湖北省黄冈市普通高中2024-2025学年高二上学期期中阶段性联考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】A
2.
【答案】C
3.
【答案】D
4.
【答案】C
5.
【答案】B
6.
【答案】B
7.
【答案】C
8.
【答案】D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.
【答案】ABC
10.
【答案】BC
11.
【答案】ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
【答案】
13.
【答案】##
14.
【答案】##
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出相应文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
【解析】
【分析】（1）根据直线垂直和点在线上，解设坐标，联立方程组即可求解；
（2）结合（1）先求点坐标可得与重合，再利用中点在直线上，即可求出点坐标，进而得出直线的方程.
【小问1详解】
由题知，，在直线上，
设，
则，解得，
即点坐标.
【小问2详解】
设，
则，解得，即，
所以直线的方程为，
即.
16.
【解析】
【分析】（1）由线面垂直的判定及性质定理证、，结合直角三角形性质即可证结论；
（2）构建合适空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值.
【小问1详解】
由平面，平面，则，，
而，且都在面内，则面，
由面，则，即均为直角三角形，且为斜边，
由为PD的中点，故，得证.
【小问2详解】
由题意，易知为直角梯形，且，，且平面，
以为原点，建立如下图示空间直角坐标系，则，
所以，
若分别是面、面的法向量，
则，令，则，
且，令，则，
所以，故平面ACE和平面ECD夹角余弦值为.
17.
【解析】
【分析】（1）由于进入这三个兴趣小组成功与否相互独立，利用相互独立事件同时发生的概率乘法公式来列出方程求解.
（2）分析该同学在兴趣小组方面获得校本选修学分分数不低于4分的情形有三种，即分数为4分，5分，6分，然后进行相互独立事件同时发生的概率乘法计算，再用分类事件加法原理求解即可.
【小问1详解】
由题意得：，解得：；
【小问2详解】
设该同学在兴趣小组方面获得校本选修学分的分数为，
则，
，
，
所以.
即该同学在兴趣小组方面获得校本选修学分分数不低于4分的概率为.
18.
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，判断即可；
（2）应用向量法求到平面的距离即可；
（3）假设在上存在点，且，，结合线面角正弦值列方程，求参数即可；
【小问1详解】
由题设，得四棱台为正四棱台，可建立如图所示空间直角坐标系，
故，
所以，
若平面的一个法向量为，则，
令，则，显然，而面，
所以面；
小问2详解】
由（1）知：，所以到平面的距离为
【小问3详解】
假设在上存在点，且，，
则，
直线与平面所成的角为，故，
所以，即，可得或，
时，，则，
时，，则，
综上，长为或.
19.
【解析】
【分析】（1）根据已知及两点距离公式有，整理即可得曲线方程；
（2）（ⅰ）根据题设知在以为直径的圆上，并写出对应方程，结合在上，即可求直线，进而确定定点坐标；
（ⅱ）根据（ⅰ），若定点为，易知在以为直径的圆上，根据圆的性质判断面积最大时的位置，即可确定的坐标.
【小问1详解】
设，则，即，
所以，整理得.
【小问2详解】
（ⅰ）由题设，易知四点共圆，即在以为直径的圆上，
而的中点坐标为，，
以为直径的圆为，又在上，
即为两圆的公共弦，两圆方程作差，得直线为，显然该直线恒过定点，得证.
（ⅱ）存在，，理由如下：
由（i）及题设，易知在以为直径的圆上，即为圆心、半径为，
且轴，则，且到直线的距离为，故到直线的最大距离为，
所以，当与重合时，面积最大，此时.湖北省黄冈市普通高中2024-2025学年高二上学期期中阶段性联考数学试题
本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将答题卡上交.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为（）
A. B.
C. D.
2. 若直线与直线平行，则的值为（）
A. B. 2 C. D.
3. 近几年7月，武汉持续高温，市气象局将发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温37摄氏度以上的概率是.某人用计算机生成了10组随机数，结果如下：
726 127 821 763 314 245 521 986 402 862
若用0，1，2，3，4表示高温橙色预警，用5，6，7，8，9表示非高温橙色预警，依据该模拟实验，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（）
A. B. C. D.
4. 某饮料生产企业推出了一种有一定中奖机会的新饮料.甲、乙、丙三名同学都购买了这种饮料，设事件为“甲、乙、丙三名同学都中奖”，则与互为对立事件的是（）
A. 甲、乙、丙恰有两人中奖 B. 甲、乙、丙都不中奖
C. 甲、乙、丙至少有一人不中奖 D. 甲、乙、丙至多有一人不中奖
5. 已知点，若，则直线AB的倾斜角的取值范围为（）
A. B.
C. D.
6. 如图所示，在平行六面体中，，则的长为（）
A. B.
C. D. 5
7. 已知实数x，y满足，则的取值范围是（）
A. [4,10] B. [8,10] C. [4,16] D. [8,16]
8. 如图，边长为4的正方形ABCD沿对角线AC折叠，使，则三棱锥的体积为（）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线和圆，则下列选项正确的是（）
A. 直线恒过点
B. 直线与圆相交
C. 圆与圆有三条公切线
D. 直线被圆截得的最短弦长为
10. 柜子里有双不同的鞋子，从中随机地取出只，下列计算结果正确的是（）
A. “取出的鞋成双”的概率等于
B. “取出的鞋都是左鞋”的概率等于
C. “取出鞋都是左鞋或都是右鞋”的概率等于
D. “取出的鞋一只是左鞋，一只是右鞋，但不成双”的概率等于
11. 如图，在棱长为2的正方体中，点为线段BD的中点，且点满足，则下列说法正确的是（）
A. 若，则平面
B. 若，则平面
C. 若，则到平面的距离为
D. 若时，直线DP与平面所成角为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 经过两点的直线的方向向量为，则的值为______.
13. 已知空间向量，若共面，则的最小值为__.
14. 由这2024个正整数构成集合A，先从集合A中随机取一个数，取出后把放回集合A，然后再从集合A中随机取出一个数，则的概率为___.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出相应文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为.
（1）求顶点的坐标；
（2）求直线方程.
16. 如图，在四棱锥中，平面为PD的中点.
（1）若，证明：；
（2）若，求平面ACE和平面ECD的夹角的余弦值.
17. 某中学根据学生兴趣爱好，分别创建了“绘画”、“书法”、“诗词”三个兴趣小组，据统计新生通过考核选拔进入这三个兴趣小组成功与否相互独立.2024年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“绘画”、“书法”、“诗词”三个兴趣小组的概率依次为，已知三个兴趣小组他都能进入的概率为，至少进入一个兴趣小组的概率为，且.
（1）求与值；
（2）该校根据兴趣小组活动安排情况，对进入“绘画”兴趣小组的同学增加校本选修学分1分，对进入“书法”兴趣小组的同学增加校本选修学分2分，对进入“诗词”兴趣小组的同学增加校本选修学分3分.求该同学在兴趣小组方面获得校本选修学分分数不低于4分的概率.
18. 如图，四棱台中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，分别为DC，BC的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为，若存在，求出线段BM的长；若不存在，请说明理由.
19. 已知动点M与两个定点的距离的比为，记动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程，并说明其形状；
（2）已知，过直线上动点分别作曲线的两条切线PQ，为切点），连接PD交QR于点，
（ⅰ）证明：直线QR过定点，并求该定点坐标；
（ⅱ）是否存在点P，使的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
