2024-2025学年四川省部分学校高三（上）联考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年四川省部分学校高三（上）联考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“，”的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数，，则“”是“是增函数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润单位：百万元与新设备运行的时间单位：年，满足，当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间( )
A. B. C. D.
6.已知函数对任意，都有，的图象关于点对称，且，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数在区间上有且仅有个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若关于的方程有实数解，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 若，则
B. 若，，则
C. 若，则
D. 若，则
10.已知函数的部分图象如图所示，则( )
A.
B.
C. 的图象与轴的交点坐标为
D. 函数的图象关于直线对称
11.已知，，，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某班共有名学生，其中参加物理竞赛的有人，参加数学竞赛的有人，只参加这两个竞赛中的一个竞赛的共有人，则这两个竞赛都没参加的学生有______人
13.若，且，则 ______．
14.已知，函数，且，恒有，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知命题：，，当为假命题时，设的取值集合为．
求；
请写出一个非空集合，使得“”是“”的必要不充分条件．
16.本小题分
已知的内角，，的对应边分别为，，，且．
求角；
若的面积为，周长为，求．
17.本小题分
已知函数．
若，求的极值点；
若，讨论的单调性．
18.本小题分
已知函数．
讨论在区间上的单调性；
求的最大值和最小值；
设，，证明：．
19.本小题分
当一个函数值域内任意一个函数值都有且只有一个自变量与之对应时，可以把这个函数的函数值作为一个新的函数的自变量，而这个函数的自变量作为新的函数的函数值，我们称这两个函数互为反函数例如，由，，得，通常用表示自变量，则写成，我们称，与互为反函数已知函数与互为反函数，若，两点在曲线上，，两点在曲线上，以，，，四点为顶点构成的四边形为矩形，且该矩形的其中一条边与直线垂直，则我们称这个矩形为与的“关联矩形”．
若函数，且点在曲线上．
(ⅰ)求曲线在点处的切线方程；
(ⅱ)求以点为一个顶点的“关联矩形”的面积．
若函数，且与的“关联矩形”是正方形，记该“关联矩形”的面积为证明：参考数据：
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意可知，命题：，为真命题．
由，得，
又，因为，所以，
所以，
，
即．
所以．
因为“”是“”的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集，
则符合题意答案不唯一．
16.解：因为，
由正弦定理得，
则，
又，则有，
在中，，
故，因为，
所以；
因为的面积为，
所以，得．
由余弦定理得，
又，所以，
即，解得．
17.解：因为，
所以，，
则，
令得或，
又函数的定义域为，
当时，，
所以在单调递减，
当时，，
所以在单调递增，
所以在处取极小值，且极小值为，
所以的极小值点为，无极大值点．
由，，
得，
令，则，
，
因为，
所以，
所以方程有两不相等的实数根，
解得，其中，
则，，
当，即时，则，
当时，，
所以函数在区间上单调递增，
当时，，
所以函数在区间上单调递减，
当时，，
所以函数在区间上单调递增，
当，即时，则，
当时，，
所以函数在区间上单调递减，
当时，，
所以函数在区间上单调递增，
综上所述，当时，在区间上单调递增，
在区间上单调递减，在区间上单调递增，
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
18.解：由题可得
，
令，则或或，
即或或，
所以在上的根为，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
综上，在和上单调递减，在和上单调递增．
因为，
所以的一个正周期为，
故函数在的最大与最小值即的最大值和最小值，
根据中结论，又，
所以在的最大值为，最小值为，
故的最大值为，最小值为．
证明：
，
又，
所以
，
所以，得证．
19.解：点在曲线上，．
，则，
则曲线在点处的切线方程为，即．
函数与互为反函数，．
根据对称性可设，关于直线对称，可得，则．
若，则直线的方程为，与曲线相切，不符合题意．
若，则直线的方程为，
联立方程组，消去整理得，解得或舍去，
将代入，可得，
则，
则该“关联矩形”的面积．
证明：由，得．
显然，根据对称性可设，关于直线对称，，关于直线对称，且．
设，其中，，且，．
“关联矩形”是正方形，由，得．
由，可得．
令，则，则在上单调递增．
由，可得．．
令，则，
当时，，在上单调递增，
，
从而．
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