2024-2025学年黑龙江省齐齐哈尔市高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年黑龙江省齐齐哈尔市高三（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则( )
A. B. C. D.
2.已知是关于的方程的一个根，，，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量不共线，，其中，，若，，三点共线，则的最小值为( )
A. B. C. D.
4.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.设函数，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且若为的垂心，，则( )
A. B. C. D.
8.，用表示，中的较小者，记为，设函数，，若，，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A.
B.
C. 在上为增函数
D. 函数在上有且只有个零点
10.下列关于平面向量的说法中正确的是( )
A. 已知点，，是直线上三个不同的点，为直线外一点，且，则
B. 已知向量，且与的夹角为锐角，则的取值范围是
C. 已知点为三条边的中线的交点，则
D. 已知，则在上的投影的坐标为
11.设函数，，且，则( )
A. 函数和的图象关于直线对称
B. 函数和的图象的交点均在直线上
C. 若，方程的根为，方程的根为，则
D. 已知，若恒成立，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，若在上是增函数，则正数的取值范围是______．
13.设函数，若在上是减函数，则的取值范围为______．
14.，，若定义，则中的元素有______个
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知公差不为的等差数列的前项和为．
求的通项公式；
令，记为数列的前项和，若，求的最小值．
16.本小题分
已知函数，．
当时，若，求的极值点和极值、最值点和最值；
讨论在上的单调性．
17.本小题分
已知函数．
求方程在上的解集；
设函数；
证明：有且只有一个零点；
记函数的零点为，证明：．
18.本小题分
已知函数．
若，在上为增函数，求的取值范围；
已知，的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像且是的一个零点，若在上恰好有个零点，求的最大值；
已知函数，在第问的条件下，若对任意，存在，使得成立，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
若，证明：；
记数列的前项和为．
若，证明：．
已知函数，若，，，证明：．
参考答案
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15.解：由于，
则，即，
可得，
又，解得，
所以；
由题设，
则，
又在上单调递增，
当时，，
当时，，
所以，求的最小值．
16.解：当时，，则，
令，解得，或，而，，或，
令，解得，
函数在和上单调递增，在上单调递减，
是函数的极大值点，极大值为；
是函数的极小值点，极小值为；
，当时，，
函数在时，是函数的最大值点，最大值为，没有最小值点，无最小值；
，
当时，在上，，因此函数单调递增；
当时，令，解得或，
若时，即时，
在上，，因此函数单调递增，
在上，，因此函数单调递减；
若时，即时，
在上，，因此函数单调递增，
综上所述：当时，在上函数单调递增，
当时，在上函数单调递增，在上函数单调递减．
17.解：，
所以，
所以或，
当时，，则，
又，所以，
当，则，
又，
所以或，所以，
所以方程在上的解集为；
证明：设，
当，则
此时在单调递增，
在也单调递增，所以在单调递增，
，
所以在时有唯一零点，
当，所以，
所以在没有零点，
当时，，所以，所以，
所以在没有零点，
综上，在有唯一零点；
记函数的零点为，
所以，且，所以，
所以，
令，因为，所以，
又，则，
所以．
18.解：由题意在区间上单调递增，
又，
所以在区间上单调递增，
从而，
则，可得，
所以，
故的值范围为；
的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像可得，
由题意，
可得，
解得，或，，
所以，或，，
又因为，
可得，
可得，
由于在上恰好有个零点，等价于与恰好有个交点，
令，由，
则，即，与恰好有个交点，
所以，
故的最大值为；
由知，
若对任意，存在，使得成立，
则的值域是值域的子集，
当时，可得，
可得，即，
当时，可得，
可得，即，
又的值域是值域的子集，
可得
所以实数的取值范围为．
19.解：证明：令，时，导函数，
因此在上为增函数，因此当时，，
因此当时，．
令，当时，导函数，
因此在上单调递增，所以当时，，
因此当时，．
所以当时，．
由于，当时，导函数，
因此在上为增函数，
由于当时，，并且根据，
解得，因此，所以，
因此．
证明：由于，
因此，
所以，
因此，
所以，
因此．
证明：由题意得，因为，
所以函数，
由于当时，，
因此当时，，
因此当时，，
所以，
所以，所以．
由于，
因此当时，，
综上所述，，因此，
因此，
所以．
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