条件，判定全等后得到AD＝BE，CE＝BD，即可证明结论；
【应用】①过点C作CF⊥MN于F，根据条件推出判定△DMA≌△AFC，△CFB≌△BNE的条件后根据全等三角形的性质得到AF＝DM，AM＝CF，BF＝EN，CF＝BN，根据已知条件即可求出AB的长；
②根据△ABC为等边三角形，△DEF由△AEF翻折得到∠A＝∠B＝∠C＝∠EDF＝60°，∠BED+∠EDB＝120°，∠EDB+∠FDC＝120°推出∠BED＝∠FDC，再根据BE＝CD判定△EBD≌△DCF，得到DE＝DF，从而判定△DEF为等边三角形，即可求出∠AEF的度数；
【拓展】在BD上截取DG＝AE，连接FG，根据∠A＝30°，∠EDF＝30°推出∠AED+∠ADE＝∠ADE+∠FDG＝150°，得到∠AED＝∠FDG，再加上DE＝DF，DG＝AE，
用SAS判定△ADE≌△GFD，根据全等三角形的性质得到AD＝GF，当CF⊥BF时，CF最小，根据勾股定理即可求出CF的最小值．
【解答】【发现】证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠DAB＝90°，
又∵∠ABD+∠CBE＝90°，
∴∠DAB＝∠CBE，
∵AD⊥l，CE⊥l，
∴∠ADB＝∠CEB＝90°，
又∵AB＝BC，∠DAB＝∠CBE，
∴△ADB≌△BEC（AAS），
∴AD＝BE，CE＝BD，
∵DE＝BD+BE＝DE，
∴AD+CE＝DE；
【应用】①解：如图2，过点C作CF⊥MN于F，
∴∠CFA＝∠CFB＝90°，∠DAC＝∠CBE＝90°，
∴∠DAM+∠CAF＝90°，
∠CBF+∠EBN＝90°，
∵DM⊥AB，EN⊥AB，
∴∠ADM+∠DAM＝90°，
∠EBN+∠BEN＝90°，
∴∠ADM＝∠CAF，∠CBF＝∠BEN，
∵AD＝AC，BC＝BE，
∴△DMA≌△AFC（AAS），△CFB≌△BNE（AAS），
∴AF＝DM，AM＝CF，BF＝EN，CF＝BN，
∵DM＝3，EN＝2，AB＝AF+BF，
∴AB＝DM+EN＝3+2＝5；
②解：∵△ABC为等边三角形，△DEF由△AEF翻折得到，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠EDF＝60°，
∴∠BED+∠EDB＝120°，∠EDB+∠FDC＝120°，
∴∠BED＝∠FDC，
又∵BE＝CD，
∴△EBD≌△DCF（ASA），
∴DE＝DF，
又∵∠EDF＝60°，
∴△DEF为等边三角形，
∴∠AEF＝∠DEF＝60°，
【拓展】解：在BD上截取DG＝AE，连接FG，
∵∠A＝30°，∠EDF＝30°，
∴∠AED+∠ADE＝∠ADE+∠FDG＝150°，
∴∠AED＝∠FDG，
又∵DE＝DF，DG＝AE，
∴△ADE≌△GFD（SAS），
∴AD＝GF，
∵AB＝AC，DG＝AE，
∴CE＝AD+BG，
∵CE＝2AD，
∴AD+BG＝2AD，
∴BG＝AD，
∴BG＝GF，
∵△ADE≌△GFD，
∴∠FGD＝∠A＝30°，
∵∠GBF为定值，
∴点F在BF所在直线上运动，
当CF⊥BF时，CF最小，
∵∠A＝30°，AB＝AC，
∴∠ABC（180°﹣30°）＝75°，∠CBF＝75°﹣15°＝60°，
∴∠FCB＝30°，
∵BC＝2，
∴BFBC＝1，CF，
∴CF长度的最小值为．
